Bagaimana jika ingin mengetahui suku ke-7 dari suatu banjar hitung yang suku pertamanya 1 dan beda 2

You're Reading a Free Preview
Pages 5 to 7 are not shown in this preview.

MATEMATIKA EKONOMI BARISAN DAN DERET Oleh Kelompok 4: RINI SEPTIANA Nomor Induk Mahasiswa 2017 121 016 CAROLINE YULYANDINI Nomor Induk Mahasiswa 2017 121 024 TUTI HARTATI LESTARI Nomor Induk Mahasiswa 2017 121 030 EKA APRIANTI Nomor Induk Mahasiswa 2017 121 032 TRIFENIA MELIANI Nomor Induk Mahasiswa 2017 121 035 Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG TAHUN 2020 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun bersangkutan deret ukur, maka penad(relevant) teori deret diterapkan yang untuk menganalisisnya. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori barisdan deret. Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal y a n g b e r p o l a s ep e r t i d e r e t h i t un g , m a k a p r i n s i p - p r si n si p d er e t h i t un g d a p a t digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti d e r e t h i t u n g m a k s u d n y a d i s i n i i a l a h b a h w a v a r i a b l e y a n g b e r s a n g k u t a n bertambah secara konstan d a r i s a t u p e r i o d e k e p e r i o d e b e r i k u t n y a . B a n y a k permasalahan dalam kehidupan sehari–hari yang sebenarnya dapat diselesaikan dengan menggunakan deret aritmetika atau deret geometri. Namun, Anda harus mampu mengidentifikasi permasalahan tersebut dan menerjemahkannya ke dalam bahasa matematika. Oleh karena itulah kelompok kami akan lebih menjelaskan mengenai materi baris dan deret dalam penerapan matematika ekonomi. 2 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan Latar belakang permasalahan yang dipaparkan di atas, Rumusan masalah dalam makalah ini adalah. 1. Apa yang dimaksud dengan Deret ? 2. Bagaimana cara menghitung dan menentukan jumlah deret hitung? 3. Bagaimana cara menghitung dan menentukan jumlah deret ukur ? 4. Bagaimana Penerapan Deret dalam ekonomi dan bisnis ? 1.3 Tujuan Berdasarkan Latar belakang permasalahan yang dipaparkan di atas, Rumusan masalah dalam makalah ini adalah. 1. Apa yang dimaksud dengan Deret ? 2. Bagaimana cara menghitung dan menentukan jumlah deret hitung? 3. Bagaimana cara menghitung dan menentukan jumlah deret ukur ? 4. Bagaimana Penerapan Deret dalam ekonomi dan bisnis ? 3 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Baris dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam.Setiap bilangan yang merupakan anggota suatu banjar dinamakan suku. Bentuk umum dari banjar adalah 𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎𝑛 Dimana : suku ke-1 = 𝑠1 = 𝑎1 Dimana : suku ke-2 = 𝑠2 = 𝑎2 Dimana : suku ke-3 = 𝑠3 = 𝑎3 Baris di atas dapat disimbolkan dengan [𝑎𝑛 ] sehingga kalau ditulis lagi dengan lengkap menjadi: Suatu baris yang tidak mempunyai akhir atau banyaknya suku tidak terbatas dinamakan baris tak terhingga.Sedangkan baris yang banyaknya suku tertentu dinamakan baris terhingga. a. Baris Hitung adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama.Jadi, suatu baris 𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎𝑛 akan disebut dengan baris hitung apabila : 𝑎2 − 𝑎1 = 𝑏 𝑎3 − 𝑎1 = 𝑏 𝑎4 − 𝑎3 = 𝑏 ……. 