Setelah mengisikan kolom batas kelas dan frekuensi jawablah pertanyaan pertanyaan berikut ini

A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarStatistikaKompetensi Dasar Pengalaman Belajar3.2 Menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.Melalui pembelajaran pengolahan dan penyajian data berkelompok, siswa memperoleh pengalaman belajar:1. Mengolah data mentah dan memaknai hasil yang diperoleh.       histogram, poligon frekuensi, dan ogive.3. Mengantisipasi kesalahan pengambilan ke-     1. Distribusi Frekuensi 6. Median 2. Histogram 7. Modus 3. Ogive 8. Simpangan Rata-rata 4. Poligon frekuensi 9. Simpangan Baku 5. Rata-rata 10. RagamIstilah PentingBAB2

28Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK    4%5Ronald Aylmer Fisher lahir di London pada tanggal 17 Februari 1890. Fisher merupakan tokoh statistika yang menemukan banyak konsep baru dalam statistika, di antaranya adalah konsep “likelihood”, distribusi, dan variansi. Pada saat usia Fisher masih 14 tahun, ibunya meninggal karena sakit. Namun hal ini tidak mematahkan semangatnya dalam belajar. Dia memenangkan medali dalam kompetisi essay matematika yang diadakan sekolahnya dua tahun kemudian. Kejuaraan ini yang membawanya mendapatkan beasiswa ke Cambridge University untuk belajar matematika dan astronomi. Selain untuk belajar dua bidang tersebut, Fisher juga tertarik dalam biologi, khususnya bidang genetika. Kemudian dia menggabungkan ilmu statistika dan genetika dan menjadi peneliti dalam dalam bidang genetika yang dianalisa menggunakan ilmu statistika.Ketika terjadi peperangan di Inggris pada tahun 1914, Fisher ingin mendaftarkan dirinya ke dalam militer. Tes kesehatan yang dilaluinya untuk masuk militer memperlihatkan hasil yang bagus kecuali untuk penglihatannya dan akhirnya Fisher ditolak untuk masuk militer. Hal ini yang kemudian                 dan akhirnya menjadi peneliti terkenal dalam bidang statistika dan genetika.Sumber: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fisher.html65  +  #                  berkarya dalam bidang yang diminati.Kegagalan dalam suatu bidang bukan berarti kegagalan dalam bidang lainnya. Kegagalan merupakan langkah awal kesuksesan dalam bidang lainnya.

Matematika29DataPenyebaran DataPemusatan DataPenyajianSimpangan BakuRagamSimpanganRata-rataNilai Tengah (Median)ModusRata-Rata (Mean)  Tabel Distribusi FrekuensiOgivePoligon FrekuensiHistogram B. Diagram Alur Konsep

30Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKC. Materi PembelajaranLaju Pertumbuhan Penduduk IndonesiaSumber: http://www.beritasatu.com/nasional/448693-tahun-2035-penduduk-indonesia-diprediksi-3057-juta.html  Sebagian penduduk IndonesiaSejak kemerdekaan Republik Indonesia, jumlah penduduk Indonesia telah meningkat tiga kali lipat dari 73,3 juta jiwa pada 1945 menjadi 255,5 juta jiwa pada tahun 2015. Hal ini menempatkan Indonesia pada posisi negara keempat di dunia dengan penduduk terbanyak setelah Tiongkok (1,4 miliar jiwa), India (1,3 miliar jiwa), dan Amerika Serikat (325 juta jiwa).

Matematika31Jumlah penduduk Indonesia mulai tahun 1945 sampai tahun 2015 ditampilkan pada tabel di bawah ini.3002502001501005001945 1950 1961 1971 1980 1990 2000 2010 2015( ()573,377,297,1119,2147,5179,4205,8268,5255,5Sumber:BPS  Jumlah peduduk Indonesia 1945 - 2015 Ditinjau dari laju pertumbuhan penduduk, diagram di bawah ini memperlihatkan bahwa laju pertumbuhan penduduk Indonesia bervariasi. Mulai tahun 1945 sampai tahun 1980, laju pertumbuhan penduduk naik secara   #           sampai pada tahun 2000 dan diikuti kenaikan lagi pada 10 tahun berikutnya. 3,02,52,01,51,00,50,01945–1950"%"1,002,102,102,302,001,441,491,381950–19611961–19711971–19801980–19901990–20002000–20102010–2015Sumber: BPS  Laju pertumbuhan penduduk 1945 - 2015

32Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDengan menganalisa data tersebut dengan ilmu statistika, jumlah penduduk Indonesia pada 47 tahun ke depan dapat diprediksi berlipat ganda. Tentu hal ini membutuhkan upaya yang serius dari pemerintah untuk mengendalikan tingkat kelahiran sehingga menekan laju pertumbuhan penduduk pada kurun waktu 2010-2015. Namun demikian, pemerintah masih perlu memperhatikan faktor-faktor lain yang memengaruhi pertumbuhan penduduk dengan menganalisa data-data pendukung dengan ilmu statistika. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa ilmu statistika dapat digunakan sebagai alat bantu pembuat kebijakan baik tingkat daerah maupun tingkat pusat pemerintahan. Subbab 2.1 Penyajian DataKegiatan 2.1.1 Distribusi FrekuensiKetika seseorang peneliti ingin mengetahui kondisi suatu hal tidak jarang peneliti harus mengumpulkan data terlebih dahulu. Sebagai contoh, seorang peneliti ingin mengetahui kondisi jumlah penduduk Indonesia selama 20 tahun sebelumnya. Dengan demikian peneliti dapat mengumpulkan data jumlah penduduk Indonesia setiap tahunnya kemudian dapat mendiskripsikan, mendapatkan informasi yang berguna mengenai jumlah penduduk, dan bahkan dapat memprediksi keadaan jumlah penduduk Indonesia di tahun-tahun mendatang.Jika seorang peneliti akan mengumpulkan data mengenai usia seluruh siswa SMA kelas XII di kabupaten Malang. Jika data yang dikumpulkan meliputi seluruh siswa sekabupaten Malang, maka data keseluruhan tersebut disebut populasi. Di lain pihak, ketika peneliti hanya mengumpulkan data dari beberapa SMA terpilih yang mewakili semua SMA di kabupaten Malang, maka data yang diperoleh merupakan data dengan nilai perkiraan sedangkan siswa SMA yang mewakili tersebut disebut dengan sampel. Pada jenjang sebelumnya Anda sudah mempelajari tentang pengolahan data dan penyajiannya yang melibatkan jumlah data yang kecil. Bagaimana jika data yang diolah dalam jumlah besar? Jika terdapat sekelompok data yang lebih dari 30 data disajikan dengan diagram batang, bagaimana kira-kira diagram batang yang didapatkan? Pada bab ini kita berhadapan dengan data yang berukuran besar (minimal 30 data). Kita akan mempelajari bagaimana                     bermakna.

Matematika33Salah satu cara pengorganisasian data yang dapat digunakan untuk mempermudah penarikan kesimpulan adalah menyajikan data mentah ke              Pada bagian ini akan dipaparkan mengenai pengolahan data ke dalam distribusi frekuensi untuk mendapatkan informasi yang berguna tentang data tersebut.Contoh Soal 2.1 Seorang peneliti melakukan survey terhadap 80 pengusaha dalam suatu pertemuan mengenai pada usia berapa mereka berani untuk memulai usahanya. Hasil survei tersebut diberikan di bawah ini. Data disajikan dalam satuan tahun.18 24 19 28 30 19 35 40 23 2126 34 27 40 38 30 21 24 22 1832 17 18 21 26 33 35 20 28 2726 34 31 37 40 17 18 18 20 3316 20 18 36 35 24 39 19 31 3126 28 19 35 31 31 28 21 23 2620 24 24 29 30 30 26 29 28 2019 28 30 32 38 40 25 25 31 21Dengan mengolah data ke dalam distribusi frekuensi, peneliti dapat menyimpulkan bahwa pengusaha yang memulai usahanya paling muda adalah 16 tahun dan yang paling tua adalah 40 tahun. Hampir setengah dari kumpulan pengusaha tersebut yang memulai usahanya di usia 20-an. Kebanyakan pengusaha memulai usahanya pada usia 26 – 30 tahun sedangkan paling sedikit pada usia 36 – 40 tahun.

34Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.2Nilai ujian akhir mata pelajaran Matematika siswa kelas XII SMA “BINTANG” dapat dilihat di bawah ini.85 67 58 75 90 44 100 78 95 64 8651 69 76 60 90 85 86 94 60 70 7078 80 80 100 65 76 92 74 68 59 8590 58 64 78 65 85 75 78 82 84 95 Informasi yang dapat diambil dari data tersebut diantaranya adalah 50% siswa dalam kelas tersebut mendapatkan nilai pada rentangan 71 – 90. Hanya ada 1 siswa yang mendapatkan nilai antara 41 – 50, sedangkan 6 siswa mendapatkan nilai istimewa, yaitu di atas 90.Contoh Soal 2.3Posyandu ”Mawar” mendata berat badan balita yang datang di pertemuan rutin pada bulan Oktober. Data berat badan (dalam kg) balita yang datang diberikan di bawah ini. 5,2 6,1 7,8 10,5 3,8 5,6 7,3 8 10,7 4,86,9 5,4 9,6 8,9 12,4 11,5 10,8 6,7 7,9 8,29,7 5,8 6,7 8,1 6,1 7 9,5 10,2 12 10Data tersebut mengungkapkan bahwa kebanyakan balita yang datang pada posyandu tersebut mempunyai berat badan 5,4 – 11 kg. Terdapat hanya 3 balita dengan berat di bawah 5,4 kg dan hanya 3 balita dengan berat badan di atas 10,5 kg.Berdasarkan hasil pengamatan ketiga contoh yang diberikan di atas, tulislah informasi-informasi atau istilah penting yang dapat Anda peroleh pada kotak yang disediakan berikut.

Matematika35Setelah mengamati ketiga contoh di atas, buatlah minimal 3 pertanyaan mengenai data dan penarikan kesimpulan yang dilakukan pada ketiga contoh tersebut. Tuliskan pertanyaan Anda pada kotak yang sudah disediakan di bawah ini.Berikut merupakan pertanyaan-pertanyaan yang mungkin Anda ajukan sebelumnya.1. Bagaimana mendeskripsikan data yang diperoleh?2. Bagaimana mengolah data agar mendapat deskripsi data yang tepat?3. Bagaimana membuat distribusi frekuensi dari data mentah?4. Bagaimana mendapatkan informasi tentang data melalui distribusi frekuensi? Dengan diskusi kelompok, Anda dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan secara bersama-sama untuk memahami lebih lanjut bagaimana memaknai suatu data melalui distribusi frekuensi. Anda juga dapat membaca atau mencari informasi dari berbagai sumber lain berupa buku teks atau sumber di internet untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan yang telah Anda dapatkan. Berikut diberikan contoh-contoh untuk menggambarkan pengolahan data dari data tunggal menjadi data berkelompok dengan distribusi frekuensi.

36Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.4Perhatikan data yang diberikan pada Contoh 2.1 sebelumnya. Jika data 80 usia pengusaha memulai usahanya dibagi menjadi 5 kelompok/kelas maka akan didapatkan distribusi frekuensi seperti di bawah ini. %%  % 4%16 – 2021 – 2526 – 3031 – 3536 – 4015,5 – 20,520,5 – 25,525,5 – 30,530,5 – 35,535,5 – 40,5191521169  Distribusi frekuensi usia pengusahaInformasi-informasi mengenai data usia pengusaha dapat diperoleh dengan lebih mudah dengan distribusi frekuensi daripada hanya melihat data mentah sebelumnya.Contoh Soal 2.5Data nilai ujian akhir matematika yang disajikan pada Contoh 2.2 dapat dikelompokkan menjadi beberapa kelompok data. Jika dikelompokkan menjadi 6 kelas, maka distribusi frekuensi yang didapatkan adalah sebagai berikut. %%  % 4%41 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 – 10040,5 – 50,550,5 – 60,560,5 – 70,570,5 – 80,580,5 – 90,590,5 – 100,516911116  Distribusi frekuensi nilai ujian matematika

Matematika37Jika Anda perhatikan, deskripsi data nilai ujian akhir matematika yang dipaparkan pada Contoh 2.2 merupakan interpretasi dari distribusi frekuensi di atas.Contoh Soal 2.6Di lain pihak, jika data berat badan balita pada suatu posyandu pada Contoh 2.3 dikelompokkan menjadi 5 kelas maka akan didapatkan distribusi frekuensi berikut ini. %%  % 4%3,5 – 5,35,4 – 7,27,3 – 9,19,2 – 1111,1 – 12,93,45 – 5,355,35 – 7,257,25 – 9,159,15 – 11,0511.05 – 12,9539783  Distribusi frekuensi berat badan balitaBerdasarkan distribusi frekuensi yang diperoleh, didapatkan informasi bahwa kebanyakan balita yang datang di posyandu tersebut mempunyai berat badan 5,4 – 7,2 kg. Hal ini sesuai dengan informasi yang dipaparkan pada Contoh 2.3.Coba Anda beri perhatian khusus mengenai banyak kelas, rentangan tiap kelas, batas kelas, dan frekuensi tiap kelasnya. Mungkin pertanyaan selanjutnya yang muncul di benak Anda adalah bagaimana mendapatkan frekuensi tiap kelas.Untuk mengetahui bagaimana mendapatkan frekuensi pada distribusi frekuensi, coba Anda tentukan banyaknya data pada tiap kelas berikut ini. Perhatikan data usia pengusaha yang disajikan pada Contoh 2.1. Jika data tersebut dikelompokkan menjadi 7 kelompok, maka distribusi frekuensi yang diperoleh adalah sebagai berikut. Lengkapi kolom batas kelas dan frekuensi berdasarkan data usia pengusaha pada Contoh 2.1.

38Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK % %  % 4%16 – 19 20 – 23 24 – 27 28 – 31 32 – 35 36 – 39 40 – 43 & Distribusi Frekuensi usia pengusaha dengan 7 kelasDengan distribusi frekuensi yang diperoleh di atas, coba berikan beberapa pernyataan mengenai informasi apa saja yang dapat Anda simpulkan dari pengelompokan tersebut.Pada kolom kelas pada Tabel 2.4, kelas pertama dimulai dengan 16 sampai dengan 19. Kemudian kelas berikutnya dimulai dengan satu lebihnya dari 19, yaitu 20. Tetapi bagaimana jika pembagian kelas atau kelompok data usia pengusaha pada Contoh 2.1 seperti pada Tabel 2.5 berikut ini? Coba lengkapi kolom batas kelas dan kolom frekuensi pada distribusi frekuensi di berikut ini. % %  % 4%16 – 19 19 – 2222 – 2525 – 2828 – 3131 – 3434 – 3737 – 40 , Distribusi frekuensi usia pengusaha

Matematika39Setelah mengisikan kolom batas kelas dan frekuensi, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini.1. Apa yang terjadi pada kolom batas kelas?2. Apa yang terjadi pada saat pengisian kolom frekuensi?3. Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai batas atas dan batas bawah kelas dalam hubungannya dengan frekuensi?Selanjutnya perhatikan Tabel 2.4 distribusi frekuensi untuk data usia pengusaha dengan 7 kelas, panjang (rentangan) setiap kelas sama yaitu 4. Perhatikan bahwa 4 merupakan selisih batas atas kelas dengan batas bawah kelas yang sama. Sebagai contoh, 4 = 19,5 – 15,5 = 23,5 – 19,5. Pertanyaan selanjutnya yang mungkin timbul, mengapa 4 yang digunakan sebagai panjang kelas? Panjang kelas yang dibutuhkan sangat berhubungan erat dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan banyak kelas yang diinginkan dalam distribusi frekuensi. Coba Anda perhatikan kembali data usia 80 pengusaha yang diberikan sebelumnya. Jika Anda amati, berapa selisih nilai maksimum dan nilai minimum pada data tersebut? Jika peneliti ingin mengelompokkan data menjadi 7 kelompok/kelas, maka berapa panjang (rentangan) kelas yang dibutuhkan agar menjadi 7 kelas dengan panjang kelas yang sama? Dengan pembulatan, Anda akan mendapatkan panjang kelas yang dibutuhkan. Berdasarkan kegiatan-kegiatan sebelumnya, buatlah kesimpulan sementara tentang langkah-langkah pembuatan tabel distribusi frekuensi dan kegunaannya. Gunakan kesimpulan tersebut untuk membuat tabel distribusi frekuensi dari data berikut dengan banyak kelas sesuai yang Anda inginkan kemudian ceritakan atau maknai distribusi frekuensi yang diperoleh.

40Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.775 8  ( Berdasarkan data BMKG, suhu udara tertinggi kota Jakarta dalam derajat Celcius pada bulan September 2015 diberikan di bawah ini:33,6 34,0 34,6 33,9 33,4 33,0 32,4 33,2 34,4 35,034,2 35,2 35,5 35,6 35,2 34,2 35,0 35,4 35,4 35,035,3 35,2 35,6 36,2 37,0 34,4 34,6 33,0 35,0 35,2Sumber: www.bmkg.go.idTuliskan distribusi frekuensi yang diperoleh dan maknanya pada kotak yang disediakan berikut ini.Diskusikan dengan teman sebangku Anda mengenai kesimpulan sementara tentang pembuatan distribusi frekuensi, hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan distribusi frekuensi dan pemaknaannya. Jangan lupa untuk mendiskusikan juga Contoh 2.7 untuk memperjelas pemahaman Anda tentang distribusi frekuensi. Selanjutnya lakukan diskusi kelas untuk mendapatkan kesimpulan kelas dengan bimbingan dari guru Anda. Tuliskan secara individu kesimpulan yang diperoleh pada kotak yang disediakan.

