O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira: Show Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador. Saiba também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica Fórmula do teorema de PitágorasPara aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a. Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c. O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir: Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Demonstração do teorema de PitágorasVamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura: O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD. AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2 O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH. AEFGH = a2 Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes: O terceiro passo é calcular a área desses triângulos: ATriângulo = b·c O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então: AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter: a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc a2 = b2 + c2 Mapa Mental: Teorema de Pitágoras*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui! Triângulo pitagóricoUm triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras. Exemplos: O triângulo acima é pitagórico, pois: 52 = 32 + 42 Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja 262 ≠ 242 +72 Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno Teorema de Pitágoras e os números irracionaisO teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veja: Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional. Leia também: Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo Exercícios resolvidosQuestão 1. Determine o valor de x no triângulo a seguir. Resolução: Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte: 132 = 122 + x2 Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos: x2 = 25 x =5 Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm. Resolução: Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então: Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que: 202 = c2 + c2 2c2 = 400 c2 = 200 Assim, as medidas dos catetos do triângulo medem, respectivamente: *Mapa Mental por Luiz Paulo Silva Por Robson Luiz
O teorema de Pitágoras indica que, em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse importante conteúdo. Exercícios propostos (com resolução)Questão 1Carlos e Ana saíram de casa para trabalhar partindo do mesmo ponto, a garagem do prédio onde moram. Após 1 min, percorrendo um trajeto perpendicular, eles estavam a 13 m de distância um do outro. Se o carro de Carlos fez 7 m a mais que o de Ana durante esse tempo, a que distância eles estavam da garagem? a) Carlos estava a 10 m da garagem e Ana estava a 5 m. b) Carlos estava a 14 m da garagem e Ana estava a 7 m. c) Carlos estava a 12 m da garagem e Ana estava a 5 m. d) Carlos estava a 13 m da garagem e Ana estava a 6 m.
Resposta correta: c) Carlos estava a 12 m da garagem e Ana estava a 5 m. Os lados do triângulo retângulo formado nessa questão são:
Aplicando os valores no teorema de Pitágoras, temos: Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x. Por se tratar de uma medida de comprimento, devemos utilizar o valor positivo. Portanto, os lados do triângulo retângulo formado nessa questão são:
Sendo assim, Ana estava a 5 metros da garagem e Carlos estava a 12 metros. Questão 2Carla ao procurar seu gatinho o avistou em cima de uma árvore. Ela então pediu ajuda a sua mãe e colocaram uma escada junto à árvore para ajudar o gato a descer. Sabendo que o gato estava a 8 metros do chão e a base da escada estava posicionada a 6 metros da árvore, qual o comprimento da escada utilizada para salvar o gatinho? a) 8 metros. b) 10 metros. c) 12 metros. d) 14 metros.
Resposta correta: b) 10 metros. Observe que a altura em que o gato está e a distância que a base da escada foi posicionada formam um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90 graus. Como a escada está posicionada do lado oposto ao ângulo reto, então seu comprimento corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo. Aplicando os valores dados no teorema de Pitágoras descobrimos o valor da hipotenusa. Portanto, a escada tem comprimento de 10 metros. Questão 3De acordo com as medidas apresentadas nas alternativas a seguir, qual apresenta os valores de um triângulo retângulo? a) 14 cm, 18 cm e 24 cm b) 21 cm, 28 cm e 32 cm c) 13 cm, 14 cm e 17 cm d) 12 cm, 16 cm e 20 cm
Resposta correta: d) 12 cm, 16 cm e 20 cm. Para saber se as medidas apresentadas formam um triângulo retângulo devemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada alternativa. a) 14 cm, 18 cm e 24 cm b) 21 cm, 28 cm e 32 cm c) 13 cm, 14 cm e 17 cm d) 12 cm, 16 cm e 20 cm Portanto, as medidas 12 cm, 16 cm e 20 cm correspondem aos lados de um triângulo retângulo, pois o quadrado da hipotenusa, maior lado, é igual a soma do quadrado dos catetos. Observe as figuras geométricas a seguir, que estão com um dos lados situados na hipotenusa de um triângulo retângulo com medidas 3 m, 4 m e 5 m. Determine a altura (h) do triângulo equilátero BCD e o valor da diagonal (d) do quadrado BCFG. a) h = 4,33 m e d = 7,07 m b) h = 4,72 m e d = 8,20 m c) h = 4,45 m e d = 7,61 m d) h = 4,99 m e d = 8,53 m
Resposta correta: a) h = 4,33 m e d = 7,07 m. Como o triângulo é equilátero, quer dizer que os seus três lados possuem a mesma medida. Ao traçar uma linha que corresponde a altura do triângulo, nós o dividimos em dois triângulos retângulos. O mesmo acontece com o quadrado. Quando traçamos a linha da sua diagonal, podemos visualizar dois triângulos retângulos. Aplicando os dados do enunciado no teorema de Pitágoras, descobrimos os valores da seguinte forma: 1. Cálculo da altura do triângulo (cateto do triângulo retângulo): Chegamos então na fórmula para calcular a altura. Agora, basta substituir o valor de L e calculá-la. 2. Cálculo da diagonal do quadrado (hipotenusa do triângulo retângulo): Portanto, a altura do triângulo equilátero BCD é 4,33 e o valor da diagonal do quadrado BCFG é 7,07. Veja também: Teorema de Pitágoras Questões de Vestibulares ResolvidasQuestão 5(Cefet/MG - 2016) Uma pipa, cuja figura é mostrada a seguir, foi construída no formato do quadrilátero ABCD, sendo  Nessas condições, a medida de , em cm, é igual a a) 25. b) 40. c) 55. d) 70.
