TRANSFORMASI GEOMETRI TRANSLASINAMA KELOMPOK:1. KURNIA SEKARSARI (1902110025)2. MIFTAKHUL JANNAH (1902110028)3. CHOIRON NUR ROHIM (1902110029)4. AULIA RAHMA (1902110031)5. MELINDA SASKIA FERDIANTY(1902110034TRANSFORMASI GEOMETRI (TRANSLASI) TRANSLASI Pengertian Translasi Sifat-sifat Traslasi Konsep Translasi dan Gambar Translasi danMatriks Transformasinya cara menentukan bayangan Contoh Soal Translasi 1Perhatikan gambar Eskalator tersebut. Pada Eskalator tersebut menerapkan konsepTranslasi, pada Peralatan tersebut biasa dipakai mal-mal ini berguna untuk memindahkanorang dari satu lantai ke lantai lain. Dalam Matematika, Translasi termasuk konsep TrasformasiGeometri. Dengan Bahasa yang mudah, transformasi diartikan sebagai perubahan atauperpindahan benda geometri karena dikenai oleh aturan tertentu. Kadang kala perpindahantersebut juga diikuti dengan perubahan ukuran benda. Tanpa disadari, transformasi begitu akrab dengan kehidupan manusia. Denganmengandaikan manusia dan benda-benda sekitarnya sebagai benda geometri, perpindahanmanusia saat beraktivitas dapat disebut transformasi geometri . saat anda berangkat sekolah,berarti anda melakukan transformasi geometri jenis translasi. Sebab translasi merupakantranslasi yang memindahkan benda dengan arah dan jarak tertentu. Pada bab ini akanmempelajari transformasi geometri yaitu translasi. Ayo, pelajari dengan seksama! 2TRANSLASI (Pergeseran sejajar) Pengertian Translasi Translasi adalah sebuah jenis transformasi yang memindahkan suatu titik sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak. Yang artinya ialah translasi itu hanya perpindahan titik. Misalkan terdapat suatu objek dengan posisi awal (x, y) dan dilakukan translasi (a, b). Maka posisi akhir objek setelah translasi akan berada di (x’, y’) dapat diambil rumus seperti di bawah ini : Pada Transformasi translasi digunakan metode pendekatan koordinat. Pada bidangkoordinat dapat diasumsikan bahwa pergerakan arah ke arah sumbu X positif adalah kanan,pergerakan ke arah sumbu X negatif adalah kiri, pergerakan kearah sumbu Y positif adalah atasdan pergerakan Y sumbu negatif adalah bawah. Translasi dinyatakan oleh T = ( ) dengan a menyatakan jarak dan arah perpindahansecara horizontal pada sumbu X dan b menyatakan jarak dan arah perpindahan secara vertikalpada sumbu Y . untuk memahami konsep translasi, perhatikan gambar berikut. 3Titik A(x,y) di translasikan oleh T = ( ) sehingga diperoleh bayangan A’ (x’,y’)dengan x’= x + a dan y’ = y + b. Translasi titik A dapat ditulis sebagai berikut.A (x,y) = ( ) A’ (x’, y’) →Dengan menggunakan konsep matriks maka translasi titik A dapat ditulis sebagai berikut.( ′′) = ( ) ( ) +↔ ( ′′) = ( + ) +Sifat – Sifat Translasi a. Seluruh titik pada benda yang ditranslasi ikut bergerak dengan arah dan jarak yang sama. b. Luas benda asli sama dengan luas benda bayangan. c. Bayangan sama dan sebangun dengan benda aslinya. d. Dapat dinyatakan dalam pasangan bilangan, yang mana bilangan tersebut menunjukkan jauhnya perpindahan. 