Na realização de uma prova foi anotado o tempo que cada aluno gastou para concluí-la (em minutos)

Matemática Básica 12ª Lista de Exercícios – Estatística 1) Em uma eleição concorreram os candidatos A, B e C e, apurada a primeira urna, os votos foram os seguintes: A 50 votos; B 80 votos; C 60 votos; Brancos e Nulos 10 votos. A partir desses dados construa: a) A tabela de freqüências. b) O gráfico de barras, relacionando os valores da variável com as respectivas freqüências absolutas. 2) Fazendo o levantamento dos salários dos vinte funcionários de um escritório, foram obtidos os seguintes valores em reais: 650, 800, 720, 620, 700, 750, 780, 680, 720, 600, 846, 770, 630, 740, 680, 640, 710, 750, 680 e 690. A partir deles, construa: a) A tabela de freqüência com 5 classes de amplitude R$50,00. b) O histograma. 3) Na realização de uma prova foi anotado o tempo que cada aluno gastou para concluí-la (em minutos): 56; 51; 57; 49; 51; 51; 46; 50; 50; 47; 44; 57; 53; 50; 43; 55; 48; 56; 49; 51; 47; 46; 54; 52; 55; 45; 49; 50; 48; 51. Construa: a) O tempo médio gasto pelos alunos. b) A tabela de freqüência com 5 classes de 3 minutos de amplitude. c) Histograma. 4) Foi feita uma pesquisa em relação à altura de alunos de uma classe. O resultado foi o seguinte: 2 alunos medem 156 cm, 5 alunos 162 cm, 8 alunos 168 cm, 6 alunos 174 cm e 4 alunos 180 cm. Determine: a) A tabela de freqüência. b) O gráfico de setores. c) A média de altura. d) O desvio padrão. 5) Em um concurso o critério de aprovação leva em conta a média e o desvio padrão após a realização de 3 provas. Calcule a média e o desvio padrão de um candidato que nas provas obteve, respectivamente, 63 pontos, 56 pontos e 64 pontos.

6) Numa pesquisa de opinião, feita para verificar o nível de aprovação de um governante, foram entrevistadas 1000 pessoas, que responderam sobre a administração da cidade, escolhendo uma - e apenas uma - dentre as possíveis respostas: ótima, boa, regular, ruim e indiferente. O gráfico mostra o resultado da pesquisa. De acordo com o gráfico,

1) Em uma eleição concorreram os candidatos A, B e C e, apurada a primeira urna, os votos foram os seguintes: A 50 votos; B 80 votos; C 60 votos; Brancos e Nulos 10 votos. A partir desses dados construa:

a) A tabela de freqüências.

b) O gráfico de barras, relacionando os valores da variável com as respectivas freqüências absolutas.

2) Fazendo o levantamento dos salários dos vinte funcionários de um escritório, foram obtidos os seguintes valores em reais:

650, 800, 720, 620, 700, 750, 780, 680, 720, 600, 846, 770, 630, 740, 680, 640, 710, 750, 680 e 690. A partir deles, construa:

a) A tabela de freqüência com 5 classes de amplitude R$50,00.

b) O histograma.

3) Na realização de uma prova foi anotado o tempo que cada aluno gastou para concluí-la (em minutos):

Matemática Básica 12ª Lista de Exercícios – Estatística 1) Em uma eleição concorreram os candidatos A, B e C e, apurada a primeira urna, os votos foram os seguintes: A 50 votos; B 80 votos; C 60 votos; Brancos e Nulos 10 votos. A partir desses dados construa: a) A tabela de freqüências. b) O gráfico de barras, relacionando os valores da variável com as respectivas freqüências absolutas. 2) Fazendo o levantamento dos salários dos vinte funcionários de um escritório, foram obtidos os seguintes valores em reais: 650, 800, 720, 620, 700, 750, 780, 680, 720, 600, 846, 770, 630, 740, 680, 640, 710, 750, 680 e 690. A partir deles, construa: a) A tabela de freqüência com 5 classes de amplitude R$50,00. b) O histograma. 3) Na realização de uma prova foi anotado o tempo que cada aluno gastou para concluí-la (em minutos): 56; 51; 57; 49; 51; 51; 46; 50; 50; 47; 44; 57; 53; 50; 43; 55; 48; 56; 49; 51; 47; 46; 54; 52; 55; 45; 49; 50; 48; 51. Construa: a) O tempo médio gasto pelos alunos. b) A tabela de freqüência com 5 classes de 3 minutos de amplitude. c) Histograma. 4) Foi feita uma pesquisa em relação à altura de alunos de uma classe. O resultado foi o seguinte: 2 alunos medem 156 cm, 5 alunos 162 cm, 8 alunos 168 cm, 6 alunos 174 cm e 4 alunos 180 cm. Determine: a) A tabela de freqüência. b) O gráfico de setores. c) A média de altura. d) O desvio padrão. 5) Em um concurso o critério de aprovação leva em conta a média e o desvio padrão após a realização de 3 provas. Calcule a média e o desvio padrão de um candidato que nas provas obteve, respectivamente, 63 pontos, 56 pontos e 64 pontos.

6) Numa pesquisa de opinião, feita para verificar o nível de aprovação de um governante, foram entrevistadas 1000 pessoas, que responderam sobre a administração da cidade, escolhendo uma - e apenas uma - dentre as possíveis respostas: ótima, boa, regular, ruim e indiferente. O gráfico mostra o resultado da pesquisa. De acordo com o gráfico,

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20. Fazendo o levantamento dos salários dos vinte funcionários de um escritório, foram obtidos os seguintes valores em reais: 

650, 800, 720, 620, 700, 750, 780, 680, 720, 600, 846, 770, 630, 740, 680, 640, 710, 750, 680 e 690. A partir deles, construam no caderno:

a) a tabela de frequências com 5 classes;

b) o histograma correspondente relacionando faixa salarial e frequência absoluta.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

Estatística 45

=PG=46=

Veja alguns exemplos de construção de gráficos: 

1 o ) Vamos construir a tabela de frequências e os gráficos de barras e de setores para a variável hobby do quadro da página 36.

Fonte: Dados fictícios.

Porcentagem de alunos por hobby

 Fonte: Dados fictícios.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

Nesse caso, todas as porcentagens são múltiplas de 4, então podemos usar 4% na escala. Veja: 

A cada 4% corresponde um setor de 14,4°. 

Então: 115,2 + 86,4 + 43,2+ 100,8 + 14,4 = 360,0°

2 o ) Na realização de uma prova foi anotado o tempo que cada aluno gastou para concluí-la (em minutos): 

56; 51; 57; 49; 51; 51; 46; 50; 50; 47; 44; 57; 53; 50; 43; 55; 48; 56; 49; 51; 47; 46; 54; 52; 55; 45; 49; 50; 48; 51.

a) A partir desses dados vamos construir a tabela de frequências com os valores em 5 classes. Subtraindo o menor valor do maior valor, a amplitude total será: 57 − 43 = 14. Sabendo que são 5 classes e escolhendo o número 15, a amplitude de cada classe será: 15 : 5 = 3.

Fonte: Dados fictícios.

46 Capítulo 2

=PG=47=

Fonte: Dados fictícios.

Vimos os vários tipos de gráficos utilizados para representar e interpretar dados estatísticos. É importante que se escolha sempre qual deles é o mais adequado à situação analisada.

É comum, em publicações como revistas, jornais e sites, ilustrar os vários tipos de gráfico com figuras relacionadas ao assunto, tornando-os mais atraentes. Esses são os gráficos pictóricos (ou pictogramas). Veja alguns:

a) Como se divide o preço de um veículo 

b) Evolução do número de inscritos no Enem de 2009 a 2015 

Page 2

Em uma pesquisa com um grupo de adolescentes, foi perguntado qual era o esporte preferido de cada um deles, entre futebol, natação, vôlei, basquete ou ciclismo. O resultado foi o seguinte: 14 preferiram futebol, 7 natação, 8 vôlei, 5 basquete e 4 ciclismo. Não seria conveniente querer identificar qual é a média desses resultados ou mesmo qual é a mediana, pois não se trata de resultados numéricos. Para isso, precisamos de uma medida de tendência central conveniente para variáveis qualitativas: a moda.

Em Estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores observados. Dessa forma, a moda da situação anterior é “futebol” (Mo = futebol), com 14 ocorrências.

No exemplo do grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos (Mo = 2) e demonstra mais eficiência para caracterizar o grupo que a média aritmética.

