Jika 3 dan 5 akar akar persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bangun umum dari persamaan kuadrat adalah

dengan

Huruf-huruf a, b dan c disebut sbg koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bangun parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang diwujudkan oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
• b menentukan anggaran posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang diwujudkan. Posisi tepatnya adalah -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang diwujudkan dengan sumbu y atau saat x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan beragam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat dan diteliti pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipakai untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bangun

Rumus ini dipakai untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bangun

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat dan diteliti pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari bangun umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk memperoleh

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat dapat dipakai di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang benar dalam tanda akar:

yang disebut sbg diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya suatu akar atau dua buah akar yang berlainan, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berwujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berlainan yang kedua-duanya adalah bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan adalah suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya adalah bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula adalah bilangan irrasional kuadrat.

• Jika diskriminan berharga nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud adalah bilangan riil. Hal ini kadang disebut sbg akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Jika diskriminan berharga negatif, tak terdapat akar riil. Sbg gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain adalah konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berlainan, jika dan hanya jika diskriminan berharga tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan berharga tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berlainan, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sbg titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipakai apabila dimohon untuk mencari titik potong sela suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berlanjut, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong sela
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong sela
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong sela kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalah bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

dikarenakan akar-akar tersebut adalah nilai

Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat juga

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 2

Persamaan kuadrat yaitu suatu persamaan polinomial berorde dua. Wujud umum dari persamaan kuadrat yaitu

dengan

Huruf-huruf a, b dan c dinamakan sebagai koefisien: koefisien kuadrat a yaitu koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana wujud parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang diproduksi oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan mengakibatkan parabola buka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan mengakibatkan parabola buka ke bawah.
• b menentukan lebih kurang posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang diproduksi. Posisi tepatnya yaitu -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang diproduksi dengan sumbu y atau masa x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan bermacam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipergunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud ada wujud

Rumus ini dipergunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam wujud

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang sudah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari wujud umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa dipergunakan di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang dinamakan sebagai diskriminan atau juga sering dinamakan determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat ada hanya suatu akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat ada wujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Bila diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya yaitu bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan yaitu suatu kuadrat sempurna, karenanya akar-akarnya yaitu bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula yaitu bilangan irrasional kuadrat.

• Bila diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud yaitu bilangan riil. Hal ini kadang dinamakan sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Bila diskriminan bernilai negatif, tak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain yaitu konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat ada suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipergunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berlangsung, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong antara kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x yaitu bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

yaitu juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

disebabkan akar-akar tersebut yaitu nilai

Bila a, b, dan c yaitu bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa bila diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), bila berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan bila berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 3

Persamaan kuadrat yaitu suatu persamaan polinomial berorde dua. Wujud umum dari persamaan kuadrat yaitu

dengan

Huruf-huruf a, b dan c dinamakan sebagai koefisien: koefisien kuadrat a yaitu koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana wujud parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang diproduksi oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan mengakibatkan parabola buka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan mengakibatkan parabola buka ke bawah.
• b menentukan lebih kurang posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang diproduksi. Posisi tepatnya yaitu -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang diproduksi dengan sumbu y atau masa x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan bermacam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipergunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud ada wujud

Rumus ini dipergunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam wujud

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang sudah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari wujud umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa dipergunakan di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang dinamakan sebagai diskriminan atau juga sering dinamakan determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat ada hanya suatu akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat ada wujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Bila diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya yaitu bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan yaitu suatu kuadrat sempurna, karenanya akar-akarnya yaitu bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula yaitu bilangan irrasional kuadrat.

• Bila diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud yaitu bilangan riil. Hal ini kadang dinamakan sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Bila diskriminan bernilai negatif, tak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain yaitu konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat ada suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipergunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berlangsung, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong antara kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x yaitu bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

yaitu juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

disebabkan akar-akar tersebut yaitu nilai

Bila a, b, dan c yaitu bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa bila diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), bila berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan bila berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 4

Persamaan kuadrat yaitu suatu persamaan polinomial berorde dua. Wujud umum dari persamaan kuadrat yaitu

dengan

Huruf-huruf a, b dan c dinamakan sebagai koefisien: koefisien kuadrat a yaitu koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana wujud parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibuat oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan mengakibatkan parabola buka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan mengakibatkan parabola buka ke bawah.
• b menentukan aturan posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibuat. Posisi tepatnya yaitu -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibuat dengan sumbu y atau masa x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan bermacam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat dan diperhatikan pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipergunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud ada wujud

Rumus ini dipergunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam wujud

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang sudah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat dan diperhatikan pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari wujud umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa dipergunakan di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang dinamakan sebagai diskriminan atau juga sering dinamakan determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat ada hanya suatu akar atau dua buah akar yang berlainan, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berwujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Bila diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berlainan yang kedua-duanya yaitu bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan yaitu suatu kuadrat sempurna, karenanya akar-akarnya yaitu bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula yaitu bilangan irrasional kuadrat.

• Bila diskriminan berharga nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud yaitu bilangan riil. Hal ini kadang dinamakan sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Bila diskriminan berharga negatif, tak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain yaitu konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berlainan, bila dan hanya bila diskriminan berharga tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, bila dan hanya bila diskriminan berharga tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat ada suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berlainan, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipergunakan apabila dimohon untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berlangsung, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong antara kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x yaitu bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

yaitu juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

disebabkan akar-akar tersebut yaitu nilai

Bila a, b, dan c yaitu bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa bila diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), bila berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan bila berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 5

Persamaan kuadrat yaitu suatu persamaan polinomial berorde dua. Wujud umum dari persamaan kuadrat yaitu

dengan

Huruf-huruf a, b dan c dinamakan sebagai koefisien: koefisien kuadrat a yaitu koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana wujud parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibuat oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan mengakibatkan parabola buka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan mengakibatkan parabola buka ke bawah.
• b menentukan aturan posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibuat. Posisi tepatnya yaitu -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibuat dengan sumbu y atau masa x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan bermacam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat dan diperhatikan pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipergunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud ada wujud

Rumus ini dipergunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam wujud

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang sudah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat dan diperhatikan pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari wujud umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa dipergunakan di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang dinamakan sebagai diskriminan atau juga sering dinamakan determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat ada hanya suatu akar atau dua buah akar yang berlainan, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berwujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Bila diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berlainan yang kedua-duanya yaitu bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan yaitu suatu kuadrat sempurna, karenanya akar-akarnya yaitu bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula yaitu bilangan irrasional kuadrat.

• Bila diskriminan berharga nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud yaitu bilangan riil. Hal ini kadang dinamakan sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Bila diskriminan berharga negatif, tak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain yaitu konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berlainan, bila dan hanya bila diskriminan berharga tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, bila dan hanya bila diskriminan berharga tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat ada suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berlainan, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipergunakan apabila dimohon untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berlangsung, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong antara kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x yaitu bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

yaitu juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

disebabkan akar-akar tersebut yaitu nilai

Bila a, b, dan c yaitu bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa bila diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), bila berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan bila berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 6

Persamaan kuadrat yaitu suatu persamaan polinomial berorde dua. Wujud umum dari persamaan kuadrat yaitu

dengan

Huruf-huruf a, b dan c dinamakan sebagai koefisien: koefisien kuadrat a yaitu koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana wujud parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibuat oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan mengakibatkan parabola buka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan mengakibatkan parabola buka ke bawah.
• b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibuat. Posisi tepatnya yaitu -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibuat dengan sumbu y atau masa x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan bermacam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipergunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud ada wujud

Rumus ini dipergunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam wujud

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang sudah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari wujud umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa dipergunakan di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang dinamakan sebagai diskriminan atau juga sering dinamakan determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat ada hanya suatu akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat ada wujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Bila diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya yaitu bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan yaitu suatu kuadrat sempurna, karenanya akar-akarnya yaitu bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula yaitu bilangan irrasional kuadrat.

• Bila diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud yaitu bilangan riil. Hal ini kadang dinamakan sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Bila diskriminan bernilai negatif, tak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain yaitu konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat ada suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipergunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berjalan, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong antara kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x yaitu bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

yaitu juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

disebabkan akar-akar tersebut yaitu nilai

Bila a, b, dan c yaitu bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa bila diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), bila berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan bila berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 7

Persamaan kuadrat yaitu suatu persamaan polinomial berorde dua. Wujud umum dari persamaan kuadrat yaitu

dengan

Huruf-huruf a, b dan c dinamakan sebagai koefisien: koefisien kuadrat a yaitu koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana wujud parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang diproduksi oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan mengakibatkan parabola buka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan mengakibatkan parabola buka ke bawah.
• b menentukan lebih kurang posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang diproduksi. Posisi tepatnya yaitu -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang diproduksi dengan sumbu y atau masa x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan bermacam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipergunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud ada wujud

Rumus ini dipergunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam wujud

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang sudah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari wujud umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa dipergunakan di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang dinamakan sebagai diskriminan atau juga sering dinamakan determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat ada hanya suatu akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat ada wujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Bila diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya yaitu bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan yaitu suatu kuadrat sempurna, karenanya akar-akarnya yaitu bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula yaitu bilangan irrasional kuadrat.

