Persamaan diferensial merupakan persoalan matematis yang sering dijumpai dalam bidang teknik lingkungan. Sering kali suatu persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan secara analitik sehingga diperlukan metode numerik untuk menyelesaikannya. Pada Chapter 10, kita akan membahas masalah-masalah dalam persamaan diferensial dan metode penyelesaiannya. Adapun yang akan dibahas pada Chapter 10 kali ini antara lain: Persamaan diferensial parsial (PDE) banyak dijumpai pada pemodelan transport polutan dalam bidang teknik lingkungan. Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang melibatkan lebih dari satu variabel independen, biasanya variabel waktu dan satu atau lebih variabel posisi atau beberapa variabel spasial. PDE diklasifikasikan menjadi 3 jenis: parabolik (time-dependent dan difusif), hiperbolik (time-dependent dan gelombang), dan eliptik (time-independent). Dalam penyelesaian PDE pada umumnya kita menggunakan metode FTCS (forward in time, centered in space). Untuk memahami definisi tersebut, pembaca dapat membaca kembali Chapter 9.1. Persamaan difusi merupakan contoh PDE parabolik. Persamaan difusi satu dimensi spasial ditampilkan pada Persamaan (10.12). \[\begin{equation} \frac{\partial C}{\partial t}=D\frac{\partial^2C}{\partial x^2} \tag{10.12} \end{equation}\] Persamaan tersebut mirip dengan persamaan konduksi panas. Pada persamaan konduksi panas, variabel konsentrasi \(C\) diganti dengan variabel temperatur \(T\), dan koefisien difusi D diganti dengan koefsien difusi termal K. Untuk menyelesaikan Persamaan (10.12), persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk metode beda hingga, dimana turunan waktu menggunakan pendekatan Euler (metode beda hingga maju) dan turunan variabel spasial diubah ke dalam bentuk pendekatan titik pusat. Proses diskretisasi Persamaan (10.12), ditampilkan pada Persamaan (10.13). \[\begin{equation} \frac{C\left(i+1,j\right)-C\left(i,j\right)}{\Delta t}=D\frac{C\left(i,j+1\right)+C\left(i,j-1\right)-2C\left(i,j\right)}{\Delta x^2} \tag{10.13} \end{equation}\] dimana \(i\) merupakan step untuk variabel waktu \(t\) dan \(j\) merupakan step untuk variabel spasial \(x\). Persamaan (10.13) dapat disusun kembali sehingga menjadi Persamaan (10.14) yang menyatakan persamaan konsentrasi \(C\) pada saat \(i+1\) pada posisi \(j\). \[\begin{equation} C\left(i+1,j\right)=C\left(i,j\right)+A\left[C\left(i,j+1\right)+C\left(i,j-1\right)-2C\left(i,j\right)\right] \tag{10.14} \end{equation}\] dimana \[\begin{equation} A=D\frac{\Delta t}{\Delta x^2} \tag{10.15} \end{equation}\] Untuk stabilitas komputasi, pemilihan peningkatan waktu terhadap jarak yang dinyatakan pada nilai \(A\) harus \(\le\frac{1}{2}\). Pada contoh berikut, kita akan melakukan simulasi menggunakan Persamaan (10.14). Parameter yang digunakan dan nilai awal yang digunakan dinyatakan pada sintaks berikut: Langkah selanjutnya adalah inisiasi konsentrasi awal, dimana seluruh konsentrasi awal pada tiap grid adalah nol kecuali pada grid pusat. Simulasi selanjutnya dilakukan dengan melakukan iterasi pada grid points konsentrasi yang telah dibuat. Visualisasi dari hasil simulasi tersebut ditampilkan pada Gambar 10.8.  Gambar 10.8: Visualisasi 3D simulasi difusi partikulat Persamaan gelombang 1 dimensi ditampilkan pada Persamaan (10.16). \[\begin{equation} \frac{\partial^2W}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2W}{\partial x^2} \tag{10.16} \end{equation}\] dimana \(W\) merupakan pemindahan dan \(c\) merupakan kecepatan gelombang. Persamaan (10.16) merupakan bentuk PDE hiperbolik. Versi lebih sederhana dari Persamaan (10.16) adalah persamaan adveksi yang ditampilkan pada Persamaan (10.17). \[\begin{equation} \frac{\partial y}{\partial t}=-c\frac{\partial y}{\partial x} \tag{10.17} \end{equation}\] Persamaan (10.17) menggambarkan evolusi pada bidang skalar \(y\left(x,y\right)\) dibawa oleh gelombang dengan kecepatan konstan \(c\) dan bergerak dari kiri ke kanan jika \(c>0\). Persamaan adveksi merupakan contoh palin sederhana dari persamaan konservasi flux. Diskretisasi