Se a temperatura medida de hora em hora, das 6h às 11h, apresentou os resultados 14 °C, 15 °C, 15 °C, 18 °C, 20 °C e 25 °C, então dizemos que nesse período a moda foi 15 °C, ou seja, Mo = 15 °C.

No caso de um aluno que anotou, durante dez dias, o tempo gasto em minutos para ir de sua casa à escola e cujos registros foram 15 min, 14 min, 18 min, 15 min, 14 min, 25 min, 16 min, 15 min, 15 min e 16 min, a moda é 15 min, ou seja, Mo = 15 min.

Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a distribuição é bimodal. 

Page 3

Matemática - Ensino Médio

3

=PG=2=

Gerência editorial Luiz Tonolli Editoria de Matemática e Física Ronaldo Rocha Edição André Luiz Ramos de Oliveira Gerência de produção editorial Ricardo de Gan Braga Arte Andréa Dellamagna (coord. de criação), Erik TS (progr. visual de capa e miolo), André Gomes Vitale (coord.), Claudemir Camargo Barbosa (edição) e DIGKIDS (diagram.)

Revisão Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Rosângela Muricy (coord.), Ana Curci, Célia da Silva Carvalho, Claudia Virgilio e Vanessa de Paula Santos; Brenda Morais e Gabriela Miragaia (estagiárias)

Iconografia Sílvio Kligin (superv.), Denise Durand Kremer (coord.), Daniel Cymbalista (pesquisa), Cesar Wolf e Fernanda Crevin (tratamento de imagem)

Ilustrações Dam d’Souza, Formato Comunicação e Ilustra Cartoon Cartografia Alexandre Bueno, Eric Fuzii, Márcio Souza

Foto da capa: Detalhe do relógio astronômico medieval em Praga, República Tcheca. lillisphotography/Getty Images

Protótipos Magali Prado

Direitos desta edição cedidos à Editora Ática S.A. Avenida das Nações Unidas, 7221, 3 o andar, Setor A Pinheiros – São Paulo – SP – CEP 05425-902 Tel.: 4003-3061 www.atica.com.br /

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Charles Sholl/Futura Press

8

=PG=9=

Capítulo 8

Polinômios

1 Definição ................................................. 202 2 Função polinomial ...................................... 203

Polinômio .................................................. 203 Polinômio identicamente nulo ........................... 203

3 Valor numérico de um polinômio ................... 204 4 Igualdade de polinômios .............................. 205 5 Raiz de um polinômio .................................. 206 6 Operações com polinômios .......................... 206

Divisão de polinômios .................................... 207 Método da chave ......................................... 207 Divisão por (x − a): dispositivo prático de Briot-Ruffini ........................................... 210 Teorema de D’Alembert .................................. 212 Teorema do fator ......................................... 213

Page 5

4. (Uncisal) Ao publicar um artigo científico, um pesquisador recebeu um bônus de 15% sobre o seu salário. Se sobre o seu salário não incide nenhum desconto, não houve nenhuma outra bonificação e o bônus foi de R$ 975,00, qual a remuneração do pesquisador no mês em que recebeu o prêmio?

a) R$ 1 121,25 b) R$ 2 096,25 c) R$ 2 122,05 d) R$ 6 500,00 e) R$ 7 475,00

Resolução: O salário do pesquisador é uma incógnita. Vamos considerá-lo um “x” qualquer. Salário sem bonificação = x 

Então, o pesquisador receberá o salário normal (6 500) mais a bonificação (975), o que totaliza um valor de R$ 7 475,00. Logo, a alternativa correta é a alternativa e.

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Juros simples

Se um capital C é aplicado durante t unidades de tempo e a taxa i de juros por unidades de tempo incide apenas sobre o capital inicial, os juros j são chamados juros simples: 

j = i ⋅ C: juros obtidos no fim de 1 período 

j = (i ⋅ C)t: juros obtidos no fim de t períodos

Assim, as fórmulas são j = C ⋅ i ⋅ t e M = C + j . Mas evite depender delas, o mais importante é compreender os conceitos que envolvem os juros simples. Veja um exemplo:

Pedro emprestou de um banco R$ 10 000,00. Dois meses depois, pagou R$ 10 400,00. Os juros pagos por

400 4 Pedro foram de R$ 400,00 e a taxa de juros foi de

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=PG=25=

25. Quanto renderá a quantia de R$ 600,00, aplicada a juros simples, com a taxa de 2,5% ao mês, ao final de 1 ano e 3 meses? 

26. Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo de aplicação? 

27. Uma dívida de R$ 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros? 

28. Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital? 

29. Se uma mercadoria cujo preço é de R$ 200,00 for paga em 6 meses, com taxa de 20% ao ano, quanto será pago de juros no sistema de juros simples? 

30. Calcule o montante produzido por R$ 5 000,00 aplicado à taxa de 6% ao bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos. 

31. Um capital de R$ 900,00 foi aplicado a juros de 18% ao ano durante 2 anos. Quanto rendeu de juros:

a) em porcentagem? 

b) em reais? 

32. Uma dívida de R$ 700,00 foi contraída a juros compostos de 2% ao mês para ser quitada em 4 meses.

a) Quanto deverá ser pago para quitar a dívida?

b) Qual a taxa de juros acumulada nesse período de 4 meses? 

33. Carlos deixou R$ 800,00 aplicados por 3 anos em um fundo de investimento. Se o rendimento médio desse fundo foi de 1% ao mês, quanto Carlos tinha ao final desse período? 

34. Afonso depositará R$ 1 000,00 hoje na poupança, que rende, em média, 0,7% ao mês. Daqui a 6 meses, depositará mais R$ 1 000,00. Daqui a 1 ano, quanto ele terá na poupança? 

35. Investindo um capital a juros mensais de 4%, em quanto tempo vocês triplicarão seu capital?

36. Quando Luísa nasceu, seu pai investiu para ela R$ 600,00 em um fundo de investimento que rende, em média, 1,2% ao mês. Em quanto tempo Luísa terá mais de R$ 650,00? 

37. Após quanto tempo, à taxa de 4% ao mês, a aplicação de R$ 1 000,00 renderá juros de R$ 170,00 no sistema de juros compostos? 

38. Uma pessoa deseja aplicar R$ 10 000,00 a juros compostos e, no fim de 3 meses, obter um montante de R$ 11 248,64. Qual deve ser a taxa de juros? 

39. (FGV-SP) Um capital de R$ 10 000,00, aplicado a juro composto de 1,5% ao mês, é resgatado ao final de 1 ano e 8 meses no montante, em reais, aproximadamente igual a:

a) 11 605,00.

b) 12 986,00.

 c) 13 456,00.

d) 13 895,00.

e) 14 216,00.

40. (UEMT) Uma financiadora oferece empréstimos, por um período de 4 meses, sob as seguintes condições: 

1 a ) taxa de 11,4% ao mês, a juros simples; 

2 a ) taxa de 10% ao mês, a juros compostos.

Marcos tomou um empréstimo de R$ 10 000,00, optando pela primeira condição, e Luís tomou um empréstimo de R$ 10 000,00, optando pela segunda condição. Quanto cada um pagou de juros?

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2. Com base no trecho da reportagem Taxa de juro do cartão de crédito vai a 431,4% ao ano e desconsiderando a taxa de manutenção do cartão, quanto uma pessoa pagaria às operadoras de cartões de crédito ao contrair uma dívida de 100 reais em dezembro de 2015 e depois atrasar sua fatura por 3 meses? 

3. Quanto o governo gastaria a mais ao final de um ano com o aumento de 0,5% na taxa anual de juros, supondo-se que ele tenha tomado um empréstimo de R$ 1 000 000 000,00 de bancos? 

4. Sabendo que em janeiro de 2016 a taxa Selic era de 14,25% ao ano, suponha que o Brasil resolva fazer uma sequência de redução da sua taxa básica de juros. A redução proposta consistiria em reduzir 0,05 ponto percentual (ao ano) da taxa Selic a cada mês até atingir a taxa de 0,1% ao ano. Em quanto tempo a taxa básica de juros do Brasil chegará a esse valor? 

5. De acordo com o Banco Central do Brasil, em janeiro de 2016 foi cobrada de pessoas físicas uma taxa média de aproximadamente 187% ao ano no cheque especial.

a) Quanto o governo pagará de juros a cada R$ 1 000,00 que tomou emprestado dos bancos ao final de um ano, tendo como base a taxa Selic de 14,25% ao ano? 

b) Quanto um cidadão que utiliza R$ 1 000,00 do seu cheque especial pagará após um ano, tendo como base a taxa do cheque especial? 

