Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu: Mendeskripsikan unsur-unsur yang terdapat dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram. Menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. • • • • • • • • • • Ukuran Pemusatan • • • Mendeskripsikan pengertian mean, median, dan modus. Menghitung nilai mean, median, dan modus data tunggal. Menghitung nilai mean, median, dan modus data berkelompok. Ukuran Letak dan Ukuran Penyebaran • • • Mendeskripsikan pengertian kuartil, desil, dan persentil. Menghitung nilai kuartil, desil, dan persentil data tunggal. Menghitung nilai kuartil, desil, dan persentil data berkelompok. Bersikap cermat dalam menganalisis setiap permasalahan. Mampu membaca data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. Mampu menjelaskan unsur-unsur yang terdapat dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram. Mampu menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram. Mampu menjelaskan pengertian mean, median, dan modus. Mampu menghitung nilai mean, median, dan modus data tunggal. Mampu menghitung nilai mean, median, dan modus data berkelompok. Mampu menjelaskan pengertian kuartil, desil, dan persentil. Mampu menghitung nilai kuartil, desil, dan persentil data tunggal. Mampu menghitung nilai kuartil, desil, dan persentil data berkelompok. Matematika Kelas XI 1 A, Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Tepi atas kelas interval = 12,5 + 8 = 20,5 Batas atas kelas interval = 20,5 – 0,5 = 20 Jadi, batas atas kelas interval tersebut 20. 2. Jawaban: b Misalkan batas bawah kelas interval = Bb, batas atas kelas interval = Ba, dan panjang kelas = p. 1 Titik tengah kelas interval = 2 ( Bb + Ba) 1 ⇔ 44,5 = 2 ( Bb + Bb + p – 1) ⇔ 89 = 2Bb + 10 – 1 ⇔ 2Bb = 80 ⇔ Bb = 40 Jadi, batas bawah kelas interval tersebut 40. 3. Jawaban: d Titik tengah kelas interval IV 1 = 2 (61 + 67) 1 = 2 × 128 = 64 4. Jawaban: b Kelas interval II adalah 47–53. Kelas interval III adalah 54–60. Tepi atas kelas interval 47–53 adalah 53 + 0,5 = 53,5. Tepi bawah kelas interval 54–60 adalah 54 – 0,5 = 53,5. Dengan demikian, tepi kelas 53,5 sebagai tepi atas kelas interval II dan sekaligus sebagai tepi bawah kelas interval III. 5. Jawaban: a Jumlah siswa = 9 + 8 + 6 + 5 + 4 = 32 Berat badan siswa lebih dari 60 kg berada di kelas interval 61–67 dan 68–74. Frekuensi kelas interval 61–67 adalah 5. Frekuensi kelas interval 68–74 adalah 4. Banyak siswa yang berat badannya lebih dari 60 = 5 + 4 = 9. Persentase banyak siswa yang memiliki berat 9 badan lebih dari 60 kg = 32 × 100% = 28,125%. 6. Jawaban: c Kelas interval yang memiliki batang tertinggi menunjukkan nilai yang paling banyak diperoleh siswa. 2 Statistika Batang tertinggi berada di kelas interval yang memiliki tepi bawah 60,5 dan tepi atas 70,5, maka: batas bawah kelas interval = 60,5 + 0,5 = 61 batas atas kelas interval = 70,5 – 0,5 = 70 Dengan demikian, diperoleh kelas interval 61–70. Jadi, nilai yang paling banyak diperoleh siswa adalah 61–70. 7. Jawaban: e Perbandingan banyak benda yang berusia antara 8–10 tahun dan 14–16 tahun adalah 1:5. Misalkan banyak benda yang berusia 8–10 tahun = x, maka banyak benda yang berusia 14–16 tahun = 5x Banyak benda seluruhnya = 10 + 20 + x + 15 + 5x + 5x ⇔ 100 = 45 + 11x ⇔ 11x = 55 ⇔ x =5 Banyak benda yang berusia 14–16 tahun = 5x = 5 × 5 = 25 Banyak benda yang berusia 17–19 tahun = banyak benda yang berusia 14–16 tahun = 25 Jadi, benda yang berusia antara 17–19 tahun sebanyak 25 buah. 8. Jawaban: d Nilai data yang kurang dari 15 berada di kelas interval 7–10 dan 11–14. Frekuensi kelas interval 7–10 = p + 4 Frekuensi kelas interval 11–14 = p + 6 Nilai data yang kurang dari 15 sebanyak 34, maka: (p + 4) + (p + 6) = 34 ⇔ 2p + 10 = 34 ⇔ 2p = 24 ⇔ p = 12 Nilai data yang lebih dari 18 berada di kelas interval 19–22 dan 23–26. Frekuensi kelas interval 19–22 = 2p – 4 Frekuensi kelas interval 23–26 = p – 3 Nilai data yang lebih dari 18 = (2p – 4) + (p – 3) = 3p – 7 = 3 × 12 – 7 = 36 – 7 = 29 Jadi, nilai data yang lebih dari 18 sebanyak 29. 