• Bila diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud yaitu bilangan riil. Hal ini kadang dinamakan sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Bila diskriminan bernilai negatif, tak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain yaitu konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat ada suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipergunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berlangsung, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong antara kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x yaitu bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

yaitu juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

disebabkan akar-akar tersebut yaitu nilai

Bila a, b, dan c yaitu bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa bila diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), bila berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan bila berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 8

Persamaan kuadrat yaitu suatu persamaan polinomial berorde dua. Wujud umum dari persamaan kuadrat yaitu

dengan

Huruf-huruf a, b dan c dinamakan sebagai koefisien: koefisien kuadrat a yaitu koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana wujud parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang diproduksi oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan mengakibatkan parabola buka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan mengakibatkan parabola buka ke bawah.
• b menentukan lebih kurang posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang diproduksi. Posisi tepatnya yaitu -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang diproduksi dengan sumbu y atau masa x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan bermacam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipergunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud ada wujud

Rumus ini dipergunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam wujud

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang sudah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari wujud umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa dipergunakan di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang dinamakan sebagai diskriminan atau juga sering dinamakan determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat ada hanya suatu akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat ada wujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Bila diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya yaitu bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan yaitu suatu kuadrat sempurna, karenanya akar-akarnya yaitu bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula yaitu bilangan irrasional kuadrat.

• Bila diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud yaitu bilangan riil. Hal ini kadang dinamakan sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Bila diskriminan bernilai negatif, tak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain yaitu konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat ada suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipergunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berlangsung, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong antara kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x yaitu bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

yaitu juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

disebabkan akar-akar tersebut yaitu nilai

Bila a, b, dan c yaitu bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa bila diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), bila berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan bila berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 9

Persamaan kuadrat yaitu suatu persamaan polinomial berorde dua. Wujud umum dari persamaan kuadrat yaitu

dengan

Huruf-huruf a, b dan c dinamakan sebagai koefisien: koefisien kuadrat a yaitu koefisien dari

Guna nilai a, b, dan c

Variasi nilai a

Variasi nilai b

Variasi nilai c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana wujud parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

• a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibuat oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan mengakibatkan parabola buka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan mengakibatkan parabola buka ke bawah.
• b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibuat. Posisi tepatnya yaitu -b/2a.
• c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibuat dengan sumbu y atau masa x = 0.

Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan bermacam variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di di atas.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena dipergunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud ada wujud

Rumus ini dipergunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam wujud

dapat dituliskan menjadi

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang sudah umum dikenal, yaitu

dan

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari wujud umum persamaan kuadrat,

untuk kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa dipergunakan di ruas kiri.

Pindahkan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan

sehingga didapat rumus kuadrat

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang dinamakan sebagai diskriminan atau juga sering dinamakan determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat ada hanya suatu akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat ada wujud bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

• Bila diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya yaitu bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan yaitu suatu kuadrat sempurna, karenanya akar-akarnya yaitu bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula yaitu bilangan irrasional kuadrat.

• Bila diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud yaitu bilangan riil. Hal ini kadang dinamakan sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

• Bila diskriminan bernilai negatif, tak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain yaitu konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, bila dan hanya bila diskriminan bernilai tak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat ada suatu akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat dipergunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (

Intepretasi yang sama pun berjalan, yaitu bila:

• diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara
  
  dan
  
  ,
• diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
  
  dan
  
  , dan
• diskriminan negatif, tak terdapat titik potong antara kedua kurva,
  
  dan
  
  .

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

dengan

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:
f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x yaitu bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

yaitu juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

disebabkan akar-akar tersebut yaitu nilai

Bila a, b, dan c yaitu bilangan riil, dan domain dari

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa bila diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), bila berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan bila berharga negatif, kurva tak akan menyentuh sumbu-x.

Lihat pula

Pranala luar

Persamaan kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat

Page 10

Termodinamika
Mesin panas klasik Carnot

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan situasi yaitu persamaan termodinamika yang menggambarkan situasi materi di bawah seperangkat kondisi fisika. Persamaan situasi yaitu suatu persamaan konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih fungsi situasi yang bertalian dengan materi, seperti temperatur, tekanan, volume dan energi dalam. Persamaan situasi berfaedah dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, campuran fluida, padatan, dan bahkan babak dalam bintang.

Penggunaan paling umum dari suatu persamaan situasi yaitu dalam memprediksi situasi gas dan cairan. Salah satu persamaan situasi paling sederhana dalam penggunaan ini yaitu hukum gas ideal, yang cukup akurat dalam memprediksi situasi gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tak akurat pada tekanan yang makin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. Namun, sebanyak persamaan situasi yang lebih akurat sudah dikembangkan untuk bermacam jenis gas dan cairan. Masa ini, tak ada persamaan situasi tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat seluruh zat pada seluruh kondisi.

Selain memprediksi afal gas dan cairan, terdapat juga beberapa persamaan situasi dalam memperkirakan volume padatan, termasuk transisi padatan dari satu situasi kristal ke situasi kristal lainnya. Terdapat juga persamaan-persamaan yang memodelkan babak dalam bintang, termasuk bintang netron. Pemikiran yang juga bertalian yaitu tentang fluida sempurna di dalam persamaan situasi yang dipergunakan di dalam kosmologi.

Sejarah

Hukum Boyle (1662)

Hukum Boyle mungkin yaitu pernyataan paling awal dari persamaan situasi. Pada 1662, fisikawan dan kimiawan ternama Irlandia, Robert Boyle, memainkan serangkaian percobaan memakai tabung gelas bentuk-J yang ujung babak pendeknya tertutup. Cairan raksa ditambahkan ke dalam tabung, memerangkap sebanyak tetap gas di ujung tabung yang pendek dan tertutup. Akhir perubahan volume gas diukur dengan teliti seiring ditambahkannya cairan raksa sedikit demi sedikit ke dalam tabung. Tekanan gas akhir dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan ketinggian cairan raksa di babak pendek tabung yang tertutup dan babak panjang tabung yang buka. Menempuh percobaan ini, Boyle mencatat bahwa perubahan volume gas berbanding terbalik dengan tekanan. Wujud matematikanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Persamaan di atas juga dapat dihubungkan dengan Edme Mariotte dan kadang dinamakan sebagai Hukum Mariotte. Namun pekerjaan Mariotte tak dipublikasikan sampai tahun 1676.

Hukum Charles atau Hukum Charles dan Gay-Lussac (1787)

Pada 1787, fisikawan Perancis, Jacques Charles menemukan bahwa oksigen, nitrogen, hidrogen, karbon dioksida, dan udara memuai ke tingkat yang sama pada interval temperatur yang sama, pada lebih dari 80 kelvin. Kemudian, pada 1802, Joseph Louis Gay-Lussac mempublikasikan hasil percobaan yang sama, mengindikasikan keadaan hubungan linear antara volume dan temperatur:

Hukum tekanan parsial Dalton (1801)

Hukum Tekanan Parsial Dalton: Tekanan suatu campuran gas yaitu sama dengan jumlah tekanan masing-masing gas penyusunnya.

Secara matematik, hal ini dapat direpresentasikan untuk n jenis gas, berlaku:

Hukum gas ideal (1834)

Pada 1834 Émile Clapeyron menggabungkan Hukum Boyle dan Hukum Charles ke dalam pernyataan pertama hukum gas ideal. Awalnya hukum tersebut dirumuskan sebagai pVm=R(TC+267) (dengan temperatur dinyatakan dalam derajat Celsius). Namun, pekerjaan lanjutan mengungkapkan bahwa angka tersebut sebenarnya mendekati 273,2, dan skala Celsius dirumuskan dengan 0 °C = 273,15 K, memberikan:

Persamaan situasi Van der Waals

Pada 1873, J. D. van der Waals memperkenalkan persamaan situasi pertama yang diturunkan dengan asumsi suatu volume terbatas yang direbut oleh molekul gas penyusun.[1] Persamaan baru tersebut merevolusi studi tentang persamaan situasi, dan makin dikenalkan menempuh persamaan situasi Redlich-Kwong dan modifikasi Soave pada Redlich-Kwong.

Contoh-contoh persamaan situasi

Pada persamaan-persamaan di bawah ini, variabel-variabel dirumuskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal klasik

Hukum gas ideal klasik dapat dituliskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal dapat juga diekspresikan sebagai berikut:

dimana

Persamaan situasi Van der Waals

. Persamaan situasi van der Waals

Gas yang mengikuti hukum Boyle dan hukum Charles, yakni hukum gas ideal (persamaan (6.5)), dinamakan gas ideal. Namun, didapatkan, bahwa gas yang kita jumpai, yakni gas nyata, tak secara sempit mengikuti hukum gas ideal. Semakin rendah tekanan gas pada temperatur tetap, semakin kecil deviasinya dari perilaku ideal. Semakin tinggi tekanan gas, atau dengan kata lain, semakin kecil jarak intermolekulnya, semakin agung deviasinya.