Matematika41Kegiatan 2.1.2 Histogram, Poligon Frekuensi, dan OgiveSetelah mengelompokkan data ke dalam beberapa kelas menjadi distribusi frekuensi, Anda dapat menyajikan data berkelompok tersebut dalam bentuk                  data kepada pembaca dalam bentuk gambar. Bagi kebanyakan orang, melihat informasi yang disajikan dari gambar lebih mudah daripada melihat dari dari kumpulan bilangan-bilangan pada tabel atau distribusi frekuensi. Hal ini juga berlaku bahkan untuk orang-orang yang tidak punya pengetahuan sebelumnya tentang statistika.                suatu data dengan lebih mudah dan untuk menganalisis lebih lanjut. Penyajian                   !            '                 digunakan untuk melihat perilaku (behaviour) atau tren dari data tersebut.\     !              presentasikan data berkelompok, yaitu:1. Histogram;2. Poligon frekuensi;^ _`    Pada bagian ini akan dibahas mengenai penyajian data berkelompok ke      Pada bagian ini diberikan beberapa contoh distribusi frekuensi yang           V                    Contoh Soal 2.8Distribusi frekuensi pada Tabel 2.1 menyajikan data berkelompok usia pengusaha dalam memulai usahanya. Distribusi frekuensi tersebut disajikan dibawah ini.

42Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKelasBatas KelasFrekuensi16 – 19 21 – 25 26 – 3031 – 3536 – 4015,5 – 20,520,5 – 25,525,5 – 30,530,5 – 35,535,5 – 40,5191521169+                   frekuensi tersebut. a. Histogram8% "%5 *  8%5FrekuensiUsia2015105015,5 18,0 20,5 23,0 25,5 28,0 30,5 33,0 35,5 38,0 40,5191521169  Histogram usia pengusaha

Matematika43b. Poligon frekuensi"  4%FrekuensiUsia2220181614121018 23 28 33 38  Poligon frekuensi usia pengusahac. Ogive9:Frekuensi KumulatifUsia908070605040302010015,5 20,5 25,5 30,5 35,5 40,5  Ogive usia pengusaha

44Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.9Distribusi frekuensi pada Tabel 2.2 menyajikan tentang data berkelompok nilai ujian matematika suatu kelas. Distribusi yang diberikan adalah sebagai berikut.  %%  % 4%41 – 5051 – 6061 – 7071 – 8081 – 9091 – 10040,5 – 50,550,5 – 60,560,5 – 70,570,5 – 80,580,5 – 90,590,5 – 100,516911116'           frekuensi, dan ogive yang disajikan berikut ini.a. Histogram6% '  8# *FrekuensiNilai12108642040,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5 80,5 85,5 90,5 95,5 100,516911116 & Histogram nilai ujian mate matika

Matematika45b. Poligon frekuensi"  4% '  8# *FrekuensiNilai12108642045,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,516911116 , Poligon frekuensi nilaiujian matematikac. Ogive9: '  8# *Frekuensi KumulatifNilai5040302010040,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5 100,501716273844 - Ogive nilai ujian matematika

46Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDistribusi frekuensi pada Tabel 2.3 menyajikan data berkelompok berat badan balita yang datang pada suatu posyandu. Berikut histogram, polygon frekuensi, dan ogive untuk distribusi frekuensi tersebut. %%  % 4%3,5 – 5,35,4 – 7,27,3 – 9,19,2 – 1111,1 – 12,93,45 – 5,355,35 – 7,257,25 – 9,159,15 – 11,0511.05 – 12,9539783a. Histogram   FrekuensiBerat Badan98765432103,45 4,40 5,35 6,30 7,25 8,20 9,15 10,10 11,05 12,00 12,953 9783 . Histogram berat badan balitaContoh Soal 2.10

Matematika47b. Poligon frekuensi"  4%FrekuensiBerat Badan98765434,4 6,3 8,2 10,1 12 / Poligon frekuensi berat badan balitac. Ogive9:Frekuensi KumulatifBerat Badan3025201510503,45 5,35 7,25 9,15 11,05 12,95017162738 0 Ogive berat badan balita

48Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKBerdasarkan pengamatan Contoh 2.8, Contoh 2.9, dan Contoh 2.10, tulislah informasi-informasi atau istilah matematika penting yang dapat Anda peroleh pada kotak yang disediakan berikut.Dengan mengamati Contoh 2.8 – 3.10, coba Anda buat beberapa                   frekuensi, dan ogive. Tuliskan pertanyaan apapun yang terlintas di benak                 malu terhadap guru maupun teman Anda. Pertanyaan yang Anda ajukan akan sangat membantu Anda dalam memahami materi yang bersangkutan. Tuliskan pertanyaan-pertanyaan Anda dalam kotak yang sudah disediakan di bawah ini.Mudah-mudahan Anda menanyakan beberapa hal berikut ini.a. Bagaimana menggambarkan histogram, poligon frekuensi, dan ogive?b. Hal-hal apa saja yang perlu diperhatikan dalam membuat histogram, poligon frekuensi, dan ogive?c. Apa makna bilangan-bilangan pada sumbu-x dan sumbu-y pada poligon frekuensi?

Matematika49Jika Anda menanyakan diantaranya adalah hal-hal tersebut di atas, maka                 Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan yang Anda susun, Anda dapat melakukan kegiatan-kegiatan berikut. Anda juga dapat menggunakan sumber-sumber referensi lainnya seperti buku teks atau Internet untuk membantu Anda menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut.Jika Anda perhatikan, data yang sama dapat disajikan dalam dua bentuk penyajian yang berbeda yaitu penyajian dalam bentuk tabel (distribusi  q  \         mempermudah pembaca dalam memaknai data. Selain itu penyajian data      !       ! Sebagai contoh perhatikan histogram yang ditampilkan pada Contoh 2.8. Distribusi frekuensi dan histogram tersebut menyajian data yang sama, tetapi dengan melihat histogram sekilas kita dapat menarik kesimpulan tentang kelas yang paling banyak dan yang paling sedikit. Yang lebih penting lagi, kita juga dapat melihat perubahan (trend) dari kelas ke kelas dengan lebih mudah. Kelas dengan frekuensi terbanyak pada histogram tersebut adalah kelas dengan batas kelas 25,5 – 30,5. Perhatikan pada sumb-x tertera angka 28,0 di tengah selang kelas tersebut. Mereperesentasi apakah angka 28,0 pada kelas tersebut?Selain pada histogram, angka 28 juga muncul pada poligon frekuensi dari data dan kelas yang sama. Pada poligon frekuensi Contoh 2.8 muncul angka-angka yang lain yaitu 18, 23, 33, dan 38. Merepresentasi apakah angka-angka tersebut terhadap kelas-kelas yang diwakili?Perhatikan bahwa selisih dua angka yang mewakili kelas yang berurutan mempunyai selisih yang sama dengan pangjang kelas. Akibatnya jika angka yang mewakili salah satu kelas diketahui maka dengan mudah kita dapat menentukan angka-angka yang mewakili kelas-kelas yang lain.Perhatikan kelas pertama pada distribusi frekuensi pada Contoh 2.8. Kelas tersebut mempunyai batas bawah 15,5 dan batas atas 20,5 dengan panjang kelas 5. Angka yang mempresentasi kelas tersebut pada poligon frekuensi adalah 18. Angka 18 dapat diperoleh dari jumlah batas atas dan bawah kelas tersebut dibagi dengan 2, yaitu 18 = 15,5 20,52. Angka yang mewakili tersebut disebut

50Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKdengan titik tengah (midpoint). Coba Anda periksa apakah angka-angka di sumbu-x pada poligon frekuensi Contoh 2.8 merupakan titik tengah dari masing-masing kelas. Selain itu, coba Anda periksa lebih lanjut bagaimana mendapatkan titik tengah suatu kelas jika titik tengah kelas tertentu sudah diketahui.Dengan demikian tentu Anda dapat membuat kesimpulan sementara bagaimana langkah-langkah mendapatkan histogram dan poligon frekuensi untuk suatu data berkelompok.Berbeda dengan histogram dan poligon frekuensi, ogive menyajikan data berkelompok dengan cara yang lain. Untuk mengetahui bagaimana menyajikan ogive, Anda perhatikan lebih lanjut distribusi frekuensi dan ogive yang disajikan pada Contoh 2.10. Merepresentasi apakah angka-angka yang dituliskan di sumbu-x pada ogive tersebut? Lalu mengapa frekuensi pada angka 5,35 adalah 3 sedangkan pada angka 7,25 mempunyai frekuensi 12? Dilain pihak, kelas dengan batas 3,45 – 5,35 mempunyai frekuensi 3 dan kelas dengan batas 5,35 – 7,25 mempunyai frekuensi 9. Dengan kenyataan tersebut, dapatkah Anda menjawab pertanyaan mengapa pada ogive tersebut frekuensi pada angka 11,05 adalah 27?{             maka dapat dikatakan Anda sudah memahami langkah-langkah pembuatan ogive suatu data berkelompok.Untuk lebih memahami bagaimana menyajikan data berkelompok dalam    !                      V*|'                   Coba Anda diskusikan dengan teman sebangku Anda mengenai langkah-langkah pembuatan histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Selain itu, Anda                     +                    data atau lebih menampilkan sifat-sifat data dengan lebih baik. Tuliskan kesimpulan sementara hasil diskusi dalam kotak yang disediakan.

Matematika51!Tanpa disadari, mungkin kita punya kesalahpahaman mengenai statistika (statistical misconceptions). Salah satu yang banyak terjadi                  histogram. Setelah belajar statistika (pengelompokan data dan         q        sedikit demi sedikit kesalahpahaman tentang statistika. Banyak iklan produk yang menampilkan suatu data hasil survey dalam            {   !    !                  +       tersebut disajikan dengan tidak benar maka tentu akibatnya kita dapat salah       Sebagai contoh sebuah iklan kosmetik menampilkan hasil survey terhadap     -  V      berikut menampilkan berapa persentase konsumen yang memutuskan untuk kembali menggunakan paket yang sama dengan yang waktu dibeli pertama kali. "#  %85848382A B C 2 Diagram batang penjualan kosmetik

52Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK"                 paket kosmetik B jauh lebih dipilih oleh konsumen dari kedua produk lainnya. \                tanpa melihat skala pada sumbu-y. Jika diperhatikan dengan seksama, 83% konsumen kembali ke produk A, 85% kembali ke produk B, dan 84% kembali   V                     }*           %    di bawah ini."#  %PersentaseKosmetik9080706050403020100A B C83 8584  Diagram batang penjualan kosmetik Terlihat bahwa perbedaan antara ketiga produk tidak jauh. Masing-masing       %~               mata secara sekilas jika pembaca tidak mengamati dengan seksama skala pada sumbu-y. Memotong skala pada sumbu-y sebenarnya bukanlah hal yang     !        !                       {                  seperti di bawah ini, maka apa yang dapat Anda simpulkan?

Matematika53"#  %A B C  Diagram batang penjualan kosmetik tanpa skala#                  kecuali urutan (rangking) dari A, B, dan C berdasarkan tinggi batang. Selain itu kita juga tidak mungkin mendapatkan informasi mengenai selisih persentase           Diskusikan kesimpulan sementara dengan teman sekelas Anda. Guru Anda akan memberikan kesempatan kepada minimal 5 siswa yang mau maju secara sukarela untuk mempresentasikan kesimpulan sementara di depan kelas. Diskusikan bersama hasil presentasi untuk mendapatkan kesimpulan akhir. Tuliskan kesimpulan akhir pada kotak yang disediakan berikut ini.

54Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK1. Berikut ini diberikan empat distribusi frekuensi. Setiap distribusi frekuensi yang diberikan terdapat kesalahan dalam penyusunannya. Sebutkan kesalahan masing distribusi frekuensi dan alasannya.a.  % 4%27 – 3233 – 3839 – 4445 – 4950 – 5510642 c.  % 4%123 – 127128 – 132138 – 142143 – 14737219b.  % 4%5 – 99 – 1313 – 1717 – 2020 – 2412563 d.  % 4%9 – 1314 – 1920 – 2526 – 2829 – 32162592. Distribusi frekuensi yang diberikan berikut mempresentasikan jumlah kendaraan roda empat terpilih dalam suatu kota yang menghabiskan bahan bakar bensin dalam jumlah tertentu (liter) setiap minggunya. Kolom kelas menyatakan jumlah bahan bakar bensin yang dihabiskan dalam 1 minggu sedangkan kolom frekuensi adalah banyaknya kendaraan roda empat. % %  % 4%5 – 89 – 1213 – 1617 – 2021 – 2425 – 284,5 – 8,58,5 – 12,512,5 – 16,516,5 – 20,520,5 – 24,524,5 – 28,5587152116Masalah 2.1

Matematika55Jawablah pertanyaan berikut ini.a. Berapa banyak kendaraan roda 4 yang menghabiskan bensin kurang dari 4,5 liter?b. Berapa banyak kendaraan roda 4 yang menghabiskan bensin kurang dari 8,5 liter?c. Lanjutkan untuk mencari banyak kendaraan yang kurang dari batas bawah kelas kemudian tuliskan pada tabel di bawah ini.4%  ;Kurang dari 4,5Kurang dari 8,5Kurang dari 12,5Kurang dari 16,5Kurang dari 20,5Kurang dari 24,5Kurang dari 28,5! Tabel di atas disebut distribusi frekuensi kumulatif3. Data berikut adalah data jumlah pengunjung perpustakaan SMA ”NASIONAL” dalam 40 hari kerja berturut-turut.50 65 60 71 55 82 76 70 80 6478 95 88 90 81 75 78 78 70 6885 67 74 86 59 63 84 66 75 8794 96 72 78 65 81 85 95 88 96Berdasarkan data tersebut, buatlaha. Distribusi frekuensi dengan 7 kelasb. Histogram, poligon frekuensi, dan ogive untuk distribusi frekuensi poin (a).

56Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK4. Misalkan Anda adalah seorang pengusaha real estate di kota Masamba. Anda memperoleh daftar harga rumah yang sudah Anda jual dalam 6 bulan terakhir. Anda ingin mengorganisasi data yang Anda terima agar Anda dapat memberikan informasi yang akurat kepada calon pembeli. Gunakan data berikut ini untuk disajikan dalam histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Data berikut dalam puluhan ribu rupiah.142.000 127.000 99.600 89.000 93.000 99.500 162.00073.800 135.000 119.000 67.900 156.300 104.500 108.650123.000 91.000 205.000 110.000 156.300 104.000 133.900179.000 112.000 147.000 321.550 87.900 88.400 180.000159.400 205.300 144.400 163.000 96.000 81.000 131.000114.000 119.600 93.000 123.000 187.000 96.000 80.000231.000 189.500 177.600 83.400 77.000 132.300 166.000a. Pertanyaan-pertanyaan apa yang yang dapat dijawab dengan mudah dengan melihat histogram dibandingkan dengan daftar harga yang diberikan di atas?b. Pertanyaan berbeda apa yang dapat dijawab dengan lebih mudah dengan melihat poligon frekuensi dibandingkan dengan daftar harga tersebut?c. Pertanyaan berbeda apa yang dapat dijawab dengan lebih mudah dengan melihat ogive dibandingkan dengan daftar harga tersebut?d. Apakah ada data yang sangat besar atau sangat kecil dibandingkan dengan nilai lainnya?                   lebih baik?5. Penelitian mengenai kebutuhan air minum bagi tubuh manusia dalam sehari sudah banyak dilakukan dan dipublikasikan. Carilah hasil penelitian tersebut dan ungkapkan berapa gelas atau liter air minum kebutuhan tubuh manusia. Kemudian kumpulkan data melalui wawancara terhadap minimal 40 teman Anda mengenai konsumsi air minum mereka sehari-hari (dalam satuan gelas atau liter). Jika data sudah terkumpul, maka lakukanlah kegiatan berikut.

Matematika57a. Buatlah distribusi frekuensi data yang sudah dikumpulkan (pilih salah satu satuan yang digunakan, yaitu gelas atau liter) dengan banyak kelas yang Anda tentukan sendiri.b. Buatlah histogram, poligon frekuensi, dan ogive dari distribusi yang didapatkan.c. Buatlah distribusi kumulatifnya. Subbab 2.2. Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data BerkelompokKegiatan sebelumnya Anda dapat memperoleh informasi-informasi dari data mentah dengan mengolah data tersebut ke dalam distribusi                 Anda akan mempelajari metode-metode statistika yang dapat digunakan untuk mendiskripsikan suatu data. Metode statistika yang paling umum digunakan adalah rata-rata. Sebagai contoh, dalam suatu artikel di koran online*, Erwin (2015) menyatakan bahwa Google melakukan wawancara online terhadap pemilik ponsel pintar di Indonesia antara usia 18 dan 64 tahun untuk mengetahui lebih baik mengenai perilaku mereka. Hasil wawancara yang dilansir Google menyatakan bahwa rata-rata aplikasi yang di-instal di Indonesia tahun 2015 adalah sebanyak 31 aplikasi per individu. Pada contoh di atas, istilah rata-rata yang digunakan masih tidak jelas karena ada berbagai macam rata-rata. Beberapa diantaranya adalah rata-rata hitung, rata-rata geometri, rata-rata harmonik. Rata-rata merupakan pusat distribusi atau yang paling sering terjadi. Ukuran rata-rata disebut juga dengan ukuran pemusatan data. Ukuran pemusatan yang akan dibahas pada bagian ini meliputi rata-rata (dalam hal ini rata-rata hitung), median, dan modus untuk data berkelompok.

58Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 2.2.1 Ukuran Pemusatan Data BerkelompokMasih ingatkah Anda bagaimana menentukan rata-rata, median, dan modus untuk data tunggal? Sebagai contoh, diberikan data ukuran sepatu yang dipakai 12 pemain basket SMA Nasional sebagai berikut.42 41 41 40 40 41 42 42 43 41 40 42Coba Anda tentukan rata-rata, median dan modus dari data tersebut. Dari ketiga ukuran pemusatan data tersebut, manakah yang paling sesuai merepresentasikan data tersebut menurut Anda?Lalu bagamanakah cara menentukan rata-rata, median, dan modus suatu data yang berupa data berkelompok atau bahkan data yang disajikan dalam histogram? Berikut diberikan beberapa contoh data berkelompok sekaligus diberikan ukuran pemusatan datanya.Contoh Soal 2.11Data yang disajikan dalam distribusi frekuensi berikut merupakan data usia 50 orang terkaya di Indonesia. %%  %4%^€〓^$^Y〓^‚40 – 4445 – 49Y€〓Y$*‚Y〓^$Y^$Y〓^‚Y39,5 – 44,544,5 – 49,549,5 – 54,55107208 - Distribusi Frekuensi usia 50 orang terkayaRata-rata usia 50 orang terkaya di Indonesia berdasarkan distribusi frekuensi di atas adalah 43,6 tahun. Selanjutnya kelas keempat (44,5 – 49,5) merupakan kelas median sekaligus juga merupakan kelas modus dengan mediannya adalah 45,25 dan modusnya adalah 47,1.

Matematika59Contoh Soal 2.12Data skor TOEFL siswa dalam suatu kelas diberikan dalam distribusi frekuensi berikut ini. %%  %4%350 – 374375 – 399400 – 424425 – 449450 – 474475 – 499500 – 524349,5 – 374,5374,5 – 399,5399,5 – 424,5424,5 – 449,5449,5 – 474,5474,5 – 499,5499,5 – 524,54356732 . Distribusi frekuensi skor TOEFLBerdasarkan distribusi frekuensi di atas, rata-rata skor TOEFL siswa dalam kelas tersebut adalah 433,7. Kelas keempat yaitu 424,5 – 449,5 merupakan kelas median dengan mediannya adalah 437. Kelas kelima merupakan kelas modus dengan modusnya adalah 454,5.Contoh Soal 2.13Berikut ini merupakan histogram yang menyajikan data tinggi badan 30 siswa terpilih kelas XII pada suatu sekolah.

60Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK  7%)  % <==>  ?FrekuensiBerat Badan9876543210142 147 152 157 162 167 172264864  Histogram tinggi badan siswa kelas XIIBerdasarkan histogram tersebut, rata-rata tinggi badan siswa tersebut adalah 158,2. Kelas 157 – 162 merupakan kelas median sekaligus kelas modus, dengan median sebesar 158,9 dan modus sebesar 160,3.Berdasarkan hasil pengamatan yang Anda lakukan, catat istilah-istilah matematika atau informasi-informasi penting mengenai ukuran pemusatan data berkelompok di kotak yang disediakan berikut.

Matematika61Setelah mengamati Contoh 2.11 – 3.12, coba Anda buat pertanyaan-pertanyaan yang terlintas di benak Anda tentang rata-rata, median, dan modus untuk data berkelompok. Anda juga dapat menghubungkan tentang rata-rata, median, dan modus untuk data tunggal yang sudah Anda pelajari sebelumnya. Dengan membandingkan hasil pengamatan ketiga contoh di atas dengan pengetahuan yang Anda miliki sebelumnya untuk data tunggal memungkinkan Anda untuk mengajukan pertanyaan yang membantu Anda dalam memahami ukuran pemusatan data untuk data berkelompok. Tuliskan minimal 3 pertanyaan Anda dalam kotak yang sudah disediakan di bawah ini.Hal yang perlu Anda ketahui untuk menentukan rata-rata pada data tunggal adalah banyak data yang biasa dilambangkan dengan n dan jumlah keseluruhan dari data tersebut. Jika banyak data yang dihadapi sedikit, tentu Anda dapat dengan mudah untuk menentukan rata-rata. Di lain pihak, jika data yang dihadapi berukuran besar, Anda perlu mengelompokkan data tersebut dalam beberapa kelompok untuk memudahkan mengetahui karakteristik data. Akibatnya, menentukan rata-rata untuk data yang sudah dikelompokkan tersebut berbeda dengan untuk data tunggal. Untuk menambah wawasan Anda mengenai ukuran pemusatan data untuk data berkelompok, Anda perhatikan contoh berikut ini.

62Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh Soal 2.14Berikut merupakan data usia 80 pengusaha dalam memulai usahanya yang sudah diberikan pada Contoh 2.1.18 24 19 28 30 19 35 40 23 2126 34 27 40 38 30 21 24 22 1832 17 18 21 26 33 35 20 28 2726 34 31 37 40 17 18 18 20 3316 20 18 36 35 24 39 19 31 3126 28 19 35 31 31 28 21 23 2620 24 24 29 30 30 26 29 28 2019 28 30 32 38 40 25 25 31 21Ketika data ini dikelompokkan menjadi 5 kelas maka akan didapatkan distribusi frekuensi seperti di bawah ini. %%  %  5 4%16 – 2021 – 2526 – 3031 – 3536 – 4015,5 – 20,520,5 – 25,525,5 – 30,530,5 – 35,535,5 – 40,51823283338191521169 Perhatikan bahwa kelas pertama mempunyai titik tengah 18. Ini artinya bahwa data yang masuk dalam kelas pertama bisa kurang dari 18 atau lebih dari 18. Akibatnya jumlah data pada kelas pertama dapat didekati (aproksimasi) sebesar 342. Jumlah data keseluruhan dengan pendekatan sebesar 2145, sehingga rata-rata untuk data berkelompok di atas adalah 26,8 tahun. Jika Anda hitung rata-rata untuk data tunggal di atas, apa yang Anda peroleh? Bagaimana hasilnya jika Anda bandingkan dengan rata-rata untuk data berkelompok? Tuliskan pada kotak di bawah ini.

Matematika63Menentukan median dan modus untuk data berkelompok hampir sama dengan menentukan rata-rata, yaitu yang akan ditentukan berupa perkiraan (pendekatan). Berdasarkan frekuensi setiap kelas, Anda dapat menentukan lokasi atau pada selang mana median berada yang disebut dengan kelas median dan juga dapat menentukan kelas modus dengan mempertimbangkan frekuensi setiap kelas. Dengan memperhatikan fakta tersebut, tentukan kelas median dan kelas modus pada distribusi frekuensi di atas. Tuliskan jawaban Anda pada kotak yang disediakan dan tuliskan bagaimana caranya untuk mendapatkan kedua kelas tersebut.Di lain pihak, jika data dikelompokkan menjadi 7 kelas maka akan didapatkan distribusi frekuensi berikut ini. %%  %  5 4%16 – 1920 – 2324 – 2728 – 3132 – 3536 – 3940 – 43Dengan melengkapi tabel distribusi frekuensi di atas, coba Anda tentukan perkiraan jumlah data pada setiap kelas sekaligus perkiraan jumlah data keseluruhan. Kemudian dengan mempertimbangkan banyak data, dapatkah Anda memperkirakan rata-rata dari data berkelompok tersebut? Tentukan pula kelas median dan kelas modus. Selanjutnya, dengan data yang sama tetapi distribusi frekuensi yang berbeda apa yang dapat Anda simpulkan mengenai rata-rata, kelas median, dan kelas modus dari kedua distribusi frekuensi di atas?

64Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKTuliskan jawaban Anda pada kotak berikut ini.Ukuran pemusatan data (rata-rata, median, modus) untuk data berkelompok secara prinsip sama dengan ukuran pemusatan data untuk data tunggal. Dari langkah-langkah pengamatan dan penggalian informasi mungkin Anda sudah tahu perbedaan ukuran pemusatan data untuk data tunggal dan data berkelompok. Ukuran pemusatan untuk data tunggal dapat ditentukan dengan pasti, tetapi ukuran pemusatan untuk data berkelompok ditentukan dengan perkiraan atau pendekatan.Untuk mengetahui lebih lanjut bagaimana cara menentukan ukuran pemusatan untuk data berkelompok, lakukan beberapa kegiatan berikut ini.2.2.1.1 Rata-rataBerikut ini diberikan distribusi frekuensi pada Contoh 2.11. Lengkapi tabel berikut ini untuk menentukan rata-rata usia 50 orang terkaya di Indonesia. % %  %  5 >xi? 4% >fi?xi . fi30 – 3429,5 – 34,5535 – 3934,5 – 39,51040 – 4439,5 – 44,5745 – 4944,5 – 49,52050 – 5449,5 – 54,58

Matematika65Telah diketahui sebelumnya bahwa rata-rata usia 50 orang terkaya di Indonesia adalah 43,6 tahun. Dengan mengamati tabel di atas, bagaimana caranya bisa didapatkan hasil 43,6? Tuliskan rumus untuk menentukan rata-rata data berkelompok menurut Anda dalam kotak yang tersedia di bawah ini.2.2.1.2 MedianLengkapi tabel berikut ini untuk mengetahui lebih lanjut cara menentukan median data berkelompok. Distribusi frekuensi yang digunakan adalah distribusi frekuensi pada Contoh 2.11. % %  %% )5 (Li?"#  % (p?4% (fi?Fi12iinFfLi A 12iinFfp30 – 3435 – 3940 – 4445 – 4950 – 5429,5 – 34,534,5 – 39,539,5 – 44,544,5 – 49,549,5 – 54,5510720805Fi : jumlah frekuensi kelas-kelas sebelum kelas ke-i.n : banyak dataTelah diketahui sebelumnya bahwa median dari distribusi frekuensi tersebut adalah 45,25. Berdasarkan tabel yang sudah dilengkapi di atas, bagaimana menurut Anda cara menentukan median? Kelas manakah yang

66Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKdigunakan sebagai median? Mengapa? Tuliskan jawaban Anda termasuk rumus median di kotak yang sudah disediakan.2.1.3 ModusLengkapi tabel berikut untuk mengetahui cara menentukan modus data ber-kelompok. %%  %% )5 (Li?"#  % >p?4% (fi?d1d2Li + p(112ddd?30 – 3435 – 3940 – 4445 – 4950 – 5429,5 – 34,534,5 – 39,539,5 – 44,544,5 – 49,549,5 – 54,5510720805120d1 : selisih frekuensi kelas ke-i dengan kelas sebelumnyad2 : selisih frekuensi kelas ke-i dengan kelas berikutnyaTelah diketahui sebelumnya bahwa modus usia 50 orang terkaya di Indonesia adalah 47,1 tahun. Berdasarkan tabel yang sudah dilengkapi di atas, kelas manakah yang sesuai dengan hasil tersebut? Dapatkah Anda simpulkan bagaimana menentukan modus data berkelompok sekaligus dengan rumusnya? Tuliskan jawaban Anda dalam kotak berikut ini.

Matematika67Dari rumus rata-rata, median, dan modus yang telah Anda dapatkan, coba Anda cek kebenaran rumus tersebut dengan menggunakannya pada Contoh 2.12 dan Contoh 2.13.Sedikit InformasiUkuran pemusatan atau ukuran penyebaran suatu data yang diperoleh dari populasi disebut dengan parameter, sedangkan jika datanya berasal dari sampel maka disebut dengan statistik. Sehingga rata-rata suatu data yang diperoleh dari suatu populasi merupakan parameter dan dilambangkan dengan . Rata-rata suatu data yang diperoleh dari sampel yang mewakili populasi merupakan statistik yang dilambangkan dengan x. Sebagian orang mungkin mempunyai kesalahpahaman mengenai rata-rata. Jika ada yang mengatakan ”rata-rata gaji buruh di Indonesia adalah Rp2.500.000,00” maka sebenarnya kita tidak bisa langsung mengetahui bahwa rata-rata yang digunakan adalah rata-rata hitung seperti yang kita tentukan rumusnya sebelumnya. Rata-rata mempunyai banyak jenis, di antaranya adalah rata-rata hitung, rata-rata geometri, dan rata-rata harmonik yang besarannya dimungkinkan tidak sama antar rata-rata tersebut. Anda diskusikan hasil yang Anda dapatkan dengan teman sebangku Anda. Guru Anda akan menunjuk beberapa siswa untuk menuliskan hasil yang diperoleh di papan tulis. Diskusikan hasil tersebut dengan teman sekelas Anda untuk mendapatkan kesimpulan kelas. Tuliskan kesimpulan Anda dikotak yang sudah disediakan dibawah ini.

68Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Berkelompok Mengetahui hanya rata-rata dari suatu data tidak cukup untuk mendeskripsikan data sepenuhnya. Anda juga perlu mengetahui bagaimana penyebaran data. Sebagai contoh, seorang penjual sepatu olah raga di suatu daerah telah mengetahui bahwa rata-rata ukuran sepatu olah raga yang laris adalah ukuran 40. Penjual sepatu tersebut tidak akan bertahan lama dalam penjualan sepatu olah raga ini jika dia menjual sepatu hanya ukuran 40. Walaupun dia mengetahui rata-rata ukuran sepatu pembeli di daerah tersebut, dia juga perlu mengetahui bagaiamana data menyebar, yaitu apakah datanya mendekati rata-rata ataukah menyebar merata. Ukuran yang menentukan penyebaran data disebut dengan ukuran penyebaran data. Untuk data berkelompok, ukuran penyebaran data meliputi simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam. Anda mungkin masih ingat bagaimana menentukan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam untuk data tunggal. Secara prinsip cara menentukan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam untuk data tunggal hampir sama dengan untuk data berkelompok. Berikut akan diberikan beberapa contoh distribusi frekuensi suatu populasi disertai dengan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam. Contoh Soal 2.15Data yang disajikan berikut merupakan data pendapatan netto 45 perusahaan besar di Indonesia dalam milyar rupiah.  %4%10 – 2021 – 3132 – 4243 – 5354 – 6465 – 7528157103

Matematika69Ukuran penyebaran pada data berkelompok di atas dapat dihitung, yaitu simpangan rata-rata adalah 12,4 dan simpangan bakunya adalah 14,6. Selanjutnya ragam dari data ini adalah 212,3.Contoh Soal 2.16\               dalam kilometer per liter. Distribrusi frekuensi yang didapatkan disajikan berikut ini. %4%7,5 – 12,512,5 – 17,517,5 – 22.522,5 – 27,527,5 – 32,5351552Dari distribusi di atas didapatkan simpangan rata-rata 3,5, simpangan baku sebesar 5,1 dan ragam sebesar 25,7Di bawah ini diberikan histogram pada Contoh 2.10 yang menyajikan berat badan 30 balita (dalam kilogram) yang datang pada posyandu di suatu daerah.Contoh Soal 2.17   FrekuensiBerat Badan98765432103,45 4,40 5,35 6,30 7,25 8,20 9,15 10,10 11,05 12,00 12,9539783

70Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKBerdasarkan histogram tersebut dapat ditentukan ukuran penyebaran datanya, yaitu simpangan rata-rata sebesar 1,85, simpangan baku sebesar 2,26 dan ragam sebesar 5,09.Informasi-informasi atau istilah matematika penting dari hasil pengamatan mengenai ukuran penyebaran data berkelompok dapat dituliskan dalam kotak yang disediakan berikut.Berdasarkan pengamatan Anda terhadap ketiga contoh yang diberikan sebelumnya, buatlah beberapa pertanyaan tentang ukuran penyebaran data berkelompok. Tuliskan pertanyaan Anda dalam kotak yang tersedia di bawah ini.

Matematika71Mengetahui ukuran pemusatan data seperti rata-rata, median atau modus saja tidak cukup bagi seorang peneliti untuk mendeskripsikan data lebih rinci. Seorang peneliti tentu memerlukan informasi bagaimana data menyebar, yaitu bagaimana kondisi data dibandingkan dengan rata-rata yang diperoleh. Informasi mengenai apakah semua data dekat dengan rata-rata atau bahkan datanya jauh dari rata-rata (menyebar secara merata) sangat dibutuhkan oleh penggunan data dalam penarikan kesimpulan.Pada pengamatan sebelumnya diberikan beberapa contoh distribusi frekuensi yang disertai dengan ukuran penyebarannya. Berikut ini diberikan contoh lainnya yang dapat Anda gunakan untuk lebih memahami ukuran penyebaran data dan bagaimana menentukannya.Contoh Soal 2.18Berikut ini merupakan distribusi frekuensi dari nilai ujian akhir 100 mahasiswa jurusan matematika yang terpilih di suatu universitas. %4%66 – 7273 – 7980 – 8687 – 9394 – 10061839289 Dengan menggunakan pengetahuan sebelumnya bahwa penyebaran data dibandingkan dengan rata-rata, coba Anda tentukan rata-rata dari distribusi frekuensi di atas dan tuliskan hasilnya dalam kotak di bawah ini.

72Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKRata-rata suatu data berkelompok ditentukan dengan memperhatikan titik tengah setiap kelas dan frekuensinya masing-masing. Simpangan rata-rata memperhatikan bagaiamana data menyimpang dari rata-rata. Berdasarkan hal tersebut, coba Anda buat kolom tambahan dari distribusi frekuensi di atas yang berisikan selisih titik tengah tiap kelas dengan rata-rata. Selanjutnya perhatikan hasil selisih tersebut. Sebagai ilustrasi, selisih titik tengah kelas pertama dengan rata-rata adalah 2, ini berarti setiap datum pada kelas tersebut diasumsikan mempunyai selisih 2 dengan rata-rata. Akibatnya banyak datum dalam kelas tersebut (frekuensi) juga menentukan simpangan datum dalam suatu data terhadap rata-ratanya.Berdasarkan proses tersebut, dapatkah Anda menduga bagaimana cara menentukan simpangan rata-rata? Tuliskan dugaan Anda dalam kotak di bawah ini.Ukuran penyebaran berupa ragam dan simpangan baku prinsipnya sama dengan simpangan rata-rata yaitu memperhatikan selisih rata-rata dengan titik tengah tiap kelas. Jika Anda perhatikan dari ketiga contoh pada pengamatan, apa yang dapat Anda simpulkan mengenai hubungan antara ragam dan simpangan baku? Coba diskusikan dengan teman sebangku Anda tentang hubungan simpangan baku dan ragam. Dengan hubungan yang ditemukan tersebut maka memudahkan Anda dalam menentukan keduanya. Simpangan baku dapat ditentukan dengan mudah jika ragam ditemukan dan sebaliknya juga berlaku. Karena ukuran penyebaran pada data berkelompok prinsipnya mirip dengan untuk data tunggal, coba Anda tuliskan dalam kotak di bawah ini bagaimana cara menentukan ragam dan simpangan baku untuk data tunggal.

