Sebutkan penerapan program linear dalam kehidupan sehari hari minimal 5

Program linear sering digunakan untukmenentukan keputusan-keputusan dalam permasalahan sehari-hari. Misalnya, pada Contoh 5 kita akan menggunakan program linear untuk mengambil keputusan berapa kotak pada masing-masing jenis cokelat yang akan dijual untuk mencapai keuntungan maksimum. Untuk itu, dalam pembahasan ini kita akan berlatih hal-hal berikut.

• Menyelesaikan permasalahan-permasalahan program linear.
• Menggunakan program linear untuk memodelkan dan menyelesaikan permasalahan sehari-hari.

Program Linear: Metode Grafik

Banyak penerapan dalam bisnis dan ekonomi yang melibatkan suatu proses yang disebut optimalisasi, dimana kita akan menentukan nilai maksimum atau minimum suatu kuantitas tertentu. Dalam pembahasan ini, kita akan belajar mengenai salah satu strategi optimalisasi yang disebut program linear.

Suatu permasalahan program linear dua dimensi terdiri atas fungsi objektif linear dan sistem pertidaksamaan linear yang disebut kendala. Fungsi objektif memberikan kuantitas yang akan kita maksimumkan (atau minimumkan), dan kendala-kendala yang menentukan daerah selesaian. Sebagai contoh, misalkan kita akan memaksimumkan nilai

yang ditujukan untuk kendala-kendala yang ditentukan oleh daerah selesaian (daerah layak) pada Gambar 1. Karena setiap titik dalam daerah selesaian memenuhi masing-masing kendala, maka belumlah jelas kita akan memilih titik mana agar menghasilkan nilai z maksimum. Akan tetapi, dapat ditunjukkan bahwa jika ada solusi optimalnya, maka titik tersebut terjadi pada salah satu titik-titik pojok daerah selesaiannya. Hal ini berarti bahwa jika kita akan menentukan nilai maksimum z, maka kita perlu menguji setiap titik-titik pojok daerah selesaiannya.

Solusi Optimal Permasalahan Program Linear

Jika permasalahan program linear memiliki satu solusi, maka solusi tersebut terjadi pada titik pojok daerah selesaian. Jika terdapat lebih dari satu selesaian, maka paling sedikit satu solusi tersebut terjadi pada titik pojok. Dalam kedua kasus tersebut, nilai fungsi objektif tunggal.

Suatu permasalahan program linear bisa memuat ratusan, bahkan ribuan variabel. Akan tetapi, pada pembahasan ini kita akan menyelesaikan permasalahan program linear yang hanya memuat dua variabel. Panduan untuk menyelesaikan permasalahan program linear dalam dua variabel dirangkum sebagai berikut.

Menyelesaikan Permasalahan Program Linear

1. Sketsa daerah yang menjadi solusi sistem yang memuat kendala-kendala. (Semua titik di dalam atau pada batas daerah ini disebut selesaian-selesaian layak.)
2. Temukan titik-titik pojok daerah selesaian.
3. Uji fungsi objektif pada masing-masing titik pojok dan pilih nilai variabel yang mengoptimalkan fungsi objektif. Untuk daerah yang terbatas, nilai minimum dan maksimum fungsi objektif akan ada. (Untuk daerah yang tak terbatas, jika solusi optimal ada, maka solusi tersebut terletak pada titik pojok.)

Contoh 1: Menyelesaikan Permasalahan Program Linear

Tentukan nilai maksimum

yang ditujukan ke kendala-kendalam berikut.

Pembahasan Kendala-kendala dalam soal tersebut dapat ditunjukkan oleh Gambar 2. Pada empat titik pojok daerah ini, fungsi objektif permasalahan ini memiliki nilai-nilai sebagai berikut.

Jadi, nilai maksimum z adalah 8, dan nilai ini terjadi ketika x = 2 dan y = 1.

Pada Contoh 1, kita dapat mencoba menguji beberapa titik di dalam daerah selesaian. Kita akan dapat melihat bahwa nilai z pada titik-titik tersebut kurang dari 8. Berikut ini beberapa contohnya.