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A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências absoluta (FA) e relativa (FR), é chamada tabela de frequências.

Assim, usando o mesmo exemplo, temos:

Fonte: Dados fictícios.

Fique atento! A soma de todas as frequências relativas de uma amostra totaliza 100% ou 1.

Exercício

3. Um grupo de alunos foi consultado sobre o time pernambucano de sua preferência, e os votos foram registrados assim: Central ; Náutico ; Santa Cruz ; Sport . Construa no caderno a tabela de frequências correspondente a essa pesquisa. 

34 Capítulo 2

=PG=35=

Page 10

10. Utilize o gráfico de segmentos do exemplo dado (venda de livros) na página anterior e responda:

a) Em que períodos do segundo semestre as vendas subiram? 

b) Em qual destes dois meses as vendas foram maiores: julho ou outubro? 

c) Em que mês do semestre as vendas foram menores? 

d) Em que mês foram vendidos 450 livros? 

11. Um aluno apresentou durante o ano letivo o seguinte aproveitamento: primeiro bimestre: nota 7,0; segundo bimestre: nota 6,0; terceiro bimestre: nota 8,0; e quarto bimestre: nota 8,0. Construa no caderno um gráfico de segmentos correspondente a essa situação e, a partir dele, tire algumas conclusões.

12. Uma professora anotou o número de faltas dos alunos, durante um semestre, de acordo com os dias da semana. Observe as anotações, construa o gráfico de segmentos no caderno e tire conclusões: segunda-feira, 64 faltas; terça-feira, 32; quarta-feira, 32; quinta-feira, 48; sexta-feira, 60.

13. Analise o gráfico a seguir e responda:

a) Em qual ano o saldo comercial foi o menor? 

b) Em qual ano o saldo foi o maior? 

c) O que ocorreu com o saldo comercial de 2006 a 2008?

d) Quantos milhões de dólares cresceu o saldo de 2014 para 2015? 

Você sabia? O saldo comercial, ou seja, o saldo da balança comercial, é um termo econômico que representa a diferença entre o que é exportado e o que é importado. Quando o saldo é positivo é porque o país exportou mais do que importou. Caso ocorra o inverso, dizemos que o saldo é negativo.

Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

Page 11

Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, efetuamos:

Dizemos, então, que a média aritmética, ou simplesmente a média de idade do grupo, é 21,4 anos.

Se, ao medir de hora em hora a temperatura em determinado local, registraram-se 14 °C às 6h, 15 °C às 7h, 15 °C às 8h, 18 °C às 9h, 20 °C às 10h e 23 °C às 11h, observamos que:

Dizemos, então, que no período das 6h às 11h a temperatura média foi 17,5 °C.

Dizemos, então, que nesse bimestre o aluno teve média 8,25.

Assim, generalizando, podemos afirmar que, dados os n valores x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n de uma variável, a média aritmética é o número obtido da seguinte forma:

Fique atento! 

O símbolo 

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Fonte: Dados fictícios.

31. Calcule a média aritmética ponderada de um aluno que obteve no bimestre 8,0 na prova (peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 9,0 no debate (peso 1) e 5,0 no trabalho de equipe (peso 2). 

32. A média das idades dos 11 funcionários de uma empresa era de 40 anos. Um dos funcionários se aposentou com 60 anos, saindo da empresa. A média de idade dos 10 funcionários restantes passou a ser:

a) 40 anos.

b) 39,8 anos. 

c) 38,9 anos.

 d) 38 anos.

e) 37,8 anos.

33. Em sete jogos, um time marcou, respectivamente, 3, 2, 1, 1, 4, 3 e 2 gols. Determine a média de gols por partida (MA) e a mediana (Me). 

=PG=53=

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=PG=58=

a) 

Fonte: Dados do enunciado 5. 

b) Aparentemente há uma tendência maior em sair as faces “1” e “2” do que as outras faces. Como 1 200 é um número razoavelmente grande, a frequência relativa deveria ser aproximadamente igual ao valor teórico da probabilidade (que é de 16,6%). Com 1 200 jogadas, o resultado teórico esperado seria o de sair cerca de 200 vezes cada face. Assim, podemos afirmar que o dado aparenta não ser honesto.

6. Em uma garrafa opaca fechada existem 20 bolinhas, distribuídas entre três cores: preta, vermelha e amarela. Não é possível ver as bolinhas dentro da garrafa, exceto se virarmos a garrafa de ponta-cabeça, quando uma das bolinhas vai para o gargalo e é possível ver sua cor. Ao longo de vários dias, repetiu- -se 2 000 vezes a seguinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafa para então anotar a cor da bolinha que aparecia no gargalo. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Qual deve ser a quantidade de cada bolinha dentro da garrafa?

Resolução: Como a quantidade de experimentos é grande, podemos esperar que a frequência relativa seja aproximadamente igual à probabilidade teórica. A tabela de frequências relativas é:

Fonte: Dados do enunciado 6.

Assim, se tivermos x bolinhas pretas, y bolinhas vermelhas e z bolinhas amarelas, as probabilidades teóricas serão:

Igualando-se as probabilidades teóricas com as respectivas frequências relativas, temos:

Como as quantidades x, y e z de bolinhas são números inteiros, então x = 4, y = 9 e z = 7.

7. (Fuvest-SP) Numa classe com 20 alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que 8 alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses 8 alunos foi 6,5, enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais a todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.

a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos 5 pontos extras.

b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

Resolução: 

a) 

b) Com os cinco pontos extras para todos, a média da classe subiu para 77,2 pontos. Se x alunos continuaram reprovados, então:

Como antes eram 8 reprovados, e agora são 5, então 3 alunos conseguiram nota para aprovação.

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7. Verifique, com as pessoas da sua casa, as médias das idades e das alturas e depois compare esses valores com os resultados obtidos pelos seus colegas.

8. É necessário que o Brasil dê mais atenção à população idosa, priorizando as políticas de assistência social, saúde, previdência e habitação. Essas políticas são essenciais aos cidadãos que tanto fizeram por este país. Tendo em vista que a população brasileira está envelhecendo, pesquise e discuta com seus colegas quais dessas políticas estão de fato sendo aplicadas na sua cidade.

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Em uma escola será feita uma pesquisa para saber quantos alunos são canhotos, quantos apresentam alguma dificuldade de visão (usam óculos) e qual é o esporte preferido pela maioria dos alunos.

Diante dessas informações serão providenciadas carteiras para canhotos, melhoria na iluminação da sala de aula e material e espaço para atender à prática esportiva.

O roteiro de uma pesquisa é o seguinte: 

1. Definir o problema a ser solucionado. 

2. Definir a população em estudo. 

3. Definir o tamanho e a composição da amostra. 

4. Formular o questionário. 

5. Abordar os entrevistados. 

6. Checar os dados. 

7. Blindar as informações. 

8. Divulgar o resultado da pesquisa.

Você sabia? A escolha da amostra é basicamente o que diferencia uma enquete de uma pesquisa estatística. Na enquete, as pessoas são escolhidas aleatoriamente e na pesquisa estatística a amostra é uma parte representativa da população. Por exemplo, se existem mais mulheres na população, a amostra deverá conter um número maior de pessoas do sexo feminino. A escolha da amostra no lugar da população se dá muitas vezes pela praticidade e rapidez dos resultados.

Algumas dessas fases já estão prontas, pois já sabemos o problema a ser solucionado. A população será formada por todos os alunos do Ensino Médio, e a amostra será formada por todos os alunos que responderem à pesquisa. A tabela ao lado é um exemplo de como a amostra poderá ser indicada.

Fonte: Dados fictícios.

O questionário deve conter as informações importantes sobre o assunto. Por exemplo:

Algumas regras deverão ser seguidas:

• Os entrevistados deverão ser abordados de forma educada, e o entrevistador deverá ser totalmente imparcial.

• Os dados deverão ser checados para identificar se faltam dados, se há inconsistência ou incoerência nas respostas.

• As informações colhidas deverão ficar restritas à comissão de pesquisadores.