Alternativa correta: c) 55. Observando a figura da questão, percebemos que o segmento DE, o qual queremos encontrar, é igual ao segmento BD subtraindo-se o segmento BE. Desta forma, como sabemos que o segmento BE é igual a 20 cm, então precisamos encontrar o valor do segmento BD. Note que o problema nos oferece a seguinte informação: Então, para encontrar a medida de BD, precisamos conhecer o valor do segmento AC. Como o ponto E divide o segmento em duas partes iguais (ponto médio), então . Portanto, o primeiro passo é encontrar a medida do segmento CE. Para encontrar a medida de CE, identificamos que o triângulo BCE é retângulo, que BC é a hipotenusa e BE e CE são os catetos, conforme imagem abaixo: Iremos então, aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida do cateto. 252 = 202+x2 x = 15 cm Para encontrar o cateto, poderíamos ainda ter observado que o triângulo é pitagórico, ou seja, a medida dos seus lados são números múltiplos das medidas do triângulo 3, 4, 5. Assim, ao multiplicarmos 4 por 5 temos o valor do cateto (20) e se multiplicarmos 5 por 5 temos a hipotenusa (25). Logo, o outro cateto só poderia ser 15 (5 . 3). Agora que já encontramos o valor de CE, podemos encontrar as demais medidas: AC = 2. CE ⇒ AC = 2.15 = 30 cm Portanto, a medida de é igual a 55 cm. Veja também: Pitágoras Questão 6(IFRS - 2017) Considere um triângulo equilátero de lado 5√3 ܿ݉. Qual é a altura e a área deste triângulo, respectivamente?
Alternativa correta: e) 7,5 cm e 75√3/4 cm2 Primeiro, vamos desenhar o triângulo equilátero e traçar a altura, conforme imagem abaixo: Note que a altura divide a base em dois segmentos de mesma medida, pois o triângulo é equilátero. Observe ainda que o triângulo ACD da figura é um triângulo retângulo. Desta forma, para encontrar a medida da altura, usaremos o teorema de Pitágoras: Conhecendo a medida da altura, podemos encontrar a área através da fórmula: Questão 7(IFRS - 2016) Na figura abaixo, o valor de x e y, respectivamente, é
Alternativa correta: a) 4√2 e √97. Para encontrar o valor do x, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo que possui catetos iguais a 4 cm. x2 = 42 + 42 x = 4√2 cm Para encontrar o valor de y, também usaremos o teorema de Pitágoras, agora considerando que um cateto mede 4 cm e o outro 9 cm (4 + 5 = 9). y2 = 42 + 92 Portanto, o valor de x e y, respectivamente, é 4√2 e √97. Questão 8(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Observe a figura a seguir. Na figura acima, tem-se um triângulo isósceles ACD, no qual o segmento AB mede 3 cm, o lado desigual AD mede 10√2 cm e os segmentos AC e CD são perpendiculares. Sendo assim, é correto afirmar que o segmento BD mede: a) √53 cm b) √97 cm c) √111 cm d) √149 cm e) √161 cm
Alternativa correta: d) √149 cm Considerando as informações apresentadas no problema, construímos a figura abaixo: De acordo com a figura, identificamos que para encontrar o valor de x, será necessário encontrar a medida do lado que chamamos de a. Como o triângulo ACD é retângulo, aplicaremos o teorema de Pitágoras para encontrar o valor do cateto a. Agora que já conhecemos o valor do a, podemos encontrar o valor do x, considerando para isso o triângulo retângulo BCD. Note que o cateto BC é igual a medida do cateto menos 3 cm, ou seja, 10 - 3 = 7 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras para esse triângulo, temos: Portanto, é correto afirmar que o segmento BD mede √149 cm. Questão 9(IFRJ - 2013) O pátio de esportes do Campus Arrozal de um Instituto Federal é retangular, com 100 m de comprimento e 50 m de largura, representado pelo retângulo ABCD desta figura. Alberto e Bruno são dois alunos, que estão praticando esportes no pátio. Alberto caminha do ponto A ao ponto C pela diagonal do retângulo e volta ao ponto de partida pelo mesmo caminho. Bruno parte do ponto B, dá uma volta completa no pátio, andando pelas linhas laterais, e volta ao ponto de partida. Assim, considerando √5 = 2,24 , afirma-se que Bruno andou mais que Alberto a) 38 m. b) 64 m. c) 76 m. d) 82 m.