4Gambaran Translasi dan Cara Menentukan BayanganTitik A, B, dan C, masing-masing ditranslasikan ke titik AI, BI, dan CI dengan jarak dan arahyang sama.Suatu translasi dapat ditinjau terhadap sumbu x dan sumbu y. Pergeseran sejauh a sejajar sumbux (bergeser ke kanan a>0, ke kiri a<0) dan pergeseran sejauh b sejajar sumbu y (bergeser keatas b>0, ke bawah b<0) dinyatakan sebagai: T = ( )Dengan a dan b adalah komponen translasi. Bentuk-bentuk translasi sejauh sebagai berikut: 56Contoh Soal 1. Tentukan bayangan titik (3,-7) oleh translasi (4 , 2). Pembahasan: Misalkan titik P(3,-7). T = (4, 2) : P(3,-7) → P'(3+4 , -7+2) = P'(7,-5) Jadi, bayangan titik (3,-7) oleh translasi (4, 2) adalah (7,-5) 2. Jika garis y = x + 5 ditranslasikan oleh (2, 3), maka tentukan persamaan bayangannya. Pembahasan: (x′, y′)=(x, y)+(2, 3) Dengan demikian: x' = x + 2 => x = x' - 2 y' = y + 3 => y = y' - 3 Dengan mensubtitusikan x = x' - 2 dan y = y' - 3 pada persamaan garis, diperoleh: y' - 3 = (x' - 2) + 5 y' - 3 = x' + 3 y' = x' + 6 Jadi, persamaan bayangan garis y = x + 5 oleh translasi (2, 3) adalah y = x + 6. 3. Perhatikan grafik berikut.Salah satu translasi yang dapat memindahkan garis g ke garis l adalah ⋯⋅⋯⋅A. [0, 5] D. [3, 0]B. [0, −5] E. [3, −4]C. [−5, 0]Pembahasan:Secara geometri, kita dapat melakukan translasi pada titik ke titik yang dilalui masing-masing garis tersebut. Dari titik (−2, 0) bergeser 5 satuan ke kanan (+5) menujutitik (3, 0) sehingga translasi yang sesuai adalah [5, 0]. Selain itu, bisa juga darititik (0,4) lalu digeser ke bawah sejauh 4 satuan (−4) dan 3 satuan kekanan (+3) menuju titik (3,0) sehingga translasi yang sesuai adalah [3, −4].(Jawaban E) 7Latihan Soal I. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang paling tepat. 1. Segitiga dengan koordinat 0, 2 , −1, 0 , dan −3, 4 . Segitiga ditranslasikan oleh menghasilkan segitiga ′ ′ ′. Jika koordinat titik ′ 4, −4 , koordinat titik ′ dan ′ berturut-turut adalah … a. 3, −6 dan 1 − 2 b. 3, −6 dan −1, 2 c. −3, 6 dan 1, −2 d. −3, 6 dan −1, 2 e. −3, 6 dan 1, 2 2. Sebuah gelas yang berada di titik (8, 5) di digeser sepanjang garis lurus sehingga berada di titik (1011, 989). Koordinat perpindahan titiknya adalah … a. (1003,984) b. (1002,984) c. (1002,986) d. (1003,999) e. (1003,999) 3. Titik 6, −9 ditranslasikan oleh 1 (−83) kemudian dilanjutkan oleh translasi 2 (−45). Bayangan akhir dari adalah … a. (7,7) b. (7,8) c. (7,6) d. (7,-6) e. (7,-8) 4. Garis = 2 − digeser 2 satuan ke kanan dan 1 satuan ke bawah, lalu dicerminkan terhadap sumbu – Y sehingga menghasilkan garis = −4 . Nilai a – b adalah … a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13 5. Bayangan garis 5 + 2 − 8 = 0 oleh translasi T = (−31) adalah … a. 5 + 2 − 13 = 0 b. 5 + 2 − 9 = 0 c. 5 + 2 − 7 = 0 d. 5 + 2 − 4 = 0 e. 5 + 2 − 3 = 0II. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar ! 1. Tentukan bayangan garis 2 + 3 − 6 = 0 jika di translasi oleh = (−32) ! 82. Buktikan bahwa sifat translasi adalah “Ukuran dan Bentuk objek setelah ditranslasi sama dengan objek asal” ! 3. Titik 6, −5 ditranslasikan ( ) menghasilkan bayangan ′ 4, 1 . Tentukan nilai ( ) tersebut!4. Tentukan koordinat bayangan titik A(5, -2) jika ditranslasikan oleh T = (−54) dicerminkan terhadap garis y = x !5. Tentukan bayangan garis y = 2x – 3 oleh translasi T = (32) ! 