• Os resultados deverão ser divulgados em forma de gráficos, tabelas, etc. Agora, monte uma equipe e realize uma pesquisa como essa em sua escola. Depois, faça o que se pede: a) Faça uma tabela de frequências (absoluta e relativa) da variável “idade”. b) Determine a média aritmética e a mediana da variável “idade”. c) Obtenha a moda das variáveis:

• Mão com que escreve

• Se usa óculos

• Esporte que gostaria de praticar na escola

d) Agora, construa os gráficos de barras utilizando a “Planilha” do LibreOffice.

Page 16

9. Responda à questão 9 com base no infográfico e na notícia a seguir.

Reprodução/Instituto Federal do RS 2014

Adaptado de: Petrobras. Disponível em: . Acesso em: 3 set. 2014.

11 estados terão produtos e serviços sem impostos nesta 6 a

Ação pelo Dia da Liberdade de Impostos promoverá oferta de produtos, refeições e combustíveis sem impostos em várias cidades.

Empreendedores, empresários e diversas instituições oferecem, nesta sexta, produtos e serviços, como refeições e combustíveis de carros, com preços livres de impostos.

A iniciativa faz parte do Dia de Respeito ao Contribuinte e da Liberdade de Impostos (DLI), coordenado pela Confederação Nacional dos Jovens Empresários (Conaje).

Disponível em: . Acesso em: 3 set. 2014.

(IFRS) Um consumidor abasteceu o tanque de seu carro em um posto de gasolina que aderiu à campanha referida na notícia e pagou R$ 78,00. Quanto ele pagaria, em reais, se o mesmo posto não tivesse adotado tal medida?

a) 50,70 

b) 105,30 

c) 113,00 

d) 120,00 

e) 140,00

10. (UFSM-RS) O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos, produzindo mais do que o necessário para alimentar sua população. Entretanto, grande parte da produção é desperdiçada. O gráfico mostra o percentual do desperdício de frutas nas feiras do estado de São Paulo.

Banco de imagens/Arquivo da editora

Disponível em: . Acesso em: 10 set. 2014. (Adaptado.)

Considerando os dados do gráfico, a média aritmética, a moda e a mediana são, respectivamente:

a) 28,625; 25 e 40; 25,5.

b) 28,625; 25 e 40; 26.

c) 28,625; 40; 26. 

 d) 20,5; 25 e 40; 25,5.

e) 20,5; 40; 25,5.

Page 17

Procure mais informações sobre projeções da população do Brasil em jornais, revistas, livros e na internet. Sugestões: (acessos em: 10 fev. 2016)

• Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística: ;

• Portal do envelhecimento: ;

• Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos: .

Estatística 65

=PG=66=

Região Norte Região Centro-Oeste

1. (Uepa) Um agricultor financiou junto a uma cooperativa os insumos utilizados na lavoura em 2014. Pagou 20% do valor dos insumos no ato da compra, utilizando parte do lucro obtido no ano anterior, e financiou o restante em 10 meses a uma taxa de 2% ao mês a juros simples. Observou que havia gastado o montante de R$ 208 800,00 com a parte financiada. Neste caso, o valor financiado dos insumos pelo agricultor foi de:

a) R$ 217 500,00 

b) R$ 174 000,00 

c) R$ 164 000,00 

d) R$ 144 500,00 

e) R$ 136 000,00

2. (Ufam) Os produtos de uma empresa são embalados em caixa. Dez caixas de um lote tiveram o número de produtos contados. As quantidades obtidas foram 88, 92, 90, 90, 89, 87, 86, 85, 89 e 90. Podemos afirmar que a média e a mediana são respectivamente:

a) 90 e 88,6 

b) 89 e 88,6 

c) 89 e 90 

 d) 88,6 e 89 

e) 88,6 e 90

Page 18

=PG=63=

1. Leia o texto a seguir. Taxa de juros para pessoa física chega a 62,3% em setembro, mostra BC

As taxas de juros continuaram a subir, em setembro, de acordo com dados do Banco Central (BC), divulgados hoje (27). A taxa de juros cobrada das pessoas físicas subiu 1,1 ponto percentual de agosto para setembro, quando ficou em 62,3% ao ano. As empresas pagaram 0,6 ponto percentual a mais, com taxa em 29,3% ao ano.

A inadimplência das famílias, considerados atrasos superiores a 90 dias, subiu 0,1 ponto percentual para 5,7%. Já para as empresas, a inadimplência caiu 0,1 ponto percentual para 4,1%.

As taxas de juros que mais subiram para as famílias foram a do cartão de crédito e do cheque especial, que chegaram a 414,3% ao ano e a 263,7% ao ano. A taxa do cheque especial subiu 10,5 pontos percentuais e a do rotativo do cartão de crédito, 10,8 pontos percentuais, de agosto para setembro.

A taxa para a compra de veículos subiu 0,8 ponto percentual para 25,6% ao ano. Já a taxa do crédito consignado caiu 0,2 ponto percentual para 27,6% ao ano.

Fonte: Agência Brasil. Disponível em: . Acesso em: 10 maio 2016.

Os valores que completam corretamente estas sentenças

• A taxa mensal de juros do cartão de crédito, considerando o regime de juros compostos, que projeta a taxa anual mencionada no texto é de .

• A taxa mensal de juros do cheque especial, considerando o regime de juros compostos, que projeta a taxa anual mencionada no texto é de .

• A taxa mensal de juros para a compra de veículos, considerando o regime de juros compostos, que projeta a taxa anual mencionada no texto é de .

conforme as informações do texto são, aproximada e respectivamente:

a) 1,5%; 1,1%; 0,2%

b) 34,5%; 22,0%; 2,1%

c) 10,5%; 10,8%; 0,8%

d) 0,15%; 0,11%; 0,02% 

 e) 15%; 11%; 2%

2. Utilizamos métodos de Estatística descritiva para organizar, resumir e descrever os aspectos importantes de um conjunto de características observadas ou então para comparar tais características entre dois ou mais conjuntos.

Considere que uma indústria embale peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade da indústria selecionou ao acaso 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas. Obteve os seguintes dados:

Em geral, usam-se três medidas de tendência central a fim de tentar representar o conjunto por inteiro com um único valor e são elas: média, mediana e moda. A mediana, a média e a moda dessa distribuição são, respectivamente:

1. 0; 0,5 e 1.
2. b) 1; 0,66 e 0.
3. c) 0; 1 e 0. 
4.  d) 0; 0,66 e 0.
5. e) 1; 0,5 e 0.

Page 19

=PG=68=

2

Geometria espacial e Geometria analítica

68

=PG=69=

3

Geometria Conjuntos espacial: corpos numéricos redondos

Pedro Ladeira/Folhapress NASA/Corbis/Latinstock

CAPÍTULO

69

=PG=70=

Provavelmente você já tenha iniciado o estudo dos sólidos geométricos, com os poliedros e, em especial, os prismas e as pirâmides durante o 2 o ano do Ensino Médio. Agora, neste capítulo, estudaremos os sólidos que possuem superfícies curvas, os chamados corpos redondos. São eles:

Ilustrações: Banco de imagens/ Arquivo da editora

Cilindro Cone Esfera

Para refletir Por que esses sólidos são chamados corpos redondos?

Estudar os corpos redondos e conhecer suas características e propriedades permite-nos representar teoricamente uma grande quantidade de elementos da vida cotidiana.

Junte-se a um colega e avaliem que tipo de corpo redondo seria mais indicado para representar geometricamente cada um dos elementos abaixo:

Haveseen/Shutterstock/Glow Images

aperturesound/Shutterstock

Artjazz/Shutterstock/ Glow Images

Page 20

3. (UPE) Antônio foi ao banco conversar com seu gerente sobre investimentos. Ele tem um capital inicial de R$ 2 500,00 e deseja saber depois de quanto tempo de investimento esse capital, aplicado a juros compostos, dobrando todo ano, passa a ser maior que R$ 40 000,00. Qual a resposta dada por seu gerente? a) 1,5 anos b) 2 anos c) 3 anos x d) 4 anos e) 5 anos

4. (UFC-CE) A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a:

a) 6,5. 

c) 7,4.

e) 8,0.

Superinteressante, São Paulo, ago. 2013, p. 15. (Adaptado.)

Considerando-se somente as informações apresentadas no quadro, o valor transferido pelo Brasil, nesse período, é: 

a) aproximadamente, 68% maior do que o valor transferido pelos países que fazem parte da Liga dos Estados Árabes.

b) superior a 30% do valor transferido pelos países que fazem parte da Alca.

c) mais de 20% do valor transferido pelos países que fazem parte do Brics.

d) aproximadamente, 26% do valor transferido pelos países que fazem parte do G8.

e) mais de 60% do valor transferido pelos países que fazem parte do Mercosul.

