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A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de processos particulares, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos . 1.1 - Coordenadas cartesianas na retaSeja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem. O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A é 1, etc. A reta r é chamada eixo das abscissas. 1.2 - Coordenadas cartesianas no planoCom o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a ideia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Figura a seguir:
Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P. O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas. O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES. No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo. Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OY é x = 0. Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação evidentemente é y = x. Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x. Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados. Exercícios Resolvidos sobre Geometria Analítica1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então : a) m é um número primo b) m é primo e par c) m é um quadrado perfeito d) m = 0 e) m < 4 Solução: 2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que : a) r é um número natural b) r = - 3 c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0 e) não existe r nestas condições . Solução: Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2. Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 ou seja: (-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação. 3) Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é : a) 200 b) 196 c) 144 d) 36 e) 0 Solução: Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0. Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196. Logo, a alternativa correta é a letra B. 2 - Fórmula da distância entre dois pontos do plano cartesianoDados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B:
Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros. Exercício ResolvidoO ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é : a) (3,0) b) (0, -1) c) (0,4) d) (0,5) e) (0, 3) Solução: AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2 Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo. Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D. 3 - Ponto médio de um segmentoDado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M Î AB tal que AM = BM .
Exercício ResolvidoSendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a: a) 25 b) 32 c) 34 d) 44 e) 16 Solução: 4 - Baricentro de um triânguloSabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C. Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas. Exercício resolvidoConhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ? Solução: encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento). Agora resolva este: G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2. Resposta: 850 |