Paling tak ada dua argumen yang menjelaskan hal ini. Peratama, ciri utama temperatur absolut didasarkan asumsi bahwa volume gas real sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Molekul gas pasti ada volume nyata walaupun mungkin sangat kecil. Selain itu, ketika jarak antarmolekul semakin kecil, beberapa jenis interaksi antarmolekul akan muncul.

Fisikawan Belanda Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) mengusulkan persamaan situasi gas nyata, yang dinyatakan sebagai persamaan situasi van der Waals atau persamaan van der Waals. Beliau memodifikasi persamaan gas ideal (persamaaan 6.5) dengan cara sebagai berikut: dengan menambahkan koreksi pada P untuk mengkompensasi interaksi antarmolekul; mengurango dari suku V yang menjelaskan volume real molekul gas. Sehingga didapat:

[P + (n2a/V2)] (V – nb) = nRT (6.12)

a dan b yaitu nilai yang ditentukan secara eksperimen untuk setiap gas dan dinamakan dengan tetapan van der Waals (Tabel 6.1). Semakin kecil nilai a dan b menunjukkan bahwa perilaku gas semakin mendekati perilaku gas ideal. Agungnya nilai tetapan ini juga berhbungan denagn kemudahan gas tersebut dicairkan.

Suatu sampel 10,0 mol karbon dioksida diberi inti dalam wadah 20 dm3 dan diuapkan pada temperatur 47 °C. Hitung tekanan karbon dioksida (a) sebagai gas ideal dan (b) sebagai gas nyata. Nilai hasil percobaan yaitu 82 atm. Bandingkan dengan nilai yang Anda dapat.

Jawab: Tekanan menurut anggapan gas ideal dan gas nyata yaitu sbb:

P = nRT/V = [10,0 (mol) 0,082(dm3 atm mol-1 K-1) 320(K)]/(2,0 dm3) = 131 atm

Nilai yang didapatkan dengan memakai persamaan 6.11 yaitu 82 atm yang identik dengan hasil percobaan.

Hasil ini nampaknya menunjukkan bahwa gas polar semacam karbon dioksida tak akan berperilaku ideal pada tekanan tinggi.

Catatan kaki

1. ^ van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation). Universiteit Leiden. 

Page 11

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan keadaan adalah persamaan termodinamika yang menggambarkan keadaan materi di bawah seperangkat kondisi fisika. Persamaan keadaan adalah sebuah persamaan konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih fungsi keadaan yang bertalian dengan materi, seperti temperatur, tekanan, volume dan energi dalam. Persamaan keadaan berfaedah dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, campuran fluida, padatan, dan bahkan babak dalam bintang.

Penggunaan paling umum dari sebuah persamaan keadaan adalah dalam memprediksi keadaan gas dan cairan. Salah satu persamaan keadaan paling sederhana dalam penggunaan ini adalah hukum gas ideal, yang cukup akurat dalam memprediksi keadaan gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tak akurat pada tekanan yang makin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. Namun, sebanyak persamaan keadaan yang lebih akurat sudah dikembangkan untuk bermacam jenis gas dan cairan. Masa ini, tak ada persamaan keadaan tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat seluruh zat pada seluruh kondisi.

Selain memprediksi afal gas dan cairan, terdapat juga beberapa persamaan keadaan dalam memperkirakan volume padatan, termasuk transisi padatan dari satu keadaan kristal ke keadaan kristal lainnya. Terdapat juga persamaan-persamaan yang memodelkan babak dalam bintang, termasuk bintang netron. Pemikiran yang juga bertalian adalah tentang fluida sempurna di dalam persamaan keadaan yang dipergunakan di dalam kosmologi.

Sejarah

Hukum Boyle (1662)

Hukum Boyle mungkin adalah pernyataan paling awal dari persamaan keadaan. Pada 1662, fisikawan dan kimiawan ternama Irlandia, Robert Boyle, menerapkan serangkaian percobaan memakai tabung gelas bentuk-J yang ujung babak pendeknya tertutup. Cairan raksa ditambahkan ke dalam tabung, memerangkap sebanyak tetap gas di ujung tabung yang pendek dan tertutup. Akhir perubahan volume gas diukur dengan teliti seiring ditambahkannya cairan raksa sedikit demi sedikit ke dalam tabung. Tekanan gas akhir dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan ketinggian cairan raksa di babak pendek tabung yang tertutup dan babak panjang tabung yang buka. Menempuh percobaan ini, Boyle mencatat bahwa perubahan volume gas berbanding terbalik dengan tekanan. Wujud matematikanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Persamaan di atas juga dapat dihubungkan dengan Edme Mariotte dan kadang dinamakan sebagai Hukum Mariotte. Namun pekerjaan Mariotte tak dipublikasikan sampai tahun 1676.

Hukum Charles atau Hukum Charles dan Gay-Lussac (1787)

Pada 1787, fisikawan Perancis, Jacques Charles menemukan bahwa oksigen, nitrogen, hidrogen, karbon dioksida, dan udara memuai ke tingkat yang sama pada interval temperatur yang sama, pada lebih dari 80 kelvin. Kemudian, pada 1802, Joseph Louis Gay-Lussac mempublikasikan hasil percobaan yang sama, mengindikasikan keadaan hubungan linear antara volume dan temperatur:

Hukum tekanan parsial Dalton (1801)

Hukum Tekanan Parsial Dalton: Tekanan sebuah campuran gas adalah sama dengan jumlah tekanan masing-masing gas penyusunnya.

Secara matematik, hal ini dapat direpresentasikan untuk n jenis gas, berlaku:

Hukum gas ideal (1834)

Pada 1834 Émile Clapeyron menggabungkan Hukum Boyle dan Hukum Charles ke dalam pernyataan pertama hukum gas ideal. Awalnya hukum tersebut dirumuskan sebagai pVm=R(TC+267) (dengan temperatur dinyatakan dalam derajat Celsius). Namun, pekerjaan lanjutan mengungkapkan bahwa angka tersebut sebenarnya mendekati 273,2, dan skala Celsius dirumuskan dengan 0 °C = 273,15 K, memberikan:

Persamaan keadaan Van der Waals

Pada 1873, J. D. van der Waals memperkenalkan persamaan keadaan pertama yang diturunkan dengan asumsi sebuah volume terbatas yang direbut oleh molekul gas penyusun.[1] Persamaan baru tersebut merevolusi studi tentang persamaan keadaan, dan makin dikenalkan menempuh persamaan keadaan Redlich-Kwong dan modifikasi Soave pada Redlich-Kwong.

Contoh-contoh persamaan keadaan

Pada persamaan-persamaan di bawah ini, variabel-variabel dirumuskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal klasik

Hukum gas ideal klasik dapat dituliskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal dapat juga diekspresikan sebagai berikut:

dimana

Persamaan keadaan Van der Waals

. Persamaan keadaan van der Waals

Gas yang mengikuti hukum Boyle dan hukum Charles, yakni hukum gas ideal (persamaan (6.5)), dinamakan gas ideal. Namun, didapatkan, bahwa gas yang kita jumpai, yakni gas nyata, tak secara sempit mengikuti hukum gas ideal. Semakin rendah tekanan gas pada temperatur tetap, semakin kecil deviasinya dari perilaku ideal. Semakin tinggi tekanan gas, atau dengan kata lain, semakin kecil jarak intermolekulnya, semakin agung deviasinya.

Paling tak ada dua argumen yang menjelaskan hal ini. Peratama, ciri utama temperatur absolut didasarkan asumsi bahwa volume gas real sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Molekul gas pasti ada volume nyata walaupun mungkin sangat kecil. Selain itu, ketika jarak antarmolekul semakin kecil, beberapa jenis interaksi antarmolekul akan muncul.

Fisikawan Belanda Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) mengusulkan persamaan keadaan gas nyata, yang dinyatakan sebagai persamaan keadaan van der Waals atau persamaan van der Waals. Beliau memodifikasi persamaan gas ideal (persamaaan 6.5) dengan cara sebagai berikut: dengan menambahkan koreksi pada P untuk mengkompensasi interaksi antarmolekul; mengurango dari suku V yang menjelaskan volume real molekul gas. Sehingga didapat:

[P + (n2a/V2)] (V – nb) = nRT (6.12)

a dan b adalah nilai yang ditentukan secara eksperimen untuk setiap gas dan dinamakan dengan tetapan van der Waals (Tabel 6.1). Semakin kecil nilai a dan b menunjukkan bahwa perilaku gas semakin mendekati perilaku gas ideal. Agungnya nilai tetapan ini juga berhbungan denagn kemudahan gas tersebut dicairkan.

Suatu sampel 10,0 mol karbon dioksida diberi inti dalam wadah 20 dm3 dan diuapkan pada temperatur 47 °C. Hitung tekanan karbon dioksida (a) sebagai gas ideal dan (b) sebagai gas nyata. Nilai hasil percobaan adalah 82 atm. Bandingkan dengan nilai yang Anda dapat.