6. (UEG-GO) Um fogão custou R$ 600,00 para um comerciante. O comerciante anunciou o preço para venda do fogão de modo que, se sobre esse preço anunciado fossem aplicados 25% de desconto, ao vender o fogão, o comerciante ainda teria um lucro de 25% sobre o preço de custo. O preço anunciado foi de:

a) R$ 1 020,00. 

 b) R$ 1 000,00.

c) R$ 960,00.

d) R$ 940,00.

e) R$ 900,00.

Page 21

=PG=64=

Projeção da população

Projeção da população do Brasil por sexo e idade: 2000-2060

As projeções populacionais [...] incorporam os parâmetros demográficos calculados com base no Censo Demográfico 2010 e as informações mais recentes dos registros de nascimentos e óbitos. Essas projeções têm fundamental importância para o cálculo de indicadores sociodemográficos, bem como alimentam as bases de informações de Ministérios e Secretarias Estaduais de diversas áreas para a implementação de políticas públicas e a posterior avaliação de seus respectivos programas. Além disso, das projeções populacionais derivam as estimativas municipais de população que, em conjunto, constituem o principal parâmetro para a distribuição, conduzida pelo Tribunal de Contas da União – TCU, das quotas partes relativas ao Fundo de Participação de Estados e Municípios.

Como inovações do conjunto de projeções destacam-se: a correção da estrutura etária das populações de partida; as projeções populacionais das Unidades da Federação pelo método das componentes demográficas; e a disponibilidade da projeção da população por grupos etários quinquenais, até 90 anos ou mais de idade. [...] As Projeções de População são elaboradas com base nas informações sobre as componentes da dinâmica demográfica (mortalidade, fecundidade e migração), investigadas nos Censos Demográficos, Pesquisas Domiciliares por Amostra e oriundas dos registros administrativos de nascimentos e óbitos. Cada revisão da Projeção incorpora, à época de sua realização, informações mais recentes sobre esses componentes, e/ou mudanças metodológicas de cálculo da projeção, devidamente explicitados nas respectivas Metodologias. Desta forma, recomenda-se o uso da revisão de Projeção de População mais recente.

Fonte: IBGE. Disponível em: . Acesso em: 10 maio 2016.

64 Capítulo 2

=PG=65=

Page 22

=PG=61=

Reproducao/LibreOffice

Captura de tela do 2 o passo.

Com isso, na célula B7 apareceu o número 19,98749609, que é o desvio padrão.

• 3 o passo: Para construir o gráfico que representa o número de gols dos maiores artilheiros, selecione a tabela construída e clique na opção “Gráfico” (ícone na parte superior); em seguida selecione a opção “4. Elementos do gráfico” e digite no campo “Título”: Maiores artilheiros da seleção brasileira de futebol, como apresentado na imagem abaixo. Clique em “Concluir” e o gráfico estará feito.

Reproducao/LibreOffice

Captura de tela do 3 o passo.

Salve o arquivo no seu computador em um local escolhido.

Estatística 61

=PG=62=

Page 23

Capítulo 2

=PG=67=

7. (Unicamp-SP) Um capital de R$ 12 000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:

a) o capital acumulado após 2 anos; 

b) o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. (Se necessário, use log 10 2 = 0,301 e log 10 3 = 0,477.) 

8. (Ibmec) Chama-se mediana de um conjunto de 50 dados ordenados em ordem crescente o número x dado pela média aritmética entre o 25º e o 26º dados. Observe no gráfico a seguir uma representação para as notas de 50 alunos do primeiro semestre de Ciências Econômicas numa determinada prova.

A mediana das notas dos 50 alunos de Ciências Econômicas nesta prova é igual a:

a) 3.

b) 4.

 d) 6.

Page 24

1. O texto apresentado utiliza uma linguagem culta. Que tipo de texto é esse? 

2. Procure no dicionário as palavras que, porventura, você não conheça.

3. Com base no desenvolvimento da pirâmide etária no Brasil, entre 2000 e 2060, o que se pode esperar com respeito à taxa de natalidade e à expectativa de vida nas próximas décadas? 

4. Considere a seguinte afirmação: “Existem muito mais mulheres do que homens”.

a) Tomando como base a projeção para o ano de 2020, essa proposição é verdadeira? 

b) E se for levada em consideração apenas a faixa etária de 20 a 29 anos, essa proposição é verdadeira? 

c) Na faixa de 20 a 29 anos, qual é a diferença entre mulheres e homens? 

5. Sabe-se que moda é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores observados. Com base na tabela apresentada no texto, qual a faixa etária modal:

a) para o sexo masculino? 

b) para o sexo feminino? 

6. Ainda considerando a projeção para o ano de 2020, quais as frequências absolutas e relativas dos sexos masculino e feminino? (Use uma calculadora para determinar as frequências relativas.)

Page 25

29. a) 3x + y − 3 = 0

b) 9x − 4y + 41 = 0

c) 2x − 3y − 10 = 0 

d) 4x − y − 9 = 0

30. 

31. a) 

b) x − 2y + 16 = 0

c)

d) x + y − 5 = 0

32. 

33. a) y = x ou x − y = 0 

b) y = −x ou x + y = 0

c) y = 0 

d) x = 0

34. y = 4x − 1 

35.

36. y = −2x − 3

37. 

38. : 4x − 5y + 1 = 0; 

: 2x + 3y − 16 = 0

39. k = 1 → 3x − 2y − 4 = 0

40. x − 3y + 7 = 0

41. 

42. 3x − 2y = 0

43. Paralelas.

44. −4 ou 1.

45. a) y = −4x + 6

b) y = 2 2x 17 

c) 

46. 

47. y = 5 

Resolvido passo a passo

5. a)

48. a) 4x − 3y + 18 = 0 b) x + 2y − 14 = 0 c) x = 3

49. y + 3x − 19 = 0

50. N(10, −4)

51. 4x + 5y − 10 = 0

52. 2x + y + 3 = 0 4x 16

53. 

54. 

55. e

56. a) 2

b)

c)

d) 2

b)

 c) 0 (P ∈ r)

d) 4

e) 4

58. p = 4 ou p = 

59. 

60. 2

61. 4

62. k = 16 ou k = −16

63. 84,5

64. e

65. 4

66. 12

67. x + y − 4 = 0

68. 2x + 3y + k = 0; k ∈ 

69. 3 − 2y + k = 0; k ∈ 

72. a) ax + by − (ax 0 + by 0 ) = 0 

b) bx − ay + (ay 0 − bx 0 ) = 0

Exercícios adicionais

1. 90° 

2. 

3. 

4. 

253

=PG=254=

Página 97

Porque se A coincidir com B não há segmento de reta. Portanto, não há ponto médio.

Página 105

• hipotenusa = 

Capítulo 5 • Geometria analítica: a circunferência

Resolvido passo a passo

5. a) Distância percorrida =

1. a) C(5, 4) e r = 1 

b) C(−2, −6) e r = 

c) C(2, 0) e r = 2

d) C(−3, 1) e r = 4 

e) C(0, 4) e r = 1 

f) C(0, 0) e r = 

2. a) (x − 2) 2 + (y − 5) 2 = 9 

b) (x + 1) 2 + (y + 4) 2 = 2

c) x 2 + (y + 2) 2 = 16 

d) (x − 4) 2 + y 2 = 25

3. a) r = 4 e C(2, −3)

b) r = 4 e C(3, 1)

c) r = 2 e C(2, 4)

d) r = 7 e C(−6, 2)

e) r =  e C(−4, 0)

f) r = 

g) r = 2 e C(0, 2)

h) r = 

4. a e d

5. A e B

6. x 2 + (y + 4) 2 = 2

7. C(−1, −1) e r = 2

8. (x − 2) 2 + y 2 = 8

9. C(1, −1) e r = 

10. (x − 3) 2 + (y + 1) 2 = 2

11. k ∈  | k < 2

12. a) (x − 2) 2 + (y − 2) 2 = 4 

b) (x − 2) 2 + (y − 4) 2 = 4

13. b = 7 ou b = −1

14. 2x + 3y − 10 = 0

15. x − y − 1 = 0 e x + y − 5 = 0

16. x 2 + y 2 = 25

17. 

18. Secante.

19. S = 4; A(1, 2) e B(−1, 4)

20. a) Exterior à circunferência.

b) Secante; (2, 2) e (−1, −1)

21. 

