Tentukan nilai balik maksimum atau nilai balik minimum dari setiap fungsi berikut f(x) = 10+8x-2x2

Maksimum atau minimum dari fungsi kuadrat terjadi pada . Jika adalah negatif, nilai maksimum fungsinya adalah . Jika adalah positif, nilai minimum fungsinya adalah .

terjadi pada

Contoh 3

Dengan menggunakan uji turunan pertama, tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1}\)

Jawab :

f '(x) = 3x2 − 12x + 9

f '(x) = 0

⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0

⇔ x2 − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x − 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Nilai stasioner di x = 1 adalah

f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5

Nilai stasioner di x = 3 adalah

f(3) =  (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1

Karena pada x = 1 terjadi perubahan dari naik menjadi turun, maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum.

Karena pada x = 3 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum.

Sketsa grafik (update 18/5/17)

Misalkan f(a) adalah nilai stasioner di x = a

• Jika f ''(a) < 0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum. 
• Jika f ''(a) > 0 maka f(a) adalah nilai balik minimum. 
• Jika f ''(a) = 0 maka jenis ekstrim belum dapat ditetapkan (gunakan uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrimnya)

Contoh 4

Dengan menggunakan uji turunan kedua, tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1}\)

Jawab :

f '(x) =  3x2 − 12x + 9

f ''(x) = 6x − 12

f '(x) = 0

⇔ 3x2 − 12x + 9 = 0

⇔ x2 − 4x + 3 = 0

⇔ (x − 1)(x - 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Nilai stasioner pada x = 1 :

f(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 5

Nilai stasioner pada x = 3

f(3) = (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 1

Uji turunan kedua

f ''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0

Karena f ''(1) < 0 maka f(1) = 5 adalah nilai balik maksimum

f ''(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0

Karena f ''(3) > 0 maka f(3) = 1 adalah nilai balik minimum

Contoh 5

Tentukan jenis ekstrim dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{4}+1}\)

Jawab :

f '(x) = 4x3 

f ''(x) = 12x2 

f '(x) = 0

⇔ 4x3 = 0

⇔ x = 0

Nilai stasioner pada x = 0 :

f(0) = (0)4 + 1 = 1

Uji turunan kedua

f ''(0) = 12(0)2  = 0

Karena f ''(0) = 0 maka f(0) belum dapat ditetapkan

Uji turunan pertama

untuk x < 0 diperoleh f '(x) < 0 (turun)

untuk x > 0 diperoleh f '(x) > 0 (naik)

Karena pada x = 0 terjadi perubahan dari turun menjadi naik, maka f(0) = 1 adalah nilai balik minimum.

Latihan 1

Diketahui fungsi \(\mathrm{y=ax^{3}+bx^{2}}\) dengan a dan b konstan. Jika nilai stasioner di \(\mathrm{x=1}\) adalah −1, tentukan nilai a − b !

Jawab :

Substitusi titik stasioner (1, −1) ke fungsi y :

y = ax3 + bx2

⇔ −1 = a(1)3 + b(1)2

⇔ −1 = a + b .................(1)

f(x) = ax3 + bx2

f '(x) = 3ax2 + 2bx

Karena f stasioner di x = 1 maka :

f '(1) = 0

⇔ 3a(1)2 + 2b(1) = 0

⇔ 3a + 2b = 0 ................(2)

Eliminasi (1) dan (2)

  a +   b = −1   ×3

3a + 2b = 0     ×1

3a + 3b = −3

3a + 2b = 0   _

          b = −3

Dari persamaan (1)

a + b = −1

a + (−3) = −1

a = 2

Jadi, a − b = 2 − (−3) = 5

Latihan 2

Grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=-x^{2}-2px+3}\) mencapai nilai balik maksimum untuk absis \(\mathrm{x=-1}\). Tentukan nilai p dan koordinat titik balik maksimum fungsi tersebut !

Jawab :

f(x) = −x2 − 2px + 3

f '(x) = −2x − 2p

Karena f mencapai nilai balik maksimum di \(\mathrm{x = -1}\) maka :

f '(−1) = 0

⇔ −2(−1) − 2p = 0

⇔ 2 − 2p = 0

⇔ p = 1

Untuk p = 1 maka 

f(x) = −x2 − 2(1)x + 3

f(x) = −x2 − 2x + 3

Nilai balik maksimum :

f(−1) = −(−1)2 − 2(−1) + 3 = 4

Jadi, titik balik maksimum : (−1, 4)

Latihan 3

Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx-5}\) mempunyai koordinat titik balik minimum di \(\mathrm{(2,-9)}\). Hitunglah nilai \(\mathrm{a + b}\) !

Jawab :

Substitusi titik (2, −9) ke fungsi f(x)

−9 = a(2)2  + b(2) − 5
4a + 2b = −4 ......................(1)

f '(x) = 2ax + b

Karena f mencapai nilai balik minimum di \(\mathrm{x=2}\), maka :

f '(2) = 0

2a(2) + b = 0

4a + b = 0 ..........................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh 

a = 1

b = −4

Jadi, a + b = 1 + (−4) = −3

s = ½ (a + b + c) S= ½ (6 + 5 + 5) lanjutkan soal yg di atas yg bnr​

4. Nilai dari (25² - 24²)^1/2​

Q. habisin Poin acc orang100! ÷ 95! + 10098! ÷ 95!1000! ÷ 995!Sesuai user yang mintaKurang banyak gak angkany???​

Q. Habisin Poin Akun Orang -.9999 + 888 × 34 + 100088! ÷ 85!​

Q. Habisin Poin Akun Orang :D8! + 9! × 7! + 6!10! × 9! + 7!9! × 5! + 10!​

Q. Habisin Poin Di Acc Ini Yuks -. 33! ÷ 29! + 6! × 9! 90! ÷ 87! × 11! + 7! Ayo kakak semangat ngerjainnya :DWgwgwg​

Q. Habisin Poin Di Acc Ini Yuks -. 9! × 8! + 10! × 6! + 5!94! ÷ 84! × 7! + 5!Ayo kakak semangat ngerjainnya :DWgwgwg​

Kuiz6!×3!+7!=Note : Buat R​

Perhatikan sistem pertidaksamaan berikut. [tex]\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}-18 x+65 \leq 0 \\ x^{2}-y^{2}-16 \geq 0 \end{array}\right.[/tex] … Batas-batas nilai y yang memenuhi daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah .... A. [tex]y \leq-9[/tex] atau [tex]y \geq 9[/tex] B. [tex]y \leq-4[/tex] atau [tex]y \geq 4[/tex] C. [tex]y \leq 3[/tex] atau [tex]y \geq 5[/tex] D. [tex]3\leq y\leq5[/tex] E. [tex]-4 \leq y \leq 4[/tex]

Gambarkan daerah himpunan penyelesaian untuk setiap sistem pertidaksamaan berikut. 1. [tex]\left\{\begin{array}{l} 3 x^{2}-2 x-y \leq 1 \\ x+y \geq … 9 \end{array}\right.[/tex]

Suatu titik pada fungsi  disebut titik balik maksimum jika .

Diketahui fungsi 

Ingat bahwa titik stasioner diperoleh saat .

Perhatikan bahwa untuk , diperoleh  sehingga  merupakan nilai balik maksimum dari fungsi .

Jadi, nilai balik maksimum dari fungsi  adalah .