9. Jawaban: e Poligon frekuensi merupakan diagram yang menyajikan titik-titik tengah nilai data. 1 Titik tengah kelas interval 152–157 = 2 (152 + 157) = 154,5 Titik tengah 154,5 mempunyai frekuensi 6. Jadi, banyak siswa yang mempunyai tinggi badan 152–157 cm ada 6 anak. 10. Jawaban: e Titik tengah kelas interval yang mempunyai frekuensi 9 adalah 160,5. Titik tengah 160,5 berada pada kelas interval keempat. Titik tengah kelas 154,5 dan 160,5 saling berurutan, maka panjang kelas: p = 160,5 – 154,5 = 6. Letak tepi bawah, titik tengah, dan tepi atas kelas interval keempat dapat digambarkan pada diagram berikut. p=6 Tb4 = 157,5 Ta4 = 163,5 x4 = 160,5 3 3 Dari diagram di atas diperoleh tepi bawah Tb4 = 157,5 dan tepi atas Ta4 = 163,5, maka: batas bawah = Tb4 + 0,5 = 157,5 + 0,5 = 158 batas atas = Ta4 – 0,5 = 163,5 – 0,5 = 163. Dengan demikian, diperoleh kelas interval keempat yaitu 157–163. Jadi, sebanyak 9 siswa mempunyai tinggi badan 158–163 cm. B. Uraian 1. a. b. Bambu yang panjangnya tidak kurang dari 6,7 meter berada di kelas interval 6,7–8,0 dan 8,1–9,4. Frekuensi kelas interval 6,7–8,0 = 15 Frekuensi kelas interval 8,1–9,4 = 20 Banyak bambu yang panjangnya tidak kurang dari 6,7 meter = 15 + 20 = 35 Jadi, banyak bambu yang dapat digunakan Pak Ahmad untuk membuat kepang 35 lonjor. Bambu yang panjangnya tidak lebih dari 5,2 meter berada di kelas interval 2,5–3,8 dan 3,9–5,2. Frekuensi kelas interval 2,5–3,8 = 12 Frekuensi kelas interval 3,9–5,2 = 16 Banyak bambu yang panjangnya tidak lebih dari 5,2 meter = 12 + 26 = 28 Jadi, banyak bambu yang dapat digunakan Pak Ahmad untuk membuat pagar 28 lonjor. 2. Dari histogram diperoleh batas bawah, batas atas, dan kelas interval sebagai berikut. Batas Bawah 109,5 + 0,5 = 110 116,5 + 0,5 = 117 123,5 + 0,5 = 124 130,5 + 0,5 = 131 137,5 + 0,5 = 138 144,5 + 0,5 = 145 151,5 + 0,5 = 152 Batas Atas 116,5 123,5 130,5 137,5 144,5 151,5 158,5 – – – – – – – 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 = = = = = = = 116 123 130 137 144 151 158 Kelas Interval 110–116 117–123 124–130 131–137 138–144 145–151 152–158 Dari kelas interval pada tabel di atas diperoleh tabel distribusi frekuensi relatif sebagai berikut. Tinggi Bibit Cabai (mm) Frekuensi Relatif 110–116 117–123 124–130 131–137 138–144 145–151 152–158 6,7% 10% 16,7% 20% 25% 13,3% 8,3% 3. Data setelah diurutkan sebagai berikut. 41 41 42 42 43 43 44 45 46 46 47 47 48 49 50 51 52 53 54 56 56 57 58 59 60 61 62 63 66 67 Banyak data = n = 30 Nilai data terkecil = 41 Nilai data terbesar = 67 Jangkauan = nilai data terbesar – nilai data terkecil = 67 – 41 = 26 Banyak kelas = k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 30 = 1 + 3,3 × 1,477 = 1 + 4,8741 = 5,8741 ≈6 Panjang kelas: jangkauan p = banyak kelas 26 = 6 = 4,33 ≈5 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval pertama. Bb1 = nilai data terkecil = 41 Ba1 = Bb1 + p –1 = 41 + 5 – 1 = 45 Diperoleh kelas interval pertama : 41–45 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval kedua. Bb2 = Ba1 + 1 = 45 + 1 = 46 Ba2 = Bb2 + p – 1 = 46 + 5 – 1 =50 Diperoleh kelas interval kedua : 46–50 Dengan cara yang sama diperoleh: Kelas interval ketiga : 51–55 Kelas interval keempat : 56–60 Kelas interval kelima : 61–65 Kelas interval keenam : 66–70 Matematika Kelas XI 3 Tabel distribusi frekuensi skor ujian penerimaan calon karyawan PT Sido Makmur sebagai berikut. Skor Frekuensi 41–45 46–50 51–55 56–60 61–65 66–70 8 7 4 6 3 2 4. Jumlah apel = 22, maka: n + (n + 2) + 3 + 2 + (n + 1) + 5 = 22 ⇔ 3n + 13 = 22 ⇔ 3n = 9 ⇔ n=3 Tabel distribusi frekuensi berat apel secara lengkap sebagai berikut. Berat Apel (gram) Frekuensi 200–204 205–209 210–214 215–219 220–224 225–229 3 5 3 2 4 5 Frekuensi 6 5 4 2 225–229 220–224 215–219 210–214 205–209 200–204 1 1. Jawaban: b Modus pada diagram batang adalah nilai data yang mempunyai batang paling tinggi. Nilai 6 mempunyai batang paling tinggi, maka modus data = 6. 