91. Penyelesaian : 3. Penyelesaian : ′ = + = ′ − 2 1 = (8−+3 +4 ) [ ] = [−44] − [20] −5 [ ] = [−46] = [−46] = (31) 6, −9 →(31) ′ 6 + 1, −9 + 3 ′ = + = [−01] + [−46] = ′ 7, −6 = [−36] Jadi, bayangan akhir dari adalah ′ 3, −6 ′ 7, −6 4. Penyelesaian : Garis y = 2ax – by digeser 2 satuan ke kanan dan 1 satuan ke bawah, artinya ditranslasikan oleh (−21) sehingga garisnya menjadi : ( − −1 ) = 2 − 2 − ′ = + + 1 = 2 − 4 − = [−43] + [−46] Garis ini dicerminkan terhadap sumbu – Y= [−12] berarti kita hanya perlu mengganti x ′ 1, −2 menjadi -x.Jadi, koordinat titik ′ dan ′ berturut-turut + 1 = 2 − − 4 − adalah 3, −6 dan 1, −2 = −2 − 4 − − 1 Karena diketahui bayangan garisnya adalah y = -4x, maka berdasarkan bentuk2. Penyelesaian : = −2 − 4 − − 1, kita peroleh −2 = 4 <=> = 2 dan konstannya( ′′) = + ( ) ditulis : ( )(1908191) = (85) + ( ) −4 − − 1 = 0 = 1011 − 8 =1003 4 + + 1 = 0 = 989 − 5 = 4 2 + + 1 = 0984 = −9Jadi koordinat titik T (1003, 984) − = 2 − −9 = 11 Jadi, nilai − adalah 11. 105. Penyelesaian : 2. Penyelesaian : 5 + 2 − 8 = 0 , (−31) Koordinat titik A (1,1) dan B (4,2) dan C 5 + 2 = 8 (−31) ′ = − 1, = ′ + 1 (6,6) ditranslasi oleh T (5,5) −→ Maka A’ = (1+4), (1+4) ; B’ = (4+4), (2+4) ′ = + 3, = ′ − 3 ; C’ = (2+4), (6+4) = (5, 5) = (8,6)5 + 2 = 8 −→ 5 + 1 + 2 − 3 = 8 = (6,10) Memiliki bentuk yang sama diketahui 5 + 5 + 2 − 6 = 8 melaui gambar Memiliki ukuran yang sama : 5 + 2 − 9 = 0 Jarak titik a ke b = jarak titik a’ keJadi, bayangan garisnya adalah 5 + 2 − 9 = b’ 3 satuan koordinat kearah kanan0. Jarak titik b ke c = jarak titik b’ keII. c’ 4 satuan koordinat ke atas Jarak titik c ke a = jarak titik c’ ke1. Penyelesaian : a’ 5 satuan koordinat ke bawah( ′′) = + (−32) 3. Penyelesaian : ( ) 6, −5 →( ) ′ 6 + , −5 + ( ′′) = ( − 23) = ′ 4, 1 + 6 + = 4 ′ = − 2 = 4 − 6 = −2 ′ + 2 = −5 + = 1 = ′ + 2 … persamaan 1 = 1 + 5 = 6 ′ = + 3 ′ − 3 = Jadi, nilai T adalah (−62) = ′ − 3 … persamaan 2Substitusi persamaan 1 dan persamaan 2 :2 + 3 − 6 = 02 − 2 + 3 − 3 − 6 = 02 + 4 + 3 − 9 − 6 = 02 + 3 − 11 = 0Jadi, bayangannya adalah 2 + 3 − 11 = 0. 24. Penyelesaian :Bayangan , oleh pencerminanterhadap garis y = x adalah ′, ′ dengan:( ′′) = (10 10) ( )<=> ( ′′ ) = (01 01) (−52) = (−52)Jadi, koordinat bayangan titik A olehpencerminan terhadap garis y = x adalah (-2,5).5. Penyelesaian :Misalkan titik , terletak pada garis =2 − 3. Bayangkan titik , oleh translasi T= (23) :( ′ = + (32) <=> ( ′′) = ( + 23) ( ) + ′)Dari kesamaan matriks diperoleh : ′ = + 2 <=> = ′ − 2 … 1 ′ = + 3 <=> = ′ − 3 … 2Substitusikan (1) dan (2) ke dalam = 2 − 3. ′ − 3 = 2 ′ − 2 − 3 <=> ′ = 2 ′ − 4Jadi, bayangannya adalah = 2 − 4.
3
Transformasi Geometri adalah salah satu materi matematika bidang geometri yang mempelajari perubahan posisi dan ukuran benda dengan menggunakan konsep matematis. Ada 5 macam transformasi geometri yang dipelajari di tingkat SMA, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dilatasi (perubahan ukuran), dan transformasi oleh matriks.
