Blog ini berisi Materi dan Soal Latihan Matematika, untuk Siswa SMP Negeri 1 Purwodadi pada khususnya dan siswa SMP pada umumnyaSabtu, 12 September 2009 NGATINI, S.Pd MATEMATIKA 2B UNTUK SMP KELAS VIII SEMESTER KEDUA PRAKATA DAFTAR ISI BAB 1 LINGKARAN ......................................................................................... 1 A. Lingkaran dan Bagian-Bagiannya......................................................... 1 1. Pengertian Lingkaran..................................................................... 1 2. Bagian-Bagian Lingkaran .............................................................. 1 B. Keliling dan Luas Lingkaran ................................................................ 3 1. Menemukan Pendekatan Nilai p Phi ............................................. 3 2. Menghitung Keliling Lingkaran ...................................................... 4 3. Menghitung Luas Lingkaran .......................................................... 5 4. Menghitung Perubahan Luas Dan Keliling Lingkaran ...................... 7 C. Hubungan antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring ............ 8 1. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring ................. 8 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring .................... 10 D. Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran ............................................ 11 1. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling ...................................... 11 2. Besar sudut keliling yang menghadap diameter ............................. 12 E. Segi Empat Tali Busur (Pengataan)...................................................... 14 1. Pengertian Segi Empat Tali Busur.................................................. 14 2. Sifat-sifat Segi Empat Tali Busur................................................... 15 F. Sudut Antara Dua Tali Busur (Pengataan)............................................. 17 1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jiak Berpotongan Didalam Lingkaran ........................................................................ 17 2. Sudut Antara Dua Tali Busur Jiak Berpotongan Diluar Lingkaran ........................................................................... 18 BAB 2 GARIS SINGGUNG LINGKARAN ....................................................... 20 A. Mengenal Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran ..................................... 20 B. Melukis dan Menentukan panjang Garis Singgung Lingkaran ................ 21 C. Kedudukan Dua Lingkaran ................................................................. 22 D. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran ......................................... 23 E. Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan Dua Lingkaran .......................................................... 25 F. Melukis Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga ........................ 26 BAB 3 KUBUS DAN BALOK ......................................................................... 32 A. Mengenal Bangun Ruang ................................................................... 32 1. Mengenal Berbagai Macam Bangun Ruang .................................. 32 2. Mengenal Sisi, Rusuk, dan Titik Sudut Kubus Maupun Balok ............................................................................ 32 3. Bangun dari Sisi Kubus dan Balok .............................................. 33 4. Rusuk-Rusuk yang Sejajar pada Bangun Ruang ........................... 33 5. Mengenal Diagonal Bidang, Diagonal Ruang dan Bidang Diagonal ......................................................................... 