Matematika732.2.2.1 Simpangan Rata-rataDengan menggunakan distribusi frekuensi pada Contoh 2.15, coba lengkapi tabel di bawah ini untuk mengetahui cara menentukan simpangan rata-rata. % 4% 5|xi B |fi  xifi  C xi B |10 – 2021 – 3132 – 4243 – 5354 – 6465 – 7528157103Total : rata-rataUntuk mendapatkan hasil simpangan rata-rata 12,4, kolom atau sel mana saja yang digunakan? Setelah mendapatkan dugaan rumus simpangan rata-rata, buatlah tabel yang sama dengan di atas untuk Contoh 2.16 dan Contoh 2.17. Tentukan simpangan rata-rata dari tabel yang Anda buat untuk Contoh 2.16 dan Contoh 2.17 dan cocokkan hasil yang Anda dapatkan dengan hasil pada kedua contoh tersebut. Tuliskan hasil dugaan rumus simpangan rata-rata untuk data berkelompok dalam kotak di bawah ini.

74Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK2.2.2.2 Simpangan Baku dan RagamAnda sudah mempelajari sebelumnya mengenai hubungan simpangan baku dan ragam sehingga penentuan salah satu statistik akan menghasilkan pula statistik satunya. Lengkapi tabel berikut ini untuk mengetahui lebih lanjut rumus simpangan baku dan ragam. Distribusi frekuensi yang digunakan adalah distribusi frekuensi pada Contoh 2.15. % 4% >fi? 5 (xi?fi . xixi2fi . xi210 – 2021 – 3132 – 4243 – 5354 – 6465 – 7528157103TotalBerdasarkan tabel di atas, hitunglah berikut ini.2112kkiiiiiifxfxn =22112kkiiiiiifxfxn =2211(1)kkiiiiiifxfxnn =2211(1)kkiiiiiinfxfxnn =22112kkiiiiiinfxfxn =

Matematika75Berdasarkan beberapa rumus tersebut, manakah yang sesuai dengan hasil pada Contoh 2.15? Jika Anda sudah mempunyai dugaan rumus untuk ragam, maka buatlah dugaan rumus untuk simpangan baku. Tuliskan pengertian ragam dan simpangan baku sekaligus rumusnya di bawah ini.Untuk mengecek kebenaran dugaan Anda tentang ragam dan simpangan baku, buatlah tabel yang sama dengan di atas untuk Contoh 2.16 dan Contoh 2.17. Kemudian cocokkan hasil yang Anda dapatkan dengan hasil pada kedua contoh tersebut.Diskusikan ukuran penyebaran data berkelompok yang Anda dapatkan dengan teman sebangku Anda. Diskusikan pula hasilnya dengan teman sekelas Anda untuk mendapatkan kesimpulan kelas. Diskusi dan berpendapat yang santun untuk mendapatkan hasil yang maksimal. Tuliskan kesimpulan Anda pada kotak di bawah ini.

76Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK1. Berikut merupakan data jumlah protein yang terkandung dalam beberapa macam makanan cepat saji yang terpilih. 23 30 20 27 44 26 35 20 29 2925 15 18 27 19 22 12 26 34 1527 35 26 43 35 14 24 12 23 3140 35 38 57 22 42 24 21 27 33a. Hitunglah rata-rata, median, dan modus dari data tersebut.b. Buatlah distribusi frekuensi data tersebut dengan 5 kelas.c. Hitung rata-rata, median, dan modus dari data yang sudah dikelompokkan pada poin (b)d. Bandingkan ukuran pemusatan pada poin (a) dan (c). Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai hasil tersebut?2. Berikut merupakan distribusi frekuensi persentase penduduk usia di bawah 25 tahun yang menyelesaikan studi sarjananya selama 4 tahun atau lebih di beberapa kota besar di Indonesia. Tentukan ukuran pemusatan data berkelompok tersebut."%%4%15,2 – 19,619,7 – 24,124,2 – 28,628,7 – 33,133,2 – 37,637,7 – 42,142,2 – 46,6315196701Masalah 2.2

Matematika773. Jelaskan ukuran pemusatan apa yang digunakan (rata-rata, median, modus) untuk situasi di bawah ini.a. Setengah dari jumlah pekerja di suatu pabrik dapat memperoleh lebih dari Rp20.000,00 per jam dan setengahnya yang lain memperoleh kurang dari Rp20.000,00 per jam.b. Rata-rata jumlah anak dalam suatu keluarga di suatu kompleks perumahan adalah 1,8.c. Sebagian besar orang lebih memilih mobil warna hitam dibandingkan dengan warna-warna lainnya.d. Ketakutan yang paling umum terjadi saat ini adalah ketakutan berbicara di depan umum.e. Rata-rata usia dosen perguruan tinggi adalah 42,3 tahun.4. Delapan puluh baterai merk tertentu dipilih secara acak untuk dievaluasi daya hidup baterai dalam jam. Distribusi frekuensi yang diperoleh adalah sebagai berikut."%%4%62,5 – 73,573,5 – 84,584,5 – 95,595,5 – 106,5106,5 – 117,5117,5 – 128,55141825126a. Tentukan simpangan rata-rata, simpangan baku dan ragamb. Dapatkah disimpulkan bahwa daya hidup baterai merk tertentu tersebut konsisten? Jelaskan.

78Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK5. Distribusi frekuensi di bawah ini merupakan persentase siswa sekolah dasar kelas 2 yang mempunyai kemampuan baca dan kemampuan matematika di atas batas yang sudah ditentukan di 50 kota besar di Indonesia. Tentukan ukuran penyebaran dari kedua disribusi frekuensi berikut dan bandingkan hasilnya."%%4% +  4% + *17,5 – 22,522,5 – 27,527,5 – 32,532,5 – 37,537,5 – 42,542,5 – 47,57614193159111681

Matematika79Uji Kompetensi1. Berikut merupakan daftar berat badan 50 pemain top NBA dalam pound. Buat distribusi frekuensi dengan 8 kelas. Analisis hasil distribusi frekuensi mengenai nilai-nilai ekstrim, kelas terbanyak, kelas dengan frekuensi paling sedikit, dan sebagainya. (1 pound = 0,453 kg).240 210 220 260 250 195 230 270 325 225165 295 205 230 250 210 220 210 230 202250 265 230 210 240 245 225 180 175 215215 235 245 250 215 210 195 240 240 225260 210 190 260 230 190 210 230 185 2602. Buat distribusi frekuensi dengan 7 kelas untuk data nilai tes TOEFL siswa kelas bahasa suatu sekolah yang diberikan berikut ini. Kemudian jawab pertanyaan-pertanyaan berikutnya.350 540 495 455 400 520 513 485460 505 375 380 550 475 450 390495 470 510 465 398 497 450 440395 465 470 440 520 492 524 380390 425 475 435 550 545 445 458a. Untuk kelas dengan frekuensi terbanyak, tentukan persentase frekuensinya terhadap jumlah keseluruhan siswa.b. Untuk kelas dengan frekuensi paling sedikit, tentukan persentase frekuensinya terhadap jumlah keseluruhan siswa.c. Lanjutkan langkah ini untuk kelas lainnya. Buat kolom tambahan di sebelah kanan berisikan persentase setiap kelasnya. d. Ceritakan hasil distribusi frekuensi yang diperolehDistribusi frekuensi yang Anda dapatkan disebut dengan distribusi frekuensi relatif.3. Seratus pendaftar seleksi masuk perguruan tinggi di suatu universitas dipilih secara acak sehingga didapatkan distribusi frekuensi nilai tes berikut ini. Buatlah histogram, poligon frekuensi, dan ogive untuk distribusi frekuensi ini.

80Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK %4%90 – 9899 – 107108 – 116117 – 125126 – 13462040268Pendaftar yang nilainya di atas 107 tidak perlu ikut dalam program matrikulasi. Dalam kelompok ini ada berapa pendaftar yang tidak perlu ikut dalam program matrikulasi?4. Beberapa kota besar di Indonesia yang terpilih diuji kualitas udaranya dari polusi. Berikut merupakan data jumlah hari di mana kota-kota tersebut dideteksi mempunyai kualitas udara yang buruk pada tahun 2010 dan 2015. Buatlah distribusi frekuensi dan histogram untuk masing-masing tahun dan bandingkan hasilnya.20102015432038142376005125155637331417814006709531025920451017311413110519101458820202019192015127113820641622125. Jumlah protein dalam beberapa macam makanan cepat saji diberikan di bawah ini. Buatlah distribusi frekuensi dengan 6 kelas kemudian sajikan dalam histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Deskripsikan histogram yang diperoleh.23 30 20 27 44 26 35 20 29 2925 15 18 27 19 22 12 26 34 1527 35 26 43 35 14 24 12 23 3140 35 38 57 22 42 24 21 27 33

Matematika816. Diberikan distribusi frekuensi untuk jumlah komisi (dalam puluhan ribu) yang diterima 100 salesman yang dipekerjakan di beberapa cabang perusahaan besar. Tentukan rata-rata, median, dan modus untuk distribusi frekuensi ini."%%4%150 – 158159 – 167168 – 176177 – 185186 – 194195 – 203204 – 2125162021201537. Pengelola restoran cepat saji di suatu kota besar menyatakan bahwa rata-rata gaji karyawannya adalah Rp18.000,00 per jam. Seorang karyawannya menyatakan bahwa kebanyakan karyawan di restoran tersebut menerima gaji minimal. Jika kedua orang tersebut jujur atas pernyataannya, jelaskan bagaimana ini bisa terjadi. 8. Distribusi frekuensi di bawah ini menyajikan persentase penduduk usia di bawah 25 tahun yang menyelesaikan studi sarjana tepat 4 tahun atau lebih di beberapa kota besar di Indonesia. Tentukan ukuran penyebaran dari distribusi frekuensi tersebut."%%4%15,2 – 19,619,7 – 24,124,2 – 28,628,7 – 33,133,2 – 37,637,7 – 42,142,2 – 46,6315196701

82Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK9. Dua puluh pelari dipilih secara acak untuk dilihat jumlah kilometer pelari tersebut lari dalam seminggu. Berikut merupakan distribusi frekuensi yang dihasilkan.%  %4%5,5 – 10,510,5 – 15,515,5 – 20,520,5 – 25,525,5 – 30,530,5 – 35,535,5 – 40,51235432a. Tentukan ukuran pemusatan distribusi frekuensi di atasb. Tentukan ukuran penyebarannyac. Deskripsikan perilaku data tersebut terhadap rata-rata berdasarkan ukuran penyebarannya.10. Berikut merupakan distribusi frekuensi kumulatif data suhu udara tertinggi (dalam derajat Fahrenheit) yang tercatat di 50 kota besar di Indonesia. Tentukan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan ragam.4%  ;Kurang dari 99,5Kurang dari 104,5Kurang dari 109,5Kurang dari 114,5Kurang dari 119,5Kurang dari 124,5Kurang dari 129,5Kurang dari 134,502102841484950

Page 2

SMA/MA/SMK/MAKKELASXIIEDISI REVISI 2018

Hak Cipta © 2018 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-UndangDisklaimer: Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis dan laman http://buku.kemdikbud.go.id atau melalui email [email protected] diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.Katalog Dalam Terbitan (KDT)Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Matematika/ Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- . Edisi Revisi Jakarta:Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2018. viii, 256 hlm. : ilus. ; 25 cm. Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XIIISBN 978-602-427-114-5 (jilid lengkap)ISBN 978-602-427-117-6 (jilid 3)1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan510Penulis : Abdur Rahman As’ari, Tjang Daniel Chandra, Ipung Yuwono, Lathiful Anwar, Syaiful Hamzah Nasution, Dahliatul Hasanah, Makbul Muksar, Vita Kusuma Sari, Nur Atikah.Penelaah : Agung Lukito, Turmudi, Yansen Marpaung, Suwarsono, Sugito Adi Warsito, Ali Mahmudi.Pe-review : KartoyosoPenyelia Penerbitan : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.Cetakan Ke-1, 2014 (ISBN 978-602-282-775-7)Cetakan Ke-2, 2018 (edisi revisi)Disusun dengan huruf Times New Roman, 12 pt.

MatematikaiiiKata PengantarMatematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke                  disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan                     kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian di atas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antarvariabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antarbeberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.Buku Matematika Kelas XII untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan                       Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan siswa dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, serta berlatih berpikir rasional, kritis dan kreatif.Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan yaitu                  dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.

ivKelas XII SMA/MA/SMK/MAKBuku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan siswa untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, siswa diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa dengan ketersedian kegiatan pada               lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka terhadap masukan dan akan terus diperbaiki dan disempurnakan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca untuk memberikan kritik, saran, dan masukan guna perbaikan dan penyempurnaan edisi          !       "    kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).Tim Penulis

MatematikavDaftar IsiKata Pengantar .................................................. iiiDaftar Isi ....................................................... viBAB 1 Dimensi Tiga............................................. 1A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ................. 1B. Diagram Alur Konsep .................................. 3C. Materi Pembelajaran ................................... 4Subbab 1.1 Jarak Antar titik ................................ 5Subbab 1.2 Jarak Titik ke Garis ........................... 13Subbab 1.3 Jarak Titik ke Bidang ......................... 18Uji Kompetensi ........................................... 25BAB 2 Statistika ................................................ 27A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ................. 27B. Diagram Alur Konsep .................................. 29C. Materi Pembelajaran ................................... 30Subbab 2.1 Penyajian Data .............................. 32Kegiatan 2.1.1 Distribusi Frekuensi .................... 32Kegiatan 2.1.2 Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive . . . 41Subbab 2.2 Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data Berkelompok .............................. 57Kegiatan 2.2.1 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok ...... 58Kegiatan 2.2.2 Ukuran Penyebaran Data Berkelompok ..... 68Uji Kompetensi ........................................... 79BAB 3 Peluang ................................................. 83A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ................. 83B. Diagram Alur Konsep .................................. 85

viKelas XII SMA/MA/SMK/MAKC. Materi Pembelajaran ................................... 86Subbab 3.1 Aturan Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi .... 86Kegiatan 3.1.1 Aturan Penjumlahan dan Perkalian ........ 86Kegiatan 3.1.2 Penyusunan dan Pengambilan ............ 93Kegiatan 3.1.3 Menentukan Rumus Permutasi dan Penerapanya .......................... 98Kegiatan 3.1.4 Menentukan Rumus Kombinasi dan Penerapannya ......................... 107Kegiatan 3.1.5 Menentukan Rumus Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama dan Penerapannya . . . 113Kegiatan 3.1.6 Menentukan Rumus Permutasi Siklis dan Penerapannya ......................... 118Subbab 3.2 Kejadian Majemuk, Peluang Saling Lepas, Peluang Saling Bebas, dan Peluang Bersyarat ............ 128Kegiatan 3.2.1 Kejadian Majemuk .................... 128Kegiatan 3.2.2 Peluang Saling Lepas .................. 133Kegiatan 3.2.3 Peluang Saling Bebas .................. 139Kegiatan 3.2.4 Peluang Bersyarat ..................... 144Uji Kompetensi ....................................... 150BAB 4 Kekongruenan dan Kesebangunan (Pengayaan).................. 153A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ................. 153B. Diagram Alur Konsep .................................. 155C. Materi Pembelajaran ................................... 156Subbab 4.1 Kekongruenan.............................. 156#  $%%&"     '  Sudut yang Bersesuaian atau Berkorespondensidari Dua Segibanyak .................... 157Kegiatan 4.1.2: Kekongruenan Dua Segibanyak .......... 161Kegiatan 4.1.3: Menentukan Kekongruenan Dua Segitiga . . . 164Kegiatan 4.1.4: Alur Berpikir dalam Pembuktian Deduktif . . 175

MatematikaviiKegiatan 4.1.5: Menentukan Kekongruenan Bangun Datar dengan Bangun Datar Hasil Transformasi (Rotasi, Pergeseran, Dilatasi/Perbesaran, Pencerminan) ......................... 182Subbab 4.2 Kesebangunan ............................. 192#  $*%& " #   + -  Datar ............................... 196#  $**& " ' '   Sebangun ............................ 199Kegiatan 4.2.3: Menentukan Kesebangunan Bangun Fatar dengan Bangun Datar Hasil Transformasi (Rotasi, Pergeseran, Dilatasi/Perbesaran, Pencerminan) ......................... 216#  $*$& " ; ; ; '  yang Bersesuaian dari Dua Segitiga yang Sebangun ............................ 223Uji Kompetensi ........................................... 231Glosarium ...................................................... 233Daftar Pustaka ................................................... 238   .................................................... 239   .................................................. 248 <..................................................... 254

Dimensi TigaKompetensi Dasar Pengalaman Belajar3.1 Mendeskripsikan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang).4.1 Menentukan jarak dalam ruang (antartitik, titik ke garis,dan titik ke bidang).Melalui pembelajaran dimensi tiga, siswa mem-peroleh pengalaman belajar:1. Mengamati dan mendeskripsikan masalah jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang pada ruang.2. Mengamati dan menerapkan konsep jarak antartitik, titik ke garis, dan titik ke bidang untuk menyelesaikan masalah pada dimensi tiga.3. Mengonstruksi rumus jarak dua titik dan jarak titik ke garis.           Istilah PentingBAB1A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar

2Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK Euclid merupakan seorang matematikawan yang hidup sekitar tahun 300 SM di Alexandria dan sering disebut sebagai ”Bapak Geometri”. Dialah yang mengungkapkan bahwa:1. titik adalah 0 dimensi,2. garis adalah 1 dimensi yaitu garis itu sendiri,3. persegi dan bangun datar lainnya adalah 2 dimensi yaitu panjang dan lebar,4. bangun ruang adalah 3 dimensi yaitu panjang lebar tinggi,5. tidak ada bangun geometri 4 dimensi.Dalam bukunya ”The Elements”, ia menyatakan 5 postulat yang menjadi landasan dari semua teorema yang ditemukannya.Postulat dan teorema yang beliau ungkapkan merupakan landasan teori tentang kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang yang hingga kini masih digunakan dengan hampir tanpa perubahan yang prinsip. Euclid menulis 13 jilid buku tentang geometri. Dalam buku-bukunya ia menyatakan aksioma(pernyataan pernyataan sederhana) dan membangun dalil tentang geometri berdasarkan aksioma-aksioma tersebut. Contoh dari aksioma Euclid adalah, ”Ada satu dan hanya satu garis lurus, di mana garis lurus tersebut melewati dua titik”. Buku-buku karangannya menjadi hasil karya penting dan menjadi acuan dalam pembelajaran Ilmu Geometri. Bagi Euclid, matematika itu penting sebagai bahan studi dan bukan sekedar alat untuk mencari nafkah. Ketika ia memberi kuliah geometri pada seorang raja, Raja tersebut bertanya, ”Tidak adakah cara yang lebih mudah bagi saya untuk mengerti dalam mempelajari geometri?”. Euclid menjawab, ”Bagi Raja tak ada jalan yang mudah untuk mengerti geometri. Setiap orang harus berpikir ke depan tentang dirinya apabila ia sedang belajar”.Sumber: Hosch, W.L. 2011. The Britannica Guide to Geometry. New York: Britannica Educational PublishingBeberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik, adalah:1. Ilmu bukanlah sekedar alat untuk mencari nafkah dalam memenuhi kebutuhan hidup, tetapi untuk mencari nafkah seseorang harus mempunyai ilmu.2. Jalan pintas bukanlah suatu hal yang baik untuk seseorang yang memang benar-benar ingin belajar.Sumber: The Britannica Guide to Geometry

Matematika3 B. Diagram Alur KonsepPenerapan dalam Kehidupan Sehari-haridigunakanRumusPembantuPrasyaratuntukPrasyaratuntukmempelajariDIMENSI TIGAJarak Titik ke TitikJarak Titik ke GarisJarak Titik ke BidangTeorema Pythagoras

4Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMemanfaatkan Atap Rumah Sebagai RuanganSaat ini banyak orang yang me-manfaatkan atap rumah sebagai ruang berkumpul atau ruang tidur. Pemanfaatan atap sebagai ruangan dilakukan mengin-gat keterbatasan lahan yang dimiliki oleh pemilik rumah. Untuk menghemat biaya pembuatan rumah, salah satu aspek yang harus diperhatikan adalah biaya pembuat-an kuda-kuda rumah. Penentuan Rincian Anggaran (RAB) pembuatan kuda-kuda dapat ditentukan dengan matematika. Untuk mendapatkan rincian biaya terse-but, salah satu konsep yang dapat diguna-kan adalah dimensi tiga. Konsep yang dimaksud jarak titik dengan titik atau titik dengan garis.Perhatikan Gambar 1.2 tentang kuda-kuda rumah. Dari gambar tersebut dapat ditentukan biaya pembuatan kuda-kuda. Biaya ini tergantung dari panjang keseluruhan kayu, jenis kayu dan dimensi kayu (panjang, lebar, dan tinggi).   Kuda-kuda suatu rumahSumber: http://www.megatrussglobal.com/2014/04/analisis-perbandingan-harga-konstruksi.html C. Materi Pembelajaran  Ruangan AtapSumber: https://septanabp.wordpress.com/tag/attic/

Matematika5Perhatikan bentuk-bentuk bangun ruang yang sering Anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya kamar tidur yang berbentuk balok, kotak makanan yang berbentuk kubus, kaleng susu yang berbentuk tabung dan lain sebagainya. Pernahkah Anda berpikir bahwa dalam bangun-bangun tersebut terdapat beberapa istilah yang akan dibahas pada bab ini yaitu jarak antartitik, jarak titik ke garis, dan jarak titik ke bidang. Agar Anda memahami istilah tersebut, lakukan beberapa kegiatan berikut ini.  Beberapa wadah berbentuk balok.Subbab 1.1 Jarak Antar titikPerhatikan bangun ruang berikut ini.PRQEHGCDABFI(a)(b)  Bangun 1.1.a merupakan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 3 cm. EC, EG, dan AC, masing-masing merupakan jarak antara titik E dengan C, titik E dengan G, serta titik A dengan titik C. Pada Bangun 1.1.b jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis PQ. Untuk memahami konsep jarak dua titik perhatikan aktivitas berikut.

6Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMasalah 1.1Bangun 1.2 berikut merepresentasikan kota-kota yang terhubung dengan jalan. Titik merepresentasikan kota dan ruas garis merepresentasikan jalan yang menghubungkan kota.DC23 km20 km16 km18 km17 km27 kmBA  Gambar Kota dan jalan yang menghubungkannyaNasyitha berencana menuju kota C berangkat dari kota A. Tentukan rute perjalanan yang mungkin ditempuh oleh Nasyitha. Tulis kemungkinan rute yang ditempuh Nasyitha pada Tabel 1.1. Kemudian tentukan panjang rute-rute tersebut. Rute manakah yang terpendek? Menurut pendapat Anda berapa jarak antara kota A dan C? Beri alasan untuk jawaban Anda.  Kemungkinan Rute yang ditempuh NasyithaNo       ! "# $%1.2.3.4.5.

Matematika7Dari masalah di atas, jarak antara Kota A dan C adalah 27 km.Masalah 1.2Perhatikan masalah berikut ini.ABG2G1 & Jarak Dua TitikJika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri. Maka G1 dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik. Dari G1 dan G2 dapat dilakukan pemasangan satu-satu antara titik-titik pada G1 dan G2. Jika AB adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis AB disebut jarak antara bangun G1 dan G2.Dari kegiatan mengamati di atas, tulislah istilah penting dari hasil pengamatan Anda.Dari kegiatan mengamati di atas, apakah terdapat hal-hal yang ingin Anda tanyakan? Salah satu contoh pertanyaan yang mungkin Anda tanyakan adalah ”Apa pengertian jarak antara dua titik?”Tuliskan pertanyaan-pertanyaan tersebut ke tempat berikut ini.

8Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKUntuk lebih memahami jarak antar titik, isilah tabel berikut ini. Anda dapat menggunakan informasi dari sumber lain untuk menyelesaikan pertanyaan pada Tabel 1.2.  Jarak antar titik dalam bangun ruang'  "()1.ADBCEFHGa. Manakah yang merupakan jarak antara titik F dan G?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?2.ORQPMLKNa. Manakah yang merupakan jarak antara titik P dan N?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik Q dan L?3.EABCGHDFa. Manakah yang merupakan jarak antara titik E dan F?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?4.ABCDTa. Manakah yang merupakan jarak antara titik T dan D?b. Manakah yang merupakan jarak antara titik B dan D?

Matematika9Masalah 1.3Dalam suatu kamar berukuran 4m × 4m × 4m dipasang lampu tepat di-tengah-tengah atap. Kamar tersebut digambarkan sebagai kubus ABCD.EFGH. Berapa jarak lampu ke salah satu sudut lantai kamar?Alternatif PenyelesaianMisal kamar tersebut digambarkan sebagai kubus ABCD.EFGH dan lampu dinyatakan dengan titik T seperti berikut.ADBCEFHTG  Kubus ABCD.EFGH sebagai representasi kamarJarak lampu ke salah satu sudut lantai kamar adalah jarak titik T ke titik A atau titik B atau titik C atau titik D. Titik T merupakan titik tengah bidang EFGH, sehingga TA = TB = TC = TD. Akan dicari jarak titik T ke titik A. Jarak titik T ke titik A salah satunya dapat dicari dari segitiga AET. Karena AE tegak lurus dengan ET, maka segitiga AET merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di E. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh 222ATAEET.* +#ET.Oleh karena T merupakan titik tengah, maka ET = 12EG. Karena EG merupakan diagonal bidang, panjang ET = 12.4 2 2 2.222224222426ATAEETATEATJadi jarak lampu ke salah satu sudut lantai adalah 26 m.

10Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMengonstruksi Rumus Jarak Antar TitikRadar (dalam bahasa inggris merupakan singkatan dari Radio Detection and Ranging) adalah suatu sistem gelombang elektromagnetik yang berguna untuk mendeteksi, mengukur jarak dan membuat peta benda-benda seperti pesawat terbang, kapal laut, berbagai kendaraan bermotor dan informasi cuaca. Radar dapat mendeteksi posisi suatu benda melalaui layar seperti berikut. , Tampilan Layar RadarSumber: http://www.dreamstime.com/royalty-free-stock-image-radar-screen-image28624986Titik dalam radar tersebut merepresentasikan objek yang dideteksi radar. Titik pusat radar adalah lokasi sinyal radar dipancarkan. Untuk menentukan jarak suatu benda, ternyata dapat digunakan rumus matematika. Bagaimana cara menentukan jarak tersebut? Misalnya pusat radar dinotasikan sebagai titik A 11(, )xy dan objek yang terdeteksi dinotasikan sebagai titik B 22(, )xy.B 22(, )xyA 11(,)xy - Dua titik A dan B

Matematika11Bagaimana menentukan rumus umum untuk menentukan jarak kedua titik tersebut?Perhatikan Gambar 1.7, Dua titik dihubungkan dengan ruas garis, kemudian dibuat segitiga siku-siku seperti berikut.B 22(, )xyCA 11(,)xy . Segitiga siku-siku ACB.Tentukan panjang BC dan AC. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, hitunglah panjang AB.Dari kegiatan yang telah Anda lakukan di atas, buatlah simpulan tentang jarak antara dua titik dan bagaimana menentukannya. Tukarkan simpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Tulis simpulan pada tempat berikut.

12Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSoal Latihan 1.1Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya!1. Diketahui limas beraturan T.ABC dengan bidang alas berbentuk segitiga sama sisi. TA tegak lurus dengan bidang alas. Jika panjang AB = 42 cm dan TA = 4 cm, tentukan jarak antara titik T dan C!2. Perhatikan limas segi enam beraturan berikut.ABCDFETDiketahui panjang AB = 10 cm dan TA = 13 cm. Titik O merupakan titik tengah garis BE. Tentukan jarak antara titik T dan O!3. Perhatikan bangun berikut ini.EHGCBADFJika diketahui panjang AB = 5 cm, AE = BC = EF = 4 cm, maka tentukan:a. Jarak antara titik A dan Cb. Jarak antara titik E dan Cc. Jarak antara titik A dan G

Matematika13Subbab 1.2 Jarak Titik ke GarisAmati dengan cermat informasi pada tabel berikut. Tabel 1.3 menyajikan informasi tentang jarak titik ke garis pada ruang dimensi tiga.  Jarak titik ke garis pada bangun ruang.'  1.ADBCEFHGDari gambar di samping, panjang ruas garis EA adalah jarak antara titik E dengan ruas garis AB. Panjang ruas garis BC merupakan jarak antara titik C dengan ruas garis AB.2.ORQPMLKNDari gambar di samping, panjang ruas garis OR merupakan jarak antara titik R dengan ruas garis OP.3.EABCGHDFDari gambar di samping, panjang ruas garis DC merupakan jarak antara titik D dengan ruas garis BC.Panjang ruas garis AE merupakan jarak antara titik A dengan ruas garis EF.Dari kegiatan mengamati di atas, tulislah istilah penting dari hasil pengamatan Anda.

14Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDari kegiatan mengamati di atas, apakah terdapat hal-hal yang ingin Anda tanyakan? Tuliskan pertanyaan-pertanyaan tersebut ke tempat berikut ini.Masalah 1.4Tiga paku ditancapkan pada papan sehingga menjadi titik sudut segitiga siku-siku (lihat Gambar 1.8.a). Seutas tali diikatkan pada dua paku yang ditancapkan (lihat Gambar 1.8.b). Misal paku-paku tersebut digambarkan sebagai titik A, B, dan C seperti Gambar 1.8.c dengan AC = 6 cm, BC = 8 cm, dan AB = 10 cm. / a / b / c / Ilustrasi paku yang ditancapkan di papanMelalui eksperimen kecil, tentukan panjang tali minimal yang meng-hubungkan paku C (titik C) dengan tali yang terpasang pada paku A dan paku B (ruas garisAB). Apa syarat yang harus dipenuhi agar mendapat-kan panjang tali minimal? Beri alasan untuk jawaban Anda.

Matematika15Masalah 1.5Diberikan kubus ABCD.EFGH sebagai berikut. Jika panjang rusuk kubus adalah 2 cm, berapakah jarak titik A ke diagonal bidang EB?ADBCEFHGAlternatif PenyelesaianJika titik E dan B dihubungkan dengan ruas garis, maka diperoleh,EABIJarak titik A ke EB adalah panjang ruas garis AI dengan BI = 12BE, mengapa?Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh 22AIABBI.222222 22EBAEAB,sehingga 1122.2 2 2BIBE.222 222 2AIABBIJadi jarak titik A ke diagonal bidang EB adalah 2 cm.

16Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMasalah 1.6Diberikan segitiga siku-siku ABC seperti berikut. Misal AB = c, BC = a, AC = b dan CD = d. Garis CD merupakan garis tinggi. Bagaimana menentu-kan d, apabila a, b, dan c diketahui?ACBDAlternatif PenyelesaianPerhatikan segitiga siku-siku ABC. Luas ABC = 12BCAC = 12ab. Selain itu Luas ABC = 12AB.CD = 12cd. Sehingga diperoleh Luas ABC = Luas ABC12ab = 12cdab = cdd = abcDari kegiatan yang telah Anda lakukan di atas, buatlah simpulan tentang jarak titik ke garis dan bagaimana menentukannya. Tukarkan simpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Tulis simpulan pada tempat berikut.

Matematika17Soal Latihan 1.2Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya!1. Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.2. Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT =13 cm. Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB = 10 cm. Tentukan:a. jarak titik F ke garis ACb. jarak titik H ke garis DF4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG.5. Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.ABCDPQTTitik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ!

18Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSubbab 1.3 Jarak Titik ke BidangUntuk lebih memahami tentang jarak titik ke bidang amatilah tabel berikut. & Jarak titik ke bidang'  1.ADBCEFHGPanjang ruas garis BC merupakan jarak antara titik B dengan bidang DCGH.Panjang ruas garis CD merupakan jarak antara titik C dengan bidang ADHE.2.ORQPMLKNPanjang ruas garis KN merupakan jarak antara titik K dengan bidang MNRQ.Panjang ruas garis OP merupakan jarak antara titik O dengan bidang LMQP.3.EABCGHDFPanjang ruas garis HE merupakan jarak antara titik H dengan bidang ABFE.Panjang ruas garis CG merupakan jarak antara titik C dengan bidang EFGH.

Matematika19Masalah 1.7Tiang penyangga dibuat untuk menyangga atap suatu gedung. Tiang pe-nyangga ini menghubungkan suatu titik pada salah satu sisi gedung dan suatu titik pada bidang atap seperti ditunjukkan pada Gambar 1.9 berikut.  0 Tiang Penyangga Atap Bangunan Sumber: http://www.ideaonline.co.id/iDEA2013/Eksterior/Fasad/Batu-Alam-Mencerahkan-Tampilan-Fasad/Tiang-Penyangga-AtapPada Gambar 1.9 Apabila dibuat gambar tampak samping diperoleh gambar seperti berikut.AtapKayu P enyangga 2 Tampak Samping Tiang Penyangga Atap Bangunan

20Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDari Gambar 1.10, cermati gambar kayu penyangga dan atap. Dapatkah Anda menentukan kondisi atau syarat agar panjang kayu penyangga seminimal mungkin?Dari kegiatan mengamati di atas, tulislah istilah penting dari hasil pengamatan Anda.Dari kegiatan mengamati di atas, apakah terdapat hal-hal yang ingin Anda tanyakan? Tuliskan pertanyaan-pertanyaan tersebut ke tempat berikut ini.

Matematika21Masalah 1.8Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti gambar di samping. Berapakah jarak titik B ke bidang AFGD?  Bidang AFGD pada Kubus ABCD.EFGHAlternatif PenyelesaianUntuk menentukan jarak titik B ke bidang AFGD dapat ditentukan dengan mencari panjang ruas garis yang tegak lurus dengan bidang AFGD dan melalui titik B.BT tegak lurus dengan bidang AFGD, sehingga jarak titik B ke bidang AFGD adalah panjang ruas garis BT. Titik T adalah titik tengah diagonal bidang AF(mengapa?). Panjang AF adalah 42 cm, sehingga panjang AT adalah 22 cm. Karena BT tegak lurus bidang AFGD, maka segitiga ATB adalah segitiga siku-siku. Sehingga: 2222422 22TBABATJadi jarak titik B ke bidang AFGD adalah 22 cm.

22Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKMasalah 1.9Masalah 1.9 serupa dengan Masalah 1.8. Pada Masalah 1.9 siswa diberi limas T.ABCD dengan alas persegi dan siswa diminta untuk menentukan jarak titik O ke bidang TBC.Diberikan limas T.ABCD dengan alas persegi. Titik O adalah perpotongan diagonal AC dan BD. Jika AB = BC = CD = AD = 6 cm, TA = TB = TC = TD = 36 cm dan tinggi limas 6 cm, berapakah jarak antara titik O dengan bidang TBC?DABOCT  Limas T.ABCDAlternatif PenyelesaianPerhatikan Gambar 1.13 berikut ini. DABOPQCT  Jarak titik O ke bidang TBC.