22. (6, −1) e (3, 2)

23. −20

24. x + 2y − 8 = 0

25. t 1 : 4y + 3x + 1 + 

26. d

27. (x − 1) 2 + (y − 1) 2 = 32

28. 1 cm

29. A soma dos quadrados é 15.

Exercícios adicionais

1. a) A circunferência λ 2 é interior à λ 1 (Não há ponto comum).

b) Secantes; se cruzam nos pontos (3, 5) e (1, 3).

c) As circunferências são tangentes externas (2, −1).

d) As circunferências são tangentes internas (0, −4).

2. x 2 + y 2 − 6x − 8y − 24 = 0

3. d

4. a

5. M é interno à circunferência.

Outros contextos

2. 37,21π cm 2 . 12,2 cm.

3. x 2 + y 2 = (0,61) 2

5. (225) 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ (229,5) 2 e x 2 + y 2 ≤ (225,5) 2 .

Pensando no Enem

1. d

2. c

3. b

Vestibulares de Norte a Sul

1. d

2. c

3. c

4. c

5. c

6. a

7. d

8. d

9. d

10. a

Para refletir

Página 125 O três pontos devem ser distintos e não colineares.

UNIDADE 3 • Geometria analítica e números complexos

Capítulo 6 • Geometria analítica: secções cônicas

1. a) y 2 = 36x 

b) x 2 = −24y 

c) x 2 = 28y 

d) y 2 = −20x

2. a) F (7, 0); V (0, 0) e d: x = −7 

b) F (0, −1); V (0, 0) e d: y = 1 

c) 

d) F (−4, 0); V (0, 0) e d: x = 4

254

=PG=255=

b) x 2 = −12y 

c)

d) (y + 3) 2 = 12(x + 1)

4. 1

5. a) V (1, 3); F (4, 3); d: x = −2; c = 3

b) 

6. a) (x + 1) 2 = −4 (y − 4) b) (x − 4) 2 = 12 (y − 2)

Resolvido passo a passo

5. a)

7. a)

b) 

c)

d)

8. a) 

b) 

c) 

d) 

9. 

10. 16

11.

12. B 1 = (2, 2); B 2 = (2, 0)

13. a

14. 6

15. 

16. 

17. 

18. Vênus; 0,0024%.

19. 0,31 UA

Matemática e tecnologia

1. a) O ponto D é o foco e a reta AB, a diretriz da parábola.

b) São retas tangentes.

c) A concavidade fica voltada para baixo.

2. a) Alteram o formato da elipse.

b) Alteram o centro (a posição) da elipse.

20. a)

b)

c)

d)

21. 

22. a) 

b) 

c) 

23. 10

24. 

25. 

26. x 2 + y 2 = 20

27. a) e = 3

b) e = 

c) e = 2

28. 

29. 

30. 

31. a) 

b) 

c) ℓ 1 : 3x − 4y − 1 = 0;

ℓ 2 : 3x + 4y − 17 = 0

32. 

33. a)

b) 

34. 

35. 

36. 

37. e

Outros contextos

1. a

2. 6 ⋅ 10 6 km

3. O planeta B.

255

=PG=256=

Página 148

Porque, se o eixo de simetria fosse horizontal, a parábola representaria uma relação em que teriam duas imagens para um mesmo elemento do domínio, o que contradiz a definição de função.

Página 153 B 1 = (0, 2); B 2 = (0, −2)

Página 155 A elipse tenderá a ser uma circunferência.

Capítulo 7 • Números complexos

1. a) x = ±5i

b) x = ±7i

c) x′ = 1 − i e x″ = 1 + i

d)

2. a) 5i

b) 2 − i

c) −7 + i

d) 10 + 10i

e) 2 + 3i

3. a) z = −3 − 2i

b) z =

4. a) i

b) −1

c) 1 

d) −i

e) −i

f) 1

b) 4 096 

c) 8 192 − 8 192i

6. z 1 = 1 − 5i e z 2 = 2 − 14i

7. a) x = 0 ou x = 1 

b) x = ±2 

c) x = 0 

9. a)  = 1 − 5i

b) = −2i

c) = 0 

d) = −4 − 2i

e) = 5 

f) = 3 − 3i

g) = −1 + i

h)

10. a) 25 

b) 49 

11. z = −1 − 2i 1

12. a)

b)

c) –i

13. a)

b) 

c) −1 + 2i 

d) 1 − i

e) −i

14. a)

b)

15. 2 + 3i e 2 − 3i

16. a) z = −4i b) z = 2 − 3i c) z = 1 + 2i

18. z A = 4 + i; z B = 1 − 2i; z C = 2; z D = −4; z E = 3i; z F = −2 + 2i

19. −z 1 = (−3, −2); −z 2 = (2, −1); −z 3 = (0, 2)

22. a) 

b) 

c) 7

d) 

e) 5

f) 3

h) 2

c) 

b) 

d) 

25. a) 

b) 

c) 

d) 

26. a) 

b) 

c) 

d) z = 4(cos 0 + i ⋅ sen 0) 

e) 

f) z = 3(cos π + i ⋅ sen π) 

g) 

27. a) z =

b) z = 5 

c) z = −i

d) z = −4 

e) z = 

Resolvido passo a passo

5. a) Gasta R$ 5 700,00 com o serviço de internet.

28. zw = 18(cos 195° + i ⋅ sen 195°)

w 2 = 36(cos 300° + i ⋅ sen 300°)

= 2(cos 105° + i ⋅ sen 105°) 

29. 

30. 

31. a) −2 − 2i

b) 

32. a) −6 

b)

c) 8i

33. a) w 0 = 2i; w 1 = −2i

b) 

256

=PG=257=

b) 

35. 

36. a)

b) −1

c) −i

Pensando no Enem

1. e

2. c

Vestibulares de Norte a Sul

1. c

2. c

3. 05

4. a

5. d

6. a

7. c

8. e

9. c

10. e

Para refletir 

Página 179 

Quando z for real.

UNIDADE 4 • Polinômios, equações algébricas e equações trigonométricas

Capítulo 8 • Polinômios

1. a) m = 4, o polinômio será do 2 o grau; m ≠ 4, o polinômio será do 3 o grau.

b) m ≠ ±2, o polinômio será do 4 o grau; m = 2, o polinômio será 0; m = −2, o polinômio será 1.

c) m ≠ ±1, o polinômio será do 4 o grau; m = 1, o polinômio será do 3 o grau; m = −1, o polinômio será do 2 o grau.

2. Não existe m.

3. 1

4. k = 3

5. m = 5

6. m = 2 e n = 4

7. a = 0 e b = 0 1

8. 

9. a = 1; b = 3 e c = 2

10. 

11. Sim.

12. a) k = −9 

b) k = 19

13. a) a = 5 e b = 3 

b) a = 10 e b = 6

14. a = 2

15. a) 2x 3 + x 2 − 8x + 8 

b) −x 2 + 2x + 1 

c) −8x 3 + 16x − 20 

d) −2x 3 + 12x 2 − 22x + 12 

e) 4x 2 − 16x + 16

16. a = −3; b = −8 e c = −11

Resolvido passo a passo

5. a) Divisão exata, portanto o resto é zero. b) Possui raiz real, x = 1.

17. a) q(x) = x + 3; r(x) = 0 

b) q(x) = x 2 − 3x + 11; r(x) = −43 

c) q(x) = x 2 − 4x − 5; r(x) = 1

18. S = {−1, 2, 5}

19. m = 1 e n = −2

20. h(x) = x 2 − 3x + 2

21. a) q(x) = 5x − 18; r(x) = 56 

b) q(x) = x 3 − 2x 2 + 7x − 13; r(x) = 21 

c) q(x) = 2x 2 + x + 6; r(x) = 25 

d) q(x) = 2x 2 + 8; r(x) = 37 

e) q(x) = x 2 − x; r(x) = 2

22. a) a = −1 

b) 

23. a) p(x) = x 3 + x 2 − 8x + 5 

b) p(x) = 2x 4 − 7x 3 + 4x 2 − 5x + 7

24. a = −3 e b = 2

25. q(x) = 3x 2 + (−2 − 3i)x + (−3 + 3i); r(x) = 3

26. a) −2 

b) 97

28. b = −1 e c = −18

29. a) k = 8 b) p(3) = 28 c) Não é raiz.