Untuk membantu pemahaman siswa/siswi, berikut penulis sajikan sejumlah soal terkait transformasi geometri beserta pembahasan yang disusun secara lengkap dan sistematis.
Soal juga dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut: Download (PDF).
Versi Inggris: Problems of Geometry Transformation with Solutions
Baca: Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus
Quote by Paulo Coelho
Apabila kamu kehilangan seseorang namun menemukan dirimu yang sebenarnya, maka kamu menang.
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diketahui titik $P'(3,-13)$ adalah bayangan titik $P$ oleh translasi $T = \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$. Koordinat titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(13,-20)$ D. $(-5,-4)$
B. $(13,-4)$ E. $(-5,-20)$
C. $(4,20)$
Konsep translasi: Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ sehingga koordinat bayangannya adalah $\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$
Diketahui: $P'(3,-13)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$ sehingga
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 13 \\-20 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(13,-20)}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 2
Bayangan titik $P(a,b)$ oleh rotasi terhadap titik pusat $(0,0)$ sebesar $-90^{\circ}$ adalah $P'(-10,-2)$. Nilai $a+2b = \cdots \cdot$
A. $-18$ C. $8$ E. $22$
B. $-8$ D. $18$
Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$
Untuk $(x’, y’) = (-10,-2)$ dan $\theta =-90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) &-\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} y \\-x \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh $y =-10$ dan $x = 2$. Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2,-10$). Untuk itu, $a=2$ dan $b=-10$ sehingga $\boxed{a+2b=2+2(-10)=-18}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 3
Bayangan titik $A$ dengan $A(-1,4)$ jika direfleksikan terhadap garis $y=-x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $A'(4,1)$ D. $A'(4,3)$
B. $A'(-4,1)$ E. $A'(-4,-1)$
C. $A'(4,-1)$
Apabila titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y =-x$, maka bayangan titik $A$ adalah $A’ = (-y,-x)$.
Jadi, bayangan titik $A(-1,4)$ adalah $A'(-4,1)$.
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Keliling dan Luas Bangun Datar (Tingkat Lanjut)
Soal Nomor 4
Bayangan titik $P(5,4)$ jika didilatasikan terhadap pusat $(-2,-3)$ dengan faktor skala $-4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-30,-31)$ D. $(-14,-1)$
B. $(-30,7)$ E. $(-14,-7)$
C. $(-26,-1)$
Diketahui $P(x, y) = P(5,4)$. Pusat dilatasi di $(a, b) = (-2,-3)$ dan $k =-4.$
Misalkan bayangan titik $P$ berada di koordinat $(x’, y’),$ maka
$\begin{aligned} x’ & = k(x-a) + a \\ & =-4(5-(-2)) + (-2) \\ & =-4(7)-2 =-30 \end{aligned}$
$\begin{aligned} y’ & = k(y-b) + b \\ & =-4(4-(-3))- 3 \\ & =-4(7)-3=-31 \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-30,-31).$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Dimensi Tiga (Konsep Jarak)
Soal Nomor 5
Titik $B(3,-2)$ dirotasikan sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik pusat $P(-1,1)$. Bayangan titik $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $B’(-4,3)$ D. $B’(1,4)$
B. $B’(-2,1)$ E. $B’(2,5)$
C. $B’(-1,2)$
Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(a, b) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$Untuk $(x, y) = (3,-2)$ dan rotasi dengan pusat $(-1,1)$ sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\-2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $\boxed{B'(2,5)}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 6
Bayangan titik $P(2,-3)$ oleh rotasi $R[O,90^{\circ}]$ adalah $\cdots \cdot$
A. $P’(3,2)$ D. $P’(-3,2)$
B. $P’(2,3)$ E. $P’(-3,-2)$
C. $P’(-2,3)$
Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik $(x, y)$ bila dirotasikan pada pusat $(0,0) $ sebesar sudut $\theta$ berlawanan jarum jam adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$
Untuk $(x, y) = (2,-3)$ dan rotasi dengan pusat di titik asal sebesar $\theta = 90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $\boxed{P'(3,2)}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 7
Diketahui koordinat titik $P(-8,12)$. Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\cdots \cdot$
A. $(-4,8)$ D. $(4,-16)$
B. $(-4,16)$ E. $(4,-8)$