4 3 4,1 5,2 6,3 7,4 8,5 9,6 fi fk 5 6 7 8 9 10 7 8 3 5 4 3 7 15 18 23 27 30 (Tbi = xi – 1 2 p) 3 – 0,55 = 2,45 4,1 – 0,55 = 3,55 5,2 – 0,55 = 4,65 6,3 – 0,55 = 5,75 7,4 – 0,55 = 6,85 8,5 – 0,55 = 7,95 9,6 – 0,55 = 9,05 1 2 (Tai = xi + p) 3 + 0,55 = 3,55 4,1 + 0,55 = 4,65 5,2 + 0,55 = 5,75 6,3 + 0,55 = 6,85 7,4 + 0,55 = 7,95 8,5 + 0,55 = 9,05 9,6 + 0,55 = 10,15 Batas Bawah (Tbi + 0,05) Batas Atas (Tai – 0,05) Kelas interval 2,45 + 0,05 = 2,5 3,55 + 0,05 = 3,6 4,65 + 0,05 = 4,7 5,75 + 0,05 = 5,8 6,85 + 0,05 = 6,9 7,95 + 0,05 = 8,0 9,05 + 0,05 = 9,1 3,55 – 0,05 = 3,5 4,65 – 0,05 = 4,6 5,75 – 0,05 = 5,7 6,85 – 0,05 = 6,8 7,95 – 0,05 = 7,9 9,05 – 0,05 = 9,0 10,15 – 0,05 = 10,1 2,5–3,5 3,6–4,6 4,7–5,7 5,8–6,8 6,9–7,9 8,0–9,0 9,1–10,1 Nilai Frekuensi 2,5–3,5 3,6–4,6 4,7–5,7 5,8–6,8 6,9–7,9 8,0–9,0 9,1–10,1 8 7 6 6 5 4 3 Banyak data = 30. Oleh karena banyak data genap maka: 1 30 30 Median = 2 (nilai data ke- 2 + nilai data ke-( 2 + 1)) 1 = 2 (nilai data ke-15 + nilai data ke-16) 1 Usia Tahun Statistika 1 2 3 4 5 6 7 Tepi Atas Batas Bawah Berat Apel (gram) Pilihan Ganda 2. Jawaban: c Titik Tengah (x i) Dari batas bawah dan batas atas setiap kelas interval pada tabel di atas diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut. 3 A. Kelas interval ke-i Dari tepi bawah dan tepi atas setiap kelas interval pada tabel di atas diperoleh batas bawah dan batas atas sebagai berikut. Histogram berat apel sebagai berikut. 0 5. Titik tengah kelas interval ke-1 = 3 Titik tengah kelas interval ke-2 = 4,1 Panjang kelas = p = 4,1 – 3 = 1,1 Tepi bawah dan tepi atas setiap kelas interval sebagai berikut. = 2 (6 + 7) = 6,5 tahun Jadi, median usia anak 6,5 tahun. 3. Jawaban: c Rata-rata usia 6. Jawaban: d Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. ∑ fixi ∑ fi = 7 ⋅ 5 + 8 ⋅ 6 + 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 + 3 ⋅ 10 30 35 + 48 + 21+ 40 + 36 + 30 30 210 = 7 tahun 30 = = = Jadi, rata-rata usia anak yang belajar melukis di sanggar tersebut 7 tahun. (700 + n + 950 + n + 750 + 900) ⋅ 100 6 3.300 + 2n 6 ⇔ = 75.000 = 750 ⇔ 3.300 + 2n = 4.500 ⇔ 2n = 1.200 ⇔ n = 600 Hasil panen teh tahun 2007 = n = 60.000 ton. Hasil panen teh tahun 2008 = 95.000 ton. Persentase kenaikan hasil panen teh tahun 2007–2008 = 95.000 − 60.000 60.000 × 100% fi fk 41–50 51–60 61–70 71–80 81–90 4 5 3 2 6 4 9 12 14 20 1 2 = nilai data ke-10 Median adalah nilai data ke-10 Nilai fi fk 10–19 20–29 2 8 2 10 ← 30–39 12 22 ← fk M 40–49 50–59 7 3 29 32 fk 32 + 1 2 Me e Me = nilai data ke- = nilai data ke-16,5 Median adalah nilai data ke-16,5 di kelas interval 30–39. L = 30 – 0,5 = 29,5 fk = 10 Me fM = 12 e p = 39 – 30 + 1 = 10 ·p 32 16 − 10 12 · 10 − 10 = 29,5 + 2 12 · 10 = 29,5 + 1 2 di kelas interval 61–70. L = 61 – 0,5 = 60,5 fkM = 9 e fM = 3 e p = 70 – 61 + 1 = 10 Median = L + 1 n − fk Me 2 fMe ·p 1 ⋅ 20 − 9 3 5. Jawaban: d Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. 1 ⋅ n − fk Me 2 fMe 1 2 = 60,5 + 2 35.000 Me Median = nilai data ke- (20 + 1) = 60.000 × 100% ≈ 58,3% Me = L + fk ← ← Kelas Me Banyak data = n = 20 4. Jawaban: d Rata-rata hasil panen teh = 75.000 ⇔ Nilai = 60,5 + 10 3 · 10 ≈ 60,5 + 3,33 = 63,83 7. Jawaban: b Kelas interval yang mempunyai frekuensi paling banyak adalah kelas interval 25–29, berarti kelas modus di kelas interval 25–29. Lo = 25 – 0,5 = 24,5 d1 = 11 – 7 = 4 d2 = 11 – 10 = 1 p = 29 – 25 + 1 = 5 d Modus = Mo = L + d +1d · p 1 2 4 = 24,5 + 4 + 1 · 5 = 24,5 + 4 = 28,5 Jadi, modus dari data tersebut 28,5. 