34 6. Melukis Kubus dan Balok ........................................................... 34 B. Model Kerangka Serta Jaring-Jaring Kubus dan Balok ...................... 35 1. Model Kerangka Kubus dan Balok ............................................. 35 2. Jaring-jaring Kubus dan Balok .................................................... 36 C. Luas permukaan Serta Volume Kubus dan Balok .............................. 38 1. Luas Permukaan Kubus dan Balok ............................................. 38 2. Volume Kubus dan Balok ........................................................... 39 BAB 4 BANGUN RUANG SISI DATAR LIMAS DAN PRISMA TEGAK...... 42 B. Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, Serta Bidang Diagonal Prisma dan Limas ............................................................................. 43 C. Jaring-jaring Prisma dan Limas .......................................................... 44 D. Luas Permukaan Prisma dan Limas ................................................... 46 E. Volume Prisma dan Limas ................................................................. 49 DAFTAR PUSTAKA BAB 1 Tujuan Pembelajaran pada bab ini adalah Dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran - Dapat menemukan - nilai phi
A. LINGKARAN DAN BAGIAN-BAGIANNYA 1. Pengertian Lingkaran B C O D APerhatikan gambar 1.1 Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disbeut pusat lingkaran. Gambar 1.1 Gambar 1.1 menunjukkan titik A, B, C dan D yang terletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehingga = jari-jari lingkaran ( r ) titik O disebut pusat lingkaran. OPerhatikan gambar 1.2 Panjang garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuk lingkaran disbeut keliling lingkaan sedangkan daerah arsiran disebut bidang lingkaran alas luas lingkaran. 2. O D A F B E busur tali busur juring ApotemaBagian-bagian Lingkaran Gambar 1.3 Perhatiakn gambar 1.3 Titik - O disebut titik pusat lingkaran
besar B busur kecil Garis lengkung disebut busur lingkaran, yaitu bagian dari keliling lingkaran. Busur terbagi menjadi dua yaitu busur besar ada busur kecil ( gambar 1.4 ) 1. Busur kecil / pendek adalah busur AB yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran. Gambar 1.4 2. Busur besar / panjang adalah busur AB yang lebih dari setengah keliling lingkaran juring besar B juring kecil O Gambar 1.5
besar tembereng kecil Gambar 1.6
1 1. Pada gambar dibawah ini sebutkan garis yang merupakan a. A B C E D O F Jari-jari b. Garis tengah c. Tali busur d. Apotema 2. Disebut apakah daerah arsiran yang ditunjukkan pada gambar berikut ? (a) (b) (c) (e) 3. Sebutkan nama unsur-unsur lingkaran yang ditunjukkan oleh nomor 1, 2, 3, 4 dan 5 pada gambar dibawah ini. 5 4 2 1 3 O 4. Benar atau salahkah pernyataan-pernyataan berikut ? a. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. b. Jari-jari lingkaran saling berpotongan di satu titik c. Garis tengah merupakan tali busur yang terpanjang d. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh jari-jari dan tali busur. B. KELILING DAN LUAS LINGKARAN 1. Menemukan Pendekatan Nilai π (phi) Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatan π (phi) Kegiatan a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm dan 3cm b. Ukurlah diamter masing-masing lingkaran dengan menggunakan penggaris c. Ukurlah keliling masing-masing lingkaran menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang di ukur dengan menggunakan penggaris. d. Buatlah tabel seperti dibawah ini dan hasil pengukuran yang telah kamu peroleh isikan pada tabel tersebut. Lingkaran Diameter Keliling Diameter Berjari-jari 1 cm Berjari-jari 1,5 cm Berjari-jari 2 cm Berjari-jari 2,5 cm Berjari-jari 3 cm ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ ................ Coba bandingkan hasil yang kalian peroleh dengan hasil yang diperoleh teman-temanmu. Apa yang dapat kalian simpulkan ? Apakah kalian mendapatkan nilai perbandingan antara keliling dan diameter untuk setiap lingkaran adalah sama ( tetap ) ? = πJika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti maka nilai disebut sebagai nilai konstanta π ( π dibaca phi ) Coba tekan tombol π pada kalkulator. Apakah kalian mendapatkan bilangan desimal tak berhingga dan berulang ? Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilangan pecahan. Oleh karena itu, π bukan bilangan pecahan, tetapi bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa . Bilangan irasional berupa desimal tak berulang dan tak berhingga. Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai π = 3,14 159265358979324836 ..... Jadi, nilai π hanyalah suatu pendekatan. Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal, Coba bandingkan nilai π dengan pecahan . Bilangan pecahan jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 3,142857143. Jadi bilangan dapat dipakai sebagai pendekatan untuk nilai π. π = 3,14 atau 2. Menghitung Keliling Lingkaran = = π Karena panjang diameter 2 x jari-jari atau d = 2r, maka k = 2 π r. K = π d atau K = 2 π r Contoh. Hitunglah keliling kl jika diketahui a. diameter 7 cm b. jari-jari 14 cm Penyelesaian a. d = 7 cm K = π d = x 7 = 22 Jadi keliling lingkaran adalah 22 cm b. r = 14 cm K = 2 π r = 2 x x 4 = 88 Jadi, keliling lingkaran adalah 88 cm Uji Kompetensi 2 1. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui a. Jari-jari 21 m b. Jari-jari 10 m c. Jari-jari 15 m d. Diameter 2,8 cm e. Diameter 2,4 cm 2. Hitunglah panjang tali yang diperlukan untuk melilitkan sebuah drum berjari-jari 5 cm sebanyak lima putaran. 3. 10 cm 14cm 14cm 14 cm 7 cm (i) (ii) (iii) 4. Intan ke sekolah naik sepeda menempuh jarak 706,5 m ternyata sebuah roda sepedanya berputar 600 kali untuk sampai ke sekolah a. Hitunglah panjang jari-jari roda b. Tentukan keliling roda itu 3. 10 9 8 7 11 12 1a 1b 6 5 4 3 2 12 11 10 9 8 7 1a 2 3 4 5 6 1b π r (i) p r (ii) Gambar 1.7 rMenghitung Luas Lingkaran a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10cm b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar dan arsir satu bagian (i) d. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua sama besar e. Gunting lingkaran besarta 12 juring tersebut f. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang gambar 1.7 (ii) Berdasarkan gambar 1.7 (ii), diskusikan dengan teman sebangkumu untuk menemukan luas lingkaran. Hasilnya bandingkan dengan uraian berikut. tersebut dipotong dan disusun seperti gambar 1.7 (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran (3,14x10 cm = 3,1 4cm) dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10 cm). Jadi luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan P = 31,4 cm dan l = 10 cm = p x l = 31,4 cm x 10 cm = 314 cm2 Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang π r dan lebar r, sehingga diperoleh L = π r x r L = π r2 Karena r = d, maka L = p = p L = pd2 L = pr 2 atau L = pd2Jadi dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dan jari-jari r atau diamter d adalah Contoh. Hitunglah luas lingkaran jika a. Jari-jari 7 cm b. Diamternya 10 cm Penyelesaian a. Jari-jari : 7 cm, maka r = 7 L = p r2 = x 7 x 7 = 15 cm Jadi luas lingkaran = 154 cm2 b. Diamternya 10 cm maka d = 10 cm L = pd2 = x 3,14 x 100 = 78,5 Jadi, luas lingkaran -= 78,5 cm2 Uji Kompetensi 3 1. Hitunglah luas daerah lingkaran dengan panjang jari-jari sebagai berikut. a. 14 cm c. 3,5 m b. 21 cm d. 70 m a. 100 m c. 3,5 cm b. 14 m d. 18 cm 3. Tentukan luas daerah arsiran pada bangun berikut 7 cm (a) 10 cm (b) 10 cm 4. Dua buah lingkaran berjari-jari 5 cm dan 15 cm. Hitunglah perbandingan a. Kedua kelilingnya b. Selisih kelilingnya c. Kedua luasnya d. Selisih luasnya 5. Di pusat sebuah kota rencananya akan dibuat sebuah taman berbentuk lingkaran dengan jari- jari 56 m. Di dalam taman itu akan dibuat kolam berbentuk lingkaran dengan jari-jari 28 m. Jika di luar kolam akan ditanami rumput dengan biaya Rp. 8.000/m2. hitunglah seluruh biaya yang harus di keluarkan untuk menanam rumput tersebut. 