Jawab: Tekanan menurut anggapan gas ideal dan gas nyata adalah sbb:

P = nRT/V = [10,0 (mol) 0,082(dm3 atm mol-1 K-1) 320(K)]/(2,0 dm3) = 131 atm

Nilai yang didapatkan dengan memakai persamaan 6.11 adalah 82 atm yang identik dengan hasil percobaan.

Hasil ini nampaknya menunjukkan bahwa gas polar semacam karbon dioksida tak akan berperilaku ideal pada tekanan tinggi.

Catatan kaki

1. ^ van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation). Universiteit Leiden. 

Page 12

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan keadaan adalah persamaan termodinamika yang menggambarkan keadaan materi di bawah seperangkat kondisi fisika. Persamaan keadaan adalah sebuah persamaan konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih fungsi keadaan yang bertalian dengan materi, seperti temperatur, tekanan, volume dan energi dalam. Persamaan keadaan berfaedah dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, campuran fluida, padatan, dan bahkan babak dalam bintang.

Penggunaan paling umum dari sebuah persamaan keadaan adalah dalam memprediksi keadaan gas dan cairan. Salah satu persamaan keadaan paling sederhana dalam penggunaan ini adalah hukum gas ideal, yang cukup akurat dalam memprediksi keadaan gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tak akurat pada tekanan yang makin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. Namun, sebanyak persamaan keadaan yang lebih akurat sudah dikembangkan untuk bermacam jenis gas dan cairan. Masa ini, tak ada persamaan keadaan tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat seluruh zat pada seluruh kondisi.

Selain memprediksi afal gas dan cairan, terdapat juga beberapa persamaan keadaan dalam memperkirakan volume padatan, termasuk transisi padatan dari satu keadaan kristal ke keadaan kristal lainnya. Terdapat juga persamaan-persamaan yang memodelkan babak dalam bintang, termasuk bintang netron. Pemikiran yang juga bertalian adalah tentang fluida sempurna di dalam persamaan keadaan yang dipergunakan di dalam kosmologi.

Sejarah

Hukum Boyle (1662)

Hukum Boyle mungkin adalah pernyataan paling awal dari persamaan keadaan. Pada 1662, fisikawan dan kimiawan ternama Irlandia, Robert Boyle, menerapkan serangkaian percobaan memakai tabung gelas bentuk-J yang ujung babak pendeknya tertutup. Cairan raksa ditambahkan ke dalam tabung, memerangkap sebanyak tetap gas di ujung tabung yang pendek dan tertutup. Akhir perubahan volume gas diukur dengan teliti seiring ditambahkannya cairan raksa sedikit demi sedikit ke dalam tabung. Tekanan gas akhir dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan ketinggian cairan raksa di babak pendek tabung yang tertutup dan babak panjang tabung yang buka. Menempuh percobaan ini, Boyle mencatat bahwa perubahan volume gas berbanding terbalik dengan tekanan. Wujud matematikanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Persamaan di atas juga dapat dihubungkan dengan Edme Mariotte dan kadang dinamakan sebagai Hukum Mariotte. Namun pekerjaan Mariotte tak dipublikasikan sampai tahun 1676.

Hukum Charles atau Hukum Charles dan Gay-Lussac (1787)

Pada 1787, fisikawan Perancis, Jacques Charles menemukan bahwa oksigen, nitrogen, hidrogen, karbon dioksida, dan udara memuai ke tingkat yang sama pada interval temperatur yang sama, pada lebih dari 80 kelvin. Kemudian, pada 1802, Joseph Louis Gay-Lussac mempublikasikan hasil percobaan yang sama, mengindikasikan keadaan hubungan linear antara volume dan temperatur:

Hukum tekanan parsial Dalton (1801)

Hukum Tekanan Parsial Dalton: Tekanan sebuah campuran gas adalah sama dengan jumlah tekanan masing-masing gas penyusunnya.

Secara matematik, hal ini dapat direpresentasikan untuk n jenis gas, berlaku:

Hukum gas ideal (1834)

Pada 1834 Émile Clapeyron menggabungkan Hukum Boyle dan Hukum Charles ke dalam pernyataan pertama hukum gas ideal. Awalnya hukum tersebut dirumuskan sebagai pVm=R(TC+267) (dengan temperatur dinyatakan dalam derajat Celsius). Namun, pekerjaan lanjutan mengungkapkan bahwa angka tersebut sebenarnya mendekati 273,2, dan skala Celsius dirumuskan dengan 0 °C = 273,15 K, memberikan:

Persamaan keadaan Van der Waals

Pada 1873, J. D. van der Waals memperkenalkan persamaan keadaan pertama yang diturunkan dengan asumsi sebuah volume terbatas yang direbut oleh molekul gas penyusun.[1] Persamaan baru tersebut merevolusi studi tentang persamaan keadaan, dan makin dikenalkan menempuh persamaan keadaan Redlich-Kwong dan modifikasi Soave pada Redlich-Kwong.

Contoh-contoh persamaan keadaan

Pada persamaan-persamaan di bawah ini, variabel-variabel dirumuskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal klasik

Hukum gas ideal klasik dapat dituliskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal dapat juga diekspresikan sebagai berikut:

dimana

Persamaan keadaan Van der Waals

. Persamaan keadaan van der Waals

Gas yang mengikuti hukum Boyle dan hukum Charles, yakni hukum gas ideal (persamaan (6.5)), dinamakan gas ideal. Namun, didapatkan, bahwa gas yang kita jumpai, yakni gas nyata, tak secara sempit mengikuti hukum gas ideal. Semakin rendah tekanan gas pada temperatur tetap, semakin kecil deviasinya dari perilaku ideal. Semakin tinggi tekanan gas, atau dengan kata lain, semakin kecil jarak intermolekulnya, semakin agung deviasinya.

Paling tak ada dua argumen yang menjelaskan hal ini. Peratama, ciri utama temperatur absolut didasarkan asumsi bahwa volume gas real sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Molekul gas pasti ada volume nyata walaupun mungkin sangat kecil. Selain itu, ketika jarak antarmolekul semakin kecil, beberapa jenis interaksi antarmolekul akan muncul.

Fisikawan Belanda Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) mengusulkan persamaan keadaan gas nyata, yang dinyatakan sebagai persamaan keadaan van der Waals atau persamaan van der Waals. Beliau memodifikasi persamaan gas ideal (persamaaan 6.5) dengan cara sebagai berikut: dengan menambahkan koreksi pada P untuk mengkompensasi interaksi antarmolekul; mengurango dari suku V yang menjelaskan volume real molekul gas. Sehingga didapat:

[P + (n2a/V2)] (V – nb) = nRT (6.12)

a dan b adalah nilai yang ditentukan secara eksperimen untuk setiap gas dan dinamakan dengan tetapan van der Waals (Tabel 6.1). Semakin kecil nilai a dan b menunjukkan bahwa perilaku gas semakin mendekati perilaku gas ideal. Agungnya nilai tetapan ini juga berhbungan denagn kemudahan gas tersebut dicairkan.

Suatu sampel 10,0 mol karbon dioksida diberi inti dalam wadah 20 dm3 dan diuapkan pada temperatur 47 °C. Hitung tekanan karbon dioksida (a) sebagai gas ideal dan (b) sebagai gas nyata. Nilai hasil percobaan adalah 82 atm. Bandingkan dengan nilai yang Anda dapat.

Jawab: Tekanan menurut anggapan gas ideal dan gas nyata adalah sbb:

P = nRT/V = [10,0 (mol) 0,082(dm3 atm mol-1 K-1) 320(K)]/(2,0 dm3) = 131 atm

Nilai yang didapatkan dengan memakai persamaan 6.11 adalah 82 atm yang identik dengan hasil percobaan.

Hasil ini nampaknya menunjukkan bahwa gas polar semacam karbon dioksida tak akan berperilaku ideal pada tekanan tinggi.

Catatan kaki

1. ^ van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation). Universiteit Leiden. 

Page 13

Termodinamika
Mesin panas klasik Carnot

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan situasi yaitu persamaan termodinamika yang menggambarkan situasi materi di bawah seperangkat kondisi fisika. Persamaan situasi yaitu suatu persamaan konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih fungsi situasi yang bertalian dengan materi, seperti temperatur, tekanan, volume dan energi dalam. Persamaan situasi berfaedah dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, campuran fluida, padatan, dan bahkan babak dalam bintang.

Penggunaan paling umum dari suatu persamaan situasi yaitu dalam memprediksi situasi gas dan cairan. Salah satu persamaan situasi paling sederhana dalam penggunaan ini yaitu hukum gas ideal, yang cukup akurat dalam memprediksi situasi gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tak akurat pada tekanan yang makin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. Namun, sebanyak persamaan situasi yang lebih akurat sudah dikembangkan untuk bermacam jenis gas dan cairan. Masa ini, tak ada persamaan situasi tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat seluruh zat pada seluruh kondisi.