Persamaan (10.17) ditampilkan pada Persamaan (10.18). \[\begin{equation} y\left(i+1,j\right)=y\left(i,j\right)-\frac{c\Delta t}{2\Delta x}\left[y\left(i,j+1\right)-y\left(i,j-1\right)\right] \tag{10.18} \end{equation}\] Pada contoh berikut, kita akan melakukan simulasi menggunakan Persamaan (10.17). Parameter yang digunakan dan nilai awal yang digunakan dinyatakan pada sintaks berikut: Kondisi awal dan kondisi batas periodik dinyatakan sebagai berikut: Langkah selanjutnya melakukan interasi untuk melihat perubahan nilai pada grid points. Visualisasi dari hasil simulasi tersebut ditampilkan pada Gambar 10.9. Gambar 10.9: Visualisasi simulasi adveksi Persamaan Laplace dalam dua dimensi disajikan pada Persamaan (10.19). \[\begin{equation} \frac{\partial V}{\partial x^2}+\frac{\partial V}{\partial y^2}=0 \tag{10.19} \end{equation}\] Persamaan (10.19) merupakan contoh tipe ketiga PDE, persamaan elips. Persoalan ini sering muncul dalam bidang elektrostatik, gravitasi, dan bidang lain di mana potensi \(V\) harus dihitung sebagai fungsi posisi. Jika ada muatan atau massa dalam ruang, dan jika kita menggeneralisasi ke tiga dimensi, persamaannya menjadi persamaan Poisson \[\begin{equation} \frac{\partial V}{\partial x^2}+\frac{\partial V}{\partial y^2}+\frac{\partial V}{\partial z^2}=0 \tag{10.20} \end{equation}\] Bergantung pada geometri masalahnya, Persamaan (10.20) juga dapat ditulis dalam koordinat bola, silindris, atau lainnya. Untuk menyelesaikan persamaan eliptik jenis ini, persamaan harus diberi syarat batas. Biasanya dengan menentukan bahwa titik, garis, atau permukaan tertentu dipertahankan pada nilai konstan potensial. Kemudian potensi di titik lain disesuaikan sampai mencapai perkiraan yang diinginkan. (Dalam kasus yang jarang terjadi, persamaan dengan kondisi batas dapat diselesaikan dengan tepat secara analitis; tetapi biasanya solusi perkiraan harus cukup.) Ada banyak pendekatan untuk solusi numerik dari persamaan Laplace. Mungkin yang paling sederhana adalah Jacobi, di mana titik-titik interior secara berturut-turut didekati dengan rata-rata titik-titik di sekitarnya, sedangkan titik-batas dibatasi pada nilai-nilai tetap dan yang ditentukan. Kita asumsikan sebagai contoh bidang persegi, dibatasi oleh \(\left(0,1\right)\) dalam arah \(x\) dan \(y\), di mana ujung pada \(y = 1\) dipertahankan pada \(V = 1\) dan tiga tepi lainnya dipertahankan pada \(V = 0\). Kita buat tebakan awal yang paling sederhana untuk potensi di titik interior, tetapi ini akan disamakan saat solusinya menyatu. Pada contoh berikut, kita akan melakukan simulasi persamaan Laplace menggunakan metode Jacobi. Parameter yang digunakan dalam simulasi adalah sebagai berikut: Tebakan awal untuk profil voltase adalah sebagai berikut: Kondisi batas di tetapkan seperti berikut: Selanjutnya visualisasikan tebakan awal. Gambar 10.10: Visualisasi tebakan awal solusi persaman Laplace Proses iterasi menggunakan metode Jacobi ditampilkan pada sintaks berikut: Hasil simulasi selanjutnya di visualisasikan kembali. Gambar 10.11: Visualisasi hasil simulasi solusi persaman Lplace
Package Pada paket
Saat paket Fungsi
Pada situasi yang lebih kompleks, ukuran sel atau kisi dapat bervariasi, atau dapat pula lebih dari satu zona. Kondisi ini dijelaskan lebih jauh pada laman bantuan fungsi. Nilai yang dihasilkan dari fungsi Fungsi plot untuk Banyak model transportasi akan melibatkan kisi-kisi dengan properti konstan. Tetapi jika beberapa properti yang mempengaruhi difusi atau adveksi bervariasi dengan posisi di grid, variasi dapat digabungkan dengan fungsi Diberikan fungsi matematis atau matriks data, fungsi
Fungsi ini menghitung istilah transportasi — laju perubahan konsentrasi akibat difusi dan adveksi — dalam model cairan 1D (fraksi volume = 1) atau padatan berpori (fraksi volume dapat bervariasi dan <1).
Ketika
Namun penyempurnaan lain adalah fungsi Setelah kisi telah diatur dan properti ditetapkan dan model transport telah diformulasikan dengan |
Berapa ukuran garis tepi gambar teknik?
Pos Terkait
Copyright © 2024 idkuu.com Inc.
