Garis yang saling tegak lurus memiliki gradien yang

Pernahkah kalian memperhatikan kemiringan tangga untuk menuju lantai dua rumah kalian? Bisa dibayangkan, pasti butuh kecermatan dan ketelitian dalam membuatnya bukan? Terutama dalam memperhitungkan tingkat kemiringan. Dalam matematika, kemiringan atau gradien suatu garis adalah angka yang menunjukkan arah dan kecuraman garis tersebut. Salah perhitungan dalam menentukan kemiringan ini tentu akan berujung pada rasa tidak nyaman saat menapakinya. Nah, dari bangunan tangga ini, kalian juga bisa belajar mengenal sifat-sifat gradien atau kemiringan yang ada disekitar dan menghitungnya dengan rumus-rumus sesuai dengan sifat masing-masing.

Table of Contents Show

A. Garis Sejajar
B. Garis Berpotongan
C. Garis Tegak Lurus
D. Garis Berimpit
Video yang berhubungan

Gradien sendiri merupakan angka yang menunjukkan arah dan kecuraman garis tersebut nilai kemiringan atau kecondongan suatu garis lurus. Umumnya, gradien dinotasikan dengan huruf “m”. Dimana, gradien ini akan menentukan seberapa miring suatu garis pada koordinat kartesius.

Nilai kemiringan ini didapat dengan membandingkan perubahan arah vertikal (nilai y) dengan perubahan arah horizontal (nilai x) suatu garis. Namun, pada dasarnya prinsip yang digunakan dalam menentukan gradien dari suatu garis adalah sama. Secara matematis gradien dirumuskan sebagai berikut :

(Baca juga: Apa Itu Induksi Matematika?)

Ada 3 sifat-sifat gradien yang perlu diketahui diantaranya, gradien garis horizontal dan vertical, gradient dua garis sejajar, dan yang terakhir gradien dua garis tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut!

Gradien Garis Horizontal dan Vertikal

Garis horizontal yang sejajar dengan sumbu x, ordinat titik bernilai sama sehingga gradiennya bernilai nol. Garis vertikal yang sejajar sumbu y, absis titik bernilai sama sehingga gradiennya bernilai tak terdefinisi.

Gradien Dua Garis Sejajar

Kedua buah garis dapat berkedudukan sebagai saling sejajar atau saling tegak lurus. Hubungan kedua garis tersebut membuat nilai kedua gradien garis mempunyai hubungan. Maka rumus untuk nilai gradiennya adalah l1∥l2→ml1=ml2.

Gradien dua Garis Tegak Lurus

Hubungan nilai gradient dari dua garis yang saling tegak lurus adalah lawan kebalikan dari gradient garis lainnya. Disamping itu, bisa juga dinyatakan dengan persamaan akan menghasilkan nilai perkalian kedua garisnya adalah -1. Adapun untuk rumus secara matematisnya adalah : Jikal1⊥l2→m2=−1m1ataum1m2=−1.

Sifat-sifat garis di bidang geometri ditentukan oleh kedudukannya terhadap garis lainnya, yang terdiri dari garis sejajar, garis berpotongan, garis tegak lurus, dan garis berimpit. Berikut akan dijelaskan ke-4 sifat kedudukan antar garis tersebut.

Artikel terkait: Pengertian Garis Titik Bidang dan Ruang beserta Contohnya

A. Garis Sejajar

Garis sejajar adalah suatu kedudukan dua garis pada bidang datar yang tidak mempunyai titik potong walaupun kedua garis diperpanjang. Secara geometri kesejajaran garis tidak akan pernah bertemu satu dengan lainnya karena mempunyai kemiringan (gradien) yang sama. Garis-garis sejajar tidak harus sama panjang.