8. Jawaban: d Batang tertinggi memiliki frekuensi 12, maka frekuensi kelas modus = 12. Frekuensi 12 dimiliki kelas interval yang mempunyai tepi bawah 13,5 dan tepi atas 16,5. Frekuensi kelas interval sebelum kelas modus = 3. Matematika Kelas XI 5 Frekuensi kelas interval setelah kelas modus = 6. Dengan demikian diperoleh: L = 13,5 p = 16,5 – 13,5 = 3 d1 = 12 – 3 = 9 d2 = 12 – 6 = 6 Mo = L + d1 d1 + d2 ·p 9 9+6 = 13,5 + 9 = 13,5 + 5 = 13,5 + 1,8 = 15,3 Jadi, modus panjang ikan lele 15,3 cm. 9. Jawaban: d Rataan sementara ( xs ) = 37. 31 34 37 40 43 46 12 15 18 8 6 11 Jumlah 70 Uraian 1. Misalkan banyak siswa yang memerlukan waktu 5 menit = n, maka banyak siswa yang memerlukan waktu 20 menit = n. Rata-rata waktu = 11,9 ⇔ 5n + 5 ⋅ 8 + 12 ⋅ 10 + 10 ⋅ 12 + 11⋅ 15 + 20n n + 5 + 12 + 10 + 11+ n = 11,9 ⇔ 25n + 40 + 120 + 120 + 165 2n + 38 = 11,9 ⇔ 25n + 445 = 11,9(2n + 38) ⇔ 25n + 445 = 23,8n + 452,2 ⇔ 1,2 n = 7,2 ⇔ n=6 Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. ·3 Titik Tengah Frekuensi (x i) (f i ) B. Simpangan di = xi – x s fi di –6 –3 0 3 6 9 –72 –45 0 24 36 99 42 Waktu (Menit) fi fk 5 8 10 6 5 12 6 11 23 12 10 33 15 20 11 6 44 50 ← Letak median Jumlah siswa = 50 1 50 50 Median = 2 (nilai data ke- 2 + nilai data ke-( 2 + 1)) 1 = 2 (nilai data ke-25 + nilai data ke-26) 6 ∑ fi di i=1 6 x = xs + 1 = 2 (12 + 12) = 12 menit Jadi, median waktu yang diperlukan siswa dari rumah ke sekolah 12 menit. ∑ fi i=1 = 37 + 42 70 = 37 + 0,6 = 37,6 Jadi, rata-rata volume benda 37,6. 10. Jawaban: e Titik Tengah (xi) fi fi xi 1 2 (19,5 + 24,5) = 22 6 132 1 2 (24,5 + 29,5) = 27 8 216 1 2 (29,5 + 34,5) = 32 9 288 1 2 (34,5 + 39,5) = 37 18 666 1 2 (39,5 + 44,5) = 42 13 546 1 2 (44,5 + 49,5) = 47 6 6 ∑ fi = 60 i=1 x = = ∑ fi i=1 6 Statistika 2.130 60 ⇔ ⇔ 282 ⇔ i=1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∑ fx i i = 2.130 6 ∑ fi x i = 35,5 tahun d Mo = L + 1 · p d1 + d2 6 Rata-rata usia karyawan bagian produksi: i=1 6 2. Kelas modus adalah 82–98. L = 82 – 0,5 = 81,5 d1 = 22 – (3n + 1) = 21 – 3n d2 = 22 – (2n + 1) = 21 – 2n p = 98 – 82 + 1 = 17 21− 3n 85,75 = 81,5 + · 17 21− 3n + 21− 2n 21− 3n 4,25 = 42 − 5n · 17 21− 3n 0,25 = 42 − 5n 0,25(42 – 5n) = 21 – 3n 10,5 – 1,25n = 21 – 3n 1,75n = 10,5 n=6 Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Tebal Buku (Halaman) fi fk 48–64 65–81 20 19 20 39 ← 82–98 22 61 ← Kelas Me 99–115 116–132 133–149 13 15 11 74 89 100 fk Tepi bawah dan tepi atas setiap kelas interval sebagai berikut. Me Median = nilai data 1 n − fk Me fMe = 81,5 + + 1) 1 ⋅ 100 − 39 2 22 4 – 1,5 = 2,5 7 – 1,5 = 5,5 10 – 1,5 = 8,5 13 – 1,5 = 11,5 16 – 1,5 = 13,5 Berat Balita (kg) fi 1 2 p) 4 + 1,5 = 5,5 7 + 1,5 = 8,5 10 + 1,5 = 11,5 13 + 1,5 = 13,5 16 + 1,5 = 17,5 3–5 6–8 9–11 12–14 15–17 2 7 12 6 3 fk f kM 2 e ← 9 21 ← Kelas Me 27 30 = nilai data ke-15 · 17 1 Me fM e = 12 Me = L + n − fkM e f Me 1 2 = 29,5 + 1 2 ·p ⋅ 30 − 9 12 ·3 6 = 8,5 + 4 = 8,5 + 1,5 = 10 Jadi, median berat badan balita 10 kg. 5. Frekuensi 21 · 10 20 17 16 15 ≈ 80,5 + 6,67 = 87,17 Jadi, modus data 87,17. 4. Titik tengah kelas interval ke-1 = 4 Titik tengah kelas interval ke-2 = 7 Panjang kelas = p = 7 – 4 = 3 1 2 Median adalah nilai data ke-15 di kelas interval 2 9–11. L = 9 – 0,5 = 8,5 p = 11 – 9 + 1 = 3 fk =9 8 = 80,5 + · 10 8+4 = 80,5 + (Tai = xi + 1 2 Mo = L + 1 · p d1 + d2 2 3 p) Median = nilai data ke- (30 + 1) 11 d Tepi Atas Jumlah balita = n = 30 ·p = 81,5 + 22 · 17 = 81,5 + 8,5 = 90 Jadi, median tebal buku 90. 