Postingan Blog Materi Sekolah kali ini bertujuan untuk menyajikan Pembahasan Soal Permutasi. Jumlah permutasi dari n objek yang diambil r pada suatu waktu, di mana 0 <r ≤ n, dilambangkan dengan P(n,r) dengan rumusnya sebagai berikut : Plat nomor dimulai dengan tiga huruf. Jika huruf yang mungkin adalah A, B, C, D dan E, berapa banyak permutasi yang berbeda dari huruf-huruf ini dapat dibuat jika tidak ada huruf yang digunakan lebih dari sekali ? Cara-Cara Penyelesaiannya
1. Menggunakan logika umum (tanpa rumus) Untuk huruf pertama, ada 5 pilihan yang memungkinkan. Setelah huruf tersebut dipilih, ada 4 pilihan yang memungkinkan. Akhirnya, tinggal 3 pilihan huruf yang memungkinkan. Sehingga kita dapatkan : 5 × 4 × 3 = 602. Menggunakan Rumus Permutasi Dari lima (5) huruf (A, B, C, D, E) yang diambil 3, maka banyaknya cara adalah :P(n,r) = n! (n-r)! P(5,3) = 5! (5-3)! P(5,3) = 5 x 4 x 3 x 2! 2! = 60Dalam berapa banyak cara 4 resistor berbeda dapat diatur secara seri ? Pembahasan
Karena ada 4 resitor, banyak cara dalam menyusunnya adalah : Pembahasan P(n,r) = n! (n-r)! P(6,2) = 4! (4-2)! P(11,4) = 4.3.2! 2! = 12 caraBerapa banyak plat nomor yang berbeda untuk mobil yang dapat dibuat jika setiap plat nomor berisi empat angka 0 hingga 9 diikuti oleh huruf A hingga Z, dengan ketentuan (asumsi) bahwa : (A) tidak ada pengulangan digit yang diizinkan. (B) pengulangan angka diizinkan . Pembahasan
A. Tidak ada pengulangan digit yang diizinkan Ada 10 kemungkinan digit (0,1,2,…, 9) dan kita perlu mengambilnya 4 sekaligus. Ada 26 huruf dalam alfabet. Tanpa pengulangan, kita memiliki:P(10,4) = 10! (10-4)! P(10,4) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6! 6! = 131.040B. Pengulangan angka diizinkan Dengan pengulangan, kita memiliki: (jumlah digit 0000 hingga 9999) × Jumlah huruf alfabet ⇔ 10.000 x 26⇔ 260.000 Dalam berapa banyak cara seorang Presiden, Bendahara dan Sekretaris dipilih dari antara 7 kandidat ?Pembahasan 7 kandidat akan dipilih 3 orang sebagai Presiden, Bendahara dan Sekretaris. P(n,r) = n! (n-r)! P(7,3) = 7! (7-3)! P(7,3) = 7 x 6 x 5 x 4! 4! = 210Jadi terdapat sebanyak 210 cara Jika suatu kode pos berisi 5 digit. Berapa banyak kode pos yang dapat dibuat dengan angka 0–9 jika tidak ada digit yang digunakan lebih dari sekali dan digit pertama bukan 0 ?Pembahasan Dari soal, 0 tidak diizinkan menempati digit pertama untuk kode pos. Sehingga untuk posisi pertama, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 tidak diperbolehkan). Untuk 4 posisi berikutnya, kita memilih dari 9 digit. 9 x P(9,4) = 9 x 9! (9-4)! 9 x P(7,3) = 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5! 5! = 27216Cara lain (pendekatan logika) Untuk posisi pertama, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 tidak diperbolehkan). Setelah nomor itu dipilih, ada 9 pilihan yang memungkinkan (karena 0 sekarang diperbolehkan). Kemudian, ada 8 pilihan yang mungkin, 7 pilihan yang mungkin dan 6 pilihan yang mungkin. Jadi9 × 9 × 8 × 7 × 6 = 27.216 Dalam suatu kelas akan dibentuk panitia sebanyak 2 orang (ketua dan wakil ketua). Jika kandidat panitia ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Tentukan banyaknya cara yang terpilih sebagai panitia ?Pembahasan P(n,r) = n! (n-r)! P(6,2) = 6! (6-2)! P(11,4) = 6 x 5 x 4! 4! = 30 caraBerapa banyak cara dapat mengatur 6 anak perempuan dan 2 anak laki-laki secara berturut-turut dengan asumsi sebagai berikut : (A) Tanpa batasan. (B) Kedua anak laki-laki itu bersama. (C) Kedua anak lelaki itu tidak bersama. Pembahasan