Matematika23Untuk menentukan jarak titik O ke bidang TBC, dibuat ruas garis OP dengan OP sejajar AB, OP = 12AB = 3 cm dan TO = 6 cm. Misal titik Q terletak pada bidang TBC, titik Q terletak pada TP dengan TP terletak pada bidang TBC dan OQ tegak lurus TP. Jarak titik O ke bidang TBC adalah panjang ruas garis TP dengan OQ =OP TOTP (darimana?)Oleh karena TP = 222263 4535TOOP, maka:OQ = 36 65535OP TOTPJadi, jarak titik O ke bidang TBC adalah 655 cm.Dari kegiatan yang telah Anda lakukan di atas, buatlah simpulan tentang jarak titik ke bidang dan bagaimana menentukannya. Tukarkan simpulan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat. Tulis simpulan pada tempat berikut.

24Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSoal Latihan 1.3Jawablah soal berikut disertai dengan langkah pengerjaannya!1. Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a cm. Titik Q adalah titik tengah rusuk BF. Tentukan jarak titik H ke bidang ACQ.2. Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut. ABEFDCTernyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = 13 cm dan BC = 12 cm. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCFE!3. Dari gambar di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm dan <VWYZY!     -  V<EHGCDABF4. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC . Panjang AB = 6 cm dan TA = 8 cm. Tentukan jarak antara titik T dengan bidang ABC.5. Diketahui luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah 294 cm2. Tentukan:a. Jarak antara titik F ke bidang ADHE.b. Jarak antara titik B ke bidang ACH.

Matematika25Uji Kompetensi Jawablah pertanyaan berikut disertai dengan langkah pengerjaannya!1. Perhatikan gambar berikut.ABDEC37 m32 m37 m28 m23 m29 m17 m19 m25 m(a)(b)(c)P2P2gP1PP3P1KQRPa. Dari Gambar (a), tentukan jarak dari titik A ke D.b. Dari Gambar (b), tentukan jarak titik P terhadap garis g.c. Dari Gambar (c), tentukan jarak titik P pada bidang-K.2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Buat ilustrasi kubus tersebut. Tentukan langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG. Kemudian hitunglah jarak titik F ke bidang BEG.3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 2a, dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG = a.a. Buatlah ilustrasi dari masalah di atas.b. Tentukan PQ.4. Panjang setiap bidang empat beraturan T.ABC sama dengan 16 cm. Jika P pertengahan AT dan Q pertengahan BC, tentukan PQ.5. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Tentukan jarak titik H ke DF.ADBCEFHG6 cm

26Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK6. Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH. Tentukan perbandingan volum limas P.BCS dan volum kubus ABCD.EFGH.7. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH.Tentukan jarak titik A ke titik S.8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk cm. P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik potong EG dan FH. Tentukan jarak titik R ke bidang EPQH.9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. P titik tengah EH. Tentukan jarak titik P ke garis CF.10. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik C dengan bidang BDG.

Page 3

PeluangKompetensi Dasar Pengalaman Belajar3.3 Menganalisis aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) melalui masalah kontekstual.3.4 Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak.4.3 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi).4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kejadian majemuk (peluang kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian bersyarat).Melalui pembelajaran kombinatorik, siswa mem-per oleh pengalaman belajar1. Mengamati dan menemukan konsep aturan penjumlahan dan perkalian melalui masalah kontekstual2. Mengamati dan menemukan konsep permutasi dan kombinasi melalui masalah kontekstual 3. Menerapkan konsep aturan penjumlahan, perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam menyelesaikan masalah sehari-hari A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarBAB3A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar              Istilah Penting

84Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK   ! Gerolamo Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501 di Pavia, Lombardy, Italia. Beliau merupakan seorang ahli matematika,                          Italia. Beliau sering dianggap sebagai ahli matematika terbesar dari Renaissance. "          pengaruh buruk bagi keluarganya, namun     !   V                 Penelitian tentang putaran dadu, didasarkan              dasar sains, bukan sekedar keberuntungan. Teori             Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565. Beliau               yang ia publikasikan dalam bukunya Opus novum de proportionibus.       V  &1. Segala perbuatan yang kita lakukan, meskipun perbuatan yang buruk akan menghasilkan hal yang positif dan bermanfaat.2. Memiliki pendirian yang kuat dalam ilmu yang diminati.3. Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi sehingga dapat menggunakan            

Matematika85PELUANGAturan PenjumlahanKejadian Saling LepasAturan PerkalianKejadian Saling BebasPermutasiKejadian BersyaratKombinasiAturan PencacahanKejadian Majemuk B. Diagram Alur Konsep

86Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSubbab 3.1 Aturan Pencacahan, Permutasi, dan KombinasiKegiatan 3.1.1 Aturan Penjumlahan dan Perkalian           „{                 V  †Vq †‡q       '  †'q†ˆq        ‰  †‰q †Šq        + †+q†‹q+     %^ †!†q*^$YŒ|}‚%€{ !†{q†q#†#qq      Y* Dalam kesempatan ini, kita bukannya akan bermain kartu remi, melainkan                         +              kartu beserta banyak cara pengambilannya seperti pada Tabel 3.1.1 berikut.7 http://magazinesofthebeginer.blogspot.co.id/2011/03  C. Materi Pembelajaran

Matematika87  Kegiatan Pengambilan Kartu Remi dan Banyak Caranya' !1.Mengambil satu kartu Ace (A)V'‰+42.Mengambil satu kartu QueenV'‰+43.Mengambil satu kartu ‰ ‰ *‰ ^‰ $‰Y‰ Œ‰ |‰ }‰‚‰ %€‰ {‰ ‰#‰134.Mengambil satu kartu Ace hitamV'2'                beserta banyak cara pengambilannya seperti pada Tabel 3.1.2 dan Tabel 3.1.3 berikut.  Kegiatan Pengambilan Kartu Remi dan Banyak Caranya' !5.Mengambil satu kartu Ace atau QueenV'‰+V'‰+}6.Mengambil satu kartu Ace atau satu kartu ‰ V'‰+*‰ ^‰ $‰ Y‰Œ‰ |‰ }‰ ‚‰%€‰{‰‰#‰16|Mengambil satu kartu Ace atau satu kartu Ace hitam}Mengambil satu kartu Queen atau satu kartu ‰ 

88Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK' !‚Mengambil satu kartu Queen atau satu kartu Ace hitam10.Mengambil satu kartu !‰   #Sekarang Anda diminta untuk melengkapi dua kegiatan pengambilan kartu beserta banyak cara pengambilannya.    "      !' !11.Banyak cara mengambil satu kartu Ace (tanpa dikembalikan) kemudian satu kartu QueenVV'‰+'V'‰+‰V'‰++V'‰+1612.Banyak cara mengambil kartu Ace (tanpa dikembalikan) kemu   ‰ 

Matematika89' !13.-   !       V     †  kembalikan) kemudian Club bernomor prima\                    ini.Setelah Anda mengamati kegiatan pengambilan kartu beserta banyak cara                    dengan kegiatan itu. Misalnya apakah ada aturan untuk menghitungnya. Nah,                    „-  !  &% -         „*                „^      !       !       !   „Tuliskan beberapa pertanyaan Anda pada kotak berikut.

90Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKCoba Anda perhatikan kegiatan nomor 1 sampai dengan nomor 6. Kemungkinan pengambilan kartu pada kegiatan nomor 1 tidak ada yang         *‰     kemungkinan pengambilan kartu pada kegiatan nomor 1 dan nomor 3. Kedua           !‰+   pengambilan pada nomor 1 dan nomor 3 merupakan contoh dua kegiatan yang saling lepas          '  kegiatan pengambilan pada nomor 1 dan nomor 3 merupakan contoh kegiatan yang tidak saling lepas+                   %   nomor 6 dalam tabel berikut.6  7Nomor 1 dan 2Saling lepasNomor 1 dan 3Tidak saling lepas‰Nomor 1 dan 4Nomor 2 dan 3Nomor 2 dan 4Nomor 3 dan 4+                     Y   %€         berikut.'  !5.Mengambil satu kartu Ace (kegiatan nomor 1) atau Queen (kegiat an nomor 2)Saling lepas} W $ †   ! kegiatan nomor 1) + 4 (banyak cara kegiatan nomor 2)

Matematika91'  !6.Mengambil satu kartu Ace (kegiatan nomor 1) atau  ‰ †  nomor 3)Tidak saling lepas16 ‘ $ †   ! kegiatan nomor 1) + 13 (kegiatan nomor 3)|Mengambil satu kartu Ace (kegiatan nomor 1) atau satu kartu Ace hitam (kegiatan nomor 4)}Mengambil satu kartu Queen (kegiatan nomor *q      ‰ (kegiatan nomor 3)‚Mengambil satu kartu Queen (kegiatan nomor 2) atau satu kartu Ace hitam (kegiatan nomor 4)10.Mengambil satu kartu ‰  †     ^q    !‰ (kegiatan nomor 4)+                 %       Œ             %%    %^       '  !11.Banyak cara mengambil satu kartu Ace (kegiatan   %q †   kembali kan) kemudian     † an nomor 2)Saling lepas%Œ W $ †   ! kegiatan nomor 1) x 4 banyak cara kegiatan nomor 2)

92Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'  !12.Banyak cara meng ambil kartu Ace (ke giat an nomor 1) (tanpa dikembalikan)     ‰ (kegiatan nomor 3)Tidak saling lepas13.Banyak cara mengambil kartu Club bernomor     †      q    V  nomor primaNah sekarang Anda dapat menyimpulkan sebagai berikut.1. Apabila kegiatan 1 dan kegiatan 2 adalah dua kegiatan yang saling           %    n cara dan kegiatan 2    m !    *             m + n. Aturan ini disebut dengan aturan penjumlahan.2. Apabila kegiatan nomor 1 dan kegiatan nomor 3 adalah dua kegiatan                  %    n !     ^  m cara, maka kegiatan yang         %          ^        mn. Aturan ini disebut dengan aturan perkalian.             n kegiatan     \             dalam tempat yang disediakan berikut.

Matematika93 Setelah Anda memperoleh aturan dalam perhitungan, yaitu aturan                      $       menerapkan aturan tersebut. Mintalah bantuan guru apabila Anda menemui kesulitan.'                                      "             Anda.Kegiatan 3.1.2 Penyusunan dan Pengambilan+            adalah dua kegiatan yang berbeda. Sebagai contoh, apabila Anda mempunyai    !†V'‰+q       !                                  !   ;    perbedaan dua kegiatan tersebut, maka lakukan kegiatan berikut. Silakan Anda melakukan kegiatan ini secara berkelompok 3–4 orang." %  "# 5 " %  " 

94Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK+        †   q   untuk melakukan kegiatan penyusunan atau pengambilan kartu (tanpa pengembalian) dan kemudian menuliskan hasilnya seperti pada tabel berikut. & Kegiatan Penyusunan dan Pengambilan Kartu'  !1.Menyusun 2 kartu Ace dari 4 kartu AceV ' V ‰V + ' V' ‰ ' +‰ V ‰ '‰ + + V+ ' + ‰122.Mengambil 2 kartu Ace dari 4 kartu Ace V ' V ‰V + ' V' ‰ ' +‰ V ‰ '‰ + + V+ ' + ‰63.Menyusun 3 kartu Ace dari 4 kartu Ace4.Mengambil 3 kartu Ace dari 4 kartu Ace5.Menyusun 4 kartu Ace dari 4 kartu Ace6.Mengambil 4 kartu Ace dari 4 kartu Ace|Menyusun 2 kartu dari 5 kar*V^V$VYVŒV}Mengambil 2 kartu dari 5   *V ^V $V YVŒV

Matematika95\                    ini. +                                           &    !                  '  !     &%           „2. Apakah ada cara atau formula umum untuk menentukan banyak cara      !   „^                         !       „Tuliskan beberapa pertanyaan Anda pada kotak berikut dan Anda boleh menggunakan contoh pertanyaan tersebut.

96Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'                #      *   !   $   ! †V ' ‰ +q †  nomor 1), maka diperoleh semua susunan seperti pada Tabel 1.4. Dalam hal  * !   V'      'V    \      * ! $ !†V'‰+q†   *q   V'       'V+      ^  ^ ! $ !†V'‰+q    V'‰V‰''V‰'‰V‰V' ‰'V       V' ‰\    $  ^ ! $ !†V'‰+q   V'‰V‰''V‰'‰V‰V' ‰'V   +      YŒ| }+            Kalau dalam penyusunan urutan diperhatikan, tetapi dalam pengambilan urutan tidak diperhatikan. Kesamaan dari penyusunan dan pengambilan adalah tidak              VV     VV’  pengulangan   pengembalian.  * ! $ !†V'‰+q   contoh dari permutasi 2 unsur dari 4 unsur, dinotasikan dengan 4P2 atau P(4,2). '    * ! $ !†V'‰+qmerupakan contoh dari kombinasi 2 unsur dari 4 unsur, dinotasikan dengan 4C2 atau C†$*q+    !   &“   r unsur dari n unsur merupakan penyusunan r unsur dari nunsur tanpa pengulangan dan dinotasikan dengan nPr atau P(n,r) dengan 0 < r•n. “#  r unsur dari n unsur merupakan pengambilan r unsur dari nunsur tanpa pengembalian dan dinotasikan dengan nCr atau C(n,r) dengan 0 < r•n.

Matematika97Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda                    Setelah Anda mengerti tentang permutasi dan kombinasi, diskusikan dalam kelompokmu untuk menuliskan beberapa contoh permutasi dan kombinasi dan dicoba untuk dihitung berapa nilai dari permutasi dan kombinasi tersebut. '                           #                   "                        kelompok dalam menyelesaikan soal. Tuliskan hasil diskusi Anda pada kotak   

98Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKContoh 3.1.2Kegiatan 3.1.3 Menentukan Rumus Permutasi dan Penerapannya'              dilakukan proses untuk menemukan rumus permutasi r unsur dari n unsur. Sebelum menurunkan rumus, beberapa definisi, istilah dan notasi yang berkenaan dengan masalah ini perlu diketahui dan dipahami.'9 7= 4 9= $E;%Untuk suatu n bilangan asli, n! (dibaca n faktorial) didefinisikan sebagai1. n–Wn (n – 1) ... 2 %W% 2  3 ... (n – 1) n2. €–W%% Y–WY 4  3  2 %W%*€* ^–—$– W^ 2  1 + 4  3  2 %WŒ—*$W^€^ ^–˜$– W†^ 2  1)  (4  3  2 %q WŒ*$W%$$4. 5! 5432154 203!3 2 1Sekarang silakan Anda berdiskusi dengan teman sebangkumu (bersebelahan)   !!  "    !!         r unsur dari n unsur.-    !   * ! $ !†V'‰+q„Contoh 3.1.1

Matematika99PenyelesaianUntuk menyelesaikan hal ini, Anda dapat membuat bantuan dua kotak sebagai tempat pengaturan dua kartu Ace tersebut, misalnya (1)(2). . .. . .# †%q    $ ! V'‰+  pada kotak (1) ada 4 kemungkinan.Pada kotak (2) hanya dapat diisi oleh 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah      †%q &“{  †%q V     †*q   '‰+atau“{  †%q '     †*q   V‰+“{  †%q ‰     †*q   V'+“{  †%q +     †*q   V'‰Kemungkinan ini dapat digambarkan dengan diagram batang sebagai berikut.Kartu I Kartu IIV'‰+'V‰+‰V'++V'‰Dengan demikian pada kotak (1) ada 4 kemungkinan dan kotak (2) ada 3 kemungkinan. (1)(2)43

100Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 4^W%*    $^W4321 4!21 (4 2)!-    !   ^ ! $ !†V'‰+q„PenyelesaianUntuk menyelesaikan hal ini, Anda dapat membuat bantuan tiga kotak sebagai tempat pengaturan tiga kartu Ace tersebut, misalnya (1)(2)(3). . .. . .. . .#  †%q        $  !  V'‰+  pada kotak (1) ada 4 kemungkinan.Pada kotak (2) hanya dapat diisi oleh 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1), yaitu“{  †%q V     †*q   '‰+“{  †%q '     †*q   V‰+“{  †%q ‰     †*q   V'+“{  †%q +     †*q   V'‰Pada kotak (3) hanya dapat diisi oleh 2 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1) dan 1 kartu pada kotak (2) , yaitu“{    †%q  V   †*q  '     †^q     ‰  +“{  †%q V †*q ‰   †^q   '  +“{  †%q V †*q +   †^q   '  ‰“{  †%q ' †*q V   †^q ‰  +“{  †%q ' †*q ‰   †^q V  +Contoh 3.1.3

Matematika101“{  †%q ' †*q +   †^q V  ‰“{  †%q ‰ †*q V   †^q '  +“{  †%q ‰ †*q '   †^q V  +“{  †%q ‰ †*q +   †^q V  '“{  †%q + †*q V   †^q '  ‰“{  †%q + †*q '   †^q V  ‰“{  †%q + †*q ‰   †^q V  'Kemungkinan ini dapat digambarkan dengan diagram batang sebagai berikut.Kartu I Kartu II Kartu IIIV'‰+‰'++'‰'V‰+‰V++V‰‰V'+'V++V'

102Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK+V'‰'V‰‰V'Dengan demikian pada kotak (1) ada 4 kemungkinan, kotak (2) ada 3 kemungkinan, dan kotak (3) ada 3 kemungkinan, yaitu (1)(2)(3)432Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 43*W*$    $32 W4321 4!1(43)!.\   !   ^  Y *V^V$VYVŒVPenyelesaianUntuk menyelesaikan hal ini, Anda dapat membuat bantuan tiga kotak sebagai        Y *V^V$VYVŒV   (1)(2)(3). . .. . .. . .Karena kartunya terdapat 5, maka kotak (1) dapat diisi oleh 5 kartu, sehingga pada kotak (1) ada 5 kemungkinan. Karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1), maka sisa kartu tinggal 4 yang akan diisikan pada kotak (2). Dengan demikian pada kotak (2) terdapat 4 kemungkinan.Pada kotak (3) hanya dapat diisi oleh 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1) dan 1 kartu pada kotak (2). Silakan Anda membuat diagram batang untuk menggambarkan kemungkinan tersebut. Apa yang      „ {       †%q   Y      †*q   ^kemungkinan, dan kotak (3) ada 3 kemungkinan, yaitu Contoh 3.1.4

Matematika103(1)(2)(3)543Dengan aturan perkalian diperoleh banyak cara penyusunan adalah 54^WŒ€    Y4^W54321 5!21(5 3)!.Tentukan banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 kartu berbeda kepada 5 pemain dengan syarat setiap pemain paling banyak mendapatkan satu kartu.PenyelesaianAnda dapat menyelesaikan masalah ini dengan langkah sebagai berikut.– Kartu pertama dapat dibagikan kepada 5 pemain, sehingga banyak cara membagikan kartu pertama sebanyak 5 kemungkinan.– Karena satu pemain sudah mendapat 1 kartu, maka tinggal 4 pemain yang dapat dibagikan kartu kedua, sehingga banyak cara membagikan kartu kedua sebanyak 4 kemungkinan.– Kartu ketiga (terakhir) dapat dibagikan kepada 3 pemain, karena 2          %   '     ! membagikan kartu ketiga sebanyak 3 kemungkinan.Dengan menggunakan prinsip perkalian, maka banyak cara mendistribusikan 3 kartu berbeda kepada 5 pemain dengan syarat setiap pemain paling banyak mendapatkan satu kartu sama dengan 54^W54321 5!21(5 3)!WŒ€\                    ini.Contoh 3.1.5

104Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSetelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.2 sampai Contoh 3.1.5, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.1. Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah permutasi r unsur dari n „*       r unsur dari n unsur dengan r > n„3. Apakah masalah mendistribusikan r unsur berbeda kepada n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat hanya boleh ditempati paling banyak 1 unsur ekuivalen dengan masalah permutasi r unsur dari n „š            &Mari kita menurunkan rumus untuk banyak permutasi r unsur dari n unsur.– Untuk r > n. Karena permutasi r unsur dari n unsur merupakan penyusunan r unsur dari n             permutasi r unsur dari n unsur r > n adalah 0 atau nPrWP(n, rqW€– Untuk 0 <   , akan digunakan r kotak dalam menentukan banyak permutasi r unsur dari n, yaitu(1)(2)(3). . .(r). . .. . .. . .. . .. . .Karena terdapat n unsur, maka kotak (1) dapat diisi oleh n kartu, sehingga pada kotak (1) ada n kemungkinan.