3. Kelas modus pada histogram adalah kelas interval yang mempunyai batang tertinggi. Kelas interval dengan tepi bawah 80,5 dan tepi atas 90,5 mempunyai batang tertinggi, maka kelas modus adalah 81–90. L = 80,5 d1 = 10 – 2 = 8 d2 = 10 – 6 = 4 p = 90,5 – 80,5 = 10 1 2 Dari tepi bawah dan tepi atas setiap kelas interval pada tabel di atas diperoleh tabel distribusi frekuensi kumulatif berikut. = nilai data ke-50,5 Median adalan nilai data ke-50,5 di kelas interval 82–98. L = 81,5 fMe = 22 fkM = 20 + 19 = 39 e Me = L + 2 (Tbi = xi – 4 7 10 13 16 Banyak data = 100 1 ke- 2 (100 Tepi Bawah Titik Tengah (x i) 11 9, 5 14 ,5 19 ,5 24 ,5 29 ,5 34 ,5 39 ,5 Diameter pohon (cm) Matematika Kelas XI 7 Rata-rata diameter pohon: 6 x = ∑ fi x i i=1 6 ∑ fi 2.390 = 100 = 23,9 cm i=1 Jadi, rata-rata diameter pohon di hutan kota tersebut 23,9 cm. A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Data yang telah diurutkan sebagai berikut. 60 65 66 68 72 78 80 83 86 88 90 Jumlah data = n = 11 Q1 = nilai data = nilai data n+1 ke- 4 11 + 1 ke- 4 2. Jawaban: e Ukuran Sepatu fi fk 35 36 37 38 39 40 41 3 7 10 12 16 19 7 3 10 20 32 48 67 74 Jumlah data = n = 74 9 (74 10 + 1) = nilai data ke-67,5 = x67 + 0,5(x68 – x67) = 40 + 0,5 (41 – 40) = 40 + 0,5 = 40,5 Jadi, desil ke-9 data tersebut 40,5. 3. Jawaban: b Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Nilai 31–40 41–50 51–60 61–70 71–80 fi fk 5 9 15 10 1 5 14 29 39 40 Banyak data = n = 40 8 Statistika = nilai data ke-30 Kuartil atas adalah nilai data ke-30 3 4 3 4 di kelas interval 61–70. L3 = 61 – 0,5 = 60,5 fQ = 10 = nilai data ke-3 Nilai data ke-3 = 66. Jadi, kuartil bawah data tersebut 66. D9 = nilai data ke- 3 4 Kuartil atas (Q3) = nilai data ke- (40 + 1) 3 fk = 29 Q3 p = 70 – 61 + 1 = 10 Kuartil atas: Q3 = L3 + 3n−f kQ 3 4 f Q3 Q3 ← ← Kelas Q3 ·p 3 ⋅ 40 − 29 · 10 = 60,5 + 4 10 = 60,5 + 1 = 61,5 4. Jawaban: d Nilai fi fk 80–83 84–87 88–91 92–95 96–99 100–103 104–107 5 6 4 8 10 4 10 5 11 15 23 33 37 47 ← Kelas Q1 ← Kelas P45 ← Kelas Q3 Banyak data = n = 47 Q1 = nilai data ke- fk 47 + 1 4 = nilai data ke-12 Q1 adalah nilai data ke-12 terletak di kelas interval 88–91. L1 = 88 – 0,5 = 87,5 fkQ = 11 1 fQ1 = 4 p = 91 – 88 + 1 = 4 1n − f kQ1 4 fQ 1 Q1 = L1 + 6. Jawaban: a ·p = 87,5 + 47 − 11 4 4 = 87,5 + 11,75 − 11 4 = 99,5 + 3 14 30 36 37 39 6 = nilai data ke- 10 × 40 3(47 + 1) 4 = nilai data ke-24 Desil ke-6 adalah nilai data ke-24 terletak di kelas interval 17–24. L6 = 17 – 0,5 = 16,5 fkD = 14 6 fD6 = 16 p = 24 – 17 + 1 = 8 ·p 141 − 33 4 4 D6 = L6 + ·4 6 = 16,5 + 10 ·4 = 99,5 + 2,25 = 101,75 Jangkauan antarkuartil: H = Q3 – Q1 = 101,75 – 88,25 = 13,5 Jadi, jangkauan antarkuartil data tersebut 13,5. 5. Jawaban: e (47 + 1) = nilai data ke-21,6 P45 adalah nilai data ke-21,6 terletak di kelas interval 92–95. L35 = 92 – 0,5 = 91,5 fkP = 15 ·p ⋅ 39 − 14 16 ·8 9,4 = 16,5 + 16 · 8 = 16,5 + 4,7 = 21,2 Jadi, desil ke-6 data tersebut 21,2. 7. Jawaban: e 8 ∑ x= 8 45 ke- 100 6 ⋅n − f kD 6 10 fD6 35,25 − 33 4 P45 = nilai data 3 11 16 6 1 2 6 3 = 99,5 + 1–8 9–16 17–24 25–32 33–40 41–48 D6 = nilai data ke- 10 (39 + 1) fQ3 = 4 3n− f kQ3 4 fQ 3 fk ·4 = nilai data ke-36 Nilai data ke-36 terletak di kelas interval 100–103. L3 = 100 – 0,5 = 99,5 fkQ = 33 Q3 = L3 + fi ·4 = 87,5 + 0,75 = 88,25 Q3 = nilai data ke- Banyak Pengunjung ∑ i=1 xi n = 9 + 10 + 11 + 8 + 7 + 6 + 5 + 8 8 64 = 8 =8 (xi − x) 2 = (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (11 – 8)2 + (8 – 8)2 i=1 + (7 – 8)2 + (6 – 8)2 + (5 – 8)2 + (8 – 8)2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 0 2 + (–1) 2 + (–2) 2 + (–3) 2 + 0 2 =1+4+9+0+1+4+9+0 = 28 Simpangan baku: 45 fP45 = 8 p 8 =4 P45 = L35 + = 91,5 + 2 ∑ (xi − x) S = i=1 n 45 ⋅ n − f kP 100 45 f P45 ·p = 45 ⋅ 47 − 15 100 8 ·4 = = 91,5 + 3,075 = 94,575 Jadi, persentil ke-45 data tersebut 94,575. = 28 8 14 4 1 2 14 Matematika Kelas XI 9 8. Jawaban: c Simpangan kuartil: fi xi 1 fk 8 8 8 13 6 14 18 23 5 4 19 23 28 9 32 33 8 40 