Atividade 7 observe os números apresentados no quadro abaixo qual desses números são irracionais

com 350 mL de água? 9. Certo vírus tem 150 nanômetros de comprimento. a) Qual é o comprimento desse vírus, em metro? Escre- va o resultado em notação científica. b) Caso 60 000 desses vírus estivessem alinhados, um grudadinho no outro, o comprimento total seria maior do que 1 cm? Dica: Lembre-se de que 1 nanômetro é a bilionésima parte do metro, ou seja: 1 nanômetro = 0,000000001 m = 10–9 m © Sh ut te rs to ck /Y el lo w j 9o. ano – Volume 16 10. (ENEM) Uma das principais provas de velocidade do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No Campeonato Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 43,18 segundos. Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é a) 0 4318 10 2, X b) 4 318 101, c) 43 18 10 0, d) 431 8 10 1, × − e) 4318 10 2× − 11. (ENEM) Medir distâncias sempre foi uma necessidade da humanidade. Ao longo do tempo fez-se neces- sária a criação de unidades de medidas que pudessem representar tais distâncias, como, por exemplo, o metro. Uma unidade de comprimento pouco conhecida é a Unidade Astronômica (UA), utilizada para descrever, por exemplo, distâncias entre corpos celestes. Por definição, 1 UA equivale à distância entre a Terra e o Sol, que em notação científica é dada por 1 496 10 2, milhões de quilômetros. Na mesma forma de representação, 1 UA, em metro, equivale a a) 1 496 105, m b) 1 496 10 6, m c) 1 496 10 8, m d) 1 496 1010, m X e) 1 496 1011, m 12. (ENEM) A Chlamydia, a menor bactéria do mundo, mede cerca de 0,2 micrômetro (1 micrômetro equi- vale à milionésima parte de um metro). Para ter uma noção de como é pequena a Chlamydia, uma pes- soa resolveu descrever o tamanho da bactéria na unidade milímetro. A medida da Chlamydia, em milímetro, é a) 2 10 1× − b) 2 10 2× − X c) 2 10 4× − d) 2 10 5× − e) 2 10 7× − Sugestão de atividades: questões de 1 a 4 da seção Hora de estudo. Conjunto dos números reais Nos anos anteriores, você estudou os números naturais, os números inteiros e os números racionais. Agora, vamos conhecer outro tipo de número, os irracionais. Números irracionais Observe os números apresentados nos quadros A e B. Quadro A 0,16666666666666... 0,27272727272727... 12,154154154154... 3,03030303030303... Quadro B 0,123456789101112131415... 1,414213562373095048801... 3,1415926535897932384626... –0,52552555255552555552... Quais as características dos números apresentados em cada quadro? Há diferença entre eles? Discuta as questões com os colegas e o professor. Comentários de encaminhamento.4 Matemática 7 Esses números, que têm infinitas casas decimais e não são dízimas periódicas, são conhecidos como números irracionais. Um exemplo de número irracional é o número pi (representado pela letra grega π), obtido quando dividimos, em uma mesma unidade, o comprimento de uma circunferência pela medida do seu diâmetro. π = 3 14159265, ... O número π tem infinitas casas decimais e não tem um período que se repita. Por isso o número π é irracional. Agora, vamos conhecer outro número irracional. Considere dois quadrados cujos lados medem 1 cm. Dividimos cada quadrado ao meio pela sua diagonal e montamos um novo quadrado, conforme a figura a seguir. 1 cm 1 c m Área = 1 cm2 Área = 1 cm2 Área = 2 cm2 x x x x x 1 cm 1 cm O quadrado montado tem área de 2 cm2. Portanto, a medida x dos lados desse quadrado é um número que, elevado ao quadrado, resulta em 2, ou seja, x é igual a 2. Mas qual é o valor de 2 ? Qual é o número que elevado ao quadrado é igual a 2? Você sabe que 1 é igual a 1 e que 4 é igual a 2. Então, 2 está entre 1 e 2. Uma forma de obter resultados aproximados para 2 é fazer tentativas. 1,12 = 1,1 · 1,1 = 1,21 1,22 = 1,2 · 1,2 = 1,44 1,32 = 1,3 · 1,3 = 1,69 1,42 = 1,4 · 1,4 = 1,96 1,52 = 1,5 · 1,5 = 2,25 Observando o quadro anterior, concluímos que 2 está entre quais valores? Está entre 1,4 e 1,5. Agora já conhecemos a primeira casa decimal. Podemos continuar fazendo tentativas. 