4. Menghitung perubahan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari mengenai luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) = p r2 = pd2 dan keliling (K) = 2 p r = p d. Apabila nilai r atau d kita ubah, maka bersanya luas maupun keliling juga mengalami perubahan. Misalkan lingkaran berjari-jari r1 diperbesar sehingga jari-jarinya menjadi r2 dengan r2 > r1 jika luas lingkaran semula adalah L1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah : L2 = p – L1
2 p r2 - =
r K1 : K2 = 2 p r2 : p r1 r1 Contoh. Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang jari-jari 2 cm dan 4 cm. Penyelesaian Lingkaran berjari-jari 2 cm maka r1 = 2 Lingkaran berjari-jari 4 cm maka r2 = 4
2 x 6 = 12 p cm2 Selisih
2) = 4p cm2 Perbandingan luas = L2 : L1 p r = 16 : 4 = 4 : 1 Perbandingan keliling = K2 : K1 = p r1 = 4 : 2 = 2 : 1 Uji Kompetensi 4 1. Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi. a. Tiga kalinya 3) cm 2. Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luasnya a. Diperbesar empat kalinya b. Diperkecil kalinya 3. Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 25 : 64. Hitunglah a. Perbandingan keliling kedua lingkaran b. Selisih keliling kedua lingkaran c. Perbandingan jari-jari kedua lingkaran d. Selisih jari-jari kedua lingkaran 4. Jari-jari dua buah lingkaran masing-masing adalah x cm dan 3x cm. Jika jumlah panjang jari-jari a. Nilai x b. Perbandingan luas dan kelilingnya c. Selisih luas dan kelilingnya C. HUBUNGAN ANTARA SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING 1. Hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring A B O Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada gambar 1.8 disamping ÐAOB = a adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran AOB disebut juring AOB. Gambar 1.8 D C B A O a = = CôD B A O a r Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya Perhatikan gambar 1.9 (i) = = misalkan ÐCOD = Satu putaran penuh = 360o keliling lingkaran 2 p r, dan luas lingkaran = p r2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti gambar 1.9 (ii) sehingga diperoleh = = Dengan demikian diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB dan luar tembereng AB pada gambar 1.9 adalah. Panjang busur AB = x 2 p r Luas juring OAB = x p r2 Contoh Perhatikan gambar 1.10. Diketahui panjang jari-jari OA = 10 cm. Jika besar Ð AOB = 60o. Hitunglah. a. Panjang b. Luas juring OAB c. A B O Luas tembereng AB Penyelesaian a. Panjang = x 2 p r = x 2 x 3,14 x 10 = x 62,8 = 10,47 cm b. Luas juring OAB = x p r2 = x 3,14 x 102 = x 3,14 = 52,33 cm2 c. Karena besar ÐAOB = 60o, maka ∆AOB sama sisi dengan panjang sisi 10cm, sehingga S = x keliling segitiga 10 10 ) = x 30 = 15 Luas ∆ AOB = = = =
2. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring. Q P O 45o R Contoh. Gambar 1.11 Pada gambar diatas diketahui panjang busur PQ = 16,5 cm, panjang busur QR = 22 cm dan ÐPOQ = 45o a. Hitunglah besar ÐQOR b. Hitunglah panjang jari-jari OP c. Tentukan luas juring OPQ dan OQR Penyelesaian a. = = Û = Û = Û x = Jadi, besar ÐQOR = 60o b. Panjang = x 2 p r 22 = x 2 x x r 22 = x 2 x x r r = = 21 Jadi, panjang jari-jari OP = 21 cm c. Luas juring OPQ = x p r2 = x x 21 x 21 = 173,25 cm2 Luas juring OQR = x p r2 = x x 21 x 21 = 231 cm2 Uji Kompetensi 5 1. B O 72o 60o P Q Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B,C, dan D pada keliling lingkaran sehingga ÐAOB = 35o dan ÐCOD = 140o jika panjang = 14 cm. Hitunglah panjang 2. Pada gambar disamping, luas juring OAB = 50 cm2. Hitunglah b. Jari-jari lingkaran c. Luas lingkaran 3. Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 28 cm. Hitunglah a. Panjang busur dihadapan sudut 30o b. P Q O Luas juring diharapan sudut 45o 4. Pada gambar disamping diketahui panjang OP = 28 cm dan = 17,6 cm. Hitunglah luas juring POQ Q P O 72o 20cm 5. Pada gambar disamping besar ÐOPQ = 72o dan panjang jari-jari OP = 20 cm. Hitunglah a. Panjang busur besar PQ b. Luas juring besar POQ D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN 1. Hubungan sudut pusat dan sudut keliling A C B Gambar 1.12 OPada gambar 1.12 disamping OA dan OB berpotongan di O membentuk sudut pusat, yaitu ÐAOB. adapun tali busur AC dan CB berpotongan dititik C membentuk sudut keliling ÐACB b a O r A C B D lingkaran disamping berpusat dititik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. misalkan ÐAOC = a dan ÐCOB = b, maka ÐAOB = a + b. Perhatikan ∆ BOD, ÐBOD pelurus ÐBOC, sehingga
∆OAD ÐAOD pelurus ÐAOC, ∆ AOD adalah segitiga sama kaki karena OA = OD = r sehingga ÐODA = ÐOAD = = = Besar
2 x besar ÐADB Karena ÐAOB adalah sudut pusat dan ÐADB adalah sudut keliling, dimana keduanya menghadap , maka dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling. A C B OContoh. Gambar 1.14 Pada lingkaran diatas, jika ÐACO = 15o dan ÐBCO = 12o. Hitung besar ÐAOB. Penyelesaian ÐACB merupakan sudut keliling dan ÐAOB merupakan sudut pusat sehingga diperoleh sudut = 27 o sudut pusat AOB = 2 x sudut keliling ACB = 2 x 27o = 54 o 2. A C B O DBesar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran Perhatikan gambar 1.15 sudut pusat AOB menghadap busur AB. Bahwa sudut keliling ABC dan sudut keliling ADB menghadap busur AB, sehingga diperoleh. ÐAOB = 2 x ÐACB 180o = 2 x ÐACB Gambar 1.15 ÐACB = = 90o atau ÐAOB = 2 x ÐADB 180o = 2 x ÐADB ÐADB = = 90o Dari gambar 1.15 tampak bahwa ÐAOB adalah sudut lurus, sehingga besar ÐAOB = 180o. Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90o (suatu siku-iku) Contoh. C A B 65oDiketahui ÐABC = 65o dengan AB diameter lingkaran. Hitunglah besar ÐCAB Gambar 1.16 Ruas garis AB adalah diameter lingkaran. Karena ÐACB adalah sudut keliling yang menghadap diameter AB maka ÐACB = 90o. Perhatikan ∆ BCO adalah segitiga sama kaki karena OB = OC = r, sehingga ÐBCO = ÐCBO = 65o ÐACO = 65o = 25o Karena ∆ AOC sama kaki (OA = OC = r) maka ÐACO = ÐACO = 25o 3. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama A C D E B a OPerhatikan gambar 1.17 Pada gambar tersebut Ð AOB adalah sudut pusat yang menghadap = a, sedangkan ÐACB, ÐADB, dan ÐAEB adalah sudut keliling yang menghadap ÐACB = x ÐAOB = a ÐADB = x ÐAOB = a ÐAEB = x ÐAOB = a Jadi besar ÐACB = ÐADB = ÐAEB Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar atau x sudut pusatnya O B D C E 60o 50oPerhatikan gambar 1.18. Diketahui ÐBAC = 50o dan ÐCED = 60o. Hitunglah besar ÐBDC, ÐACD dan ÐABD. Penyelesaian yang sama yaitu sehingga besar ÐBDE = ÐBAC = 50o. Perhatikan ∆CED