(A) Tanpa batasan Hanya 8 orang yang diatur secara berurutan: 8! = 40.320(B) Kedua anak laki-laki bersama Anggap 2 anak laki-laki sebagai satu "unit" dan ada 7 "unit" untuk diatur. Sehingga kita dapatkan : 7! = 5040 cara. Anak laki-laki dapat diatur dalam 2! = 2 cara, jadi banyaknya cara yang dapat diatur adalah : 7! × 2! = 10.080(C) Kedua anak laki-laki tidak bersama Banyaknya cara mengatur agar anak laki-laki tidak bersama adalah :40.320 − 10.080 = 30.240 Dalam sebuah tim olahraga terdapat 10 orang siswa yang dicalonka untuk menjadi pemain. Namun hanya 5 orang yang boleh menjadi pemain utama. Berapa banyak cara dalam menentukan pemain utamaPembahasan P(n,r) = n! (n-r)! P(10,5) = 10! (10-5)! P(10,5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 65! 5! = 30.240 caraBerapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu ? Pembahasan Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong. P(7,3) = 7! (7 - 3)! P(7,3) = 7! 4! P(7,3) = 7 x 6 x 5 x4! 4! = 210 caraAda berapa banyak cara yang dapat diatur dari kata 'MATHEMATICS' dengan ketentuan huruf-huruf vokal harus selalu bersama ? Pembahasan Kata 'MATEMATIKA' memiliki 11 huruf. Kata-kata tersebut memiliki huruf vokal 'A', 'E', 'A', 'I' dan 4 vokal ini harus selalu bersama. Oleh karena itu ke-4 huruf vokal ini dapat dikelompokkan dan dianggap sebagai satu huruf sehingga menjadi : MTHMTCS (AEAI). Oleh karena itu kita dapat menganggap total huruf sebagai 8. Tetapi dalam 8 huruf ini, 'M' terjadi 2 kali, 'T' terjadi 2 kali tetapi sisa hurufnya berbeda. Oleh karena itu, banyaknya cara untuk mengatur huruf-huruf tersebut : ⇔ 8! (2!)(2!) =8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2! 2!(2 x 1) = 10080Dalam 4 huruf vokal (AEAI), 'A' muncul 2 kali dan sisanya dari vokal berbeda. Banyaknya cara untuk mengatur huruf vokal itu sendiri adalah :⇔ 4! 2! =4 x 3 x 2! 2! ⇔ 10080 × 12 = 120960 Ada berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata "RUMAH" ?Pembahasan Kata 'RUMAH' memiliki 5 huruf dan semua 5 huruf ini berbeda. Total jumlah kata yang dapat dibentuk dengan menggunakan semua 5 huruf tersebut adalah : 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata Ada berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata "LEADER" ?Pembahasan Kata 'LEADER' memiliki 6 huruf. Tetapi dalam 6 huruf ini, 'E' muncul 2 kali dan sisanya adalah huruf yang berbeda. Oleh karena itu, banyaknya kata yang dapat dibentuk : ⇔ 6! 2! =6 x 5 x 4 x 3 x 2! 2! = 360 buah kata Ada berapa banyak kata yang dapat dibuat dari kata 'ENGINEERING'?Pembahasan Kata 'ENGINEERING' memiliki 11 huruf. Tetapi dalam 11 huruf ini, 'E' muncul 3 kali, 'N' muncul 3 kali, 'G' muncul 2 kali, 'I' muncul 2 kali dan sisa hurufnya berbeda. Oleh karena itu, banyaknya kata yang dapat dibentuk : ⇔ 11! (3!)(3!)(2!)(2!) ⇔ 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3! 3!(3 x 2 x 1)(2 x 1)(2 x 1) = 277200 buah kata |