Alternativa correta: c) 76 m. A diagonal do retângulo o divide em dois triângulos retângulos, sendo a hipotenusa igual a diagonal e os catetos iguais aos lados do retângulo. Desta forma, para calcular a medida da diagonal, vamos aplicar o teorema de Pitágoras: Considerando que Alberto foi e voltou, então ele percorreu 224 m. Já Bruno percorreu uma distância igual ao perímetro do retângulo, ou seja: p = 100 + 50 + 100 + 50 Portanto, Bruno andou 76 m a mais que Alberto (300 - 112 = 76 m). Questão 10(Enem - 2017) Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão fixados os doces. Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
Alternativa correta: c) 1 Observando a figura apresentada na questão, identificamos que a altura h pode ser encontrada diminuindo-se a medida do segmento OA da medida do raio da esfera (R). O raio da esfera (R) é igual a metade do seu diâmetro, que neste caso é igual a 5 cm (10 : 2 = 5). Portanto, precisamos encontrar o valor do segmento OA. Para isso, iremos considerar o triângulo OAB representado na figura abaixo e aplicar o teorema de Pitágoras. 52 = 32 + x2 x = 4 cm Poderíamos também encontrar o valor de x diretamente, observando que se trata do triângulo pitagórico 3,4 e 5. Assim, o valor de h será igual a: h = R - x h = 5 - 4 h = 1 cm Portanto, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura de 1 cm. Questão 11(Enem - 2016 - 2ª aplicação) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a figura 2. Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?
Alternativa correta: e) √10 Para calcular o valor da distância d entre os pontos A e B, vamos construir uma figura unindo os centros das duas esferas, conforme mostrado abaixo: Note que a figura pontilhada em azul tem a forma de um trapézio. Vamos dividir esse trapézio, conforme figura abaixo: Ao dividir o trapézio, obtemos um retângulo e um triângulo retângulo. A hipotenusa do triângulo é igual a soma do raio da bocha com o raio do bolim, ou seja, 5 + 2 = 7 cm. A medida de um dos catetos é igual a d e a medida do outro cateto é igual a medida do segmento CA, que é o raio da bocha, menos o raio do bolim (5 - 2 = 3). Desta forma, podemos encontrar a medida de d, aplicando o teorema de Pitágoras a esse triângulo, ou seja: 72 = 32 - d2 d = 2 √10 Portanto, a razão entre a distância d e o bolim será dada por: . Questão 12(Enem - 2014) Diariamente, uma residência consome 20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? a) Retirar 16 células. b) Retirar 40 células. c) Acrescentar 5 células. d) Acrescentar 20 células. e) Acrescentar 40 células.
Alternativa correta: a) Retirar 16 células. Primeiro, será necessário descobrir qual é a produção de energia de cada célula. Para isso, precisamos descobrir a medida da diagonal do retângulo. A diagonal é igual a hipotenusa do triângulo de catetos iguais a 8 cm e 6 cm. Iremos então, calcular a diagonal aplicando o teorema de Pitágoras. Entretanto, observamos que o triângulo em questão é pitagórico, sendo múltiplo do triângulo 3,4 e 5. Desta forma, a medida da hipotenusa será igual a 10 cm, pois os lados do triângulo pitagórico 3,4 e 5 estão multiplicados por 2. Agora que já conhecemos a medida da diagonal, podemos calcular a energia produzida pelas 100 células, ou seja: E = 24 . 10 . 100 = 24 000 Wh Como a energia consumida é igual a 20 160 Wh, teremos que reduzir o número de células. Para encontrar esse número iremos fazer: 24 000 - 20 160 = 3 840 Wh Dividindo esse valor pela energia produzida por uma célula, encontramos o número que deverá ser reduzido, ou seja: 3 840 : 240 = 16 células Portanto, a ação do proprietário para que ele atinja o seu objetivo deverá ser retirar 16 células. Para saber mais, veja também: Exercícios de Trigonometria |
Exercícios resolvidos de teorema de pitágoras cm raiz quadrada
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