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 𝑏 Dimana b merupakan beda yang besarnya tetap dan dapat bernilai positif dan negative Contoh: 1. [n] = 1, 2, 3, 4, …, n b = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 1 2. [5n] = 5, 10, 15, 20, … 5n b = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 5 4 b. Baris ukur adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai hasil bagi yang sama besarnya. Jadi untuk baris: [an] = 𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎𝑛 akan disebut baris ukur jika: 𝑆2 𝑆1 𝑆3 𝑆2 = 𝑃 = 𝑃 … 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = P Dimana P merupakan nilai banding (rasio) yang besarnya tetap dan dapat bertanda positif dan negative Contoh: 1. [𝑎𝑝𝑛−1 = 𝑎, 𝑎𝑝, 𝑎𝑝2 , … , 𝑎𝑝𝑛−1 2. [5.2𝑛−1 = 5, 10, 20, 40, … , 5(2𝑛−1 ) Bila suku-suku pada suatu baris dijumlah, maka jumlah tersebut dinamakan deret. Jadi deret merupakan penjumlahan semua sukusuatu baris. Seirama dengan pembedaan baris, maka deret dapatdibedakan menjadi deret hitung, deret ukur dan deret harmoni.Deret hitung merupakan jumlah suku-suku baris hitung, deret ukurmerupakan jumlah suku-suku baris ukur dan deret harmonimerupakan jumlah suku-suku baris harmoni. a. Deret hitung : 1 + 2 + 3 + . . . + n b. Deret ukur : 5 + 10 + 20 + . . + 5(2n-1) c. Deret harmoni: 1+ ½ +1/3 +....+1/n Secara umum suatu deret dapat ditulis sebagai: Jn = 𝑎1 , 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎𝑛 Untuk menyingkat cara penulisan, dapat dipakai tanda Σ dan dibaca "sigma", sehingga deret dapat ditulis menjadi ∞ 𝛴𝑖=1 𝑎𝑖 5 Apabila a adalah suku pertama suatu baris dan b adalah beda antara duasuku yang berurutan, maka sesuai dengan pengertian deret hitung Suku pertama = 𝑎 Suku kedua = 𝑎 + 𝑏 Suku ketiga = 𝑎 + 2𝑏 Suku keempat = 𝑎 + 3𝑏 ….. Suku ke-n = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 = 𝑆𝑛 Jadi, suku ke-n suatu banjar hitung ditentukan oleh 𝑆𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 Deret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus: J= 1 2 𝑛(𝑠 + 𝑆𝑛 ) Dimana: n : banyaknya suku a : suku pertama 𝑆𝑛 : suku ke-n Contoh: Jika ingin mengetahui suku ketujuh suatu banjar hitung yang sukupertamanya = 1 dan beda = 2 adalah Sn = a + (n - 1)b = 1 + (7 - 1)2 = 13 Deret hitung dengan jumlah tujuh suku tersebut adalah: 1 J = 2 𝑛(𝑠 + 𝑆𝑛 ) 1 J = 2 7(1 + 13) J = 49 Selain banjar hitung, kita telah mengenal banjar ukur. Suatu banjar ukur ditandai oleh banjar yang hasil bagi suatu sukunya dengan suku sebelumnya merupakan bilangan konstan.Atau suku suatu banjar ukur diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan suatupengali yang besarnya konstan. Bila suatu banjar 6 ukur memiliki suku pertama 𝑎 dan pengalisebesar 𝑝, maka secara matematis dapat ditulis: Suku pertama = 𝑎 Suku kedua = 𝑎𝑝 Suku ketiga = 𝑎𝑝2 … Suku ke-n = 𝑎𝑝𝑛−1 = 𝑆𝑛 Jadi suku ke n suatu banjar ukur ditentukan oleh𝑆𝑛 = 𝑎𝑝𝑛−1 Jumlah n suku suatu banjar ukur dapat ditentukan dengan rumus: 𝐽=𝑎 1−𝑝𝑛 1−𝑝 = 𝑎−𝑝𝑆𝑛 1−𝑝 Contoh: Bila ada suatu banjar ukur yang suku pertamanya a = 1 dan pengalinyap = 2 , maka besarnya suku ke 5 adalah: 𝑆𝑛 = 𝑎𝑝𝑛−1 𝑆𝑛 = 1(25−1) 𝑆𝑛 =16 Dan jumlah 5 sukunya adalah: 𝐽=1 1−2.16 1−2 = 1−32 −1 𝐽 = 31 2.2 Aplikasi dalam Bidang Ekonomi 2.2.1 Bunga Pinjaman Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan menggunakan cara yang sederhana, yaitu bunga yang hanya dikenakan pada jumlah pinjaman. Jumlah yang dipinjam ini untuk selanjutnya akan disebut dengan pokok pinjaman. Jika besarnya pokok pinjaman adalah p dengan bunga sebesar r persen setahun dan lama meminjam adalah t tahun, maka besarnya bunga yang harus di bayar yaitu I adalah hasil perkalian antara pokok pinjaman dan bunga dan lama meminjam atau 𝐼 = 𝑃. 𝑟. 𝑡 7 Contoh: Berapakah jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uangsebanyak Rp2.500,00 pada tanggal 5 Juni 1992 dan dikembalikan pada tanggal 5Pebruari 1993 dengan bunga sebesar 14 persen? Jawab: Mulai tanggal 5 Juni 1992 sampai 5 Pebruari 1993 ada 8 bulan, atau waktu peminjamannya 8 12 2 = tahun. 