Perbedaan metode biseksi dan Regula Falsi

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON-LINEAR METODE BISEKSI DAN METODE REGULA FALSI MENGGUNAKAN CARA KOMPUTASI(lengkap sampai daftar pustaka) 

BAB I 

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Perbedaan metode biseksi dan Regula Falsi

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan.

Sebagai ilustrasi, diberikan beberapa contoh berikut ini :

1.      Penyelesaian akar-akar persamaan polinom :

23,4x7 – 1,25x6 + 120x4 + 15x3 - 120x2 - x + 100 = 0

2.      Pencarian harga x yang memenuhi persamaan:

3.      Penyelesaian sistem persamaaan linear :

1,2a - 3b - 12c + 12d + 4,8e – 5,5f + 100g = 18

0,9a + 3b - c + 16d + 8e - 5f - 10g = 17

4,6a + 3b - 6c - 2d + 4e + 6,5f - 13g = 19

3,7a - 3b + 8c - 7d + 14e + 8,4f + 16g = 6

2,2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7,5f + 18g = 9

5,9a + 3b + 11c + 9d - 5e - 25f - 10g = 0

1,6a + 3b + 1,8c + 12d -7e +2,5f + g =-5

(Susy, 2006 : 1-2)

Setelah melihat beberapa contoh ilustrasi di atas, kemungkinan besar cara analitik tidak dapat digunakan. Untuk polinom berderajat 2, masih bisa dicari akarnya menggunakan rumus abc yang sudah terkenal, yaitu :

Namun, untuk polinom yang berderajat lebih besar dari 2, tidak ada rumus aljabar untuk menghitung akar polinom tersebut. Alternatifnya adalah dengan memanipulasi polinom, misalnya dengan pemfaktoran atau menguraikan polinom tersebut menjadi perkalian beberapa suku. Semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar memfaktorkannya. Begitu juga untuk menyelesaian sistem persamaan linear. Apabila sistem persamaannya hanya berupa dua atau tiga garis lurus dengan dua atau tiga peubah, masih dapat ditemukan solusinya (dalam hal ini titik potong kedua garis) dengan menggunakan rumus titik potong dua buah garis. Titik potong tersebut juga dapat ditemukan dengan menggambar kedua garis pada kertas grafik. Tetapi untuk sistem dengan jumlah persamaan dan jumlah peubah lebih besar dari tiga, tidak ada rumus yang dapat dipakai untuk memecahkannya.

Contoh-contoh ilustrasi di atas memperlihatkan bahwa ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari  menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).

Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3). Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy, 2006 : 9).

Persamaan linear jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa garis lurus. Sedangkan untuk persamaan non-linear jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva (garis  lengkung). Persamaan yang termasuk persamaan non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7). Sebagai contoh misalnya terdapat persamaan :  dengan daerah asal {x | -2 £ x £ 6, x Î R}. Persamaan tersebut jika digambarkan pada sumbu kartesius :

Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa persamaan  jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva. Jika dicari nilai x yang memenuhi persamaan biasanya digunakan rumus abc, maka diperoleh x1 = 0 dan x2 = 4. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini pada gambar terlihat jelas yaitu titik potong garis dengan sumbu x.

Akan tetapi jika diilustrasikan untuk persamaan non-linear :         23,4x7 – 1,25x6 + 120x4 + 15x3 - 120x2 - x + 100 = 0 maka rumus abc sudah tidak berlaku lagi, karena persamaan tersebut mempunyai pangkat yang lebih besar dari 2. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran. Jalan yang paling efektif dan efisien adalah dengan mengggunakan metode Numerik, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan.

Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin. Langkah pertama yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi adalah menetapkan nilai sebarang a sebagai batas atas dan nilai sebarang b sebagai batas bawah kemudian ditentukan nilai fungsi f(x) untuk x = a dan      x = b. Selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a).f(b) < 0, apabila terpenuhi syarat tersebut berarti akar fungsi terdapat di antara a dan b. Jika tidak terpenuhi maka kembali harus menetapkan nilai sebarang a dan b sedemikian rupa sehingga ketentuan perkalian terpenuhi (Wibowo, 2007 : 1). Jika ketentuan perkalian terpenuhi maka selanjutnya adalah menentukan titik c (titik di antara a dan b). Untuk metode Biseksi menggunakan rumus  sedangkan untuk metode Regula Falsi menggunakan rumus . Langkah selanjutnya adalah mencari nilai c yang lain sehingga didapat error yang kecil atau sama dengan nol.

Selain sederhana, metode Biseksi dan metode Regula Falsi mempunyai beberapa kelebihan yaitu proses iterasi lebih cepat, mudah untuk dibuat program dan tingkat kesalahan kecil. Untuk metode yang menghasilkan error kecil maka metode tersebut lebih teliti dibanding dengan metode lain. Dalam metode Numerik ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear, diantaranya metode Tabulasi, metode Biseksi, metode Regula Falsi, metode Iterasi bentuk x = g(x), metode Newton Rapson, metode Faktorisasi (P3, P4, P5), metode Bairstow dan metode Quotient-Difference  (Q-D) (Munif, 1995 : 8).