Contoh garis sejajar:

Garis AB dan CD merupakan contoh kedudukan sejajar, karena kedua garis tidak berpotongan walaupun garis diperpanjang

Contoh garis tidak sejajar:

Gambar garis EF dan GH merupakan contoh garis tidak sejajar, karena ketika diperpanjang garis tersebut berpotongan

B. Garis Berpotongan

Garis berpotongan adalah kedudukan dua garis yang mempunyai titik potong karena kedua garis saling bertemu. Secara geometri garis-garis yang berpotongan terjadi karena mempunyai kemiringan yang berbeda dan panjang antar garis memungkinkan untuk saling bertemu. Garis yang berpotongan sudah pasti tidak sejajar, namun garis tidak sejajar belum tentu berpotongan.

Contoh garis berpotongan:

Garis IJ dan KL merupakan garis berpotongan karena kedua garis saling bertemu dan menghasilkan suatu titik potong

C. Garis Tegak Lurus

Garis tegak lurus adalah kedudukan garis yang berpotongan dan pada titik potongnya terbentuk sudut siku-siku (90°). Garis tegak lurus juga disebut dengan garis serenjang atau garis perpendikular. Dalam simbol matematika garis tegak lurus disimbolkan dengan simbol perpendikular "⊥", misalnya garis MN tegak lurus dengan OP dapat ditulis MN ⊥ OP.

Garis MN dan OP merupakan garis tegak lurus karena saling berpotongan dan titik potongnya membentuk sudut siku-siku

Perkalian dua kemiringan (gradien) garis tegak lurus adalah -1 atau memenuhi persamaan M1 × M2 = -1.

Jika, M1 = a/b maka M2 = - b/a * Karena berlaku M1 × M2 = a/b × (- b/a) = - ab/ab = -1 Contoh: Kemiringan garis MN adalah M1 = 2/3, berapakah kemiringan garis OP di atas? Penyelesaian: Karena garis OP ⊥ NM maka gradien garis OP = M2 dihitung memenuhi persamaan M1 × M2 = a/b × (- b/a) = -1 M1 = a/b = 2/3 a = 2 b = 3 M2 = - b/a = - 3/2 Jadi, gradien garis OP adalah - 3/2

D. Garis Berimpit

Garis berimpit adalah kedudukan garis yang saling menutupi antara satu dengan lainnya, sehingga garis berimpit tidak dapat dilihat dengan kasat mata. Garis berimpit dapat terjadi karena posisi garis yang sama, namun 2 garis berimpit belum tentu mempunyai panjang yang sama.

Contoh garis berimpit:

Garis a dan b merupakan garis berimpit karena kedua saling menutupi pada posisi yang sama

Baca juga tutorial lainnya: Daftar Isi Pelajaran Matematika

Sekian artikel "Pengertian Garis Sejajar, Garis Berpotongan, Tegak Lurus, dan Berimpit". Nantikan artikel menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share dan juga menyukai halaman Advernesia. Terima kasih…

Ada beberapa sifat gradien yang perlu diketahui, di antaranya adalah gradien garis yang sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat gradien tersebut.

Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x

Perhatikan gambar berikut!

Pada gambar di atas terdapat 2 garis yang sejajar dengan sumbu-x, yaitu garis-garis k dan l. Garis k melalui titik-titik dengan koordinat (–2, 2) dan (3, 2), sedangkan garis l melalui titik-titik yang berkoordinat di (–1, –3) dan (2, –3). Sehingga, gradien dari kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dari perhitungan tersebut, kita memperoleh bahwa gradien dari garis-garis k dan l, yaitu garis-garis yang sejajar dengan sumbu-x, nilainya adalah 0. Apa yang dapat kita simpulkan dari kedua garis tersebut?

Gradien dari garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah 0.

Sehingga garis-garis yang memiliki persamaan y = –15, y = 4, dan y = 7 memiliki gradien yang nilainya 0. Demikian juga dengan garis y = 0, yaitu garis yang berimpit dengan sumbu-x, juga memiliki gradien 0.

Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-y

Selanjutnya kita tentukan besar gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y. Perhatikan gambar berikut!