1,412 = 1,9881 1,422 = 2,0164 Assim, 2 está entre 1,41 e 1,42. Ja ck A rt. 2 01 8. D ig ita l. 9o. ano – Volume 18 Com o cálculo anterior, já sabemos quais são as duas primeiras casas decimais. Vamos determinar a próxima casa. 1,4112 = 1,990921 1,4122 = 1,993744 1,4132 = 1,996569 1,4142 = 1,999396 1,4152 = 2,002225 Portanto, vemos que 2 está entre 1,414 e 1,415. Desse modo, obtivemos as três primeiras casas decimais de 2, ou seja: 2 1 414, Utilizando uma calculadora, calcule o valor de 2 e observe o resultado. O número gerado tem muitas casas decimais diferentes. É possível identificar algum período nesse número? Podemos afirmar que esse número é irracional pelo resultado apresentado na calculadora? Depois, experimente calcular 2 3 e 1 17 com uma cal culadora. Quais são os números obtidos? Você observa algum período? São dízimas periódicas? Quando usamos uma calculadora, obtemos apenas algumas casas decimais dos números 2, 2 3 e 1 17 . Além disso, algumas calculadoras fazem uma aproximação na última casa disponível no visor. Porém, sabemos que 2 é um número irracional, enquanto 2 3 e 1 17 são números racionais, pois são divisões de dois números inteiros. Veja cada um desses números escritos com 32 casas decimais. 2 1 41421356237309504880168872420969 2 3 0 66666666666666 , ... , 6666666666666666666 1 17 0 058823529411764705882352941176 ... , 447... Considerando a existência de um novo tipo de número, podemos ampliar o conhecimento sobre os conjun- tos numéricos. Em anos anteriores, você estudou: • o conjunto dos números naturais, representado por { , , , , , , , , , , , , , ...};0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 • o conjunto dos números inteiros, representado por = − − −{..., , , , , , , , ...};3 2 1 0 1 2 3 • o conjunto dos números racionais, representado por � �= ∈ ≠⎧⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ a b com a e b e b, . 0 Além dos números racionais, vimos que existem os números irracionais. Quando juntamos todos esses números, formamos os números reais. Assim, o conjunto dos números reais, representado por , tem como elementos os números racionais e os números irracionais. A reta numérica É possível traçar um segmento com medida 2 na reta numérica usando régua e compasso. Ao transportar com o compasso a medida do lado do quadrado obtido anteriormente para a reta numérica, obtemos o ponto correspondente a 2. Matemática 9 1. Observe os números e responda às questões. 25 –35 3 5 15 3 2,141414... π 2 a) Quais desses números são naturais? b) Quais números são inteiros? c) Quais números são racionais? d) Quais números são irracionais? e) Quais números são reais e não são racionais? f) Quais números são reais e não são irracionais? 2. Escreva os números a seguir em ordem crescente. 15 4 3,626262... –1,33333... 50 7 – π 3 2 5,4676767... − − − 15 4 1 33333 3 626262 3 2 5 4676767 50 7 ; ; , ; , ; ; , ;π 25 e 15 3 . 25, –35 e 15 3 . 25, –35, 3 5 15 3 , e 2,141414... π e 2. π e 2. 25, –35, 3 5 15 3 , e 2,141414... Observe na figura a seguir como podemos realizar esse procedimento. –2 –1 0 1 2 3 1 1 √—2 x = √ — 2 √—2 Podemos também utilizar uma aproximação para estimar a localização do número 2 na reta numérica. Por exemplo, 2 1 4142135, ... é aproximadamente 1,41. 1,4 1,4 1,41 1,5 1,5 0 1 2 3 Qualquer número real pode ser representado na reta numérica. Atividades Gabarito.5 Ilu st ra çõ es : J ac k Ar t. 20 18 . D ig ita l. 9o. ano – Volume 110 3. Represente na reta numérica os números racionais abaixo. Para isso, faça uma aproximação para a segun- da casa decimal. a) 0,45666... b) 2,3682525... c) –3,323232... –3,32 –4 –3 –2 –1 0,46 2,37 0 1 2 3 4 4. Represente os números irracionais a seguir na reta numérica. a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 2 2 –2√ — 2 2√ — 2–√ — 2 √ — 2 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5. (UTFPR) De acordo com a representação geométrica de números reais, a seguir: a b c –3 –2 –1 0 1 2 3 I)