Berdasarkan uraian di atas, tujuan utama penelitian ini adalah mempelajari penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi Menggunakan Cara Komputasi serta mengetahui perbedaan kecepatannya dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

B.     Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam penelitian ini adalah :

1.      Bagaimana penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi dengan program komputer.

2.      Bagaimana penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi dengan program komputer

3.      Bagaimana perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

C.    Pembatasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah persamaan non-linear dalam bentuk polinomial satu variabel.

D.    Tujuan  Penelitian

Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari penelitian ini adalah :

1.      Membuat program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi.

2.      Membuat program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi.

3.      Mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

E.     Manfaat Penelitian

Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari penelitian ini, diantaranya adalah :

1.      Mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

2.      Memberi masukkan bagi peneliti yang ingin mempelajari lebih jauh tentang metode Numerik.

BAB II

LANDASAN TEORI

A.    Persamaan Non-Linear

Persamaan merupakan kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan” (ditulis “=”) (Alamsyah, 1994 : 61). Persamaan Non-Linear adalah persamaan yang jika digambarkan dalam bidang kartesius berbentuk garis tidak lurus (berbentuk kurva).  Persamaan yang termasuk persamaan non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7).

B.     Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan  dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa.

Sebagai ilustrasi untuk persamaan non-linear berderajat lebih dari dua dapat dikatakan mempunyai penyelesaian yang tidak mudah bahkan dan tidak mungkin diselesaikan secara analitik.  Tetapi bukan berarti persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan persamaan semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu yang dapat digunakan untuk menghitung persamaan tersebut. Meskipun metode tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidaknya sudah mendekati nilai yang diharapkan. (Amang, 2006 : 1)

Penyelesaian persamaan non-linear adalah penentuan akar-akar persamaan non-linear. Dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dengan garis y = 0.

Gambar 2. Penyelesaian Persamaan Non-Linear

(Amang, 2006 : 10)

C.    Penyelesaian Persamaan Non-Linear

Menurut Munif, A (1995 : 7) Persamaan y=f(x) dikatakan linear jika hubungan antara variabel x dan nilai fungsi y jika digambarkan pada sumbu kartesian menunjukkan garis lurus. Sedangkan yang tidak berbentuk garis lurus disebut persamaan non-linear. Misalnya persamaan polinomial, persamaan sinusoida, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik dan sebagainya.











Gambar 3. Bentuk-bentuk Grafik Persamaan Linear














Gambar 4. Bentuk-bentuk Grafik Persamaan Non-Linear

1.      Metode Biseksi

Metode ini mempunyai ciri dimana area dibagi menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Gambar 5. Metode Biseksi

            Cara Penyelesaian dari Metode Biseksi

Langkah Pertama menyelesaikan persamaan non-linear f(x) dengan metode Biseksi adalah menentukan dua titik f(x) awal yaitu f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1).f(x2) < 0.

Langkah Kedua adalah mencari nilai x3 dengan persamaan :  kemudian mencari nilai f(x3) nya.

Langkah Ketiga, melakukan iterasi untuk mendapatkan akar persamaan. Jika f(x1).f(x3) < 0 makax2 diganti x3 dan akar terletak diantara x1 dan x3, tetapi jika f(x1).f(x3) > 0 maka x1 diganti x3 dan akar terletak diantara x2dan x3.

2.      Metode Regula Falsi

Metode Regula Falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.

Gambar 6. Metode Regula Falsi

(Amang, 2006 : 16)

Cara Penyelesaian Metode Regula Falsi :

Langkah Pertama, menentukan dua titik f(x) awal, yaitu x1 dan x2 yang memenuhi persamaan f(x1).f(x2) < 0.

Langkah Kedua, mencari nilai x3 dengan persamaan :  kemudian dicari nilai f(x3) nya.

Langkah Ketiga, melakukan iterasi untuk mendapatkan akar persamaan. Jika f(x1).f(x3) < 0 makax2 diganti x3 dan akar terletak diantara x1 dan x3, tetapi jika f(x1).f(x3) >

Pengolahan SPSS Penelitian, Pengolahan SPSS Statistik, Olah SPSS, JASA Pengolahan SPSS Statistik, Jasa Pengolahan SPSS Skripsi, Jasa Pengolahan SPSS SPSS, Analisis SPSS Penelitian, 

widget by : http://www.rajakelambu.com

Apa yang dimaksud dengan metode regula falsi?

Dalam matematika, cara regula falsi adalah algoritma pencarian akar yang menggabungkan ciri-ciri dari cara bagi-dua dan cara sekan.

Jelaskan apa yang dimaksud dengan metode biseksi?

Metode Bisection disebut juga pembagi interval atau metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi.

Apa kelebihan dan kekurangan metode regula falsi?

Kelebihannya membutuhkan lebih sedikit iterasi daripada Metode Biseksi. Kelemahannya tidak bisa mencari bilangan imaginer / kompleks dan jika terdapat lebih dari satu akar harus dicari secara satu persatu. untuk mendapatkan akar dengan metode ini lebih rumit jika dibandingkan dengan biseksi.

Bagaimana konsep dari metode bagi dua?

Metode Bagi Dua merupakan metode yang dirancang untuk menentukan akar–akar persamaan f(x) = 0 pada interval [a, b]. Jika f suatu fungsi kontinu pada interval tertutup [a, b] sedemikian hingga f(a). f(b)<0 sehingga terdapat paling sedikit satu akar dari f pada (a, b).