C. $(-4,-8)$
Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b).$
Bayangan titik $(-4, 8))$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-8, 12)$ dan faktor skala $1$ adalah
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1(-4-(-8)) + (-8) \\ 1(8-12) + 12 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\boxed{(-4, 8)}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 8
Bayangan titik $B(4,8)$ direfleksikan terhadap sumbu $X$ kemudian dilanjutkan dengan dilatasi $\left[O, \dfrac{1}{2}\right]$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2, 4)$ D. $(-8, 4)$
B. $(2,-4)$ E. $(-8,-4)$
C. $(8,-2)$
Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$. Konsep refleksi: Jika titik $(x, y)$ direfleksikan (dicerminkan) terhadap sumbu $X$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(x,-y).$ Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses refleksi terhadap sumbu $X$ terhadap titik $B$ berikut. $B(4, 8) \xrightarrow{R_X} B'(4,-8)$ Selanjutnya, buatlah skema panah proses dilatasi terhadap titik $B$ seperti berikut. $$\begin{aligned} B'(4,-8) \xrightarrow{D\left[O, \dfrac{1}{2}\right]} & P'(\dfrac{1}{2} \times 4, \dfrac{1}{2} \times-8) \\ & = P^{\prime \prime}(2,-4) \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $(2,-4).$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Dimensi Tiga (Konsep Sudut)
Soal Nomor 9
Diketahui koordinat titik $T(-1,5)$. Bayangan titik $T$ oleh transformasi yang diwakili oleh matriks $\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}$, dilanjutkan refleksi terhadap garis $x = 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $T'(30,-7)$ D. $T'(3,-7)$
B. $T'(19, 23)$ E. $T'(-3,-7)$
C. $T'(19,-22)$
Bayangan titik $T(-1, 5)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:
$$\begin{aligned} T\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}} & T’\left[\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\ & = T’ \begin{pmatrix}-4(-1) + 3(5) \\ 2(-1) + (-1)(5) \end{pmatrix} \\ & = T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Transformasi titik dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis $\color{red} {x=8}$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x =-8}} & T^{\prime \prime}\begin{pmatrix} 2(\color{red}{8})- 19 \\-7 \end{pmatrix} \\ & = T^{\prime \prime}\begin{pmatrix}-3 \\-7 \end{pmatrix} \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $T$ adalah $\boxed{(-3,-7)}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 10
Segitiga $KLM$ dengan $K(6,4), L(-3, 1), M(2,-2)$ didilatasi dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala 4. Koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\cdots \cdot$
A. $K'(30, 7), L'(-6,-5), M'(14,-17)$
B. $K'(30, 7), L'(-6,-5), M'(10,-12)$
C. $K'(30, 7), L'(-3,-7), M'(14,-17)$
D. $K'(7, 24), L'(-5,-6), M'(14, 8)$
E. $K'(7, 24), L'(-6,-5), M'(7, 30)$
Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b).$
Bayangan titik $K(6, 4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$$K'(4(6+2)-2, 4(4-3)+3) = K'(30, 7).$$Bayangan titik $L(-3, 1)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$L'(4(-3+2)-2, 4(1-3)+3)$ $= L'(-6,-5).$
Bayangan titik $M(2,-2)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$M'(4(2+2)-2, 4(-2-3)+3)$ $= M'(14,-17).$
Jadi, koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\boxed{K(30, 7), L(-6,-5), M(14,-17)}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 11
Segitiga $ABC$ dengan titik $A(-2,3), B(2,3)$, dan $C(0,-4)$ didilatasi dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $4$. Luas segitiga setelah didilatasi adalah $\cdots \cdot$
A. $120$ D. $280$ B. $224$ E. $480$
C. $240$
Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Bayangan titik $A(-2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0 )$ dan faktor skala $4$ adalah $A'(4(-2), 4(3)) = (-8, 12).$
Bayangan titik $B(2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $4$ adalah $B'(4(2), 4(3)) = (8, 12).$
Bayangan titik $C(0,-4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $4$ adalah $C'(4(0), 4(-4)) = (0,-16).$
Gambarkan ketiga bayangan titik tersebut dalam sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan sehingga terbentuk segitiga.
Segitiga tersebut memiliki luas $L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{16 \times 28}{2} = 224.$
(Jawaban B)