Untuk melihat mengapa nilai maksimum fungsi objektif dalam Contoh 1 harus terjadi pada titik pojok, kita tulis fungsi objektif ke dalam bentuk berikut.

dimana

adalah perpotongan fungsi objektif dengan sumbu-y. Persamaan ini merepresentasikan himpunan garis yang memiliki gradien 3/2. Dari himpunan garis ini, kita menginginkan satu garis yang memiliki nilai z terbesar tetapi masih memotong daerah selesaian dari kendala-kendala yang diberikan. Dengan kata lain, dari semua garis yang bergradien 3/2, kita menginginkan satu garis yang memiliki titik potong dengan sumbu-y terbesar dan memotong daerah selesaian kendala-kendala, seperti yang ditunjukkan Gambar 3. Perhatikan dari grafik bahwa garis yang kita inginkan tersebut akan melewati satu (atau lebih) titik pojok daerah selesaian.

Contoh selanjutnya menunjukkan bahwa prosedur dasar yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana fungsi objektif diminimumkan.

Contoh 2: Meminimumkan Fungsi Objektif

Tentukan nilai minimum

dimana x 0 dan y 0, yang ditujukan kepada kendala-kendala berikut ini.

Pembahasan Gambar 4 menunjukkan daerah yang dibatasi oleh kendala-kendala yang diberikan.

Dengan menguji fungsi objektif pada masing-masing titik pojok, kita mendapatkan hasil sebagai berikut.

Jadi, nilai minimum z adalah 4, dan nilai ini terjadi ketika x = 0 dan y = 2.

Contoh 3: Memaksimumkan Fungsi Objektif

Tentukan nilai maksimum

dimana x 0 dan y 0, yang ditujukan terhadap kendala-kendala yang diberikan pada Contoh 2.

Pembahasan Dengan menggunakan nilai-nilai z pada titik-titik pojok yang ditunjukkan pada Contoh 2, nilai maksimum z adalah

dan terjadi ketika x = 6 dan y = 3.

Terdapat kemungkinan bahwa nilai maksimum (atau minimum) dalam permasalahan program linear terjadi pada dua titik pojok yang berbeda. Misalnya, pada titik-titik pojok daerah selesaian yang ditunjukkan Gambar 5, fungsi objektif

memiliki nilai-nilai sebagai berikut.

Dalam kasus ini, fungsi objektif tersebut tidak hanya memiliki nilai maksimum pada (2, 4) dan (5, 1); tetapi juga pada sebarang titik pada ruas garis yang menghubungkan kedua titik pojok tersebut. Perhatikan bahwa fungsi objektif ini, yang dapat ditulis kembali menjadi y = x + z/2, memiliki gradien yang sama dengan garis yang melalui titik-titik pojok (2, 4) dan (5, 1).

Beberapa permasalahan program linear tidak memiliki solusi optimal. Hal ini dapat terjadi jika daerah selesaiannya tidak terbatas. Contoh 4 mengilustrasikan permasalahan semacam ini.

Contoh 4: Daerah Selesaian Tidak Terbatas

Tentukan nilai maksimum

dimana x 0 dan y 0, yang ditujukan untuk kendala-kendala berikut ini.

Pembahasan Gambar 6 menunjukkan daerah selesaian yang memuat semua titik layak.

Untuk daerah yang tak terbatas ini, nilai maksimum untuk z tidak ada. Untuk melihat hal ini, perhatikan titik (x, 0) yang terletak dalam daerah selesaian untuk semua nilai x 4. Dengan mensubstitusi titik ini ke dalam fungsi objektif, kita mendapatkan

dengan memilih nilai x yang besar, kita bisa mendapatkan nilai z sebesar yang kita inginkan. Jadi, tidak ada nilai maksimum untuk z. Akan tetapi, terdapat nilai minimum untuk z.

Jadi, nilai minimum z adalah 10, dan ini terjadi ketika x = 2 dan y = 1.

Penerapan Program Linear

Contoh 5 menunjukkan bagaimana program linear dapat membantu kita untuk menentukan keuntungan maksimum dalam penerapan di bidang bisnis.

Contoh 5: Keuntungan Optimal

Suatu perusahaan cokelat ingin memaksimalkan keuntungan dalam kombinasi penjualan dua jenis cokelat. Satu kotak cokelat lapis krim menghasilkan keuntungan Rp 15.000,00 per kotak, dan satu kotak cokelat lapis kacang menghasilkan keuntungan Rp 20.000,00 per kotak. Berdasarkan uji pasar dan sumber daya yang tersedia mengindikasikan kendala-kendala sebagai berikut.

