Há uma equação conhecida como biquadrada assinale a alternativa CORRETA que apresenta essa equação

O discriminante de uma equação do segundo grau é a parte da fórmula de Bháskara na qual se deve calcular a raiz quadrada. Essa parte é representada pela letra grega Δ (delta) e pode ser encontrada por meio da seguinte equação:

Δ = b2 – 4·a·c

Sendo assim, a fórmula de Bháskara, na realidade, é a seguinte:

x = – b ± √(b2 – 4·a·c)
    2·a

Entretanto, essa fórmula é ensinada em duas etapas por questões didáticas e pela importância do discriminante em outros cálculos.

Quantidade de soluções de uma equação

As equações do segundo grau podem ter até duas soluções reais. Por meio do discriminante, é possível descobrir quantas soluções a equação terá. Muitas vezes, o exercício solicita isso em vez de perguntar quais as soluções de uma equação. Então, nesse caso, não é necessário resolvê-la, mas apenas fazer o seguinte:

Se Δ < 0 a equação não possui soluções reais

Se Δ = 0 a equação possui apenas uma solução real

Se Δ > 0 a equação possui duas soluções reais

Isso acontece porque, na fórmula de Bháskara, calcularemos a raiz de Δ. Se o discriminante é negativo, é impossível calcular essas raízes. Além disso, observe o exemplo abaixo para verificar o porquê de uma equação do segundo grau possuir duas raízes.

x2 = 16

x = ± √16

O sinal ± aparece porque tanto 4·4 = 16 quanto (– 4)(– 4) = 16. Logo, a equação acima possui dois resultados. É impossível que ela possua mais do que isso, pois é uma equação do segundo grau.

Estudo dos sinais de uma equação do segundo grau

O estudo dos sinais é justamente o uso do valor do discriminante para determinar quantas soluções reais a equação possui. É assim chamado porque, aliado ao valor do coeficiente “a”, pode ser usado para descobrir em qual intervalo uma função do segundo grau é positiva e/ou negativa. Nas equações, o estudo dos sinais resume-se a:

Se Δ < 0, nenhuma solução real

Se Δ = 0, uma solução real (ou duas soluções iguais)

Se Δ > 0, duas soluções reais distintas

“Solução real” quer dizer que os valores de x que a equação pode assumir pertencem ao conjunto dos números reais. Avaliando a equação do segundo grau em que Δ < 0, em outro conjunto numérico, pode ser que ela possua mais soluções. Esse conjunto no qual a equação que possui Δ < 0 tem mais soluções é chamado de conjunto dos números complexos.

Vértice de uma função do segundo grau

Além disso, nas funções do segundo grau, o valor do discriminante é usado para determinar a posição do vértice com relação ao eixo y. Sendo xv e yv as coordenadas do vértice da função do segundo grau, a coordenada yv pode ser encontrada fazendo uso da seguinte fórmula:

yv = – Δ
        4a

Lembrando que encontrar o vértice de uma função tem a importante finalidade de determinar seu ponto de máximo ou de mínimo.

Podemos definir equação como uma sentença matemática que possui igualdade entre duas expressões algébricas e uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos) que são expressadas por letras. Sendo assim, toda equação precisa ter:

• Sinal de igualdade;

• Primeiro membro (antes do sinal de igualdade) e segundo membro (depois do sinal de igualdade);

• Incógnita, que é representada, geralmente, por x, y e z.

  Veja os exemplos a seguir e identifique se são equações:

⇒ a) 2x – 6 = 2

Características:

Primeiro membro: 2x – 6

Segundo membro: 2

Possui sinal de igualdade e x é o termo desconhecido; logo, 2x – 6 = 2 é uma equação.

⇒ b) 2 + 4 = 2 – 3

Características:

Primeiro membro: 2 + 4

Segundo membro: 2 – 3

Possui sinal de igualdade, mas não tem incógnita; logo, 2 + 4 = 2 – 3 não é uma equação.

⇒ c) 2x +3y – 1

Nesse exemplo, temos somente uma expressão algébrica. Não é possível determinar o primeiro e o segundo membro, pois a expressão não possui sinal de igualdade. Portanto, 2x +3y – 1 não é uma equação.

Graus da Equação

Existem graus distintos para a equação. Nas equações que possuem somente uma incógnita, o grau é determinado pelo maior valor que os seus expoentes assumem. Veja os exemplos a seguir:

⇒ 2x2 + x = 4

Essa é uma equação de grau 2. Isso porque o maior expoente da incógnita x é 2.

⇒ y5 + 2y4 – y3 + 3y2 + y + 1 = 0

A equação é de grau 5. Observe que 5 é o maior grau para a incógnita y.

Quando a equação possui mais do que uma incógnita, podemos expressar o grau em relação à equação como um todo. Para isso, devemos avaliar o grau de cada monômio da equação. Observe o exemplo:

⇒ Dada a equação: x2y2 + 3x3 = – 5yx, identifique o seu grau em relação à incógnita x e y. Em seguida, encontre o seu grau geral.

- Grau da equação em relação à incógnita x → 3, porque 3 é o maior valor para o expoente de x.

- Gau da equação em relação à incógnita y → 2, porque 2 é o maior valor para o expoente de y.

- Grau geral da equação → 4, pois 4 é o maior grau dos monômios da equação. Veja como cada monômio deve ser avaliado para obtermos essa conclusão:

x2y2 → 2 + 2 = 4 → 4 é o grau do monômio x2y2;
3x3 = 3x3y0 → 3 + 0 = 3 → 3 é o grau do monômio 3x3
5yx → 1 + 1 = 2 → 2 é o maior grau do monômio 5yx.

Classificação das Equações

• Possíveis e determinadas: São equações que admitem pelo menos uma solução.

Exemplo: 2x = 3 → x = 3
                                    2

• Possíveis e indeterminadas: São equação que possuem infinitas soluções.

Exemplo: x + 2 = x + 2 → A incógnita x assume infinitos valores numéricos. Com isso, a equação possui infinitas soluções.

• Impossível: Não possui nenhuma solução.

Exemplos: 0x = 4 → Não é possível realizar a divisão de 4 por 0.

y = y + 2 → y – y = + 2 → 0 = +2 → Não existe equação sem incógnita.

Resolução de Equações

Para resolver equações, utilizamos o princípio aditivo, que consiste em adicionar ou subtrair um valor em ambos os membros da igualdade, e o multiplicativo, em que multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um mesmo valor. Observe a solução das equações a seguir para entender melhor esses princípios.

⇒ Exemplo: x + 2 = 4 – 6

Para solucionar essa equação, no primeiro membro deve ficar somente a incógnita e, no outro, os números. Com isso, devemos retirar +2 do primeiro membro da equação. Para que isso seja feito, aplique o principio aditivo, que consiste em adicionar (– 2) nos dois membros da equação:

x + 2 + ( – 2) = 4 – 6 + ( – 2) x + 0 = 4 – 6 – 2

x = – 4

⇒ Exemplo: y – 3 = + 4
                   2

Como no primeiro membro da equação deve ficar somente a incógnita, aplique o princípio aditivo para retirar o – 3.

y – 3 + 3 = + 4 + 3 2                         

y + 0 = + 7

1 . y = + 7

Agora devemos retirar o ½ do primeiro membro da equação. Para isso, aplique o princípio multiplicativo, efetuando a multiplicação por 2 em ambos os membros da equação.

2 . 1 . y = + 7 . 2 2             

2y = + 14

y = + 14