Matematika105Sifat 6.8Karena 1 unsur sudah diisikan pada kotak (1), maka sisa kartu tinggal n – 1yang akan diisikan pada kotak (2). Dengan demikian pada kotak (2) terdapat n – 1kemungkinan.Dengan demikian untuk kotak (3) terdapat n – 2 kemungkinan, dan seterusnya hingga kotak ke (r) terdapat (n – r + 1) kemungkinan.Jadi kemungkinan pada kotak (1), (2), . . . (rq        &(1)(2)(3). . .(r)nn – 1 n – 2. . .n – r + 1Dengan aturan perkalian diperoleh banyak permutasi r unsur dari n. nPrWP(n,rqWn (n – 1) (n – 2) ... (n – r + 1) W( 1) ( 2) ... (1) ( ) ... 2 1!()...21()!nnnnrnrnrnr.Jadi banyak permutasi r unsur dari n unsur, nPrWP(n,rq W!()!nnr, untuk 0 < .Dalam kasus r = n, maka nPn = P(n,nqWn! dan disebut banyak permutasi n unsur. Sekarang perhatikan masalah mendistribusikan r unsur berbeda ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur. ;                berikut.– Unsur pertama dapat didistribusikan ke n tempat berbeda, sehingga banyak cara mendistribusikan unsur pertama adalah n cara.– Karena 1 tempat sudah terisi unsur pertama sedangkan setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur, maka banyak cara mendistribusikan unsur kedua adalah n – 1 cara.– Karena 2 tempat sudah terisi unsur pertama dan kedua sedangkan setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur, maka banyak cara mendistribusikan unsur ketiga adalah n – 1 cara.– Demikian seterusnya, sehingga banyak cara mendistribusikan unsur  †r) sebanyak (n – r + 1) cara.

106Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK{                 !  distribusi kan r unsur berbeda ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur adalahn (n – 1) (n – 2) ... (n – r + 1qWP(n, rqW!()!nnr.Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda              KesimpulanSetelah Anda mengerti menemukan rumus untuk permutasi, secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan                         '         kelompok yang mendapatkan soal Anda dan bantulah apabila kelompok yang            \             

Matematika107Kegiatan 3.1.4 Menentukan Rumus Kombinasi dan Penerapannya                    permutasi r unsur dari n     '      tentang kombinasi r unsur dari n unsur."    !!         r unsur dari n unsur dan hubungannya dengan permutasi r unsur dari n unsur.-      !     *  !   $  ! †V'‰+q„Penyelesaian-  !   * ! $ !†V'‰+q   Œ V'V‰V+'‰'+‰+‰                      ›V'‰+œ    *   ›V'œ›V‰œ›V+œ›'‰œ›'+œ›‰+œ'           !    * ! $ !†V'‰+q   !   * dari 4 unsur, 2C4 atau C(4,2). Sedangkan banyak cara menyusun 2 kartu Ace   $  ! †V'‰+q    !      *unsur dari 4 unsur, 2P4 atau P(4, 2).#             !     *     $  P(4, 2) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C†$*q ›V'œ ›V ‰œ ›V +œ ›' ‰œ ›' +œ ›‰ +œ           ›V'œ      2 unsur yaitu P†* *q             ›V ‰œ ›V+œ›'‰œ›'+œ›‰+œ  P(2, 2). Jadi Contoh 3.1.6

108Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKbanyak banyak cara permutasi 2 unsur dari 4 unsur P(4, 2) sama dengan banyak cara kombinasi 2 unsur dari 4 unsur C(4, 2) dikalikan banyak permutasi 2 unsur P(2, 2) atau P†$*qWC(4,2) P(2, 2). Sehingga diperoleh C†$*qW(4,2)(2,2)PP.-      !     ^  !   $  ! †V'‰+q„Penyelesaian-  !   ^ ! $ !†V'‰+q   ^ V'‰V‰+'‰+‰               ›V'‰+œ    ^   ›V'‰œ›V‰+œ›'‰+œ-  !    ^ ! $ !†V'‰+qmerupakan contoh dari kombinasi 3 unsur dari 4 unsur, 3C4 atau C(4, 3),       !    ^  !   $  ! †V'‰+q   !   ^  $ ^$  P(4, 3).#            !     ^     $  P(4, 3) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C†$^q ›V'+œ ›V ‰ +œ ›' ‰ +œ                ›V ' +œ          ^   †^ ^q +            ›V ‰ +œ ›'‰+œ    ^ P(3, 3). Jadi banyak banyak cara permutasi 3 unsur dari 4 unsur P(4, 3) sama dengan banyak cara kombinasi 3 unsur dari 4 unsur C(4, 2) dikalikan banyak permutasi 3 unsur P(3, 3) atau P†$^qWC(4,3) P(3, 3). Sehingga diperoleh C†$^qW(4,3)(3,3)PPContoh 3.1.7

Matematika109\   !   ^  Y *V^V$VYVŒVPenyelesaian-   !     ^  !   Y   *V ^V $V YV ŒV              ›*V^V$VYVŒVœ    ^   }   &›*V^V$Vœ›*V^VYVœ›*V^VŒVœ›*V$VYVœ›*V$VŒVœ›^V$VYVœ›^V$VŒVœ›$VYVŒVœ-  !    ^  Y *V^V$VYVŒV   contoh dari kombinasi 3 unsur dari 5 unsur, 3C5 atau C(5,3), sedangkan banyak !   ^  Y *V^V$VYVŒV   !dari permutasi 3 unsur dari 5 unsur, 3P5 atau P(5, 3).#            !     ^     Y  P(5,3) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C†Y^q ›*V^V$Vœ›*V^VYVœ›*V^VŒVœ›*V$VYVœ›*V$VŒVœ›^V $V YVœ ›^V $V ŒVœ ›$V YV ŒVœ             ›*V^V$Vœ      ^ †^^q +             ›*V ^V YVœ ›*V ^VŒVœ›*V$VYVœ›*V$VŒVœ›^V$VYVœ›^V$VŒVœ›$VYVŒVœ    ^ †^^q{     cara permutasi 3 unsur dari 5 unsur P(5, 3) sama dengan banyak cara kombinasi 3 unsur dari 5 unsur C(5, 3) dikalikan banyak permutasi 3 unsur P(3, 3) atau P†Y^qWC(5, 3) P(3, 3). Sehingga diperoleh C†Y^qW(5,3)(3,3)PPTentukan banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 unsur yang sama ke 5 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak diisi 1 unsur.Contoh 3.1.8Contoh 3.1.9

110Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKPenyelesaianMasalah ini dapat dipandang sebagai masalah mengambil 3 tempat dari 5 tempat berbeda yang ada untuk ditempati oleh 3 unsur yang sama. Dengan demikian, masalah ini sama halnya seperti masalah pada contoh 3. Jadi banyak cara mendistribusikan (membagikan) 3 unsur yang sama ke 5 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak diisi 1 unsur adalah C(5,3).\                    ini.Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.6 sampai Contoh ^%‚            "  pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.1. Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah kombinasi r unsur dari n  „*       r unsur dari n unsur dengan r > n„3. Apakah masalah mendistribusikan r unsur yang sama kepada n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat hanya boleh ditempati paling banyak 1 unsur ekuivalen dengan masalah kombinasi r unsur dari n  „š            &

Matematika111Mari kita menurunkan rumus untuk banyak kombinasi r unsur dari n unsur.– Untuk r > n. Karena kombinasi r unsur dari n unsur merupakan pengambilan r unsur dari n            sehingga banyak kombinasi r unsur dari n unsur r > n adalah 0 atau nCr WC(n, rqW€– Untuk 0 , misalkan banyak kombinasi r unsur dari n unsur adalah C(n, r), maka banyak kombinasi ini sama dengan banyak himpunan bagian n unsur yang mempunyai r unsur. Sedangkan permutasi r unsur dari nunsur diperoleh dari penyusunan dari setiap himpunan bagian dari n unsur yang memuat r unsur dari n unsur yaitu sebanyak P(r, r), dengan kata lain        r unsur dari n unsur diperoleh           r dari n unsur C(n, r) sebanyak P(r, r). Dengan demikian banyak permutasi r unsur dari n unsur P(n, r) sama dengan banyak kombinasi r unsur dari n unsur C(n, r) dikalikan dengan banyak permutasi untuk r unsur P(r, r), yaitu P(n, rqWC(n, r) P(r, r) atau C(n, rqW(,)!(,) ( )!!PnrnPrrn r r.Jadi banyak kombinasi r unsur dari n unsur, nCrWC(n,rqW(,)!(,) ( )!!PnrnPrrn r r,untuk .Dalam kasus r = n, maka nCn WC(n, nqW%Sekarang perhatikan masalah mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak terisi %   ;             mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat paling banyak 1 unsur dapat dipandang sebagai mengambil r tempat dari n tempat berbeda untuk ditempati oleh r unsur yang sama. ‰            r unsur dari n unsur berbeda, dan ini merupakan masalah kombinasi r unsur dari n unsur. Jadi masalah mendistribusikan r unsur yang sama ke dalam n tempat berbeda

112Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKdengan syarat setiap tempat paling banyak terisi 1 unsur merupakan masalah kombinasi r unsur dari n unsur yang rumusnya telah diturunkan di atas, yaitu C(n, rqW(,)!(,) ( )!!PnrnPrrn r r.Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda              KesimpulanSetelah Anda mengerti menemukan rumus untuk kombinasi, secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan                         '         kelompok yang mendapatkan soal Anda dan bantulah apabila kelompok yang            \             

Matematika113Kegiatan 3.1.5 Menentukan Rumus Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama dan Penerapannya                     rumus permutasi n unsur, yaitu P(n, nqWn! di mana n unsur yang diketahui adalah semuanya berbeda. Sekarang bagaimana apabila dalam n unsur terdapat beberapa unsur yang sama, bagaimana rumus untuk masalah ini. Untuk                   !contoh berikut."    !!           beberapa unsur yang sama.Tentukan banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C.PenyelesaianMasalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C ke dalam 6 tempat berbeda dengan syarat setiap tempat tepat terisi 1 huruf. Misalkan 6 tempat ini dapat diilustrasikan sebagai 6 kotak berikut. (1)(2)(3)(4)(5)(6). . .. . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.– Pertama letakkan 3 huruf A ke dalam 6 kotak yang tersedia, ini berarti sama dengan C(6, 3).– Berikutnya, karena 3 kotak sudah terisi, letakkan 2 huruf B ke dalam 3 kotak yang tersisa, ini berarti sama dengan C(3, 2).– Terakhir letakkan 1 huruf C ke dalam 1 kotak tersisi, yang banyaknya sama dengan C(1, 1).Contoh 3.1.10

114Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKDengan aturan perkalian, diperoleh banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 huruf B, dan 1 huruf C adalah C(6, 3) C(3, 2) C†% %q W6! 3! 1!6!3!3! 2!1! 1!0! 3!2!1!WŒ€-    !           ';';ššž„Penyelesaian‰      ž';';ššž    |       *huruf S, 2 huruf U, 2 huruf N dan 1 huruf A. Seperti halnya Contoh 3.1.10, masalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan 2 huruf S, 2 huruf ;*š % |            %"  |           | (1)(2)(3)(4)(5)(6)†|q. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.Ÿ      *  '    |          sama dengan C†|*q– Berikutnya, karena 2 kotak sudah terisi, letakkan 2 huruf U ke dalam 5 kotak yang tersisa, ini berarti sama dengan C(5,2).Ÿ '      $         *škedalam 3 kotak yang tersisi, sehingga banyak cara adalah C(3,2).– Terakhir letakkan 1 huruf C ke dalam 1 kotak tersisi, yang banyaknya sama dengan C(1,1).Dengan aturan perkalian, diperoleh cara penyusunan kata yang disusun dari kata ’SUSUNAN” adalah C†|*qC(5,2) C(3,2) C†%%qW7! 5! 3! 1!7!2!5! 2!3! 2!1! 1!0! 2!2!2!1!WŒ^€Contoh 3.1.11

Matematika115\                    ini.Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.10 dan Contoh 3.1.11, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan berkaitan dengan permutasi untuk beberapa unsur yang sama. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah permutasi n1, n2, n3, . . . nkunsur dari n „š            Mari kita menurunkan rumus permutasi n unsur yang terdiri dari n1  pertama, n2   n3   nk  k(nWn1 + n2 + n3 + . . . + nk).

116Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKUntuk menentukan masalah banyak permutasi ini, maka masalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan n1   n2  kedua, n3   nk  k ke dalam n tempat berbeda dengan syarat setiap tempat tepat terisi 1 huruf. Misalkan n tempat ini dapat diilustrasikan sebagai n kotak berikut. (1)(2)(3). . .(n). . .. . .. . .. . .. . .Maka masalah ini diselesaikan dengan langkah berikut.– Pertama letakkan n1  pertama ke dalam n kotak yang tersedia, ini berarti sama dengan C(n, n1) cara dan tersisa n – n1 kotak.– Berikutnya, letakkan n2         n – n1 kotak yang tersisa, maka terdapat sebanyak C(n – n1, n2) cara, dan tersisa n – n1– n2.– '     n3         n – n1 – n2 kotak tersisi, sehingga terdapat sebanyak C(n – n1 – n2 , n3).– Kemudian dilakukan peletakan n4            hingga terakhir meletakkan nk k ke dalam n – n1 – n2 – n3 – . . . – nk–1Wnkkotak yang tersisa dengan C(n – n1 – n2, n3 – . . . – nk – 1 – nk, nk) cara.Dengan aturan perkalian, diperoleh banyak permutasi n unsur yang terdiri dari n1      n2      n3          nk  k sama dengan C(n, n1) ·C(n – n1, n2) C(n – n1 – n2, n3) . . . C(n – n1 – n2 – . . . – nk–1, nk)W12111 12112123123(.)!()! ( )!!()! !()! !()!!0!kknn n . .nnnn nnnn nn n nn n n nn n nnW1123! ! ! ... !knnn nnJadi rumus permutasi n unsur yang terdiri dari n1   n2unsur   n3   nk  k (nWn1 + n2 + r3 + . . . + nk) adalah 1123! ! ! ... !knnn nn.

Matematika117Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan                beberapa unsur yang sama.KesimpulanSetelah Anda menemukan rumus untuk permutasi n unsur yang terdiri dari n1   n2   n3   nk  k (nWn1 + n2 + n3 + . . . + nk) yaitu secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan masalah permutasi dengan unsur yang sama, kemudian saling menukar soal                '                                                     \             n!n1!n2!n3! . . . nk!,

118Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKKegiatan 3.1.6 Menentukan Rumus Permutasi Siklis dan Penerapan nya                        permutasi n unsur, yaitu P(n,nqWn! di mana n unsur yang diketahui adalah       '           !    (lurus). Sebagai contoh, apabila kita ingin menyusun 3 unsur A, B, C, maka       ^–WŒ &AB CAC BBACBCACABCBAAkan tetapi, apabila kita susun secara melingkar maka ketiga susunan                    †        q         +                        (circular permutation).'                   berikut.