70o ÐACD dan ÐABD adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu , sehingga besar ÐABD = ÐACD = 70o. Uji Kompetensi 6 1. C A B O D Pada gambar disamping diketahui besar ÐACD = 20o. Hitunglah besar a. ÐBOC b. ÐAOC c. ÐBOD C A B O D 2. Diketahui besar ÐBCA = 25o dan ÐCBO = 15o. Hitunglah besar. a. ÐAOB c. ÐABC b. ÐOAB d. ÐBAC 3. P R Q O x 2x Pada gambar disamping PR adalah diameter lingkaran. Hitunglah. a. Nilai x b. Besar ÐPRQ 1. Pengertian Segi Empat Tali Busur D Perhatikan gambar 1.19 Gambar 1.19 C O B A Pada gambar tersebut titik O adalah titik pusat lingkaran dari titik A, B, C dan D terletak pada keliling lingkaran tersebut. Ruas garis AB, BC, CD dan AD adalah tali-tali busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut membentuk segi empat ABCD, dan selanjutnya disebut segi empat tali busur. Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran 2. Sifat-Sifat Segi Empat Tali Busur B A D O C Gambar 1.20Perhatikan gambar 1.20 Pada gambar tersebut tampak bahwa sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur ABCD adalah ÐABC dengan ÐADC dan ÐBAD dengan ÐBCD. Perhatikan sudut keliling ÐABC dan ÐADC
x 360 Sekarang, perhatikan sudut keliling ÐBAD dan ÐBCD. ÐBAD = x + (ÐBOC ÐCOD)
x 360o = 180o Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180o Gambar 1.21 Q P S O P Perhatikan gambar 1.21 Pada gambar disamping adalah diameter lingkaran sekaligus diagonal segi empat PQRS. Karena ÐQPS dan ÐQRS adalah sudut keliling, maka besar ÐQPS = ÐQRS = 90o. Segi empat PQRS selanjutnya disebut segi empat tali busur siku-siku. Perhatikan gambar 1.22. K N M O L Gambar 1.22Pada gambar tersebut dan adalah diameter lingkaran, ÐKLM dan ÐKNM adalah sudut keliling yang menghadap diameter , sedangkan ÐLKM dan ÐLMN adalah sudut keliling yang menghadap diameter . Dengan demikian ÐKLM = ÐKNM = ÐLKM = ÐLMN = 90o. Karena keempat sudutnya siku-siku, akibatnya // . // , = dan = dengan dan adalah diagonal-diagonal segiempat KLMN. Dengan kata lain, segi empat KLMN adalah suatu persegi panjang. Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang. A B C O D Gambar 1.23 Perhatikan gambar 1.23 dan adalah diameter lingkaran dengan ^ Karena ÐDAB adalah sudut-sudut keliling yang menghadap diameter besar ÐABC = ÐBCD = ÐCDA = ÐDAB = 90o. Jika ∆ BOC kita putar sejauh 90o berlawanan arah putaran jarum jam dengan titik O sebagai titik Dengan demikian ® atau = . = = , sehingga = = = segiempat ABCD adalah bangun persegi. Segiempat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akan membentuk bangun persegi. Uji Kompetensi 7 1. A B C D OPerhatikan gambar dibawah ABCD adalah segiempat tali busur dengan ÐABC = 80o. Dan ÐADC = 100o. Tentukan a. Busur ÐBCD b. Busur ÐBAD 2. O 75o G H E F Perhatikan gambar disamping a. Jika ÐEOF = 75o. Tentukan besar sudut yang lain b. Apakah jenis ∆ FOG ? c. Bangun apakah EFGH ? Q R Perhatikan gambar disamping. Diketahui dan adalah diameter lingkaran. a. O Jika ÐOPS = 35o. Tentukan besar sudut yang lain b. 35o S P Bangun apakah PQRS ? F. G D E F O H D A B C O SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR ( PENGAYAAN ) (a) (b) Gambar 1.24 Pada gambar 1.24 (a), tali busur dan berpotongan didalam lingkaran, sedangkan gambar 1.24 (b) menunjukkan tali busur dan berpotongan pada perpanjangan kedua tali busur itu di luar lingkaran. 1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Didalam Lingkaran D A B C O Perhatikan gambar 1.25 Lingkaran dengan pusat di titik O dengan pusat di titik E adalah titik potong antara tali busur dan . Gambar 1.25 Dari gambar tersebut tampak bahwa ÐAEB, ÐBEC, ÐCED, dan ÐAED adalah sudut didalam lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan antara tali busur dan . Dari gambar tersebut diperoleh. a. ÐBDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC sehingga ÐBDC = x ÐAOD b. ÐACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD, sehingga ÐACD = x ÐAOD Perhatikan bahwa ÐBEC adalah sudut luar ∆ CDE, sehingga
ÐECD =
P Q R S O Contoh. Pada gambar disamping, diketahui busur ÐPOQ = 60o dan busur ÐROS = 130o. Tentukan besar ÐPTQ Penyelesaian. Gambar 1.26