1. Produksi kedua jenis cokelat tersebut harus tidak lebih dari 1200 kotak per bulan.
2. Jumlah cokelat lapis kacang yang terjual harus tidak lebih dari setengah jumlah penjualan cokelat lapis krim.
3. Jumlah produksi cokelat lapis krim harus kurang dari atau sama dengan 600 kotak ditambah tiga kali jumlah produksi cokelat lapis kacang.

Berapakah keuntungan maksimum perusahaan tersebut per bulannya? Berapa kotak cokelat lapis krim dan cokelat lapis kacang yang harus diproduksi tiap bulannya agar perusahaan tersebut menghasilkan keuntungan maksimum?

Pembahasan Misalkan x adalah jumlah kotak cokelat lapis krim dan y adalah jumlah kotak cokelat lapis kacang. Jadi, fungsi objektif (dalam ribuan) permasalahan ini adalah

Tiga kendala dalam soal dapat dimodelkan ke dalam pertidaksamaan-pertidaksamaan linear sebagai berikut.

Karena x dan y tidak boleh negatif, maka kita juga mempunyai dua kendala tambahan, yaitu

Gambar 7 menunjukkan daerah selesaian yang ditentukan oleh kendala-kendala tersebut.

Untuk menentukan keuntungan maksimum tiap bulannya, kita uji nilai U pada titik-titik pojok daerah layak.

Jadi, keuntungan maksimum tiap bulan perusahaan cokelat tersebut adalah Rp 20.000.000,00, dan terjadi ketika perusahaan tersebut memproduksi 800 kotak cokelat lapis krim dan 400 kotak cokelat lapis kacang tiap bulannya.

Contoh 6: Biaya Optimal

Kandungan cairan dalam suatu makanan minimal menyediakan 300 kalori, 36 unit vitamin A, dan 90 unit vitamin C. Sebungkus minuman X yang berharga Rp 1.200,00 mengandung 60 kalori, 12 unit vitamin A, dan 10 unit vitamin C. Sebungkus minuman Y yang berharga Rp 1.500,00 mengandung 60 kalori, 6 unit vitamin A, dan 30 unit vitamin C. Berapa bungkus masing-masing jenis minuman yang harus dikonsumsi tiap harinya dengan biaya yang optimal dan masih memenuhi kebutuhan harian?

Pembahasan Misalkan x adalah banyaknya minuman X dan y adalah banyaknya minuman Y.

Biaya B diberikan dengan rumus B = 1200x + 1500y.

Gambar 8 menunjukkan grafik daerah selesaian dari kendala-kendala yang diberikan. Karena kita menginginkan untuk membayar biaya sekecil mungkin, maka kita akan menentukan biaya minimum. Untuk menentukan biaya minimum tersebut, kita uji B pada masing-masing titik pojok daerah selesaian.

Jadi, biaya minimumnya adalah Rp 6.600,00 per hari, dan ini terjadi ketika 3 bungkus minuman X dan 2 bungkus minuman Y dikonsumsi tiap harinya.

Penutup

Permasalahan program linear dalam dua variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Langkah-langkah penyelesaian permasalahan program linear dapat dilihat dalam panduan di halaman 1. Sedangkan contoh dalam menyelesaikan permasalahan program linear dapat dilihat pada Contoh 1.

Contoh 2 menjelaskan bagaimana untuk menentukan nilai minimum suatu fungsi objektif. Sedangkan Contoh 1 dan Contoh 3 menjelaskan bagaimana untuk menentukan nilai maksimum suatu fungsi objektif dalam permasalahan program linear. Akan tetapi ada suatu keadaan dimana permasalahan program linear tidak memiliki selesaian optimal. Kondisi ini ditunjukkan pada Contoh 4. Selain semua hal itu, dalam pembahasan ini kita juga berlatih menyelesaikan permasalahan terapan program linear dalam kehidupan sehari-hari, yaitu menentukan keuntungan maksimum dalam bidang bisnis dan menentukan biaya optimal untuk mengkonsumsi beberapa jenis minuman. Semoga bermanfaat, yos3prens.