A função inversa, como o nome já sugere, é a função f(x)-1, que faz exatamente o inverso da função f(x). Para que uma função admita uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A lei de formação de uma função inversa faz o contrário do que a função f(x) faz. Show
Por exemplo, se a função pega um valor do domínio e soma 2, a função inversa, ao invés de somar, subtrai 2. Encontrar a lei de formação da função inversa nem sempre é uma tarefa fácil, sendo necessário inverter as incógnitas x e y, bem como isolar y na nova equação. Leia também: Função – tudo que você precisa saber para dominar o assunto Quando uma função admite inversa?Representação gráfica de uma função e sua função inversa.Uma função é inversível, ou seja, possui função inversa, se, e somente se, ela for bijetora. É importante lembrarmos o que é uma função bijetora, que é uma função injetora, ou seja, todo elemento da imagem possui um único correspondente no domínio. Isso significa que elementos diferentes no conjunto A precisam estar associados a elementos diferentes no conjunto B, ou seja, não pode haver dois ou mais elementos do conjunto A que possuem o mesmo correspondente no conjunto B. Uma função é sobrejetora se a imagem for igual ao contradomínio, ou seja, não há nenhum elemento do conjunto B que não tenha um elemento no conjunto A associado a ele. Seja a função f: A → B ,em que A é domínio e B é contradomínio, a função inversa de f será a função descrita por f-1 : B→ A, ou seja, o domínio e o contradomínio invertem-se. Exemplo: A função f : A → B é bijetora, pois ela é injetora (afinal, elementos distintos em A estão associados a elementos distintos em B) e também é sobrejetora, pois não sobra nenhum elemento no conjunto B, ou seja, o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Assim sendo, essa função é inversível, e a sua inversa é: Como se determina a lei de formação da função inversa?Para encontrar a lei de formação da função inversa, precisamos inverter as incógnitas, ou seja, trocar x por y e y por x, e posteriormente isolar a incógnita y. Para isso, é importante que a função seja inversível, ou seja, bijetora. → Exemplo 1 Encontre a lei de formação da função inversa de f(x) = x + 5. Resolução: Sabemos que f(x) = y, então y = x + 5. Realizando a inversão de x e y, vamos encontrar a seguinte equação: x = y + 5 Agora, vamos isolar o y: – 5 + x = y É evidente que, se f(x) soma 5 ao valor de x, então a sua inversa f(x) - 1 fará o inverso, ou seja, x menos 5. → Exemplo 2 Dada a função cuja lei de formação é f(x) = 2x – 3, qual será a lei de formação da sua inversa? → Exemplo 3 Calcule a lei de formação da inversa da função y = 2x. Resolução: y = 2x Trocando x por y: x = 2y Aplicando logaritmo dos dois lados: log2x = log22y Leia também: Diferenças entre função e equação Gráfico da função inversaO gráfico da função inversa f -1 será sempre simétrico ao gráfico da função f em relação à reta y = x, o que permite analisar o comportamento dessas funções, ainda que não consigamos descrever a lei de formação da função inversa em alguns casos, devido a sua complexidade. Leia também: Como construir o gráfico de uma função? Exercícios resolvidos1) Se f-1 é a função inversa de f, que vai de R em R, cuja lei de formação f(x) = 2x – 10, o valor numérico de f -1(2) é: a) 1 b) 3 c) 6 d) -4 e) -6 Resolução: → 1º passo: encontrar a inversa de f. → 2º passo: substituir 2 no lugar de x em f -1(x). Alternativa C. 2) Seja f: A → B uma função cuja lei de formação é f(x) = x² + 1, sendo A {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {1,2,5}, é correto afirmar que: a) a função é inversível, pois ela é bijetora. b) a função não é inversível, pois ela não é injetora. c) a função não é inversível, pois ela não é sobrejetora d) a função não é inversível, pois ela não é nem sobrejetora nem injetora. e) a função não é inversível, pois ela é bijetora. Resolução: Para que a função seja inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, sobrejetora e injetora. Primeiro vamos analisar se ela é sobrejetora. Para que a função seja sobrejetora, todos os elementos de B precisam possuir um correspondente em A. Para saber isso, vamos calcular cada um de seus valores numéricos. f (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5 f (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2 f (0) = 0² +1 = 0+1=1 f (1) = 1² +1 = 1+1=2 f (2) = 2² +1 = 4+1=5 Note que todos os elementos de B {1,2,5} possuem um correspondente em A, o que faz com que a função seja sobrejetora. Para que essa função seja injetora, elementos distintos de A devem possuir imagens distintas em B, o que não acontece. Note que f(-2) = f(2) e também que f(-1) = f(1), o que faz com que a função não seja injetora. Como ela não é injetora, ela também não é inversível; portanto, alternativa b. Por Raul Rodrigues de Oliveira Definimos como função do 2º grau, ou função quadrática, a função R → R, ou seja, uma função em que o domínio e o contradomínio são iguais ao conjunto dos números reais, e que possui a lei de formação f(x) = ax² +bx +c. O gráfico da função quadrática é sempre uma parábola e possui elementos importantes, que são:
