Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri merupakan bentuk-bentuk trigonometri yang mengandung variabel di dalamnya dan memuat tanda sama dengan. Tujuan dari persamaan trigonometri adalah menentukan penyelesaian (mencari nilai variabel) sehingga dengan nilai tersebut maka persamaan trigonometri menjadi benar.
Perhatikan bentuk-bentuk persamaan trigonometri berikut.
Misalkan variabelnya adalah x.
1. sin 2x = sin 60o
2. cos (3x + 45o)= cos 60o
3. sin (2x + 30o) = 0,5
4. tan (0,5x + 20o) = tan 120o
5. cos (4x + 60o)= 1/2 V3
6. tan (3x - 30) - 1/2 = 0
7. sin2 x + 2 sin x – 3 = 0
8. (1 – cos 2x) + sin x – 1 = 0
1. Bentuk sin x = sin a dan sin x = p
Jika dipunyai persamaan sin x = sin a, maka penyelesaiannya adalah:
(i) x = a + k.360o
(ii) x = (180o – a) + k.360o
dengan k bilangan bulat
Perhatikan contoh berikut.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin 2x = sin 60o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
sin 2x = sin 60o
(i) 2x = 60o + k.360o
x = 30o + k.180o
Untuk k = 0, maka x = 30o
k = 1, maka x = 210o
(ii) 2x = (180o - 60o) + k.360o
x = 120o + k.360o
x = 60o + k.180o
Untuk k = 0, maka x = 60o
k = 1, maka x = 240o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 30o, 60o, 210o, 240o}
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin (2x + 40o) = sin 50o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
sin (2x + 40o) = sin 50o
(i) 2x + 40o = 50o + k.360o
2x = (50o – 40o) + k.360o
2x = 10o + k.360o
x = 5o + k.180o
Untuk k = 0, maka x = 5o
k = 1, maka x = 185o
(ii) 2x + 40o = (180o - 50o) + k.360o
2x = (30o – 40o) + k.360o
2x = -10o + k.360o
x = -5o + k.180o
Untuk k = 0, maka x = -5o
k = 1, maka x = 175o
k = 2, maka x = 355o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 5o, 175o, 185o, 355o}.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin (3x + 45o) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
sin (3x + 45o) = 1
sin (3x + 45o) = sin 90
(i) 3x + 45o = 90o + k.360o
3x = (90o – 45o) + k.360o
3x = 45o + k.360o
x = 15o + k.120o
Untuk k = 0, maka x = 15o
k = 1, maka x = 135o
k = 2, maka x = 255o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {15o, 135o, 255o}.
2. Bentuk cos x = cos a dan cos x = p
Jika dipunyai persamaan cos x = cos a, maka penyelesaiannya adalah:
(i) x = a + k.360o
(ii) x = –a + k.360o
dengan k bilangan bulat
Perhatikan contoh berikut.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos 3x = cos 60o , untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
cos 3x = cos 60o
(i) 3x = 60o + k.360o
x = 20o + k.120o
Untuk k = 0, maka x = 20o
k = 1, maka x = 140o
k = 2, maka x = 260o
(ii) 3x = -60o + k.360o
x = -20o + k.120o
Untuk k = 0, maka x = -20o
k = 1, maka x = 100o
k = 2, maka x = 220o
k = 3, maka x = 340o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 20o, 100o, 140o, 220o, 260o, 340o }
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (2x - 30o) = cos 80o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
cos (2x - 30o) = cos 80o
(i) 2x - 30o = 80o + k.360o
2x = (80o + 30o) + k.360o
2x = 110o + k.360o
x = 55o + k.180o
Untuk k = 0, maka x = 55o
k = 1, maka x = 235o
(ii) 2x - 30o = -80o + k.360o
2x = (-80o + 30o) + k.360o
2x = -50o + k.360o
x = -25o + k.180o
Untuk k = 0, maka x = -25o
k = 1, maka x = 155o
k = 2, maka x = 335o
Jadi, himpunan
penyelesaiannya adalah { 55o, 155o, 235o, 335o}.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos (3x - 45o) = 1/2, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
cos (3x - 45o) = 1/2
cos (3x - 45o) = cos 60o
(i) 3x - 45o = 60o + k.360o
3x = (60o + 45o) + k.360o
3x = 105o + k.360o
x = 35o + k.120o
Untuk k = 0, maka x = 35o
k = 1, maka x = 155o
k = 2, maka x = 275o
(ii) 3x - 45o = -60o + k.360o
3x = (-60o + 45o) + k.360o
3x = -15o + k.360o
x = -5o + k.120o
Untuk k = 0, maka x = -5o
k = 1, maka x = 115o
k = 2, maka x = 235o
k = 3, maka x = 355o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 35o, 115o, 135o, 235o, 275o, 355o}.
3. Bentuk tan x = tan a dan tan x = p
Jika dipunyai persamaan tan x = tan a, maka penyelesaiannya adalah:
(i) x = a + k.180o
dengan k bilangan bulat
Perhatikan contoh berikut.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 3x = tan 48o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
tan 3x = tan 48o
(i) 3x = 48o + k.180o
x = 16o + k.60o
Untuk k = 0, maka x = 16o
k = 1, maka x = 76o
k = 2, maka x = 136o
k = 3, maka x = 196o
k = 4, maka x = 256o
k = 5, maka x = 316o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 16o, 76o, 136o, 196o, 256o, 316o }.
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan (2x – 40o)= tan 60o, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
tan (2x – 40o)= tan 60o
(i) 2x – 40o = 60o + k.180o
2x = (60o + 40o)+ k.180o
2x = 100o + k.180o
x = 50o + k.90o
Untuk k = 0, maka x = 50o
k = 1, maka x = 140o
k = 2, maka x = 230o
k = 3, maka x = 320o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {50o, 140o, 230o, 320o}.
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan (3x + 15o) = 1, untuk 0 ≤ x ≤ 360o
Jawaban:
tan (3x + 15o) = 1
tan (3x + 15o) = tan 45o
(i) 3x + 15o = 45o + k.180o
3x = (45o - 15o)+ k.180o
3x = 30o + k.180o
x = 10o + k.60o
Untuk k = 0, maka x = 10o
k = 1, maka x = 70o
k = 2, maka x = 130o
k = 3, maka x = 190o
k = 4, maka x = 250o
k = 5, maka x = 310o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {10o, 70o, 130o, 190o, 250o, 310o}.
Langkah-langkah penyelesaian di atas merupakan dasar-dasar dalam menyelesaikan persamaan trigonometri. Perlu diketahui bahwa persamaan trigonometri bukan hanya berbentuk seperti di atas, melainkan masih banyak bentuk yang lainnya. Baik itu yang berbentuk kuadrat, atau bentuk pecahan.
Untuk itu, tanamkan pemahaman langkah-langkah menyelesaikan persamaan trigonometri di atas. Jika kamu menguasai cara tersebut, maka penyelesaian persamaan trigonometri bentuk lain akan mudah diselesaikan.
Materi Terkait
Menyelesaikan Trigonometri Sudut Ganda dan Trigonoometri Setengah Sudut