Sistemas 2 x 2 Discussão de Sistemas 2 x 2 Sistema Possível e Determinado: Geometricamente representa retas concorrentes, onde há um ponto (x0, y0) de intersecção que é solução única do sistema. Sistema Possível e Indeterminado: Geometricamente representa retas coincidentes, onde infinitos pontos comuns fazem parte do conjunto solu-ção do sistema. Sistema Impossível: Geometricamente representa retas paralelas, onde não há nenhum ponto solução do sistema. (PUC-RJ) Ache os valores de a e b para que o sistema tenha mais de uma solução. Sistemas 3 x 3 ou superiores Sistema Escalonado 1º) Em cada equação, há pelo menos um coeficiente não-nulo; Procedimentos para escalonar (resolver) o sistema 3º) A partir da 2ª equação repetem-se os “passos” para as equações restantes, até a última linha do sistema. Exemplo: Resolva o sistema: Continua após a publicidade Solução: Aplicamos -2L1 + L2 e -3L1 + L3 para eliminar x da segunda e terceira equações, e -4L2 + 3L3 para eliminar y da terceira equação. O resultado final é o sistema escalonado que admite como solução única S = {(2, -1, 3)}. (FUVEST) Então, x + y + z é igual a: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 Solução: Fazendo L1 – L2 na segunda linha e L2 – 3L3 na terceira linha do sistema teremos:
Resolvendo o sistema x = 1, y = 3 e z = -2, com x + y + z = 1 + 3 – 2 = 2 Discussão de Sistemas 3 x 3 Sistema Possível e Determinado: det D diferente 0 Macete! Caso resolva uma questão de múltipla esco-lha, aplique determinante para discutir o sistema. Caso discursiva, procure usar a técnica do escalona-mento, por ser uma resolução mais “refinada”, e portanto muito mais valorizada pela banca corretora. Dica! Sistema Homogêneo é quando todos os termos independentes das equações são nulos (todas as equações do sistema terminam em zero). Logo, sistema homogêneo ou é possível determinado (apenas a solução trivial) ou é possível indeterminado (tem a solução trivial e mais outras). (UFJF) O sistema x + y + z = 0; x – my + z = 0; mx + y + z = 0 admite solução não nula se, e somente: a) m = 1 b) m = -1 c) m = 1 ou m = -1 d) m = 0 Solução: Admitir solução não nula significa possuir soluções além da trivial (0,0,0); logo para sistema possível indeterminado teremos det D = 0; calculando: 
Sistemas Lineares Equação Linear Toda equação da forma é denominada equação linear, em que: são coeficientes são as incógnitas b é um termo independente Exemplos: a) é uma equação linear de três incógnitas. b) é uma equação linear de quatro incógnitas. Observações: 1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Por exemplo: . 2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma etc., isto é, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. As equações e não são lineares. 3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla , que, colocados respectivamente no lugar de , tornam verdadeira a igualdade dada. 4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea é a dupla . Vejamos alguns exemplos: 1º exemplo: Dada a equação linear , encontrar uma de suas soluções. Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z. Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6). 2º exemplo: Dada a equação , determinar para que a dupla (-1, ) seja solução da equação. Resolução: Resposta: = – 4 Exercícios Propostos: Determine m para que seja solução da equação . Resp: -1 Dada a equação , ache para que torne a sentença verdadeira. Resp: -8/5 Sistema linear. Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas todo sistema da forma: �� EMBED Equation.3 são números reais. Se o conjunto ordenado de números reais satisfizer a todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear. Observações: 1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, , o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo: Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0. Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial. 2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo: Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes. Exercícios Popostos: Seja o sistema . Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. Verifique se (0,0,0) é solução de S. Resp: a) é b) não é Seja o sistema: . Calcule k para que o sistema seja homogêneo. Resp: k = -3 Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: e Resp: m = 0 e n = 1 3. Expressão matricial de um sistema de equações lineares. Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações lineares. Seja o sistema linear: Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma: . = matriz constituída matriz coluna matriz coluna pelos coeficientes constituída pelas dos termos das incógnitas incógnitas independentes Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter o sistema dado. Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, o seu determinante é dito determinante do sistema. Exemplo: Seja o sistema: . Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma: Exercícios Propostos: Expresse matricialmente os sistemas: a) b) A expressão matricial de um sistema S é: . Determine as equações de S. 4. Classificação dos sistemas lineares Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: Regra de Cramer A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear. Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas: Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes. Pela regra de Cramer: De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas: Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão: Vejamos alguns exemplos. 1º Exemplo: Resolver o sistema . Resolução: Resposta: 2º Exemplo: Resolver o sistema . Resolução: impossível impossível Resposta: 3º Exemplo: Resolver o sistema . Resolução: 1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta. 2º) Cálculo do determinante das incógnitas. 3º) Cálculo das incógnitas. Resposta: Sistema Possível e Determinado. Exercícios Propostos: Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. Resp: {(1,2)} Resp: {(3,2)} Calcule os valores de x, y e z nos sistemas: Resp: {(1,2,3)} Resp: {(6,4,1)} Resolva as equações matriciais: Resp: Resp: Discussão de um sistema linear Seja o sistema linear de n equações a n incógnitas. Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado. Utilizando a regra de Cramer, temos: Possível e Determinado �� EMBED Equation.3 Possível e Indeterminado �� EMBED Equation.3 Impossível �� EMBED Equation.3 Vejamos alguns exemplos: 1º) Exemplo: Discutir o sistema . Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes: Fazendo: Resposta: SPD (sistema possível e determinado) SPI (sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m SI (sistema impossível) 2º) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema seja incompatível. Resolução: Fazendo: Para m = –1, teremos: (impossível) (impossível) (indeterminado). Resposta: SI 3º) Exemplo: Verificar se o sistema é determinado ou indeterminado. Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes: Como , o sistema é determinado. Vamos achar a solução: e Resposta: O sistema é determinado e . Observação: Todo sistema homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0, 0,.., 0) chamada solução trivial. Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do determinante dos coeficientes das incógnitas. Determinado Indeterminado 4º)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema tenha soluções diferentes da trivial. Resolução: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos . Resposta: Exercícios Propostos: Discuta os sistemas: Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos. Determine a e b para que o sistema seja indeterminado. Calcule os valores de a para que o sistema seja compatível e determinado. Dê os valores de a para que o sistema seja compatível e determinado. Dê o valor de a para que o sistema seja impossível. Determine o valor de k para que o sistema seja indeterminado. Ache m para que o sistema tenha soluções próprias. Qual o valor de p para que o sistema admita uma solução única? (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear é compatível e determinado? Respostas exercícios propostos: Discussão de um Sistema Linear. a) SPD |
Fuvest ache m de modo que o sistema
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