= 95o 2. Sudut Antar Dua Tali Busur Yang Berpotongan Di Luar Lingkaran Perhatikan gambar. 1.27 L M N O O Titik O adalah titik pusat lingkaran, sedangkan dan adalah dua tali busur yang jika diperpanjang akan berpotongan di titik P, dimana titik P diluar lingkaran, sehingga terbentuk ÐKPN. ÐKMN adalah sudut keliling yang menghadap busur KN, sehingga ÐKMN = x ÐKON. Sudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM sehingga ÐMKL = x ÐMOL. atau ÐKPN
Perhatikan gambar 1.28 disamping. Diketahui besar ÐAED = 25o dan besar ÐBOC = 35o. Tentukan besar ÐAOD. Gambar 1.28 Penyelesaian ÐAED = x (ÐAOD ÐBOC) - =
= 85o A B D O C Uji Kompetensi 8 1. Perhatikan gambar disamping jika besar ÐAOC = 65o dan ÐBOD = 140o. Tentukan a. Besar ÐAEC E O D H F G 2. Pada gambar disamping tali busur DE dan GF berpotongan dititik H di luar lingkaran. Rangkuman 1. A O E F C G B D Perhatikan gambar disamping. a. Titik O disebut pusat lingkaran b. , , dan disebut jari-jari lingkaran. c. disebut garis tengah atau diameter, yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusat lingkaran. d. AE disebut tali busur, yaitu garis yang menghubugkan dua titik pada keliling lingkaran e. Garis lengkung AFE disebut busur kecil (pendek), yaitu busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran. f. Garis lengkung ACE disebut busur besar (panjang), yaitu busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran. g. Daerah yang dibatasi oleh jari-jari dan serta busur BC disebut sektor atau juring lingkaran. h. Daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur AFE disebut tembereng. i. ^ tali busur disebut Apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran. 2. Nilai p merupakan suatu pendekatan. Besar nilai p adalah 3,14 atau 3. Rumus keliling lingkaran ( k ) dengan diamter ( d ) dan jari-jari ( r ) sebagai berikut. K = p d atau K = 2 p r 4. Rumus luas lingkaran ( L ) dengan diameter ( d ) BAB 2 GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran pusat.
Dapat melukis lingkaran dalam dan - luar segitiga. A. MENGENAL SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN 1. g L BPengertian garis singgung lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang apabila diperpanjang akan memotong lingkaran hanya pada satu titik. Titik potong garis singgung lingkaran dengan lingkaran disebut titik singgung. Gambar 2.1 Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari atau diameter yang melalui titik singgung. Perhatikan gambar 2.1 garis g adalah garis singgung lingkaran L dengan titik singgung A garis g tegak harus dengan AL (jari-jari lingkaran) garis g juga tegak lurus dengan AB (diameter lingkaran). 2. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut. B g D A2 E O A1 A C 2 ℓ 1 ℓ k2 k1 Perhatikan gambar 2.2 Gambar 2.2 Pada gambar 2.2 diatas garis k1 dan k2 adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran dan menyinggung lingkaran dititik B dan C. Apabila titik A digeser ke A1 maka garis k1 dan k2 akan bergeser sehingga menjadi garis 1 dan ℓ 2 dan yang menyinggung lingkaran dititik D dan E. ℓ saling berimpit menjadi garis g. Jadi, hanya terdapat satu garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran. Apakah garis g ^ OA2 ? B. MELUKIS DAN MENENTUKAN PANJANG GARIS SINGGUNG LINGKARAN 1. Garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran. Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung lingkaran. 2. Garis singgung melalui suatu titik diluar lingkaran. Melalui sebuah titik diluar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran. 3. B O AMenentukan panjang garis singgung lingkaran dari satu titik di luar lingkaran. Pada gambar 2.3 disamping lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB ^ garis AB garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. Gambar 2.3 Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Dengan teorema pythagoras berlaku.
