Exercícios princípio fundamental da contagem 8 ano

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Simplifique a expressão a seguir de acordo com as regras do Fatorial de um número:  

De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar-se num banco de 6 lugares de modo que duas delas fiquem sempre juntas, em qualquer ordem?

(Unifor–CE)

Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 720

(UFJF–MG)

Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:

a) 288 b) 296 c) 864 d) 1728 e) 2130

(ITA–SP)

Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? 

a) 144 b) 180 c) 240 d) 288 e) 360

Como duas pessoas ficarão sempre juntas, podemos considerá-las uma única pessoa. Dessa forma temos que:

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Sabendo que as duas pessoas podem se sentar de duas maneiras, teremos 2 * 120 = 240. Portanto as 6 pessoas podem ocupar o banco de 6 lugares, em que 2 fiquem sempre juntas, de 240 maneiras. 

Os pais deverão ocupar os extremos:

P ____ ____  ____ ____ M  ou M ____ ____ ____ ____ P

2 * P4 = 2 * 4! = 2 * 4 * 3 * 2 * 1 = 48 maneiras

Resposta correta item b. 
 

4 livros de Geometria = P4                                           2 livros de Álgebra = P2

3 livros de Análise = P3

P4 * P2 * P3 * P3 = 4! * 2! * 3!

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 2! = 2

3! = 3 * 2 * 1 = 6

P4 * P2 * P3 * P3 = 24 * 2 * 6 * 6
P4 * P2 * P3 * P3 = 1728 maneiras

Resposta correta item d.

3 e o 4 ocupando posições adjacentes
5! * 2! = 120 * 2 = 240 números

1 e o 2 juntos e o 3 e o 4 juntos
4! * 2! * 2! = 24 * 2 * 2 = 96 números

3 e o 4 juntos e o 1 e o 2 nunca juntos
240 – 96 = 144 números

Resposta correta item a.
 

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Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre o famoso Princípio Fundamental da Contagem, também conhecido como PFC.

O tema é bem tranquilo mas exige muita atenção dos estudantes, como todo o conteúdo de Análise Combinatória.

Bom estudo!

Questão 1. Arnaldo planeja ir à praia e deseja utilizar uma camiseta, uma bermuda e um chinelo. Sabe-se que ele possui 5 camisetas, 6 bermudas e 3 chinelos. De quantas maneiras distinta Arnaldo poderá vestir-se?

a) 18

b) 30

c) 90

d) 108

Resolução

Número de opções de camisetas: 5

Número de opções de bermudas: 6

Número de opções de chinelos: 3

Pelo Principio Fundamental da Contagem:

5 x 6 x 3 = 90

Resposta: C

Questão 2. Uma prova possui 5 questões de múltipla escolha, onde cada uma possui 4 opções distintas. De quantas maneiras a prova pode ser resolvida?

a) 512

b) 1024

c) 525

d) 2056

Resolução

Cada uma das 5 questões possui 4 opções distintas.

Pelo PFC:

4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024

Resposta: B

Questão 3. Quantos números de três algarismos distintos existem?

a) 648

b) 981

c) 936

d) 999

Resolução

Para que o número tenha 3 algarismos, o zero não pode ser utilizado nas centenas. Podemos então utilizar qualquer dos algarismos de 1 a 9, ou seja, temos 9 opções.

Analisando as dezenas, podemos utilizar o zero e qualquer um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas centenas. Temos então 9 opções.

Analisando agora o algarismo das unidades, podemos utilizar um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas dezenas ou nas centenas. Temos então 8 opções.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC):

9 x 9 x 8 = 648

Resposta: A

Questão 4 (Petrobras – Cesgranrio 2014). Uma senha de 5 caracteres distintos deve ser formada usando as letras A e O e os números 0, 1, 2. As senhas devem começar e terminar com letras, mas não é permitido usar o 0 (zero) ao lado do O (letra o).

Quantas senhas podem-se formar atendendo às regras estabelecidas?

A) 12

B) 8

C) 6

D) 4

E) 2

Resolução

Devemos formar a senha da seguinte forma:

Letra – Número – Número – Número – Letra

Como só podemos utilizar duas letras, temos duas opções Veja:

A _ _ _ O

O _ _ _ A

O próximo passo é organizar os números. A única restrição que temos é que o zero e a letra O não podem ficar juntos. Desta forma, temos duas opções para o algarismo zero. Exatamente as duas posições não adjacentes a letra O. Veja:

A 0 _ _ O

A _ 0 _ O

Basta agora localizarmos os algarismos 1 e 2. Como restam duas posições, o primeiro a ser incluído tem duas opções, enquanto o segundo tem apenas uma.

Daí, pelo Principio Fundamental da Contagem (PFC):

2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 8

Resposta: B

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é um método de cálculo da Análise Combinatória. Ele afirma que para achar o total de possibilidades em um evento com etapas, devemos multiplicar os número de possibilidades em cada etapa. Não entendeu? Então leia o resumo e faça os exercícios sobre o Princípio Fundamental da Contagem. 

Quando você terminar os Exercícios sobre o Princípio Fundamental da Contagem, coloque em prática todo seu conhecimento com O Melhor Simulado Enem do Brasil.   