Matematika119"   !!        berikut.Tentukan banyak permutasi siklis dari A, B, C.PenyelesaianSalah satu susunan permutasi siklis adalah A, B, C (A unsur paling atas/depan). yang ekuivalen dengan B, C , A (B unsur paling atas/depan)         C, A, B (C unsur paling atas/ depan).Akan tetapi ketiga permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda, yaitu A, B, CB, C, AC, A, B+                               A, C, BB, A, CC, B, AContoh 3.1.12

120Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKIni berarti 1 susunan permutasi siklis berkorespondensi dengan 3 susunan permutasi mendatar. Jadi, karena banyaknya permutasi (mendatar) dari 3 unsur A, B, C adalah 3! W Œ !       ^            dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk 3 unsur adalah 3!3W*–W*! Tentukan banyak permutasi siklis dari 4 unsur.PenyelesaianMisalkan 4 unsur itu diberi nama x1, x2, x3, x4. Maka salah satu susunan permutasi siklis adalah dengan urutan x1, x2, x3, x4 (x1 unsur paling atas/depan).Dengan meletakkan unsur paling atas/depan x2 dan urutannya seperti di atas, yaitu x2, x3, x4, x1        yang ekuivalen dengan susunan sebelumnya. Contoh 3.1.13

Matematika121+                 ` x3(x3, x4, x1, x2) dan x4(x4, x1, x2, x3q         ,        x1, x2, x3, x4. Dengan demikian keempat susunan di atas ekuivalen.Akan tetapi keempat permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda yaitux1, x2, x3, x4x2, x3, x4, x1x3, x4, x1, x2x4, x1, x2, x3Ini berarti 1 sususan permutasi siklis berkorespondensi dengan 4 susunan permutasi mendatar. +             x1, x2, x4, x3 akan berkorespondensi dengan 4 permutasi datar dengan meletakkan unsur paling depan x1, x2, x4, dan x3 tetapi dalam urutan yang sama, yaitux1, x2, x4, x3x2, x4, x3, x1x3, x1, x2, x4x4, x3, x1, x2 , ,

122Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK , . {        †   q $   $–W*$! sedangkan setiap 4 susunan permutasi mendatar berkorespondensi dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk 4 unsur adalah 4!4W^–WŒ! Tentukan banyak permutasi siklis dari 5 unsur.PenyelesaianMisalkan 5 unsur itu diberi nama x1, x2, x3, x4, x5. Maka salah satu susunan per mutasi siklis adalah dengan urutan x1, x2, x3, x4, x5 (x1 unsur paling atas/depan). Dengan meletakkan unsur paling atas/depan x2 dan urutannya seperti di atas, yaitu x2, x3, x4, x5, x1        yang ekuivalen dengan susunan sebelumnya. Contoh 3.1.14

Matematika123+           ` x3(x3, x4, x5, x1, x2), x4(x4, x5, x1, x2, x3) dan x5(x5, x1, x2, x3, x4q      turut adalah , ,         x1, x2, x3, x4 , x5. Dengan demikian kelima susunan di atas ekuivalen.Akan tetapi kelima permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda yaitux1, x2, x3, x4, x5x2, x3, x4, x5, x1x3, x4, x5, x1, x2x4, x5, x1, x2, x3x5, x1, x2, x3, x4.Ini berarti 1 sususan permutasi siklis berkorespondensi dengan 5 susunan permutasi mendatar. +          x1, x2, x3, x5, x4 akan berkorespondensi dengan 5 permutasi datar dengan meletakkan unsur paling depan x1, x2, x3, x5, dan x4 tetapi dalam urutan yang sama, yaitux1, x2, x3, x5, x4x2, x3, x5, x4, x1x3, x5, x4, x1, x2x5, x4, x1, x2, x3x4, x1, x2, x3, x5.

124Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK{        †   q Y   Y–W%*€! sedangkan setiap 5 susunan permutasi mendatar berkorespondensi dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk 5 unsur adalah 5!5W$–W*€! \                    ini.Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 3.1.12, Contoh 3.1.13 dan Contoh 3.1.14, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan berkaitan dengan permutasi siklis. Bagaimana memperoleh rumus umum untuk masalah permutasi siklis dari n „š            &

Matematika125Mari kita menurunkan rumus permutasi siklis n unsur.Misalkan n unsur itu diberi nama x1, x2, x3, . . . , xn. Maka salah satu susunan permutasi siklis adalah dengan urutan x1, x2, x3, x4, . . . , xn (x1 unsur paling atas/depan). Dengan meletakkan unsur paling atas/depan x2, x3, x4, . . . , xn dan urutannya            , , . . . ,         x1, x2, x3, . . . , xn. Dengan demikian n susunan di atas ekuivalen.Akan tetapi n permutasi siklis di atas, apabila dinyatakan dalam permutasi mendatar maka susunannya berbeda yaitux1, x2, x3, x4, . . . , xnx2, x3, x4, . . . , xn, x1x3, x4, . . . , xn, x1, x2. . .xn, x1, x2, x3, . . . , xn – 1.Ini berarti 1 sususan permutasi siklis berkorespondensi dengan n susunan permutasi mendatar.

126Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKJadi, karena banyaknya permutasi (mendatar) dari n unsur adalah n! cara, sedangkan setiap n susunan permutasi mendatar berkorespondensi dengan 1 susunan permutasi siklis, maka banyak permutasi siklis untuk n unsur adalah!nnW†n – 1)! cara.Berdasarkan informasi yang telah Anda peroleh, tulislah kesimpulan Anda                 #   &Setelah Anda menemukan rumus untuk permutasi siklis n unsur yaitu (n – 1)!,secara berkelompok 3–4 orang perkelompok untuk membuat 4 soal penerapan masalah permutasi dengan unsur yang sama, kemudian saling menukar soal                '                                                     \             

Matematika127Latihan Soal 3. 1%       *$      %Œ                          !      „*                      yaitu makan siang, pergi ke kantor pos, pergi ke bank, dan membeli surat   \    !        3. Tentukan nilai n pada persamaan P(n —%^qWP(n, 4). $ +     *^YŒ| }+                     {       pengulangan angka, a. Tentukan banyaknya bilangan yang bisa diperoleh, b. Tentukan banyaknya bilangan genap yang bisa diperoleh, ! \           d. Tentukan banyaknya bilangan kelipatan 5 yang bisa diperoleh, e. Tentukan banyaknya bilangan kurang dari 400 yang bisa diperoleh.Y -       A, B, C, D, E, F, G, dan H yang memuat a. susunan BCD, b. susunan CFGA, c. susunan BA atau GA, d. susunan ABC atau DE, e. susunan ABC atau CDE, f. susunan CBA atau BED.

128Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSubbab 3.2 Kejadian Majemuk, Peluang Saling Lepas, Peluang Saling Bebas, dan Peluang BersyaratKegiatan 3.2.1 Kejadian Majemuk                     pertandingan sepak bola dan pelantunan dadu pada acara arisan PKK.              #                  !     {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), †Yq†Œqœ\                    ini. 7 www.m.everythingmaths.com 

Matematika129Setelah Anda mengamati gambar sebuah koin dan sebuah dadu di atas,                "salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.1. P               „* ‰              „\                                                 +                                 \                     Penyelesaian" &  W #       W #       ¢ W #      Contoh 3.2.1

130Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK# =#         +  &†£q# ==___________________________________________________________+  &¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥# ===___________________________________________________________+  &¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥                        ^Y    ^Y \        Penyelesaian" &W#    -W#    VW#      ^Y +W#      ^Y # =#        +  &†B)# ==#            ^Y        35 tahun+  &¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥Contoh 3.2.2

Matematika131# ===#         ^Y +  &† C)# =F#    ¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥    35 tahun+  &¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥# F___________________________________________________________+  &†- C)# F=___________________________________________________________+  &¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥          *       !  '                * #                \         Penyelesaian" &;W#       ¦W¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥# =#  #          ! +  &†;V)Contoh 3.2.3

132Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK# ==#  #         ! +  &¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥\                                   '             +                            \             

Matematika133Kegiatan 3.2.2 Peluang Saling LepasPada kegiatan arisan biasanya dilakukan pelantunan dua dadu sebanyak satu kali untuk menentukan anggota yang akan mendapatkan uang arisan yang                     berhak untuk mendapatkan uang tersebut. Gambar 3.2.2 merupakan tabel hasil pelantunan dua dadu sebanyak satu kali secara bersamaan."         !         *   -       !         ^      !      *  ^     ! &Banyaknya sampel keseluruhan adalah 36†'qW^Œ'        *  % W›†%%qœ'        ^  * -W›†%*q†*%qœ7: www.tugask5.blogspot.com 

134Kelas XII SMA/MA/SMK/MAKSehingga peluang munculnya mata dadu 2 atau 3 adalahP ( A -q W†q—†-qW1236 36W336W112\                    ini.Setelah Anda mengamati tabel hasil pelantunan dua dadu sebanyak satu kali !               saling lepas. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut.% #                   „* -              „\           

Matematika135                  pertanyaan yang sudah Anda buat agar dapat lebih memahami tentang peluang             +   diminta untuk melengkapi beberapa kegiatan.Dua dadu dilemparkan satu kali secara bersamaan. Tentukan peluang muncul    Y  |Penyelesaian" &W#   !      Y-W#   !      |#                !        Y        !       |        !         Y       |   ! &Banyaknya sampel keseluruhan †'qW^Œ'        YW›†%$q†*^q†^*q†$%qœ-          Y†qW$Contoh 3.2.4

136Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'        |-W›¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥œ-          |†-qW¥¥¥¥¥¥P ( A -q W†q—†-qW... ...36 36W...36W......{    !      Y      |            !    ______________ '                  !  !                   %€    \š   Y    \'           ^        * |        *  Y        \                     –Penyelesaian" & W#      \šW¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¢W¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥' W#          * \ W¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥Contoh 3.2.5

Matematika137# =Pelamar lulusan PTN atau lulusan PTS+  &¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥#                        \š     \'                    \š     \'   ! &P ( P q W†q—†qW10 515 15W......W%# ==Pelamar ________________________atau ________________________+  &†¢ S )#                                   *             *                                  *            *    ! &P ( R 'q W†¢q—†'qW3715 15W......W23

138Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK# ===Pelamar ____________________________________________________+  &¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥#            ¥_____________________________________________________________________________________________________________________________________                   *                 ! &P ( ..... ©q W†©q—†©qW... ...... ...W......W......Tuliskan kesimpulan Anda tentang peluang saling lepas dan rumus peluang                  ini.

Matematika139'             +                            \             Kegiatan 3.2.3 Peluang Saling Bebas               !       !     *           Y     Penyelesaian" &W#   !     *       -W#   !     Y     7 www.2pc-lot-creative-multi-color.com 

140Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK#            !     *              !     Y             !       *               Y        ! &Banyaknya sampel keseluruhan †'qW^Œ'    !     *       W›†*%q†**q†*^q†*$q†*Yq†*Œqœ-     !     *       †qWŒ'    !     Y     -W›†%Yq†*Yq†^Yq†$Yq†YYq†ŒYqœ-      !     Y      †-qWŒP ( A -q W†q†-qW6636 36W1166W136{    !     *         !     Y               kali secara bersamaan adalah 136.\                    ini.

Matematika141Setelah Anda melakukan pengamatan di atas, buat pertanyaan agar Anda dapat          "      adalah sebagai berikut.% #                  „* -             „\                             tanyaan yang sudah Anda buat agar dapat lebih memahami tentang peluang           +   diminta untuk melengkapi beberapa kegiatan. Sebuah dadu dan sebuah koin dilantunkan secara bersamaan sebanyak satu kali, berapa peluang munculnya mata dadu genap pada dadu dan munculnya   †q  „PenyelesaianMisalkanW#   !        W#   !   †q  #            !                !    †q  koin. Contoh 3.2.6

142Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK      !            †q     ! &Banyaknya sampel keseluruhan †'qW%*Sampel dari munculnya mata dadu genap pada dadu W›†*A), (2,G), (4,A), (4,G), (6,A), (6,GqœBanyaknya sampel munculnya mata dadu genap pada dadu†qWŒSampel dari munculnya Gambar (G) pada koinW›†%G), (2,G), (3,G), (4,G), (5,G), (6,GqœBanyaknya sampel munculnya gambar (G) pada koin†qWŒP ( P qW†q†qW6612 12W1122W14Jadi peluang munculnya mata dadu genap pada dadu dan munculnya gambar (G) pada koin pada pelantunan sebuah dadu dan sebuah koin sebanyak satu kali secara bersamaan adalah 14.+      -         | %%     „PenyelesaianMisalkanY1W#   !  |     Y2W#   !  |     Contoh 3.2.7

Matematika143Z1W#   !  %%     Z2W#   !  %%     #           ¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥______________________________________________________________________________________________________________________      !   | %%         ! &P ( Y1 Z2 )  (Z1 Y2q W†«1) P(Z2) + P(Y2) P(Z1) W11 116 ...... ...W1 1 ...... ...W......{     !     |   %%           ______________Tuliskan kesimpulan Anda tentang peluang saling bebas dan rumus peluang                 ini.

144Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'             +                            \             Kegiatan 3.2.4 Peluang BersyaratApabila diambil dua kartu secara acak satu persatu tanpa pengembalian,         ‰    ! &" &W#      ‰      -W#      ‰      #         ‰             ‰             ‰ adalahP ( A -q W†q†-¬qW13 1252 51W1562.652W351

Matematika145\                    ini. Setelah Anda melakukan pengamatan di atas, buat pertanyaan agar Anda          "     adalah sebagai berikut.% #                       „* -             „\                             pertanyaan yang sudah Anda buat agar dapat lebih memahami tentang peluang                 +      diminta untuk melengkapi beberapa kegiatan.

146Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK'               -                *  !  %€    „" &VW#           +W#          *  !  %€#                             *    !    %€                                  *   !  %€        ! &P ( C +q W†Vq†+¬VqW26 ...52 ...W......W......Jadi peluang terambilnya kartu yang lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari %€       ¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥­       *€€              &" >"?G >G?Eksekutif Puncak (EP)%}2Eksekutif Menengah (EM)3624< -  †<-q24‚ŒContoh 3.2.8Contoh 3.2.9

Matematika1471. Jika dari 200 eksekutif tersebut diambil secara acak seorang eksekutif,           ! „PenyelesaianPeluang terpilih eksekutif pria atau eksekutif puncak didapat dengan ! &P ( P <q W†q—†<qŸ†£<qW78 20 ......200 200W......W25Jadi peluang terpilih eksekutif pria atau eksekutif puncak adalah ____________2. Dipilih 2 orang eksekutif secara acak, berapa peluangnya terpilih seorang         „Penyelesaian                  !  !       ! &†£®q W†q†®qW78 ...200 ...W9.51640.000W......Jadi peluang terpilih seorang eksekutif pria dan seorang eksekutif          !  !         ____________

148Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK3. Berapa peluang terpilih eksekutif pria pada pilihan pertama dan terpilih         „Penyelesaian                      ! &P (P1 P2q W†1) P ( P2¬1)W78 ...200 ...W......W1510{            turut adalah ________Tuliskan kesimpulan Anda tentang peluang bersyarat dan rumus peluang                  

Matematika149'             +                            \             Latihan Soal 3.21. Sekelompok ahli biologi merencanakan akan mengadakan penelitian               '  \                  ! !   -                                 V                            \ ^       –2. Sebuah kota memiliki satu unit kendaraan pemadam kebakaran dan satu unit kendaraan ambulance yang tersedia dalam keadaan darurat. Peluang                 €‚}        !          €‚*                            „^ {        *€    €|        -    *€      €‚           *€  „

150Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK$ '      %Y        }     $  biru, dan 3 spidol putih. Spidol pertama diambil secara acak dan tidak               !  !     dikembalikan.  ‰                     biru!         !  !               –5. Terdapat 50 lembar undian dengan nomor 1, 2, 3, . . . , 50, terdapat 3 nomor yang berisi hadiah. Apabila seorang panitia mengambil lembar undian                          „% +       %Y    %*           !  †  q    -    !     !  „2. Ada berapa banyak susunan berbeda yang terdiri atas 3 huruf dari kata -¢V+-¢„3. a. Tentukan banyaknya cara 3 orang duduk pada 4 kursi yang terletak sebaris. b. Tentukan banyaknya cara 5 orang duduk pada 5 kursi yang terletak sebaris. !    }          *              -"         $   \      !   }  ^   baris A. $ '     |    $    ^  ‰ \        Uji Kompetensi

Matematika151a. tidak ada dua buku dengan pengarang sama yang saling berdekatan,        !       oleh pengarang yang sama. 5. Dalam suatu pertemuan kecil yang dihadiri oleh 3 orang pria dan 3 orang         a. Berapa banyak cara mereka duduk. -      !              berdekatan.! -      !                 berdekatan.Œ '   %€€     %|  ; **      ^      *‚    V  *%  -  }   ‰      &a. Ban mobil merk Goodyear atau Bridgestone.b. Ban mobil merk Uniroyal, Continental, atau Bridgestone .| '   $       ^  logam lima ratus rupiah. Dompet yang kedua berisi 3 buah uang logam seribu rupiah dan 5 buah uang logam lima ratus rupiah. Sebuah uang logam diambil dari dompet pertama dan dimasukkan pada dompet kedua. Jika kemudian diambil sekeping uang logam dari dompet kedua, berapa                          „} +            ž"  ¢ ž    %€       ¦^€       ¦’’ %€       ’ ̄‰        ^       ¦%€       ¦’’ Y       ’ ̄     -         !  !                             ’ ̄„

152Kelas XII SMA/MA/SMK/MAK‚                         !    %*€ -         *€          |Y~     -               *Y~   !  !            &  +          parub. Diperoleh orang yang merokok atau orang yang mengidap penyakit   ! +           yang tidak merokok 10. Pemain A dan B bermain catur 12 babak dengan 6 kali dimenangkan oleh pemain A, 4 kali dimenangkan oleh pemain B, dan 2 kali seri. Dalam      ^        &a. Pemain A dan B menang bergantianb. Pemain B menang paling sedikit satu babak