= Panjang garis singgung lingkaran (AB) = 4. A O P – BLayang layang garis singgung. Perhatikan gambar 2.4 berpusat di titik O. Dengan demikian ÐOAP = ÐOBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur. Gambar 2.4 Perhatikan ∆ OAB Pada ∆ OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga ∆ OAB adalah ∆ sama kaki. Perhatikan ∆ ABP. OAPB terbentuk dari segitiga sama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB yang saling berimpit. Segiempat AOPB merupakan layang-layang AOPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segiempat AOPB disebut layang-layang garis singgung. a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk layang-layang. b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang yang garis singgung. A O P BContoh. Perhatikan gambar disamping. Dari titik P diluar lingkaran yang berpusat dititik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA = 9 cm dan OP = 15 cm. Hitunglah a. Panjang AP c. Luas layang-layang AOPB b. Gambar 2.5 Luas ∆AOP d. Panjang tali busur AB Penyelesaian Perhatikan ∆AOP a. ∆OAP siku-siku di titik A, sehingga AP2 92 81 = 144 AP = = 12 cm b. Luas ∆OAP = x OA x AP = x 9 x 12 = 54 cm2 c. Luas layang-layang OAPB = 2 x Luas ∆OAP = 2 x 54 = 108 cm2 108 = x 15 x AB AB = = 14,4 cm Jadi panjang tali busur AB = 14,4 cm Uji Kompetensi 1 1. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran berpusat O (0,0) dengan jari-jari 5 satuan panjang. Selanjutnya lukislah garis singgung lingkaran melalui titik A (0,5) 2. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat dititik A (3,2) dengan jari-jari 4 satuan 3. A O P B Pada gambar disamping adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik P. Jika Oa = 10 cm dan OP = 26 cm maka tentukan . a. Panjang garis singgung PA b. Luas layang-layang OAPB c. Panjang tali busur AB C. KEDUDUKAN DUA LINGKARAN Dua lingkaran dapat saling berpotongan, bersinggung atau tidak berpotongan sama sekali. Keadaan ini dapat diselidiki dengan membandingkan jarak titik pusat kedua lingkaran dengan jumlah jari-jarinya atau selisih jari-jarinya. Misal lingkaran L berjari-jari r1 dan m berjari-jari r2 jika.
D. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN 1. P P Q B r d R L1 S L2Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan alam dua lingkaran dapat menggunakan teorema pythagoras. Pada gambar 2.6 dismaping dua buah lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q berjari-jari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh. Jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R Jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB = d. Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = P Jika garis AB digeser ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ // AB, sehingga ÐPSQ = ÐPAB = 90o (sehadap) Perhatikan segiempat ABQS. Garis AB // SQ, AS // BQ, dan ÐPSQ = ÐPAB = 90o. Jadi segiempat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r. Perhatikan bahwa ∆PQS siku-siku dititik S. Dengan menggunakan teorema pythagoras diperoleh. = QS = Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat P jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah. d = Contoh. P B 5 cm A Q 15 cm 4 cmPada gambar disamping panjang jari-jari PA = 5 cm, panjang jari-jari QB = 4 cm dan panjang PQ = 15 cm Gambar 2.7 Penyelesaian Diketahui PA = 5 cm QB = 4 cm dan PQ = 15 cm garis singgung persekutuan dalamnya adalah AB. AB = = = = = 12 Jadi panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm. 2. P R A r L2 Q B d P L1 S Panjang Garis Singgung Persekutuan Luas Dua Lingkaran Perhatikan gambar 2.8 Dari gambar tersebut diperoleh jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R. Jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r Gambar 2.8 Panjang garis singgung persekutuan luas adalah AB = d. Jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = P jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis AB sejajar SQ, sehingga ÐPSQ = ÐPAB = 90o (sehadap) Perhatikan segiempat ABQS. Garis AB // SQ, AS // BQ dan ÐPSQ = ÐPAB = 90o. ∆PQS siku-siku di S, sehingga berlaku. = QS = Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat P, jari-jari lingkaran besar R dan jari-jari lingkaran kecil r adalah. d = Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3 cm. Hitunglah panjang jari- jari lingkaran yang lain. Penyelesaian Panjang garis singgung persekutua luar adalah 12 cm maka d = 12. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm, maka P = 13, panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3,5 cm. Sehingga r = 3,5 panjang jari-jari lingkaran yang lain = R d = 122 = 2 144 = 169 - (R 3,5) 2 – 3,5) 2 = (R 25 – 3,5 = 3,5 = |
Benar atau salahkah pernyataan berikut: garis tengah merupakan tali busur yang terpanjang. jelaskan!
Pos Terkait
Copyright © 2024 idkuu.com Inc.
