Matrizes e Determinantes são conceitos fundamentais na resolução de problemas envolvendo equações matriciais. Show O determinante de uma matriz quadrada M é a associação de um número real único, chamado de determinante de M e podemos abreviar por det (M), que pode ser utilizado na resolução de sistemas lineares. Notação para determinantes de matrizesSeja a matriz M a seguir: Definimos determinantes de M como det (M) ou Determinante de matriz de ordem 1O determinante de uma matriz de ordem 1×1 é o próprio elemento da matriz. Exemplo: Determinante de matriz de ordem 2O determinante das matrizes quadradas — aquelas que possuem os mesmo números de linhas e colunas — de ordem 2×2 é calculado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal e secundária. Assim: Exemplo: Seja a matriz M: Então: Determinantes de matriz de ordem 3Para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3×3 temos que utilizar a regra de Sarrus. Veja como: Seja A uma matriz quadrada de ordem 3×3: A regra de Sarrus funciona da seguinte maneira: Copiamos a 1ª e 2ª coluna da matriz A para o lado direito da matriz, veja: Depois fazemos o produto entre os termos da matriz com as colunas que copiamos para o lado direito, seguindo as setas abaixo: para as setas azuis, multiplicamos os 3 elementos diagonalmente e associamos os sinais de mais (+); para as setas vermelhas, multiplicamos os 3 elementos de cada seta e associamos o sinal de menos (-). Veja: Então: det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33 Vamos ver um exemplo prático. Exemplo: Considere a matriz A abaixo: Assim, seguindo a regra de Sarrus, copiamos a 1ª e 2ª coluna de A para o lado direito: Seguindo o sentido das setas e obedecendo os sinais, temos que: det A = 1 . 5 . 3 + 3 . 1 . 2 + 0 . 2 . 1 – 0 . 5 . 2 – 1 . 1 . 1 – 3 . 2 . 3 = 15 + 6 + 0 – 0 – 1 – 18 = 21 – 19 = 2 Portanto, det(A) = 2 Determinante para matrizes de ordem 4 ou superiorPara calcularmos o determinante de matrizes de ordem igual ou superior a 4×4, devemos utilizar o teorema de Laplace para o cálculo do determinante dessas matrizes. É importante lembrar que o teorema de Laplace pode ser aplicado em matriz de ordem nxn, com n > 1, porém, matriz de ordem 2×2 e 3×3, as regras anteriores ensinadas são mais eficientes, isto é, dão menos trabalho para calcular. Antes de mostrarmos o teorema de Laplace precisamos entender alguns conceitos que precisamos saber para entender o teorema. O menor complementar de um elemento aij, em uma matriz A, é obtido eliminando a linha i e coluna j de aij. Dessa forma, teremos uma matriz de ordem n – 1, e o determinante Dij dessa matriz é o menor complementar do elemento aij. Exemplo: Seja A, a matriz abaixo: Calcule os menores complementares D11 e D21. Resolução: Para D11, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a11: Temos a matriz: Então D11 é: det(A) = 5 . 3 – 1 . 1 = 15 – 1 = 14 Para encontrarmos D21, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a21: Assim, temos a matriz: Então D21 é: det(A) = 3 . 3 – 0 . 1 = 9 – 0 = 9 Chamamos de cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, para matrizes de ordem n, isto é, matrizes quadradas, um número Aij, de forma que: Aij = (-1)i + j . Dij Exemplo: Seja a matriz A, a seguir, calcule A22 e A13: Resolução: Cofator para A13: Vamos aplicar a fórmula: Aij = (-1)i + j . Dij Cofator para A22: Aplicando a fórmula: Aij = (-1)i + j . Dij Bom, agora que já sabemos calcular o menor complementar e o cofator, podemos estudar o teorema de Laplace. Teorema de LaplaceCom o teorema de Laplace podemos encontrar o determinante de uma matriz quadrada A da seguinte forma:
Exemplo: Seja matriz quadrada A a seguir: Pela matriz A, devemos escolher a primeira linha pois contém mais 0 (zeros) e isso nos ajudará a fazer um número menor de cálculos. Então, devemos multiplicar os elementos da linha escolhida pelos seus cofatores: Assim: det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)1 + 1 . D11 + 0 . (–1)1 + 2 . D12 + 2 . (–1)1 + 3 . D13 + 0 . (–1)1 + 4 . D14 = D11 + 2D13 Como escolhemos uma linha com maior quantidade de zeros, isso anulou, durante a multiplicação, alguns cálculos. Após isso, vamos calcular os cofatores para os elementos D11 e D13: Para D11, removendo a linha e coluna do elemento: Temos a seguinte matriz: Para D13, removendo a linha e coluna do elemento: Temos a seguinte matriz: O determinante para as matrizes D11 e D13 foi calculado utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3. det(D11) = (1 . 0 . 2) + (1 . 1 . 1) + (1 . 3 . 2) – (1 . 0 . 1) – (1 . 1 . 2) – (1 . 3 . 2) = 0 + 1 + 6 – 0 – 2 – 6 = 7 – 8 = -1 det(D13) = (2 . 3 . 2) + (1 . 1 . (-1)) + (1 . 2 . 1) – (1 . 3 . (-1)) – (2 . 1 . 1) – (1 . 2 . 2) = 12 – 1 + 2 – (-3) – 2 – 4 = 17 – 7 = 10 Por fim, D11 + 2 . D13 = -1 + 2 . 10 = -1 + 20 = 19 Portanto, det(A) = 19 Propriedades das matrizes e dos determinantes
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