30. p(x) = x 3 + x 2 − 4x + 2

257

=PG=258=

32. (x + 2), (x − 1) e (2x − 1)

33. 43

34. m = −6 e n = 1

Matemática e tecnologia

1. Ao modificar o parâmetro e, o gráfico desloca-se verticalmente.

2. a) S = {−1, 0, 1, 2} 

b) S = {−1, 1} 

c) S = ∅

Capítulo 9 • Equações algébricas

1. c = −6; S = {−3, −1, 2}

2. a) S = {−1, 1, 1 + i, 1 − i } 

b) S = {−2, 3, 6}

3. a) S = {−1, 2, 10, −3}

b) S = {i, 2i, −2i}

4. m = 4; raízes: 2, 1, −1

5. a = −3, b = −10 e c = 24

6. a) x = 0 ou x = ±

b) q(x) = x, r(x) = −2x

7. 3 tem multiplicidade 3, −4 tem multiplicidade 2 e 1 tem multiplicidade 5.

8. 1

9. S = {−1, 1, −3}

10. x′ = 2, x″ = −1

11. x 3 − 11x 2 + 39x − 45 = 0

12. 4

13. a + b = 1

14. a = 1 e b = −12

15. 

16. x 3 = 4; x 3 − 2x 2 − 11x + 12 = 0

17. 3, 5 e 7.

18. S = {1, −2, 4}

19. k = 8

20. −1 (multiplicidade 2) e 2 (raiz simples)

21. 

22. m = −13 e n = −6

23.

24. 0

25. k = −24

Resolvido passo a passo

5. a) R$ 218 400,00

26. a) 1, −1,

b) 1, −1,

c) 1 

d) 1, 2,

27. 1, 3,

28. 

29. −2

30. a) S = {i, −i, −3, 4} 

b) S = {i, −i, 2 + i, 2 − i }

31. a = −12

32. c = 5

33. m = 23; raiz real:

Capítulo 10 • Relações e equações trigonométricas

1. a)

b)

c)

d)

2. 

3. a) y = sec x

b) y = 1

4. A = 

6. a) 

b)

c)

d) 

e)

f)

7. sen(a + b) =

cos(a − b) =

tan(a + b) = 

258

=PG=259=

9. c

Resolvido passo a passo

5. a) O muro tem 8,15 m de altura.

10. 

11. 

12. sec x

13. 

14. Aproximadamente 3,6.

Resolvido passo a passo

5. a) Na 52 a semana do ano, e será de −2 °C. b) Não é possível, pois se trata da 120 a e da 156 a semana, ou seja, não ocorrem em um mesmo ano.

15. a) 

b) 

c) 

d) S = ∅ 

e) S = ∅

f)

16. a) 

b) 

c) 

17. a) 

b) 

c) 

18. a) 

b) 

c) 

d) 

19. S = ∅

20. 

21. 

22. b

Pensando no Enem

1. e

2. a

3. Sim; 

4. a) Não, pois a empresa terá prejuízo.

b) A empresa terá um prejuízo de R$ 2 000,00.

c) 1 000, 2 000 e 4 000 peças.

d) Entre 1 000 e 2 000 peças ou acima de 4 000 peças.

5. d

6. c

7. b

8. d

Vestibulares de Norte a Sul

1. c

2. d

3. a

4. d

5. a

6. d

7. d

8. 7

9. b

10. b

11. e

12. d

13. c

Para refletir 

Página 234 a e b: diferentes e c: iguais. 

Página 235 18°

Caiu no Enem

1. c

2. a

3. b

4. d

5. b

6. c

7. d

8. a

9. e

10. e

11. e

12. e

13. a

14. e

15. d

259

=PG=260=

Reprodução/Editora Record

COLE, K. C. O Universo e a xícara de chá: a Matemática da verdade e da beleza. Rio de Janeiro: Record, 2006. O livro mostra como enxergar a Matemática do mundo em que vivemos. Não as fórmulas e números abstratos da Matemática ensinada na escola, mas a lógica que existe, muitas vezes insuspeita, na maioria das situações de nossa vida.

GARBI, Gilberto C. O romance das equações algébricas. São Paulo: Livraria da Física, 2009.

Obra destinada a despertar nos jovens vocação para uma ciência que ainda hoje, injustificadamente, costuma ser tratada com mistério e encarada com infundado temor.

Reprodução/Editora Livraria da Física

Reproducao/Editora Sextante

DOLABELA, Fernando. O segredo de Luísa: uma ideia, uma paixão e um plano de negócios: como nasce o empreendedor e se cria uma empresa. São Paulo: Sextante, 2008. O livro retrata a trajetória de Luísa, uma jovem mineira entusiasmada com a ideia de abrir uma empresa para vender a deliciosa goiabada que sua tia produz. Durante essa jornada, pode-se aprender sobre marketing, plano de negócios, finanças, administração e organização empresarial, um grande estímulo a futuros empreendedores.

STEIN, James D. Como a Matemática explica o mundo: o poder dos números no cotidiano. Rio de Janeiro: Campus, 2008.

Problemas insolúveis ocorreram com alguma frequência ao longo da História e muitas vezes o resultado não é o fracasso, mas a descoberta de algo quase sempre interessante, e, algumas vezes, com enorme valor prático. As histórias desses “fracassos” e dos surpreendentes avanços que ocorreram por causa deles formam o tema central deste livro.

Reprodução/Editora Campus

Reproducao/Edições BestBolso

SINGH, Simon. O último teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. Rio de Janeiro: Edições BestBolso, 2014. O último teorema de Fermat foi desvendado em 1993 por Andrew Wiles, professor da Universidade de Princeton (Estados Unidos), quase quatro séculos depois de ser enunciado. O livro é a história da busca épica para resolver um dos maiores enigmas matemáticos de todos os tempos. Um drama humano de grandes sonhos, brilho intelectual e extraordinária determinação.

TAKAHASHI, Shin. Estatística. São Paulo: Novatec, 2010.

A proposta deste guia é ajudar o leitor a superar o sentimento de “não ser bom em Matemática”, colocando-o no caminho certo para aprender Estatística. Inclui exercícios (e respostas) para que ele possa praticar o que aprende.

Reprodução/Editora Novatec

260

=PG=261=

STEWART, Ian. Incríveis passatempos Matemáticos. Rio de Janeiro: Zahar, 2010. O almanaque reúne uma natureza diversa de problemas – dos aparentemente simples aos realmente complicados. Também provoca risos apresentando piadas impagáveis (“Que barulho um matemático faz quando está se afogando?” Resposta: “Log, log, log, log, log…”). Uma excelente opção para reunir os amigos e estudar diversos conteúdos, com muitos desafios, jogos, charadas e histórias.

GUEDJ, Denis. O Teorema do Papagaio: um thriller da história da Matemática. Rio de Janeiro: Companhia das Letras, 1999.

Um livro que captura a atenção de quem gosta de tramas policiais. A maior biblioteca de Matemática do mundo é enviada de Manaus para o Sr. Ruche por um amigo que ele não vê há mais de meio século. O menino Max resgata um papagaio sequestrado por bandidos. Por que o amigo do Sr. Ruche quer se desfazer de uma biblioteca tão preciosa? Por que um papagaio despertaria o interesse de mafiosos?

O que ele guarda na memória? Para desvendar esses e outros mistérios Sr. Ruche e Max terão que organizar toda a história da Matemática.

Reprodução/ Ed. Companhia das Letras

Divulgação/Arquivo da editora

Descartes (Cartesius), 1974 (Itália). Direção: Roberto Rosselini, 162 min – Drama. Classificação indicativa: 14 anos. A obra e a vida de René Descartes são apresentadas nesse filme, dirigido por um mestre do cinema italiano. O roteiro é de Renzo Rosselini, irmão do diretor. Trechos importantes das obras de Descartes foram utilizados para compor o filme, como O discurso sobre o método e Meditações metafísicas. O filme retrata o lado humano do filósofo, físico e matemático Francês, considerado o fundador da Filosofia Moderna, e também o contexto do século XVII.

O preço do desafio (Stand and Deliver), 1988 (Estados Unidos). Direção: Ramón Menéndez, 103 min – Drama. Classificação indicativa: 14 anos. Esse filme, baseado em fatos reais, conta a história de um dedicado professor que começa a lecionar em uma escola da periferia de Los Angeles. Mesmo enfrentando várias dificuldades, consegue ensinar cálculo aos alunos e desafiá-los a superar o preconceito a que são submetidos diariamente. Seu objetivo é levar a turma a participar de uma difícil prova nacional de Matemática e ocupar vagas de importantes universidades americanas.