1 ← Kelas Q1 ← Kelas Q3 = 2 (17,22) = 8,61 9. Jawaban: a Banyak data = n = 40 Q1 = nilai data 1 ke- 4 (40 + 1) = nilai data ke-10,25 Q1 adalah nilai data ke-10,25 terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 13. L1 = 1 (8 2 = 10,5 + 1 4 fi fixi 8 13 18 23 28 33 8 6 5 4 9 8 64 78 90 92 252 264 40 840 8 i=1 6 fkQ = 8 1 fQ1 = 6 p = 13 – 8 = 5 Q1 = L1 + xi ∑ + 13) = 10,5 1n − f kQ 4 1 fQ 1 ∑ fx i i – x= = 40 = 21 ∑ fi 6 ∑ fi i=1 ·p ⋅ 40 − 8 6 ·5 | xi − x | = 8|8 – 21| + 6|13 – 21| + 5|18 – 21| + 4|23 – 21| + 9|28 – 21| + 8|33 – 21| = 8 × 13 + 6 × 8 + 5 × 3 + 4 × 2 + 9 × 7 + 8 × 12 = 104 + 48 + 15 + 8 + 63 + 96 = 334 1 3 ke- 4 (40 6 ∑ fi | xi − x | r =1 SR = ∑ fi + 1) 10. 6 ∑ f(x i i i=1 fkQ 3 8(8 – 21)2 + 6(13 – 21)2 + 5(18 – 21)2 + 4(23 – 21)2 + 9(28 – 21)2 + 8(33 – 21)2 = 8 × (–13)2 + 6 × (–8)2 + 5 × (–3)2 + 4 × 22 + 9 × 72 + 8 × 122 = 1.352 + 384 + 45 + 16 + 441 + 1.152 = 3.390 = 2 (23 + 28) = 25,5 = 8 + 6 + 5 + 4 = 23 fQ3 = 9 Q3 = L3 + 334 = 8,35 40 − x) 2 = 1 L3 = 6 i=1 = nilai data ke-30,75 Q3 adalah nilai data ke-30,75 terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 28. Ragam: 3n− f kQ 4 3 fQ 3 = 25,5 + 6 3 ⋅ 40 − 23 4 9 7 2 ∑ f(x i i − x) ·p S2 = Statistika i=1 6 ∑ fi = 3.390 = 84,75 40 i=1 ·5 = 25,5 + 9 · 5 ≈ 25,5 + 3,89 = 29,39 10 840 r =1 6 i =1 = 10,5 + 3 · 5 ≈ 10,5 + 1,67 = 12,17 Q3 = nilai data 1 Qd = 2 (Q3 – Q1) = 2 (29,39 – 12,17) B. 1. Uraian Usia (Tahun) fi xk 10 11 12 13 14 15 16 17 7 3 2 1 4 3 1 2 7 10 12 13 17 20 21 23 Banyak data = n = 23. Q1 = nilai data = nilai data 3. a. n+1 ke4 24 ke4 = nilai data ke-6 = 10 3(n + 1) 4 3 × 24 ke4 Q3 = nilai data ke= nilai data = nilai data ke-18 = 15 H = Q3 – Q1 = 15 – 10 = 5 Jadi, jangkauan antarkuartil data 5. 2. Data dalam bentuk tabel sebagai berikut. Banyak Pengunjung (xi) fi fi x i 15 18 20 24 25 30 8 5 3 5 6 3 120 90 60 120 150 90 30 630 6 ∑ i=1 – x= ∑ fx i i i=1 6 ∑ fi = 630 30 6 ∑ fi + 5|24 – 21| + 6|25 – 21| + 3|30 – 21| = 8×6+5×3+3×1+5×3 +6×4+3×9 = 48 + 15 + 3 + 15 + 24 + 27 = 132 6 ∑ fi | xi − x | r =1 = 6 ∑ fi 132 = 3,3 40 i=1 Jadi, simpangan rata-rata data 3,3. b. 6 ∑ f(x i i i=1 − x)2 = 8(15 – 21) 2 + 5(18 – 21) 2 + 3(20 – 21)2 + 5(24 – 21)2 + 6(25 – 21)2 + 3(30 – 21)2 = 8 × (–6)2 + 5 × (–3)2 + 3 × (–1)2 + 5 × 32 + 6 × 42 + 3 × 92 = 288 + 45 + 3 + 45 + 96 + 243 = 720 6 2 ∑ fi | xi − x | S = fk 45–54 55–64 65–74 75–84 85–94 95–104 105–114 2 2 3 4 3 4 2 2 4 7 11 14 18 20 i=1 6 ∑ fi = ← Kelas Q1 ← Kelas Q3 Banyak data n = 20 1 Q1 = nilai data ke- 4 (20 + 1) = nilai data ke-5,25 Q1 adalah nilai data ke-5,25 terletak di kelas interval 65–74. L1 = 65 –0,5 = 64,5 fkQ = 4 1 fQ1 = 3 p = 74 – 65 + 1 = 10 Q1 = L1 + 1n − f kQ 4 1 fQ 1 ·p 1 ⋅ 20 − 4 4 3 ·5 1 | xi − x | = 8|15 – 21| + 5|18 – 21| + 3|20 – 21| SR = fi = 21 i=1 i=1 Panjang (cm) = 64,5 + 6 a. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. 720 40 = 64,5 + 3 · 5 ≈ 64,5 + 1,67 = 66,17 3 Q3 = nilai data ke- 4 (20 + 1) = nilai data ke-15,75 Q3 adalah nilai data ke-30,75 terletak di kelas interval 95–104. L3 = 95 – 0,5 = 94,5 fkQ = 14 3 fQ3 = 4 Q3 = L3 + 3n− f kQ 4 3 fQ 3 = 94,5 + ·p 3 ⋅ 20 − 14 4 4 · 10 1 = 94,5 + 4 · 10 = 94,5 + 2,5 = 97 i=1 = 18 = 9×2 = 3 2 Jadi, simpangan baku data 3 2 . Matematika Kelas XI 11 Simpangan kuartil: Qd = 1 (Q3 2 – Q1) = 1 + 2,2 = 23,7 Jadi, desil kedelapan data tersebut 23,7 cm. fi xi fi x i xi − x 45–54 55–64 65–74 75–84 85–94 95–104 105–114 2 2 3 4 3 4 2 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 109,5 99 119 208,5 318 268,5 398 219 32 22 12 2 8 18 28 1.630 122 b. i=1 39 fP39 = 21 ∑ f i xi i=1 7 ∑ fi 5. a. 7 ∑ f i xi − x i=1 xi fi fi · xi 12 17 22 27 32 37 3 6 2 1 5 3 36 102 44 27 160 111 20 480 7 ∑ fi 122 = 20 = 6,1 Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 6,1. 