Dua garis pada gambar di atas merupakan garis-garis yang sejajar dengan sumbu-y. Garis pertama melalui titik-titik yang berkoordinat di (–1, 4) dan (–1, –2), sedangkan garis kedua melalui titik-titik yang memiliki koordinat di (2, 2) dan (2, –3). Sehingga gradien dari kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dari perhitungan di atas kita dapat memperoleh bahwa gradien garis pertama, yaitu garis yang melalui titik-titik dengan koodinat (–1, 4) dan (–1, –2), adalah tidak terdefinisi. Demikian juga dengan garis kedua. Dari gradien kedua garis ini, apa yang dapat kita simpulkan?

Gradien dari garis yang sejajar dengan sumbu-y adalah tidak terdefinisi.

Sehingga, garis-garis yang sejajar dengan sumbu-y, seperti garis-garis x = –10, x = 7, dan x = 12, memiliki gradien yang tidak terdefinisi. Demikian juga dengan garis yang berimpit dengan sumbu-y, yaitu garis x = 0, memiliki gradien yang tidak terdefinisi.

Gradien Dua Garis yang Sejajar

Setelah pada dua pembahasan sebelumnya kita membahas gradien dari garis, sekarang kita akan membahas mengenai hubungan antara gradien dua garis yang saling sejajar. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa garis m sejajar dengan garis n, dan garis g sejajar dengan garis h. Untuk menentukan hubungan dari gradien garis-garis yang sejajar, kita tentukan gradien dari masing-masing garis tersebut.

Garis m melalui titik-titik yang berkoordinat di (2, 1) dan (–1, 4). Sedangkan garis n melalui dua titik dengan koordinat (–1, 1) dan (–3, 3). Sehingga gradien dari dua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Garis g melalui dua titik dengan koordinat (–2, –2) dan (–1, 1), sedangkan garis h melalui titik-titik (2, 1) dan (3, 4). Sehingga gradien dari kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

Dari perhitungan di atas, kita memperoleh bahwa mm = –1 = mn dan mg = 3 = mh. Padahal dua garis m dan n merupakan pasangan garis yang sejajar. Begitu juga dengan dua garis g dan h. Dari sini, apa yang dapat kita simpulkan?

Garis-garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

Sehingga, garis-garis yang memiliki persamaan y = 2x dan 6x – 3y + 10 = 0 merupakan pasangan garis yang sejajar. Begitu juga dengan garis y = –x – 1 dan garis 5x + 5y – 11 = 0.

Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus

Garis-garis yang saling sejajar memiliki gradien yang sama, lalu bagaimana dengan garis-garis yang saling tegak lurus. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas kita dapat melihat bahwa garis a tegak lurus dengan garis b, sedangkan garis p tegak lurus dengan garis q. Garis a melalui dua titik yang berkoordinat di (–1, 3) dan (–4, –3), sedangkan garis b melalui dua titik (–1, –3) dan (1, –4). Sehingga gradien dari dua garis a dan b dapat ditentukan sebagai berikut.

Garis p melalui dua titik (3, 0) dan (–1, 3) sedangkan garis q melalui dua titik (2, 2) dan (–1, –2). Sehingga gradien dari garis p dan q dapat ditentukan sebagai berikut.

Dari perhitungan di atas, kita dapat mengamati bahwa gradien dari dua garis yang saling tegak lurus selalu berlawanan tanda. Selain itu, gradien dari dua garis yang saling tegak lurus selalu berkebalikan. Apa yang dapat kita simpulkan mengenai gradien dua garis yang saling tegak lurus?

Gradien dari dua garis yang saling tegak lurus selalu berlawan tanda dan berkebalikan. Atau dengan kata lain, hasil kali gradien dari dua garis yang saling tegak lurus sama dengan negatif satu.

Kita dapat menguji kalimat terakhir dari kesimpulan tersebut. Hasil kali gradien garis a dan b adalah, 2 × –1/2 = –1. Begitu juga dengan hasil kali gradien garis p dan q, –3/4 × 4/3 = –1. Semoga bermanfaat, yos3prens.