3 Besarnya bunga pinjaman: 𝐼 = 𝑃. 𝑟. 𝑡 2 3 𝐼 = 2.500 (0,14)( ) 𝐼 = 233,33 Jumlah yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan bunga atau Rp 2.500 + Rp 233,33 = Rp 2.733,33 2.2.2 Nilai Sekarang Nilai sekarang dari jumlah yang diperoleh di masa mendatang atau sering pula disebut dengan present value adalah nilai sejumlah uang yang saat ini dapat dibungakan untuk memperoleh jumlah yang lebih besar di masa mendatang. Misalkan P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan datang. Bila kemudian diumpamakan tingkat bunga adalah r, maka bunga yang dapat diperoleh dari P rupiahadalah: 𝐼 = 𝑃. 𝑟. 𝑡 Dan uang setelah t tahun menjadi 𝑃 + 𝑃. 𝑟. 𝑡 = 𝑃(1 + 𝑟𝑡) Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, maka 𝑃(1 + 𝑟𝑡) = 𝐴 Atau 𝑃= 𝐴 1+𝑟𝑡 Contoh: Setahun lagi Asbun akan menerima uang sebanyak Rp10.000. Berapakah nilai sekarang uang tersebut jika tingkat bunga adalah 13 persen setahun? 8 Jawab: A = 10.000,- r = 0,13 dan t = 1 𝑃= 𝑃= 𝐴 1+𝑟𝑡 10.000 1+(0,13)(1) 𝑃 = 8.849,56 2.2.3 Bunga Majemuk Bunga sederhana seperti yang dibahas sebelumnya adalah bunga yang umumnya diterapkan untuk pinjaman dalam jangka waktu satu tahun atau kurang.Dengan bunga majemuk, bunga selain dikenakan pada pokok pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan.Misalkan seseorang membungakan uangnya sebanyak P dengan bunga sebesar i pertahun. Setelah satu tahun ia mendapatkan bunga sebesar: bunga tahun pertama = P.i Bunga dan pokok pinjaman pada akhir tahun menjadi: P + P.i = P(1 + i) Jumlah sebanyak itu, menjadi pokok pinjaman yang baru sehingga pada akhir tahun kedua bunga yang diterima sebesar : P(1 + i)(i) Jumlah uang keseluruhan sekarang menjadi : P(1 + i) + P(1 + i)(i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2 Penggandaan uang atau penghitungan bunga dapat dilakukan lebih dari satu kali dalam setahun.Misalkan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun (dalam 5 periode setahun), padatingkat bunga i pertahun, maka tingkat bunga setiap periode adalah i/m dan jumlah periodepembungaan (penghitungan bunga) adalah sebanyak nxm. Seandainya bunga yang diperolehdibungakan lagi selama n periode, maka rumus yang digunakan untuk menghitung seluruhuangnya menjadi: 9 𝑖 𝑛.𝑚 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑚 ) Contoh: Ada uang sebanyak Rp1.000,00 dibungakan selama 6 tahun dengan bungamajemuk sebesar 5 persen per tahun dan diambil setahun sekali, maka berapakah jumlahuang tersebut setelah 6 tahun? Jawab: P = 1.000, i = 5% = 0,05 , m = 1 ,dan n = 6 Jumlah uangnya setelah 6 tahun menjadi 𝑖 𝑛.𝑚 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑚 𝐴 = 1.000(1 + ) 0,56.1 1 ) 𝐴 = 1.000(1,05)6 𝐴 = 1.000(1,34010) 𝐴 = 1.340,10 2.2.5 Model Pertumbuhan Penduduk Kegunaan model pertumbuhan penduduk ini adalah untuk penaksiran jumlah penduduk. Rumusnya adalah 𝑃𝑡 = 𝑃1 − 𝑅 𝑡−1 Dimana R = 1+ r Contoh: Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5% berapa jumlah 11 tahun kemudian? Jawab: P2006 = p16 = 1000.000 (1+0,4)15 = 1.800.943 jiwa P11tahun kemudian = 1.800.943 (1+0,25)10 = 2.305.359 jiwa 10 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Baris dapat didefinisikan sebagai suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan bilangan alam. Baris Hitung adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai selisih yang besarnya sama. Baris ukur adalah baris yang antara dua suku berurutan mempunyai hasil bagi yang sama besarnya. deret ∞ dapat ditulis menjadi 𝛴𝑖=1 𝑎𝑖 . Deret hitung jumlahnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus: J = 1 2 𝑛(𝑠 + 𝑆𝑛 ). Jumlah n suku suatu banjar ukur dapat ditentukan dengan rumus: 𝐽=𝑎 1−𝑝𝑛 1−𝑝 = 𝑎−𝑝𝑆𝑛 1−𝑝 . Bunga pinjaman : hasil perkalian antara pokok pinjaman dan bunga dan lama meminjam atau 𝐼 = 𝑃. 