Selain memprediksi afal gas dan cairan, terdapat juga beberapa persamaan situasi dalam memperkirakan volume padatan, termasuk transisi padatan dari satu situasi kristal ke situasi kristal lainnya. Terdapat juga persamaan-persamaan yang memodelkan babak dalam bintang, termasuk bintang netron. Pemikiran yang juga bertalian yaitu tentang fluida sempurna di dalam persamaan situasi yang dipergunakan di dalam kosmologi.

Sejarah

Hukum Boyle (1662)

Hukum Boyle mungkin yaitu pernyataan paling awal dari persamaan situasi. Pada 1662, fisikawan dan kimiawan ternama Irlandia, Robert Boyle, memainkan serangkaian percobaan memakai tabung gelas bentuk-J yang ujung babak pendeknya tertutup. Cairan raksa ditambahkan ke dalam tabung, memerangkap sebanyak tetap gas di ujung tabung yang pendek dan tertutup. Akhir perubahan volume gas diukur dengan teliti seiring ditambahkannya cairan raksa sedikit demi sedikit ke dalam tabung. Tekanan gas akhir dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan ketinggian cairan raksa di babak pendek tabung yang tertutup dan babak panjang tabung yang buka. Menempuh percobaan ini, Boyle mencatat bahwa perubahan volume gas berbanding terbalik dengan tekanan. Wujud matematikanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Persamaan di atas juga dapat dihubungkan dengan Edme Mariotte dan kadang dinamakan sebagai Hukum Mariotte. Namun pekerjaan Mariotte tak dipublikasikan sampai tahun 1676.

Hukum Charles atau Hukum Charles dan Gay-Lussac (1787)

Pada 1787, fisikawan Perancis, Jacques Charles menemukan bahwa oksigen, nitrogen, hidrogen, karbon dioksida, dan udara memuai ke tingkat yang sama pada interval temperatur yang sama, pada lebih dari 80 kelvin. Kemudian, pada 1802, Joseph Louis Gay-Lussac mempublikasikan hasil percobaan yang sama, mengindikasikan keadaan hubungan linear antara volume dan temperatur:

Hukum tekanan parsial Dalton (1801)

Hukum Tekanan Parsial Dalton: Tekanan suatu campuran gas yaitu sama dengan jumlah tekanan masing-masing gas penyusunnya.

Secara matematik, hal ini dapat direpresentasikan untuk n jenis gas, berlaku:

Hukum gas ideal (1834)

Pada 1834 Émile Clapeyron menggabungkan Hukum Boyle dan Hukum Charles ke dalam pernyataan pertama hukum gas ideal. Awalnya hukum tersebut dirumuskan sebagai pVm=R(TC+267) (dengan temperatur dinyatakan dalam derajat Celsius). Namun, pekerjaan lanjutan mengungkapkan bahwa angka tersebut sebenarnya mendekati 273,2, dan skala Celsius dirumuskan dengan 0 °C = 273,15 K, memberikan:

Persamaan situasi Van der Waals

Pada 1873, J. D. van der Waals memperkenalkan persamaan situasi pertama yang diturunkan dengan asumsi suatu volume terbatas yang direbut oleh molekul gas penyusun.[1] Persamaan baru tersebut merevolusi studi tentang persamaan situasi, dan makin dikenalkan menempuh persamaan situasi Redlich-Kwong dan modifikasi Soave pada Redlich-Kwong.

Contoh-contoh persamaan situasi

Pada persamaan-persamaan di bawah ini, variabel-variabel dirumuskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal klasik

Hukum gas ideal klasik dapat dituliskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal dapat juga diekspresikan sebagai berikut:

dimana

Persamaan situasi Van der Waals

. Persamaan situasi van der Waals

Gas yang mengikuti hukum Boyle dan hukum Charles, yakni hukum gas ideal (persamaan (6.5)), dinamakan gas ideal. Namun, didapatkan, bahwa gas yang kita jumpai, yakni gas nyata, tak secara sempit mengikuti hukum gas ideal. Semakin rendah tekanan gas pada temperatur tetap, semakin kecil deviasinya dari perilaku ideal. Semakin tinggi tekanan gas, atau dengan kata lain, semakin kecil jarak intermolekulnya, semakin agung deviasinya.

Paling tak ada dua argumen yang menjelaskan hal ini. Peratama, ciri utama temperatur absolut didasarkan asumsi bahwa volume gas real sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Molekul gas pasti ada volume nyata walaupun mungkin sangat kecil. Selain itu, ketika jarak antarmolekul semakin kecil, beberapa jenis interaksi antarmolekul akan muncul.

Fisikawan Belanda Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) mengusulkan persamaan situasi gas nyata, yang dinyatakan sebagai persamaan situasi van der Waals atau persamaan van der Waals. Beliau memodifikasi persamaan gas ideal (persamaaan 6.5) dengan cara sebagai berikut: dengan menambahkan koreksi pada P untuk mengkompensasi interaksi antarmolekul; mengurango dari suku V yang menjelaskan volume real molekul gas. Sehingga didapat:

[P + (n2a/V2)] (V – nb) = nRT (6.12)

a dan b yaitu nilai yang ditentukan secara eksperimen untuk setiap gas dan dinamakan dengan tetapan van der Waals (Tabel 6.1). Semakin kecil nilai a dan b menunjukkan bahwa perilaku gas semakin mendekati perilaku gas ideal. Agungnya nilai tetapan ini juga berhbungan denagn kemudahan gas tersebut dicairkan.

Suatu sampel 10,0 mol karbon dioksida diberi inti dalam wadah 20 dm3 dan diuapkan pada temperatur 47 °C. Hitung tekanan karbon dioksida (a) sebagai gas ideal dan (b) sebagai gas nyata. Nilai hasil percobaan yaitu 82 atm. Bandingkan dengan nilai yang Anda dapat.

Jawab: Tekanan menurut anggapan gas ideal dan gas nyata yaitu sbb:

P = nRT/V = [10,0 (mol) 0,082(dm3 atm mol-1 K-1) 320(K)]/(2,0 dm3) = 131 atm

Nilai yang didapatkan dengan memakai persamaan 6.11 yaitu 82 atm yang identik dengan hasil percobaan.

Hasil ini nampaknya menunjukkan bahwa gas polar semacam karbon dioksida tak akan berperilaku ideal pada tekanan tinggi.

Catatan kaki

1. ^ van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation). Universiteit Leiden. 

Page 14

Termodinamika
Mesin panas klasik Carnot

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan situasi yaitu persamaan termodinamika yang menggambarkan situasi materi di bawah seperangkat kondisi fisika. Persamaan situasi yaitu suatu persamaan konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih fungsi situasi yang bertalian dengan materi, seperti temperatur, tekanan, volume dan energi dalam. Persamaan situasi berfaedah dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, campuran fluida, padatan, dan bahkan babak dalam bintang.

Penggunaan paling umum dari suatu persamaan situasi yaitu dalam memprediksi situasi gas dan cairan. Salah satu persamaan situasi paling sederhana dalam penggunaan ini yaitu hukum gas ideal, yang cukup akurat dalam memprediksi situasi gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tak akurat pada tekanan yang makin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. Namun, sebanyak persamaan situasi yang lebih akurat sudah dikembangkan untuk bermacam jenis gas dan cairan. Masa ini, tak ada persamaan situasi tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat seluruh zat pada seluruh kondisi.

Selain memprediksi afal gas dan cairan, terdapat juga beberapa persamaan situasi dalam memperkirakan volume padatan, termasuk transisi padatan dari satu situasi kristal ke situasi kristal lainnya. Terdapat juga persamaan-persamaan yang memodelkan babak dalam bintang, termasuk bintang netron. Pemikiran yang juga bertalian yaitu tentang fluida sempurna di dalam persamaan situasi yang dipergunakan di dalam kosmologi.

Sejarah

Hukum Boyle (1662)

Hukum Boyle mungkin yaitu pernyataan paling awal dari persamaan situasi. Pada 1662, fisikawan dan kimiawan ternama Irlandia, Robert Boyle, memainkan serangkaian percobaan memakai tabung gelas bentuk-J yang ujung babak pendeknya tertutup. Cairan raksa ditambahkan ke dalam tabung, memerangkap sebanyak tetap gas di ujung tabung yang pendek dan tertutup. Akhir perubahan volume gas diukur dengan teliti seiring ditambahkannya cairan raksa sedikit demi sedikit ke dalam tabung. Tekanan gas akhir dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan ketinggian cairan raksa di babak pendek tabung yang tertutup dan babak panjang tabung yang buka. Menempuh percobaan ini, Boyle mencatat bahwa perubahan volume gas berbanding terbalik dengan tekanan. Wujud matematikanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Persamaan di atas juga dapat dihubungkan dengan Edme Mariotte dan kadang dinamakan sebagai Hukum Mariotte. Namun pekerjaan Mariotte tak dipublikasikan sampai tahun 1676.

