Sabendo que o perímetro de um hexágono regular é 48 6 cm. qual é a medida de cada lado do hexágono

Imagine a seguinte situação: Um fazendeiro quer descobrir quantos metros de arame serão gastos para cercar um terreno de pastagem com formato retangular. Como ele deveria proceder para chegar a uma conclusão? De maneira bem intuitiva, concluímos que ele precisa determinar as medidas de cada lado do terreno e então, somá-las, obtendo o quanto seria gasto. A esse procedimento damos o nome de perímetro. Perímetro é a medida de comprimento de um contorno ou a soma das medidas dos lados de uma figura plana. O perímetro de uma figura é representado por 2p.

Assim, o perímetro da figura abaixo será:

2p = 10 cm + 9 cm + 10 cm + 9cm = 38 cm

Exemplo 1. Calcule o perímetro da figura abaixo:

2p = 7 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm + 5 cm = 26 cm

Exemplo 2. Se o perímetro de um quadrado é de 64 cm, qual é a medida de cada lado desse quadrado? Solução: Sabemos que o quadrado é um quadrilátero com todos os lados congruentes (com a mesma medida). Dessa forma, para determinar a medida de cada lado teremos que dividir o perímetro por 4. Assim,

L = 64 ÷ 4 = 16 cm

Exemplo 3. Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular de 120 m de comprimento por 90 m de largura. Sabe-se que a cerca terá 5 fios de arame. Quantos metros de arame serão necessários para fazer a cerca? Se o metro de arame custa R$ 15,00, qual será o valor total gasto pelo fazendeiro?

2100*15 = R$ 31. 500,00

Por Marcelo Rigonatto Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Equipe Brasil Escola

Geometria Plana - Matemática - Brasil Escola

Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. Além disso, um polígono é regular quando ele possui todos os lados com a mesma medida e seus ângulos internos são congruentes. Portanto, um hexágono regular inscrito é um polígono que possui seis lados com a mesma medida e seis ângulos internos congruentes e cujos vértices são todos pontos pertencentes a uma circunferência. Veja na figura abaixo um hexágono regular inscrito:

As relações métricas no hexágono regular inscrito são fórmulas que podem ser usadas para encontrar a medida de seu lado e a medida de seu apótema a partir apenas do raio da circunferência na qual ele está inscrito. Essas fórmulas são:

l = r

Em que o raio da circunferência é igual ao lado do hexágono e:

a = r√3
     2

Nessa fórmula, a é o apótema e r é o raio da circunferência.

Construções e elementos no hexágono inscrito

Antes de discutir essas fórmulas, convém realizar algumas construções no hexágono a fim de que suas demonstrações tornem-se mais diretas.

1º – Escolha dois vértices consecutivos do hexágono e construa os raios da circunferência que se ligam a eles. Observe na imagem a seguir que esses raios são os segmentos OA e OB, os quais, unidos ao segmento AB, formam um triângulo:

2º – Trace o apótema do hexágono, que, na imagem acima, é o segmento AP. O apótema é um segmento de reta que liga o centro de um polígono a um de seus lados, formando com ele um ângulo reto.

3º – Como o polígono é regular, o apótema também é mediana do lado AB e bissetriz do ângulo AÔB.

4º – Observe que o ângulo AÔB mede 60°. Isso acontece porque o polígono é regular, então, cada um de seus seis ângulos centrais é igual a 360°/6 = 60°.

5º – Como os lados AO e BO do triângulo ABO são raios da circunferência na qual o hexágono está inscrito, então, eles são congruentes. Isso significa que esse triângulo é isósceles e que os ângulos da base são iguais. Pela soma dos ângulos internos do triângulo, concluímos que cada ângulo interno de ABO mede 60°. Portanto, ele é um triângulo equilátero.

Dadas essas propriedades, colocaremos todas as medidas encontradas no triângulo ABO. Observe que, se o lado do hexágono mede l, então, o segmento PB = l/2.

Demostração das relações métricas

Primeiramente, sabendo que o triângulo ABP é equilátero, o lado l do hexágono tem a mesma medida que o raio da circunferência. Assim:

l = r

Além disso, considere o triângulo OPB da imagem anterior e calcule o cosseno de 30°:

Cos30° = a
               r

√3 = a
2     r

r√3 = a
2      

a = r√3
     2

Exemplo: Calcule a medida do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio 10 cm.

Lado: como l = r, teremos que l = 10 cm.

Apótema: Usando a fórmula encontrada, teremos:

a = r√3
     2

a = 10√3
      2

a = 5√3 cm.

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

Hexágono é um polígono que possui seis lados delimitados por segmentados de reta. Essa figura plana é formada pela junção de seis triângulos equiláteros.

Quando o hexágono é regular todos os lados possuem a mesma medida e seus ângulos internos são de 120º. Por isso, a área do hexágono é seis vezes a área de um triângulo equilátero que o compõe.

A fórmula para calcular a área do hexágono é:

Onde, é área e L é a medida do lado hexágono.

Dessa forma a área do hexágono só depende da medida do lado.

Veja a seguir os passos para chegar nessa fórmula.

O triângulo equilátero possui três lados com a mesma medida. Quando traçamos uma linha, representando a altura (h), dividimos um triângulo equilátero em outros dois triângulos.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos a altura do triângulo da seguinte forma:

A fórmula para calcular a área do triângulo é:

Substituindo os termos, temos:

Como o hexágono é formado por seis triângulos equiláteros, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo. Veja:

Exercício resolvido

Para fazer um hexágono Pedro cortou uma cartolina. Com uma régua mediu e verificou que todos os lados tinham 10 cm. Qual a área do hexágono que Pedro criou?

Esconder RespostaVer Resposta

Resposta correta:

Para resolver esse exemplo basta apenas substituir a medida do lado, 10 cm, na fórmula para calcular a área.

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• Polígonos
• Área dos Polígonos
• Prisma - Figura Geométrica
• Área e Perímetro

Como calcular a área de um hexágono a partir do apótema

Outra forma de calcular a área de um hexágono é utilizando o perímetro e o apótema. A fórmula utilizada é:

Sendo

O perímetro (p) corresponde à soma dos lados do polígono, já o apótema ( ) é encontrado traçando uma linha entre o centro do hexágono e o ponto médio de um dos lados da figura.

Quando um hexágono regular está inscrito em uma circunferência, os seis vértices da figura dividem a circunferência em seis partes iguais. Neste caso, o raio da circunferência (r) coincide com o lado do hexágono (l), pois formam um triângulo equilátero .

Sendo , aplicamos o Teorema de Pitágoras e encontramos a fórmula para calcular o apótema da seguinte forma:

Exercício resolvido

Em uma circunferência cujo raio mede 10 cm, foi desenhado um hexágono regular. Calcule as medidas de lado, apótema e área do polígono desenhado.

Esconder RespostaVer Resposta

Como o hexágono está inscrito na circunferência, seu lado coincide com o raio, que é de 10 cm.

O apótema é calculado da seguinte forma:

Utilizando a fórmula que relaciona o perímetro e o apótema do hexágono, encontramos a sua área.

Calculando o perímetro, temos:

Aplicamos o valor do perímetro e do apótema na fórmula.

Aprenda mais sobre o hexágono.

Confira como calcular a área de outras figuras planas:

• Área do Círculo
• Área do Trapézio

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.