O que é Princípio Fundamental da Contagem (PFC)?

O princípio fundamental da contagem é o primeiro e mais básico método de resolver as questões da Análise Combinatória. 

Ele também é conhecido como Princípio Multiplicativo e determina que devemos multiplicar o número de opções que há em cada etapa apresentada.

De forma mais completa:

“Quando um evento é composto por etapas sucessivas e independentes, sendo as possibilidades da primeira etapa representadas pelo X e as da segunda por Y, o total de possibilidades será dado pelo produto entre X e Y.”

Por exemplo:

Juninho brincava com um dado e notou que também possuía uma moeda em seu bolso. Como era um garoto muito esperto e amava matemática, decidiu descobrir quantas possibilidades de resultados distintos há ao lançar uma moeda e um dado. Qual foi o número corretamente encontrado por ele?

Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:

Moeda: cara ou coroa (2 possibilidades)

Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 possibilidades)

Observando o ocorrido, vemos que para cada uma das 2 possibilidades da moeda há outras 6 no dado. Portanto, o evento tem duas etapas com 2 possibilidades na primeira e 6 na segunda. 

Fazendo 2 x 6 encontramos o total de 12 possibilidades totais!

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O que é Fatorial(!) e como utilizar?

É uma ferramenta utilizada para simplificar os cálculos. É muito comum vê-la em questões de PFC e da própria Análise Combinatória. O seu símbolo é o sinal de exclamação “!”, e toda vez que aparecer seguido de um número, significa que faremos o fatorial dele. 

Portanto, consiste em multiplicar o número com o fatorial, por todos os seus antecessores inteiros, até chegar ao 1.

Por exemplo: 

1! = 1 x 1 = 1

2! = 2 x 1 =2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

E assim por diante. 

Exercícios sobre o Princípio Fundamental da Contagem

Esperamos que, com esse resumo, tudo tenha ficado mais claro para você. 

Obrigado por ter lido até aqui!

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Questão 1- (Unifor–CE) Um casal e seus quatro filhos vão ser colocados lado a lado para tirar uma foto. Se todos os filhos devem ficar entre os pais, de quantos modos distintos os seis podem posar para tirar a foto?

a) 24

b) 48

c) 96

d) 120

e) 720

Questão 2- (UFJF–MG) Newton possui 9 livros distintos, sendo 4 de Geometria, 2 de Álgebra e 3 de Análise. O número de maneiras pelas quais Newton pode arrumar esses livros em uma estante, de forma que os livros de mesmo assunto permaneçam juntos, é:

a) 288

b) 296

c) 864

d) 1728

e) 2130

Questão 3- (ITA–SP) Quantos números de seis algarismos distintos podemos formar usando os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes (juntos), mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? 

a) 144

b) 180

c) 240

d) 288

e) 360

Questão 4- (Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Questão 5- (UFMS-RS) Num acidente rodoviário, após ouvir várias testemunhas, conclui-se que o motorista culpado pelo acidente dirigia um carro cuja placa era constituída de 2 vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o 5. Isso não facilitou o trabalho de polícia, pois o número de placas suspeitas é de: 

a) 10 800 

b) 10 080 

c) 8 100 

d) 1 080 

e) 524  

• Muito bem! Você chegou à metade dos Exercícios sobre o Princípio Fundamental da Contagem. Continue fazendo o restante.

Questões 6 – (UEPG-PR) Um trem é constituído de uma locomotiva e cinco vagões distintos, um dos quais é um vagão-restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes em que a composição pode ser montada é igual a: 

a) 18 

b) 96 

c) 120 

d) 360 

e) 600  

Questão 7- (UTFPR) O número de palavras código de 5 letras que podem ser formadas com as letras a, b, c, d, e, f, g, h, sem que nenhuma letra possa ser repetida, é: 

a) 56 

b) 120 

c) 720 

d) 2401 

e) 6720  

Questão 8- (BEDUKA) O número de anagramas da palavra BEDUKA que começam e terminam por vogal é: 

a) 24 

b) 48 

c) 96 

d) 120 

e) 144  

Questão 9- (Enem/2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

Opção I- LDDDDD

Opção II- DDDDDD

Opção III- LLDDDD

Opção IV- DDDDD

Opção V- LLLDD

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

• Parabéns, você fez todos os Exercícios sobre o Princípio Fundamental da Contagem. Confira agora o Gabarito:

Gabarito dos Exercícios sobre o Princípio Fundamental da Contagem

Exercício resolvido da questão 1 –

Alternativa correta: b) 48

Exercício resolvido da questão 2 –

Alternativa correta: b) 296

Exercício resolvido da questão 3 –

Alternativa correta: a) 144

Exercício resolvido da questão 4 –

Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Exercício resolvido da questão 5 –

Alternativa correta: b) 10 080 

Exercício resolvido da questão 6 –

Alternativa correta: b) 96 

Exercício resolvido da questão 7 –

Alternativa correta: e) 6720  

Exercício resolvido da questão 8 –

Alternativa correta: e) 144  

Exercício resolvido da questão 9 –

Alternativa correta: e) V.

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