Hukum Charles atau Hukum Charles dan Gay-Lussac (1787)

Pada 1787, fisikawan Perancis, Jacques Charles menemukan bahwa oksigen, nitrogen, hidrogen, karbon dioksida, dan udara memuai ke tingkat yang sama pada interval temperatur yang sama, pada lebih dari 80 kelvin. Kemudian, pada 1802, Joseph Louis Gay-Lussac mempublikasikan hasil percobaan yang sama, mengindikasikan keadaan hubungan linear antara volume dan temperatur:

Hukum tekanan parsial Dalton (1801)

Hukum Tekanan Parsial Dalton: Tekanan suatu campuran gas yaitu sama dengan jumlah tekanan masing-masing gas penyusunnya.

Secara matematik, hal ini dapat direpresentasikan untuk n jenis gas, berlaku:

Hukum gas ideal (1834)

Pada 1834 Émile Clapeyron menggabungkan Hukum Boyle dan Hukum Charles ke dalam pernyataan pertama hukum gas ideal. Awalnya hukum tersebut dirumuskan sebagai pVm=R(TC+267) (dengan temperatur dinyatakan dalam derajat Celsius). Namun, pekerjaan lanjutan mengungkapkan bahwa angka tersebut sebenarnya mendekati 273,2, dan skala Celsius dirumuskan dengan 0 °C = 273,15 K, memberikan:

Persamaan situasi Van der Waals

Pada 1873, J. D. van der Waals memperkenalkan persamaan situasi pertama yang diturunkan dengan asumsi suatu volume terbatas yang direbut oleh molekul gas penyusun.[1] Persamaan baru tersebut merevolusi studi tentang persamaan situasi, dan makin dikenalkan menempuh persamaan situasi Redlich-Kwong dan modifikasi Soave pada Redlich-Kwong.

Contoh-contoh persamaan situasi

Pada persamaan-persamaan di bawah ini, variabel-variabel dirumuskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal klasik

Hukum gas ideal klasik dapat dituliskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal dapat juga diekspresikan sebagai berikut:

dimana

Persamaan situasi Van der Waals

. Persamaan situasi van der Waals

Gas yang mengikuti hukum Boyle dan hukum Charles, yakni hukum gas ideal (persamaan (6.5)), dinamakan gas ideal. Namun, didapatkan, bahwa gas yang kita jumpai, yakni gas nyata, tak secara sempit mengikuti hukum gas ideal. Semakin rendah tekanan gas pada temperatur tetap, semakin kecil deviasinya dari perilaku ideal. Semakin tinggi tekanan gas, atau dengan kata lain, semakin kecil jarak intermolekulnya, semakin agung deviasinya.

Paling tak ada dua argumen yang menjelaskan hal ini. Peratama, ciri utama temperatur absolut didasarkan asumsi bahwa volume gas real sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Molekul gas pasti ada volume nyata walaupun mungkin sangat kecil. Selain itu, ketika jarak antarmolekul semakin kecil, beberapa jenis interaksi antarmolekul akan muncul.

Fisikawan Belanda Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) mengusulkan persamaan situasi gas nyata, yang dinyatakan sebagai persamaan situasi van der Waals atau persamaan van der Waals. Beliau memodifikasi persamaan gas ideal (persamaaan 6.5) dengan cara sebagai berikut: dengan menambahkan koreksi pada P untuk mengkompensasi interaksi antarmolekul; mengurango dari suku V yang menjelaskan volume real molekul gas. Sehingga didapat:

[P + (n2a/V2)] (V – nb) = nRT (6.12)

a dan b yaitu nilai yang ditentukan secara eksperimen untuk setiap gas dan dinamakan dengan tetapan van der Waals (Tabel 6.1). Semakin kecil nilai a dan b menunjukkan bahwa perilaku gas semakin mendekati perilaku gas ideal. Agungnya nilai tetapan ini juga berhbungan denagn kemudahan gas tersebut dicairkan.

Suatu sampel 10,0 mol karbon dioksida diberi inti dalam wadah 20 dm3 dan diuapkan pada temperatur 47 °C. Hitung tekanan karbon dioksida (a) sebagai gas ideal dan (b) sebagai gas nyata. Nilai hasil percobaan yaitu 82 atm. Bandingkan dengan nilai yang Anda dapat.

Jawab: Tekanan menurut anggapan gas ideal dan gas nyata yaitu sbb:

P = nRT/V = [10,0 (mol) 0,082(dm3 atm mol-1 K-1) 320(K)]/(2,0 dm3) = 131 atm

Nilai yang didapatkan dengan memakai persamaan 6.11 yaitu 82 atm yang identik dengan hasil percobaan.

Hasil ini nampaknya menunjukkan bahwa gas polar semacam karbon dioksida tak akan berperilaku ideal pada tekanan tinggi.

Catatan kaki

1. ^ van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation). Universiteit Leiden. 

Page 15

Termodinamika
Mesin panas klasik Carnot

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan situasi yaitu persamaan termodinamika yang menggambarkan situasi materi di bawah seperangkat kondisi fisika. Persamaan situasi yaitu suatu persamaan konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih fungsi situasi yang bertalian dengan materi, seperti temperatur, tekanan, volume dan energi dalam. Persamaan situasi berfaedah dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, campuran fluida, padatan, dan bahkan babak dalam bintang.

Penggunaan paling umum dari suatu persamaan situasi yaitu dalam memprediksi situasi gas dan cairan. Salah satu persamaan situasi paling sederhana dalam penggunaan ini yaitu hukum gas ideal, yang cukup akurat dalam memprediksi situasi gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tak akurat pada tekanan yang makin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. Namun, sebanyak persamaan situasi yang lebih akurat sudah dikembangkan untuk bermacam jenis gas dan cairan. Masa ini, tak ada persamaan situasi tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat seluruh zat pada seluruh kondisi.

Selain memprediksi afal gas dan cairan, terdapat juga beberapa persamaan situasi dalam memperkirakan volume padatan, termasuk transisi padatan dari satu situasi kristal ke situasi kristal lainnya. Terdapat juga persamaan-persamaan yang memodelkan babak dalam bintang, termasuk bintang netron. Pemikiran yang juga bertalian yaitu tentang fluida sempurna di dalam persamaan situasi yang dipergunakan di dalam kosmologi.

Sejarah

Hukum Boyle (1662)

Hukum Boyle mungkin yaitu pernyataan paling awal dari persamaan situasi. Pada 1662, fisikawan dan kimiawan ternama Irlandia, Robert Boyle, memainkan serangkaian percobaan memakai tabung gelas bentuk-J yang ujung babak pendeknya tertutup. Cairan raksa ditambahkan ke dalam tabung, memerangkap sebanyak tetap gas di ujung tabung yang pendek dan tertutup. Akhir perubahan volume gas diukur dengan teliti seiring ditambahkannya cairan raksa sedikit demi sedikit ke dalam tabung. Tekanan gas akhir dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan ketinggian cairan raksa di babak pendek tabung yang tertutup dan babak panjang tabung yang buka. Menempuh percobaan ini, Boyle mencatat bahwa perubahan volume gas berbanding terbalik dengan tekanan. Wujud matematikanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Persamaan di atas juga dapat dihubungkan dengan Edme Mariotte dan kadang dinamakan sebagai Hukum Mariotte. Namun pekerjaan Mariotte tak dipublikasikan sampai tahun 1676.

Hukum Charles atau Hukum Charles dan Gay-Lussac (1787)

Pada 1787, fisikawan Perancis, Jacques Charles menemukan bahwa oksigen, nitrogen, hidrogen, karbon dioksida, dan udara memuai ke tingkat yang sama pada interval temperatur yang sama, pada lebih dari 80 kelvin. Kemudian, pada 1802, Joseph Louis Gay-Lussac mempublikasikan hasil percobaan yang sama, mengindikasikan keadaan hubungan linear antara volume dan temperatur:

Hukum tekanan parsial Dalton (1801)

Hukum Tekanan Parsial Dalton: Tekanan suatu campuran gas yaitu sama dengan jumlah tekanan masing-masing gas penyusunnya.

Secara matematik, hal ini dapat direpresentasikan untuk n jenis gas, berlaku:

Hukum gas ideal (1834)

Pada 1834 Émile Clapeyron menggabungkan Hukum Boyle dan Hukum Charles ke dalam pernyataan pertama hukum gas ideal. Awalnya hukum tersebut dirumuskan sebagai pVm=R(TC+267) (dengan temperatur dinyatakan dalam derajat Celsius). Namun, pekerjaan lanjutan mengungkapkan bahwa angka tersebut sebenarnya mendekati 273,2, dan skala Celsius dirumuskan dengan 0 °C = 273,15 K, memberikan:

Persamaan situasi Van der Waals

Pada 1873, J. D. van der Waals memperkenalkan persamaan situasi pertama yang diturunkan dengan asumsi suatu volume terbatas yang direbut oleh molekul gas penyusun.[1] Persamaan baru tersebut merevolusi studi tentang persamaan situasi, dan makin dikenalkan menempuh persamaan situasi Redlich-Kwong dan modifikasi Soave pada Redlich-Kwong.