6 ∑ Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Tinggi (m) fi fk 6–9 10–13 14–17 9 6 7 9 15 22 18–21 21 43 ← Kelas P39 22–25 9 52 ← Kelas D8 26–29 8 60 6 ∑ fi x i i=1 6 ∑ fi 480 = 20 = 24 i=1 Jadi, rata-rata data 24. 8 = nilai data ke-48,8 D8 adalah nilai data ke-48,8 terletak di kelas interval 22–25. L8 = 22 – 0,5 = 21,5 fkD = 43 8 fD8 = 9 p = 25 – 22 + 1 = 4 Statistika i=1 x = D8 = nilai data ke- 10 (60 + 1) 12 ·4 = 17,5 + 21 · 4 ≈ 17,5 + 0,27 = 17,77 Jadi, nilai persentil ke-39 data tersebut 17,77. Data dalam bentuk tabel sebagai berikut. i=1 4. a. ⋅ 60 − 22 21 1,4 = 81,5 Simpangan rata-rata: SR = 39 1.630 20 P39 = 17,5 + 100 i=1 = 39 ⋅ n − fk P39 100 P39 = L39 + ·p f 7 x = 39 P39 = nilai data ke- 100 (60 + 1) = nilai data ke-23,79 P39 adalah nilai data ke-23,79 terletak di kelas interval 18–21. L39 = 18 – 0,5 = 17,5 fkP = 22 7 20 48 − 43 ·4 9 5 · 4 ≈ 21,5 9 = 21,5 + Panjang (cm) ∑ D8 = 21,5 + = 2 (30,83) = 15,415 Jadi, simpangan kuartil 15,415. b. 8 ⋅ 60 − fk D8 10 D8 = L8 + ·p f 1 (97 – 66,17) 2 b. xi fi xi – x fi(xi – x )2 12 17 22 27 32 37 3 6 2 1 5 3 –12 –7 –2 3 8 13 432 294 8 9 320 507 6 ∑ 20 1.570 i=1 6 ∑ fi (xi − x)2 S2 = i=1 6 ∑ fi = 1.570 20 = 78,5 i=1 Jadi, variansi data tersebut 78,5. 1. Jawaban: c Batas atas = Ba = 32,5 Panjang kelas = p = 6 Batas bawah = Bb Ba = Bb + p – 1 ⇔ 32,5 = Bb + 6 – 1 ⇔ Bb = 32,5 – 5 = 27,5 1 1 Titik tengah = 2 (Bb + Ba) = 2 (27,5 + 32,5) = 30 Jadi, titik tengah kelas interval tersebut 30. 2. Jawaban: d Tabel distribusi frekuensi relatif data sebagai berikut. Tinggi Badan (cm) fi 145–149 150–154 155–159 160–164 165–169 170–174 20 21 15 10 8 6 frelatif 25% 26,25% 18,75% 12,5% 10% 7,5% Dari tabel frekuensi relatif di atas diperoleh: Sebanyak 26,25% siswa yang memiliki tinggi badan 150–154 cm. Sebanyak 18,75% siswa yang memiliki tinggi badan 155–159 cm. Dengan demikian, persentase banyak siswa yang memiliki tinggi badan 150–159 cm adalah 26,25% + 18,75% = 45% 3. Jawaban: c Dari tabel frekuensi relatif di atas diperoleh, sebanyak 26,25% siswa memiliki tinggi badan 150–154 cm. 4. Jawaban: e Tinggi badan minimal 160 cm, maka kelas interval yang memenuhi 160–164, 165–169, dan 170–174. Persentase siswa yang memiliki tinggi badan minimal 160 cm = 12,5% + 10% + 7,5% = 30% Jadi, siswa kelas XI yang bisa menjadi anggota paskibraka ada 30%. 5. Jawaban: d Kelas interval yang memiliki nilai kurang dari 61 adalah 41–50 dan 51–60. Sebanyak 10% siswa memperoleh nilai 41–40 dan sebanyak 20% siswa memperoleh nilai 51–60. Banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 61 = (10% + 20%) × 120 = 36 6. Jawaban: d Banyak siswa yang memperoleh nilai 41–50 = 10% × 120 = 12 Banyak siswa yang memperoleh nilai 51–60 = 20% × 120 = 24 Banyak siswa yang memperoleh nilai 71–80 = 15% × 120 = 18 Banyak siswa yang memperoleh nilai 81–90 = 12,5% × 120 = 15 Jadi, sebanyak 15 siswa memperoleh nilai 81–90. 7. Jawaban: c Jarak per Liter Bensin fi fk 8 40–45 8 12 46–51 20 20 52–57 40 –––––––––––––––––––––––––– 11 58–63 51 9 64–69 60 Pilihan Ganda Tidak irit Irit Sepeda motor yang tidak tergolong irit menggunakan 1 liter bensin untuk menempuh jarak kurang dari 58 km. Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada 40 unit. Persentase banyak sepeda motor yang tidak 40 tergolong irit = 60 × 100% = 66,67%. 8. Jawaban: b Tabel distribusi frekuensi relatif data sebagai berikut. Jarak per Liter Bensin fi frelatif 40–45 46–51 52–57 58–63 64–69 8 12 20 11 9 13,3% 20% 33,3% 18,3% 15% Dari tabel di atas diperoleh sebanyak 20% sepeda motor menggunakan 1 liter bensin untuk menempuh jarak 46–51 km. 9. Jawaban: c Data tinggi tanaman dalam bentuk tabel sebagai berikut. Tinggi Tanaman (cm) fi fk 3 3 10–13 6 9 14–17 5 14 18–21 7 21 22–25 –––––––––––––––––––––––––– 9 30 26–29 A. Tinggi tanaman kurang dari 26 cm Banyak tanaman yang mempunyai tinggi kurang dari 26 cm adalah 21. 