Divulgação/Arquivo da editora

Divulgação/Arquivo da editora

O homem que mudou o jogo (Moneyball), 2011 (Estados Unidos). Direção: Bennet Miller, 113 min – Drama/Esportes. Classificação indicativa: 10 anos. Escrito por quatro roteiristas premiados, o filme, baseado na história verdadeira de Billy Beane, narra como o gerente geral do time de beisebol Oakland Athletics realiza a árdua tarefa de escolher jogadores desacreditados com base apenas em suas médias estatísticas. Billy Beane tem como objetivo fazê-los se destacar num importante campeonato, apesar da situação financeira desfavorável da equipe.

261

=PG=262=

Cesgranrio-RJ: Centro de Seleção de Candidatos ao Ensino Superior do Grande Rio (Rio de Janeiro) 

Enem: Exame Nacional do Ensino Médio 

ESCS-DF: Escola Superior de Ciências da Saúde (Distrito Federal) 

Faap-SP: Fundação Armando Álvares Penteado (São Paulo) 

FASM-SP: Faculdade Santa Marcelina (São Paulo) 

Fatec-SP: Faculdade de Tecnologia (São Paulo) 

FEI-SP:Centro Universitário da Faculdade de Engenharia Industrial (São Paulo) 

FGV-SP: Fundação Getúlio Vargas (São Paulo) 

Fumec-MG: Fundação Mineira de Educação e Cultura (Minas Gerais) 

Fuvest-SP: Fundação Universitária para o Vestibular (São Paulo) 

Ibmec: Faculdades do Instituto Brasileiro de Mercado de Capitais 

IFG-GO: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás 

IFPE: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco 

IFRS: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul 

IMT-SP: Instituto Mauá de Tecnologia (São Paulo) 

ITA-SP: Instituto Tecnológico de Aeronáutica (São Paulo) 

PUC-SP: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo 

Udesc: Universidade do Estado de Santa Catarina

UEG-GO: Universidade Estadual de Goiás 

UEL-PR: Universidade Estadual de Londrina (Paraná) 

Uema: Universidade Estadual do Maranhão 

UEMT: Universidade do Estado de Mato Grosso 

Uepa: Universidade do Estado do Pará 

Uern: Universidade do Estado do Rio Grande do Norte 

Ufac: Universidade Federal do Acre 

Ufam: Universidade Federal do Amazonas 

UFBA: Universidade Federal da Bahia 

UFC-CE: Universidade Federal do Ceará 

UFG-GO: Universidade Federal de Goiás 

UFGD-MS: Universidade Federal da Grande Dourados (Mato Grosso do Sul) 

UFMG: Universidade Federal de Minas Gerais 

UFMS: Universidade Federal de Mato Grosso do Sul 

UFPR: Universidade Federal do Paraná 

UFRGS-RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul 

UFRN: Universidade Federal do Rio Grande do Norte 

UFSM-RS: Universidade Federal de Santa Maria (Rio Grande do Sul) 

UFT-TO: Universidade Federal do Tocantins 

UFU-MG: Universidade Federal de Uberlândia (Minas Gerais) 

Uncisal: Universidade Estadual de Ciências da Saúde de Alagoas 

Unesp-SP: Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (São Paulo) 

Unicamp-SP: Universidade Estadual de Campinas (São Paulo) 

Unicastelo-SP: Universidade Camilo Castelo Branco (São Paulo) 

Unifacs-BA: Universidade Salvador (Bahia) 

Unifap: Universidade Federal do Amapá 

Unifev: Centro Universitário de Votuporanga 

Unifor-CE: Fundação Edson Queiroz Universidade de Fortaleza (Ceará) 

UPE: Universidade de Pernambuco 

UPF-RS: Universidade de Passo Fundo (Rio Grande do Sul) 

UPM-SP: Universidade Presbiteriana Mackenzie (São Paulo) 

Vunesp-SP: Fundação para o Vestibular da Unesp (São Paulo)

262

=PG=263=

• ÁVILA, G. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos (LTC), 2003.

• BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 2010.

• COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro: SBM, 2003. 26 v.

• DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 2002.

• DAVIS, H. T. Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992.

• DAVIS, P. J.; Hersch, R. A experiência matemática. 2. ed. Lisboa: Gradiva, 2012.

• MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.

• MORGADO, A. C. et al. Trigonometria e números complexos. Rio de Janeiro: SBM, 1992. (Coleção do Professor de Matemática).

• POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

• _______. Mathematical Discovery on Understanding, Learning and Teaching Problem Solving. New York: John Wiley & Sons, 2009. 2 v.

• REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1 a 36.

Índice remissivo

A afixo do número complexo 181 altura do cilindro 71 do cone 81 amostra 32 amplitude 35 área da superfície de um cilindro reto 72 do tronco de cone reto 82 argumento principal de z 184

B base do cilindro 72 do cone 82

C capital 21 censo demográfico 41 cilindro 70 equilátero 72 circunferência trigonométrica 237 coeficiente angular 101 linear de uma reta 104 cone 70 equilátero 78 conjugado de um número complexo 179 conjunto dos números complexos 173 solução de uma equação algébrica 218 cossecante 232 cotangente 119

D declividade 101 decomposição de um polinômio 220 desvio padrão 53 determinante 99, 115 diretriz da parábola 143 dispositivo prático de Briot-Ruffini 210 distância entre dois pontos 95 de um ponto e uma reta 112 divisão de números complexos 187 de polinômios 207

E eixo do cilindro 71 real da hipérbole 165 eixos da elipse 151 elipse 142 equação algébrica 218 da elipse 151 da hipérbole 162 da parábola 144 da reta 103 geral da circunferência 121 paramétrica 104 polinomial 218 reduzida da elipse 152 reduzida da hipérbole 162 segmentária 104 esfera 70 excentricidade da elipse 151 da hipérbole 161

F fator de atualização 18 foco da parábola 143 focos da elipse 151 da hipérbole 161

263

=PG=264=

G geratriz do cilindro 71 do cone 77, 82 gráfico de barras 42 de funções polinomiais 214 de segmentos 40 de setores 43 grau de um polinômio 202

H hipérbole 142 histograma 45

I identidade trigonométrica 233 igualdade de polinômios 205 imagem de um número complexo 181 inclinação de uma reta 100 interpretação geométrica do conjugado 182

J juros 13 compostos 22, 26 simples 21, 26

M média aritmética 48 ponderada 48 mediana 50 mediatriz do segmento 109 medida do segmento 112 medidas de tendência central 48 de dispersão 53 método da chave 207 de completar quadrados 122 moda 50 módulo de um número complexo 183 montante 21 multiplicidade da raiz 220

O operações com polinômios 206

P parábola 142, 147 parâmetro 105 perpendicularidade de duas retas 109 plano cartesiano 92 polinômio 203 identicamente nulo 203 pontos colineares 99 população 32 porcentagem 14 posições relativas de duas circunferências 131 de duas retas 107 entre reta e circunferência 126 potenciação de números complexos 188 princípio de Cavalieri 74

R raízes enésimas de números complexos 191 raiz de um polinômio 206 de uma equação algébrica 228 relações de Girard 222 retas coincidentes 108 concorrentes 107 paralelas 107

S secante 126, 232 secção cônica 142, 150, 160 meridiana do cilindro72 meridiana do cone 78 transversal do cilindro 72 transversal do cone 78 sistema cartesiano ortogonal 93 somatório 48

T tabela de frequências 34, 35 tangência 128 taxa de juros 21, 27 teorema de D’Alembert 212 do fator 213 fundamental da álgebra 219

U unidade imaginária 176

V variância 53 variável 33 qualitativa 33 quantitativa 33 vértice da parábola 143

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Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que o zero de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0.) O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:

• Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter?

• Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter?

• Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial? Ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema foi completamente resolvido. [...]

Disponível em: . Acesso em: 24 out. 2014 (adaptado).

Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6, qual o valor da soma dos outros zeros?

a) −6 

b) −5 

c) 0 

e) 6

• Divisor: x 2 + x;

• Resto: 1 − 7x; e,

• Quociente: 8x 2 − 8x + 12. Logo, o dividendo dessa operação é 

 a) 8x 4 + 4x 2 + 5x + 1.

b) 6x 4 + 4x 2 + 4x + 3.

c) 8x 4 + 4x 2 + 4x + 1.

d) 6x 4 + 8x 2 + 5x + 1.