Contoh-contoh persamaan situasi

Pada persamaan-persamaan di bawah ini, variabel-variabel dirumuskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal klasik

Hukum gas ideal klasik dapat dituliskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal dapat juga diekspresikan sebagai berikut:

dimana

Persamaan situasi Van der Waals

. Persamaan situasi van der Waals

Gas yang mengikuti hukum Boyle dan hukum Charles, yakni hukum gas ideal (persamaan (6.5)), dinamakan gas ideal. Namun, didapatkan, bahwa gas yang kita jumpai, yakni gas nyata, tak secara sempit mengikuti hukum gas ideal. Semakin rendah tekanan gas pada temperatur tetap, semakin kecil deviasinya dari perilaku ideal. Semakin tinggi tekanan gas, atau dengan kata lain, semakin kecil jarak intermolekulnya, semakin agung deviasinya.

Paling tak ada dua argumen yang menjelaskan hal ini. Peratama, ciri utama temperatur absolut didasarkan asumsi bahwa volume gas real sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Molekul gas pasti ada volume nyata walaupun mungkin sangat kecil. Selain itu, ketika jarak antarmolekul semakin kecil, beberapa jenis interaksi antarmolekul akan muncul.

Fisikawan Belanda Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) mengusulkan persamaan situasi gas nyata, yang dinyatakan sebagai persamaan situasi van der Waals atau persamaan van der Waals. Beliau memodifikasi persamaan gas ideal (persamaaan 6.5) dengan cara sebagai berikut: dengan menambahkan koreksi pada P untuk mengkompensasi interaksi antarmolekul; mengurango dari suku V yang menjelaskan volume real molekul gas. Sehingga didapat:

[P + (n2a/V2)] (V – nb) = nRT (6.12)

a dan b yaitu nilai yang ditentukan secara eksperimen untuk setiap gas dan dinamakan dengan tetapan van der Waals (Tabel 6.1). Semakin kecil nilai a dan b menunjukkan bahwa perilaku gas semakin mendekati perilaku gas ideal. Agungnya nilai tetapan ini juga berhbungan denagn kemudahan gas tersebut dicairkan.

Suatu sampel 10,0 mol karbon dioksida diberi inti dalam wadah 20 dm3 dan diuapkan pada temperatur 47 °C. Hitung tekanan karbon dioksida (a) sebagai gas ideal dan (b) sebagai gas nyata. Nilai hasil percobaan yaitu 82 atm. Bandingkan dengan nilai yang Anda dapat.

Jawab: Tekanan menurut anggapan gas ideal dan gas nyata yaitu sbb:

P = nRT/V = [10,0 (mol) 0,082(dm3 atm mol-1 K-1) 320(K)]/(2,0 dm3) = 131 atm

Nilai yang didapatkan dengan memakai persamaan 6.11 yaitu 82 atm yang identik dengan hasil percobaan.

Hasil ini nampaknya menunjukkan bahwa gas polar semacam karbon dioksida tak akan berperilaku ideal pada tekanan tinggi.

Catatan kaki

1. ^ van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation). Universiteit Leiden. 

Page 16

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan keadaan adalah persamaan termodinamika yang menggambarkan keadaan materi di bawah seperangkat kondisi fisika. Persamaan keadaan adalah sebuah persamaan konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih fungsi keadaan yang bertalian dengan materi, seperti temperatur, tekanan, volume dan energi dalam. Persamaan keadaan berfaedah dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, campuran fluida, padatan, dan bahkan babak dalam bintang.

Penggunaan paling umum dari sebuah persamaan keadaan adalah dalam memprediksi keadaan gas dan cairan. Salah satu persamaan keadaan paling sederhana dalam penggunaan ini adalah hukum gas ideal, yang cukup akurat dalam memprediksi keadaan gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tak akurat pada tekanan yang makin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. Namun, sebanyak persamaan keadaan yang lebih akurat sudah dikembangkan untuk bermacam jenis gas dan cairan. Masa ini, tak ada persamaan keadaan tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat seluruh zat pada seluruh kondisi.

Selain memprediksi afal gas dan cairan, terdapat juga beberapa persamaan keadaan dalam memperkirakan volume padatan, termasuk transisi padatan dari satu keadaan kristal ke keadaan kristal lainnya. Terdapat juga persamaan-persamaan yang memodelkan babak dalam bintang, termasuk bintang netron. Pemikiran yang juga bertalian adalah tentang fluida sempurna di dalam persamaan keadaan yang dipergunakan di dalam kosmologi.

Sejarah

Hukum Boyle (1662)

Hukum Boyle mungkin adalah pernyataan paling awal dari persamaan keadaan. Pada 1662, fisikawan dan kimiawan ternama Irlandia, Robert Boyle, menerapkan serangkaian percobaan memakai tabung gelas bentuk-J yang ujung babak pendeknya tertutup. Cairan raksa ditambahkan ke dalam tabung, memerangkap sebanyak tetap gas di ujung tabung yang pendek dan tertutup. Akhir perubahan volume gas diukur dengan teliti seiring ditambahkannya cairan raksa sedikit demi sedikit ke dalam tabung. Tekanan gas akhir dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan ketinggian cairan raksa di babak pendek tabung yang tertutup dan babak panjang tabung yang buka. Menempuh percobaan ini, Boyle mencatat bahwa perubahan volume gas berbanding terbalik dengan tekanan. Wujud matematikanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Persamaan di atas juga dapat dihubungkan dengan Edme Mariotte dan kadang dinamakan sebagai Hukum Mariotte. Namun pekerjaan Mariotte tak dipublikasikan sampai tahun 1676.

Hukum Charles atau Hukum Charles dan Gay-Lussac (1787)

Pada 1787, fisikawan Perancis, Jacques Charles menemukan bahwa oksigen, nitrogen, hidrogen, karbon dioksida, dan udara memuai ke tingkat yang sama pada interval temperatur yang sama, pada lebih dari 80 kelvin. Kemudian, pada 1802, Joseph Louis Gay-Lussac mempublikasikan hasil percobaan yang sama, mengindikasikan keadaan hubungan linear antara volume dan temperatur:

Hukum tekanan parsial Dalton (1801)

Hukum Tekanan Parsial Dalton: Tekanan sebuah campuran gas adalah sama dengan jumlah tekanan masing-masing gas penyusunnya.

Secara matematik, hal ini dapat direpresentasikan untuk n jenis gas, berlaku:

Hukum gas ideal (1834)

Pada 1834 Émile Clapeyron menggabungkan Hukum Boyle dan Hukum Charles ke dalam pernyataan pertama hukum gas ideal. Awalnya hukum tersebut dirumuskan sebagai pVm=R(TC+267) (dengan temperatur dinyatakan dalam derajat Celsius). Namun, pekerjaan lanjutan mengungkapkan bahwa angka tersebut sebenarnya mendekati 273,2, dan skala Celsius dirumuskan dengan 0 °C = 273,15 K, memberikan:

Persamaan keadaan Van der Waals

Pada 1873, J. D. van der Waals memperkenalkan persamaan keadaan pertama yang diturunkan dengan asumsi sebuah volume terbatas yang direbut oleh molekul gas penyusun.[1] Persamaan baru tersebut merevolusi studi tentang persamaan keadaan, dan makin dikenalkan menempuh persamaan keadaan Redlich-Kwong dan modifikasi Soave pada Redlich-Kwong.

Contoh-contoh persamaan keadaan

Pada persamaan-persamaan di bawah ini, variabel-variabel dirumuskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal klasik

Hukum gas ideal klasik dapat dituliskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal dapat juga diekspresikan sebagai berikut:

dimana

Persamaan keadaan Van der Waals

. Persamaan keadaan van der Waals

Gas yang mengikuti hukum Boyle dan hukum Charles, yakni hukum gas ideal (persamaan (6.5)), dinamakan gas ideal. Namun, didapatkan, bahwa gas yang kita jumpai, yakni gas nyata, tak secara sempit mengikuti hukum gas ideal. Semakin rendah tekanan gas pada temperatur tetap, semakin kecil deviasinya dari perilaku ideal. Semakin tinggi tekanan gas, atau dengan kata lain, semakin kecil jarak intermolekulnya, semakin agung deviasinya.

Paling tak ada dua argumen yang menjelaskan hal ini. Peratama, ciri utama temperatur absolut didasarkan asumsi bahwa volume gas real sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Molekul gas pasti ada volume nyata walaupun mungkin sangat kecil. Selain itu, ketika jarak antarmolekul semakin kecil, beberapa jenis interaksi antarmolekul akan muncul.

Fisikawan Belanda Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) mengusulkan persamaan keadaan gas nyata, yang dinyatakan sebagai persamaan keadaan van der Waals atau persamaan van der Waals. Beliau memodifikasi persamaan gas ideal (persamaaan 6.5) dengan cara sebagai berikut: dengan menambahkan koreksi pada P untuk mengkompensasi interaksi antarmolekul; mengurango dari suku V yang menjelaskan volume real molekul gas. Sehingga didapat:

[P + (n2a/V2)] (V – nb) = nRT (6.12)

a dan b adalah nilai yang ditentukan secara eksperimen untuk setiap gas dan dinamakan dengan tetapan van der Waals (Tabel 6.1). Semakin kecil nilai a dan b menunjukkan bahwa perilaku gas semakin mendekati perilaku gas ideal. Agungnya nilai tetapan ini juga berhbungan denagn kemudahan gas tersebut dicairkan.