Leia também: O que são domínio, contradomínio e imagem de uma função? O que é uma função do 2º grau?Uma função polinomial é conhecida como função do 2º grau, ou também como função quadrática, quando em sua lei de formação ela possui um polinômio de grau dois, ou seja, f(x) = ax² +bx +c, em que a, b e c são números reais, e a ≠ 0. Além da lei de formação, essa função possui domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, ou seja, f: R→ R. O gráfico da função do 2º grau é sempre uma parábola.Exemplos: a) f(x) = 2x²+3x + 1 a = 2 b = 3 c=1 b) g(x) = -x² + 4 a = -1 b = 0 c = 4 c) h(x) = x² – x a = 1 b = -1 c = 0 Para encontrar o valor numérico de qualquer função, conhecendo a sua lei de formação, basta realizarmos a substituição do valor de x para encontrar a imagem f(x). Exemplos: Dada a função f(x) = x² + 2x – 3, calcule: a) f(0) b) f(1) c) f(2) d) f(-2) f(-2) = (-2)² + 2·(-2) – 3 f(-2) = 4 - 4 – 3 = –3 Veja também: Quais são as diferenças entre equação e função? Raízes da função de 2º grauPara encontrar as raízes da função quadrática, conhecidas também como zero da função, é necessário o domínio das equações do segundo grau. Para resolver uma equação do segundo grau, há vários métodos, como a fórmula de Bhaskara e a soma e produto. A raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem com que f(x) = 0. Sendo assim, para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0. Exemplo: f(x) = x² +2x – 3 a = 1 b = 2 c = –3 Δ =b² – 4ac Δ=2² – 4 ·1·(-3) Δ=4 +12 Δ = 16 Então, os zeros da função são {1, -3}. O valor do delta nos permite saber quantos zeros a função quadrática vai ter. Podemos separar em três casos:
Gráfico de uma função do 2º grauO gráfico de uma função do 2º grau é representado sempre por uma parábola. Existem duas possibilidades, dependendo do valor do coeficiente “a”: a concavidade da parábola pode ser para cima ou para baixo. Se a > 0, a concavidade é para cima: O ponto V representa o que conhecemos como vértice da parábola, que, nesse caso, é o ponto de mínimo, ou seja, o menor valor que f(x) pode assumir. Se a < 0, a concavidade é para baixo: Quando isso ocorre, perceba que, nesse caso, o vértice é o ponto de máximo da função, ou seja, maior valor que f(x) pode assumir. Para fazer o esboço do gráfico, precisamos encontrar:
Veja também: Cinco passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau Vértice da parábolaComo vimos anteriormente, o vértice da parábola é o ponto de mínimo ou de máximo do gráfico. Para encontrar o valor de x e y no vértice, utilizamos uma fórmula específica. Vale ressaltar que o vértice é um ponto V, logo ele possui coordenadas, representadas por xv e yv. Para calcular o valor de V (xv, yv), utilizamos as fórmulas: Exemplo: Encontre o vértice da parábola f(x) = –x² +4x – 3. a = -1. b = 4. c = -3 Calculando o Δ e aplicando a fórmula de Bhaskara, temos que: Δ=b² – 4ac Δ=4² – 4(-1) (-3) Δ=16 – 12 Δ=4 Representação gráfica de uma função do 2º grauPara realizar o esboço do gráfico de uma função, é necessário encontrar três elementos: os zeros ou raízes da função, o vértice e o ponto em que a função toca o eixo y, conforme o exemplo a seguir. Exemplo: f(x) = x² – 6x + 8 1º passo: As raízes da função são os pontos em que a parábola toca o eixo x, logo queremos encontrar os pontos (x’, 0) e (x”,0). Para isso faremos f(x) = 0, então temos que: x² – 6x + 8=0 a= 1 b= -6 c = 8 Δ = b² -4ac Δ = (-6)² -4·1·8 Δ = 36 – 32 Δ = 4 Já temos dois pontos para o gráfico, o ponto A(4,0) e o ponto B (2,0). 2º passo: encontrar o vértice da parábola. Então o vértice da parábola é o ponto V(3, -1). 3º passo: encontrar o ponto de intersecção da parábola com o eixo y. Para isso, basta calcular f(0): f(x) =x² – 6x + 8 f(0) = 0² -6·0 + 8 f(0) = 8 Por fim, o ponto C (0,8) pertence ao gráfico. 4º passo: Agora que temos os pontos, vamos marcá-los no plano cartesiano e fazer o esboço do gráfico da parábola. A(4,0) B(2,0) V(3,-1) C(0,8) Acesse também: Relação entre os coeficientes e o gráfico de uma função do segundo grau Exercícios resolvidosQuestão 1 – (Enem 2013 – PPL) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x)= -x²+ 12x - 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a: A) 4 B) 6 C) 9 D) 10 E) 14 Resolução Alternativa B. Sabendo que a função lucro L(x) é uma função do 2º grau, a = -1, ou seja, o seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, queremos encontrar o ponto de máximo da função, ou seja, o vértice. Como x representa a quantidade de bonés, então a quantidade de bonés que maximiza o lucro é o xv. b = 12 a = -1 Questão 2 – (Enem 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é A) V = 10.000 + 50x – x². B) V = 10.000 + 50x + x². C) V = 15.000 – 50x – x². D) V = 15.000 + 50x – x². E) V = 15.000 – 50x + x². Resolução Alternativa D. Analisando a situação, com o combustível a R$ 1,50, são vendidos 10.000 litros, logo é faturado um total de: 10.000·1,50 = 15.000 → R$ 15.000,00. É possível perceber que o valor arrecadado (V) é igual ao produto da quantidade Q pelo preço P. V = Q . P Quando se abaixa 1 centavo, a quantidade vendida aumenta em 100 litros, ou seja: Q = 10.000 + 100x Por outro lado, o preço terá o desconto de 1 centavo, o que podemos representar por: P = 1,50 – 0,01x Sendo assim, o valor é calculado por: V = Q·P V = (10.000 + 100x) ·(1,50 – 0,01x) Aplicando a propriedade distributiva, temos que: V = 15.000 – 100x + 150x – x² |