Apa itu fungsi dalam relasi?

Fungsi, Fungsi Komposisi, dan Fungsi Invers

Relasi dan Fungsi

Pengertian Fungsi: Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi:

Dengan:

• A disebut domain (daerah asal) dinotasikan
• B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan
• disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan

Sebagai contoh:

Sifat-sifat Fungsi

• Fungsi surjektif

Pada fungsi , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau , atau setiap terdapat sedemikian sehingga . Contoh:

• Fungsi Into

Pada fungsi , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

• Fungsi Injektif

Pada fungsi , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

• Fungsi Bijektif

Jika fungsi merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa . Kemudian dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa .

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan sehingga:

dengan syarat: .

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika , , dan , maka dan dinyatakan dengan:

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif

Operasi bersifat asosiatif:

Contoh:

Jika dan , maka g(x) adalah

Fungsi Invers

Jika fungsi memiliki relasi dengan fungsi , maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis atau . Jika dalam bentuk fungsi, maka disebut fungsi invers.

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi dapat ditempuh dengan cara berikut:

Ubah persamaan ke dalam bentuk

Gantikan x dengan sehingga

Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa

Contoh:

Menentukan invers dari :

Sehingga inversnya adalah

dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

Rumus Fungsi Invers

Contoh

Invers dari Fungsi Komposisi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh , , dan .

Jika adalah invers fungsinya yaitu , , dan , maka dirumuskan beserta contohnya:

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

• Jika diketahui dan atau , maka
• Jika diketahui dan atau , maka
• Jika diketahui ,, dan , maka
• Jika diketahui , , dan , maka

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Jika dan , tentukanlah nilai

Pembahasan

Maka:

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui , tentukan .

Pembahasan

Maka,

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan untuk dan untuk . Jika , tentukan nilai (x).

Pembahasan

Maka,

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

1. Rumus Trigonometri
2. Peluang, Permutasi, & Kombinasi
3. Translasi, Rotasi, & Dilatasi