A raiz quadrada da diferença entre dois números desconhecidos

Notas de Aula-Matemática para Biomedicina Guilbert de Arruda Souza e Luana de Oliveira Justo Vitória-2020 Sumário 1 Expressões Agébricas 3 1.1 Expressão Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Valor Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 M.M.C de Expressões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Equações e Inequações 7 2.1 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Equações de Grau 1 ou Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Equações de Grau 2 ou Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . 12 3 Inequações 14 3.1 Inequações de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 1 Expressões Agébricas 1.1 Expressão Algébrica Expressão algébrica é o conjunto de letras e números ligados entre si por operações matemáticas, tais como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Exemplo 1. Abaixo temos alguns exemplos de expressões algébricas: (a) 3x+ 2y (b) x− 2 3x+ 4 (c) √ 2y + 1 O conjunto de letras e números ligados entre si por operações quaisquer, exceto adição e subtração, é chamado termo. Expressões algébricas são usa- das para substituir frases extensas por expressões simbólicas, por exemplo, podemos substituir a frase "O dobro de um número"pela expressão "2x", ou "O quadrado da soma de dois números"podemos substituir por "(x+ y)2". Exercícios Propostos 1. Escreva cada frase abaixo usando expressões al- gébricas: (a) O triplo de um número somado com o seu quadrado. Resposta: (3x+x2) (b) A raiz quadrada da diferença entre dois números distintos. (c) O quociente entre a soma de um número com dois e a diferença entre cinco e um outro número. 1.2 Valor Numérico O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido atribuindo valores às letras que aparecem nela. Exemplo 2. O valor numérico da expressão 7x+3y é 13 para x = 1 e y = 2. De fato, 7.1 + 3.2 = 7 + 6 = 13. Exemplo 3. Uma chapa de zinco tem área de 6m2 a uma temperatura inicial de 16◦C. Calcule sua área �nal a uma temperatura �nal de 36◦C, sabendo que o coe�ciente de dilatação super�cial do zinco é igual β = 57× 10−6◦C−1. 3 Resolução 1. Podemos representar a área inicial por Ainicial, a área �nal, podemos representar por Afinal, a temperatura inicial iremos representar por tinicial e a temperatura �nal representaremos por tfinal. Assim, o problema proposto pode ser representado pela expressão Afinal = Ainicial · [1 + β · (tfinal − tinicial)] Um número real α é uma raiz da expressão algébrica se o valor númerico associado a α é 0 (zero). 1.3 Fatoração O processo de decompor uma expressão algébrica em um produto de expres- sões algébricas mais simples se chama fatoração e cada elemento da multi- plicação é chamado de fator. Podemos fatorar uma expressão algébrica usando alguns artifícios como: colocar em evidência um fator comum, agrupar os termos, usar "quadrado da soma e da diferença", usar a diferença de dois quadrados, usando trinômios do segundo grau completando quadrados, dentre outros. Exemplo 4. Considere os exemplos abaixo: (a) 10x− 8x3 = 2x · (5− 4x2) (evidência de fator comum) (b) a2 − b2 = (a+ b) · (a− b) (diferença de dois quadrados) (c) (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 (quadrado da soma e da diferença) (d) (x− y)2 = x2 − 2xy + y2 (quadrado da soma e da diferença) (e) (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (soma e diferença de cubos) (f) (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 (soma e diferença de cubos) (g) ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b) · (x + y) (evidência de fator comum) Exemplo 5. Fatore a expressão 6x2 − 5xy + y2: Resolução 2. Note que, usando o exemplo acima item (g) e chamando a = 2x e b = −y, temos: 6x2 − 5xy + y2 = 2x(3x)− 2xy − 3xy + y2 = 2x(3x) + 2x(−y) + (−y)(−y)− y(3x) = 2x(3x− y)− y(3x− y) = (3x− y) · (2x− y) 4 Exercícios Propostos 2. : 1. Fatore as expressões abaixo: (a) x4 − 16 (b) x8 − 1 (c) t3 − 216 2. Se x2 + 9x+ 20 = (x− a) · (x− b), quais os valores de a e b? 3. Simpli�que a expressão x2 − 16 2x− 8 4. Simpli�que a expressão x4 + x3 − 6x2 x3 − 9x {Para entender melhor o próximo teorema, veja a seção polinômios} Podemos pensar na expressão algébrica como um polinômio e conhecendo uma raiz, podemos fatora-lo usando o seguinte teorema: Teorema 1.1. Seja P (x) um polinômio de grau n ≥ 1 com coe�cientes complexos (em especial, coe�cientes reais). Se α é uma raiz de P (x), então (x − α) é um fator de P (x), isto é, P (x) = (x − α) · Q(x) onde Q(x) é um polinômio de grau n− 1. Exemplo 6. Fatore a expressão algébrica x3 − 3x+ 2. Resolução 3. Considerar o polinômio P (x) = x3 − 3x + 2, note que α = 1 é uma raiz da expressão, portanto P (x) = (x − 1) · Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau 2. 1.4 M.M.C de Expressões Algébricas O m.m.c (mínimo múltiplo comum) de expressões algébricas é o produto dos fatores comuns e não comuns que aparecem na decomposição das expressões, cada fator é tomado uma única vez, com o maior expoente comparando os termos da expressão. Exemplo 7. Calcule o M.M.C entre x2 − 16 e x2 + 4x Resolução 4. Note que x2 − 16 = (x + 4) · (x− 4) e x4 + 4x = x · (x + 4), portanto m.m.c(x2 − 16, x2 + 4x) = x · (x+ 4) · (x− 4) 5 Exercícios Propostos 3. Resolva os exercícios abaixo: 1. Determine o m.m.c das expressões algébricas: (a) (x2 − 1) e (x− 1) (b) (x+ 2) ; (x+ 3) e (x2 + 2) (c) (x3 − 1) e (x2 + 2) 2. Simpli�que as expressões: (a) x3 − 1 x− 1 (b) x2 + 2x− 1 x− 1 (c) x3 + x2 − x− 1 (x− 1) · (x+ 1) (d) x2 − 3x+ 2 x2 − 1 3. Fatore as expressões algébricas: (a) x2 + 2x+ 1 (b) x2y4 − 16xy2z + 16z2 (c) x3 − x (d) 9x4 − 1 (e) 20− 5a2 (f) 9x4 − 4 (g) a3 − b3 − a · (a2 − b2) + b · (a− b)2 4. Se a = 3, b = −2 e c = −1, determine o valor da expressão algébrica ab+ c2 + 6 b2 − [−1 2 ]−3 5. Encontre o valor da expressão a+ b 1− ab para 1 2 e 1 3 . 6 2 Equações e Inequações 2.1 Equações Uma expressão algébrica que contém uma igualdade é chamada de equação. As equações são usadas para descrever e resolver problemas matemáticos envolvendo valores desconhecidos de alguma grandeza. Exemplo 8. Considere os exemplos abaixo: (a) 10x− 8 = 2 (b) a2 − b2 = (a+ b) (c) (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 Exemplo 9. Um garoto vai a uma loja de doces com R$30, 00 (trinta reais) para comprar doces para ele e seus amigos. Cada doce custa R$4, 00 (quatro reais) e além disso, o garoto precisa comprar uma sacola pelo custo de R$2, 00 (dois reais). Quantos doces o garoto poderá comprar? Resolução 5. Podemos usar uma equação para descrever o problema acima. Sendo x a quantidade de doces que o garoto poderá comprar com R$30, 00, o problema pode ser expresso através da equação 4x+ 2 = 30 Uma equação possui duas partes chamados de membros, a parte que está posicionada do lado esquerdo da igualdade da equação é chamada de primeiro membro, a parte da equação posicionada do lado direito da igualdade da equação é chamada de segundo membro. Cada parcela da equação se chama termo. As letras em uma equação representam os valores desconhecidos e são chamadas de incógnitas. A solução de uma equação é o valor tal que, substituindo a incógnita por ele, a igualdade é verdadeira. No exemplo anterior, x = 7 é a solução do problema. Podemos pensar em uma estratégia para resolver uma equação, nessa estratégia, tentamos "isolar"a incógnita de um lado da igualdade, por exemplo, dada a equação 4x+ 2 = 30 buscamos um número tal que multiplicado por 4, somando 2, o resultado é 30 portanto, para determinar x, devemos subtrair 2 e dividir o restante por 4. Uma equação não se altera quando adicionamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos um mesmo número a cada um de seus membros, portanto, 7 qualquer operação efetuada de um lado da igualdade, deve ser efetuada do outro lado da igualdade, como efetuamos abaixo: 4x+ 2 = 30 4x+ 2− 2 = 30− 2 4x = 28 4x 4 = 28 4 = 7 x = 7 Para facilitar a compreensão do processo, muitas vezes usamos a expressão "passar para o outro