𝑟. 𝑡 Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, maka: 𝑃(1 + 𝑟𝑡) = 𝐴 Atau 𝑃 = 𝐴 1+𝑟𝑡 Bunga majemuk : P + P.i = P(1 + i) P(1 + i)(i) P(1 + i) + P(1 + i)(i) = P(1 + i)(1 + i) = P(1 + i)2 rumus yang digunakan untuk menghitung seluruh uangnya menjadi: 𝑖 𝑛.𝑚 𝐴 = 𝑃(1 + 𝑚 ) model Pertumbuhan Penduduk 𝑃𝑡 = 𝑃1 − 𝑅 𝑡−1 Dimana R = 1+ r 11 SOAL 1. Perusahaan genteng “Sukajaya” menghasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? 2. Besarnya penerimaan PT. Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp.720 juta pada tahun ke lima dan Rp.980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp.460 juta? Penyeleaian : 1. diketahui : a = suku pertama = 3000 b = pembeda = 500 n = suku yang dicari = 5 ditanya :𝑈5 dan 𝑆5 ...? jawab : 𝑈5 = a + ( n – 1) b = 3.000 + (5 -1 ) 500 = 3.000 + 2.000 = 5.000 Jadi hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 genteng. 𝑆5 = n/2 (a + 𝑈5 ) = 5/2 ( 3000+5000) = 5/2 (8000) = 20.000 Jadi jumlah produksi genteng selama lima bulan adalah 20.000 2. diketahui : 12 peerimaan tahun ke -5 (𝑈5 ) = 720 𝑈5 = a + (5-1)b 720 = a +4b Penerimaan tahun ke -7 (𝑈7 ) = 980 𝑈7 = a + (7-1)b 980 = a + 6b Eliminasi variabel a a + 4b = 720 a + 6b = 980 – -2b = -260 b = 130 Subsitusi nilai variabel b ke penerimaan tahun ke-5 a + 4b = 720 a + 4(130) = 720 a = 720 – 520 a = 200 Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 juta Penerimaan tahun ke-n = 460 𝑈𝑛 = a + ( n – 1) b 460 = 200 + (n-1) 130 460 = 200 + 130n -130 460 - 200 – 130 = 130n 390 = 130n n=3 Jadi jumlah penerimaan sebesar Rp. 460 juta terjadi pada tahun ke -3 3. Hitunglah pendapatan pendapatan bunga sederhana sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan bunga 15% per tahun? Jawab : Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15 I = Pin 13 I = Rp. 12.000.000 (4)(0.15) = Rp. 7.200.000 Nilai yang terakumulasi di masa datang pada tahun ke‐ 4 adalah 7.200.000 Jadi Nilai dari modal awal pada akhir periode ke 4 (F4 ) adalah Fn = P + Pin = Rp. 12.000.000 + 7.200.000 = Rp. 19 200 000 4. Jika Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar Rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga yang belaku 12 presen per tahun dimajemukkan, berapa nilai total deposito Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa banyak pula pendapatan bunganya Jawab : Diketahui :P = Rp. 5.000.000; i=0.12 per tahun n=3 Fn =P(1 + i)𝑛 F3 = Rp. 5.000.000 (1+0.12)3 = Rp 5.000.000(1,12)3 =Rp. 7.024.640 5. Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3 25 , juta jiwa pada tahun 2008, di ki k perkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penddk u u nya pada tahun 2015 ? Jawab : Persentase pertumbuhan penduduk : Pn = P0 (1 + i)𝑛 4,5 = 3,25 (1 + i) 2013‐2008 4,5 = 3,25 (1 + i)5 4,5/3,25 = (1 + i)5 1,3846 = (1 + i)5 1,38461/5 = 1 + i i = 1,38461/5 – 1 i = 0,0673 i = 6,73 14 DAFTAR PUSTAKA Dedi. 2014. Konsep dasar teori baris dan deret Jakarta: 26 maret 2020 , http://dedikblh.blogspot.com/2011/09/konsep-dasar-teori-baris-danderet.html Ratu, Nurmalika. 2017. Barisan Dan Deret. Jawa barat: 26 maret 2020 http://nurmalikaratu.staff.gunadarma.ac.id Lusiana, Velin. 2015. Penerapan Deret dalam Ekonomi. Bandung : 25 Maret 2020. https://vellinlusiana.files.wordpress.com/2015/09/penerapan-deretdalam-ekonomi.pdf

15