Suatu sampel 10,0 mol karbon dioksida diberi inti dalam wadah 20 dm3 dan diuapkan pada temperatur 47 °C. Hitung tekanan karbon dioksida (a) sebagai gas ideal dan (b) sebagai gas nyata. Nilai hasil percobaan adalah 82 atm. Bandingkan dengan nilai yang Anda dapat.

Jawab: Tekanan menurut anggapan gas ideal dan gas nyata adalah sbb:

P = nRT/V = [10,0 (mol) 0,082(dm3 atm mol-1 K-1) 320(K)]/(2,0 dm3) = 131 atm

Nilai yang didapatkan dengan memakai persamaan 6.11 adalah 82 atm yang identik dengan hasil percobaan.

Hasil ini nampaknya menunjukkan bahwa gas polar semacam karbon dioksida tak akan berperilaku ideal pada tekanan tinggi.

Catatan kaki

1. ^ van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation). Universiteit Leiden. 

Page 17

Di dalam fisika dan termodinamika, persamaan keadaan adalah persamaan termodinamika yang menggambarkan keadaan materi di bawah seperangkat kondisi fisika. Persamaan keadaan adalah sebuah persamaan konstitutif yang menyediakan hubungan matematik antara dua atau lebih fungsi keadaan yang bertalian dengan materi, seperti temperatur, tekanan, volume dan energi dalam. Persamaan keadaan berfaedah dalam menggambarkan sifat-sifat fluida, campuran fluida, padatan, dan bahkan babak dalam bintang.

Penggunaan paling umum dari sebuah persamaan keadaan adalah dalam memprediksi keadaan gas dan cairan. Salah satu persamaan keadaan paling sederhana dalam penggunaan ini adalah hukum gas ideal, yang cukup akurat dalam memprediksi keadaan gas pada tekanan rendah dan temperatur tinggi. Tetapi persamaan ini menjadi semakin tak akurat pada tekanan yang makin tinggi dan temperatur yang makin rendah, dan gagal dalam memprediksi kondensasi dari gas menjadi cairan. Namun, sebanyak persamaan keadaan yang lebih akurat sudah dikembangkan untuk bermacam jenis gas dan cairan. Masa ini, tak ada persamaan keadaan tunggal yang dapat dengan akurat memperkirakan sifat-sifat seluruh zat pada seluruh kondisi.

Selain memprediksi afal gas dan cairan, terdapat juga beberapa persamaan keadaan dalam memperkirakan volume padatan, termasuk transisi padatan dari satu keadaan kristal ke keadaan kristal lainnya. Terdapat juga persamaan-persamaan yang memodelkan babak dalam bintang, termasuk bintang netron. Pemikiran yang juga bertalian adalah tentang fluida sempurna di dalam persamaan keadaan yang dipergunakan di dalam kosmologi.

Sejarah

Hukum Boyle (1662)

Hukum Boyle mungkin adalah pernyataan paling awal dari persamaan keadaan. Pada 1662, fisikawan dan kimiawan ternama Irlandia, Robert Boyle, menerapkan serangkaian percobaan memakai tabung gelas bentuk-J yang ujung babak pendeknya tertutup. Cairan raksa ditambahkan ke dalam tabung, memerangkap sebanyak tetap gas di ujung tabung yang pendek dan tertutup. Akhir perubahan volume gas diukur dengan teliti seiring ditambahkannya cairan raksa sedikit demi sedikit ke dalam tabung. Tekanan gas akhir dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan ketinggian cairan raksa di babak pendek tabung yang tertutup dan babak panjang tabung yang buka. Menempuh percobaan ini, Boyle mencatat bahwa perubahan volume gas berbanding terbalik dengan tekanan. Wujud matematikanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Persamaan di atas juga dapat dihubungkan dengan Edme Mariotte dan kadang dinamakan sebagai Hukum Mariotte. Namun pekerjaan Mariotte tak dipublikasikan sampai tahun 1676.

Hukum Charles atau Hukum Charles dan Gay-Lussac (1787)

Pada 1787, fisikawan Perancis, Jacques Charles menemukan bahwa oksigen, nitrogen, hidrogen, karbon dioksida, dan udara memuai ke tingkat yang sama pada interval temperatur yang sama, pada lebih dari 80 kelvin. Kemudian, pada 1802, Joseph Louis Gay-Lussac mempublikasikan hasil percobaan yang sama, mengindikasikan keadaan hubungan linear antara volume dan temperatur:

Hukum tekanan parsial Dalton (1801)

Hukum Tekanan Parsial Dalton: Tekanan sebuah campuran gas adalah sama dengan jumlah tekanan masing-masing gas penyusunnya.

Secara matematik, hal ini dapat direpresentasikan untuk n jenis gas, berlaku:

Hukum gas ideal (1834)

Pada 1834 Émile Clapeyron menggabungkan Hukum Boyle dan Hukum Charles ke dalam pernyataan pertama hukum gas ideal. Awalnya hukum tersebut dirumuskan sebagai pVm=R(TC+267) (dengan temperatur dinyatakan dalam derajat Celsius). Namun, pekerjaan lanjutan mengungkapkan bahwa angka tersebut sebenarnya mendekati 273,2, dan skala Celsius dirumuskan dengan 0 °C = 273,15 K, memberikan:

Persamaan keadaan Van der Waals

Pada 1873, J. D. van der Waals memperkenalkan persamaan keadaan pertama yang diturunkan dengan asumsi sebuah volume terbatas yang direbut oleh molekul gas penyusun.[1] Persamaan baru tersebut merevolusi studi tentang persamaan keadaan, dan makin dikenalkan menempuh persamaan keadaan Redlich-Kwong dan modifikasi Soave pada Redlich-Kwong.

Contoh-contoh persamaan keadaan

Pada persamaan-persamaan di bawah ini, variabel-variabel dirumuskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal klasik

Hukum gas ideal klasik dapat dituliskan sebagai berikut:

Hukum gas ideal dapat juga diekspresikan sebagai berikut:

dimana

Persamaan keadaan Van der Waals

. Persamaan keadaan van der Waals

Gas yang mengikuti hukum Boyle dan hukum Charles, yakni hukum gas ideal (persamaan (6.5)), dinamakan gas ideal. Namun, didapatkan, bahwa gas yang kita jumpai, yakni gas nyata, tak secara sempit mengikuti hukum gas ideal. Semakin rendah tekanan gas pada temperatur tetap, semakin kecil deviasinya dari perilaku ideal. Semakin tinggi tekanan gas, atau dengan kata lain, semakin kecil jarak intermolekulnya, semakin agung deviasinya.

Paling tak ada dua argumen yang menjelaskan hal ini. Peratama, ciri utama temperatur absolut didasarkan asumsi bahwa volume gas real sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Molekul gas pasti ada volume nyata walaupun mungkin sangat kecil. Selain itu, ketika jarak antarmolekul semakin kecil, beberapa jenis interaksi antarmolekul akan muncul.

Fisikawan Belanda Johannes Diderik van der Waals (1837-1923) mengusulkan persamaan keadaan gas nyata, yang dinyatakan sebagai persamaan keadaan van der Waals atau persamaan van der Waals. Beliau memodifikasi persamaan gas ideal (persamaaan 6.5) dengan cara sebagai berikut: dengan menambahkan koreksi pada P untuk mengkompensasi interaksi antarmolekul; mengurango dari suku V yang menjelaskan volume real molekul gas. Sehingga didapat:

[P + (n2a/V2)] (V – nb) = nRT (6.12)

a dan b adalah nilai yang ditentukan secara eksperimen untuk setiap gas dan dinamakan dengan tetapan van der Waals (Tabel 6.1). Semakin kecil nilai a dan b menunjukkan bahwa perilaku gas semakin mendekati perilaku gas ideal. Agungnya nilai tetapan ini juga berhbungan denagn kemudahan gas tersebut dicairkan.

Suatu sampel 10,0 mol karbon dioksida diberi inti dalam wadah 20 dm3 dan diuapkan pada temperatur 47 °C. Hitung tekanan karbon dioksida (a) sebagai gas ideal dan (b) sebagai gas nyata. Nilai hasil percobaan adalah 82 atm. Bandingkan dengan nilai yang Anda dapat.

Jawab: Tekanan menurut anggapan gas ideal dan gas nyata adalah sbb:

P = nRT/V = [10,0 (mol) 0,082(dm3 atm mol-1 K-1) 320(K)]/(2,0 dm3) = 131 atm

Nilai yang didapatkan dengan memakai persamaan 6.11 adalah 82 atm yang identik dengan hasil percobaan.

Hasil ini nampaknya menunjukkan bahwa gas polar semacam karbon dioksida tak akan berperilaku ideal pada tekanan tinggi.

Catatan kaki

1. ^ van der Waals, J. D. (1873). On the Continuity of the Gaseous and Liquid States (doctoral dissertation). Universiteit Leiden. 

Page 18

Page 19

Page 20

Page 21

Page 22

Page 23

Page 24

Page 25

Page 26