21 Presentase = 30 × 100% = 70%. Matematika Kelas XI 13 10. Jawaban: d Banyak tanaman yang memiliki tinggi 10–17 = 3+6=9 Banyak tanaman yang memiliki tinggi 14–21 = 6 + 5 = 11 Banyak tanaman yang memiliki tinggi 18–21 = 5 Banyak tanaman yang memiliki tinggi 18–25 = 5 + 7 = 12 Jadi, sebanyak 12 tanaman memiliki tinggi 18–25 cm. 11. Jawaban: c Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Data fi fk 25 26 27 28 29 30 20 14 16 35 6 9 20 34 50 85 91 100 Oleh karena banyak data genap, nilai median: Me = = data ke-50 + data ke-51 2 27 + 28 2 = 27,5 Jadi, median data tersebut 27,5. 12. Jawaban: c x = = 234 + 242 + 250 3 726 3 = 242 Jadi, rata-rata hasil susu kambing etawa pada 3 periode terakhir 242 liter. 13. Jawaban: c Sumbangan kelompok I: x1 = 6 × Rp5.000,00 = Rp30.000,00 Sumbangan kelompok II: x2 = 8 × Rp4.500,00 = Rp36.000,00 Sumbangan kelompok III: x3 = 10 × Rp3.500,00 = Rp35.000,00 Sumbangan kelompok IV: x4 = 11 × Rp4.000,00 = Rp44.000,00 Sumbangan kelompok V: x5 = 15 × Rp2.000,00 = Rp30.000,00 14 Statistika Rata-rata sumbangan setiap kelompok: x = x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 6 + 8 + 10 + 11 + 15 = 30.000 + 36.000 + 35.000 + 44.000 + 30.000 50 = 175.000 50 = 3.500 Jadi, rata-rata sumbangan setiap kelompok Rp3.500,00. 14. Jawaban: a Banyak siswa di kelas A = nA = 15 Banyak siswa di kelas B = nB = 10 Banyak siswa di kelas C = nC = 25 Rata-rata nilai gabungan = x = 58,6 Rata-rata nilai di kelas A = x A = 62 Rata-rata nilai di kelas C = x C = 60 x= nA ⋅ x A + nB ⋅ xB + nC ⋅ xC nA + nB + nC ⇔ 58,6 = 15 ⋅ 62 + 10 ⋅ xB + 25 ⋅ 60 15 + 10 + 25 ⇔ 58,6 = 10xB + 2 ⋅ 430 50 ⇔ 2.930 = 10xB + 2.430 ⇔ 10xB = 500 ⇔ x B = 50 Jadi, rata-rata nilai di kelas B adalah 50. 15. Jawaban: e 6 x = ∑ fi x i i=1 6 ∑ fi i=1 375 = 30 = 12,5 Jadi, rata-rata poin pemain tersebut 12,5. 16. Jawaban: a Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Poin fi fk 5–7 8–10 11–13 14–16 17–19 20–22 6 5 4 10 3 2 6 11 15 25 28 30 ← Kelas Me Banyak data = n = 30 Me = nilai data ke- 30 + 1 2 = nilai data ke-15,5 Median adalah nilai data ke-15,5 terletak di kelas interval 14–16. L fk Me 19. Jawaban: b Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut. = 14 – 0,5 = 13,5 = 15 fM = 10 e p = 16 – 14 + 1 = 3 Berat Pasir (kg) fi fk 84–86 87–89 90–92 93–95 96–98 99–101 4 6 7 10 5 8 4 10 17 27 32 40 1 n − fkM e Me = L + 2 ·p = 13,5 + fMe 1 2 ⋅ 30 − 15 10 ·3 Banyak data = n = 40 = 13,5 + 0 · 5 Median = nilai data ke- = 13,5 Jadi, mediannya adalah 13,5. 17. Jawaban: c Data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi sebagai berikut. Berat Pasir (kg) fi xi fi xi 84–86 87–89 90–92 93–95 96–98 99–101 4 6 7 10 5 8 85 88 91 94 97 100 340 528 637 940 485 800 = nilai data ke-20,5 Median adalah nilai data ke-20,5 terletak di kelas interval 93–95. L = 93 – 0,5 = 92,5 fk = 17 Me fM = 10 e p =3 ∑ 40 3.730 6 ∑ fi x i x = i=1 5 = 92,5 + 3.730 40 = 93,25 Jadi, rata-rata berat pasir dalam karung 93,25 kg. 18. Jawaban: e Mo terletak pada kelas interval yang memuat titik tengah 93–95. L = 93 – 0,5 = 92,5 d1 = 10 – 7 = 3 d2 = 10 – 5 = 5 p = 95 – 93 + 1 = 3 fMe 20 − 17 10 ·3 = 92,5 + 0,9 = 93,4 Jadi, median berat pasir dalam karung 93,4 kg. 20. Jawaban: c Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut. ∑ fi i=1 = 1 n − fkM e Me = L + 2 ·p 6 i=1 40 + 1 2 d Mo = L + 1 · p d1 + d2 3 = 92,5 + ·3 3 + 5 9 = 92,5 + 8 = 92,5 + 1,125 = 93,625 Jadi, modus berat pasir dalam karung 93,625 kg. Berat Badan (kg) fi fk 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79 4 6 8 10 8 4 4 10 18 28 36 40 ← Kelas Mo Mo terletak di kelas interval 65–69. L = 65 – 0,5 = 64,5 d1 = 10 – 8 = 2 d2 = 10 – 8 = 2 p = 69 – 65 + 1 = 5 d 2 Mo = L + 1 · p d1 + d2 = 64,5 + ·5 2 + 2 = 64,5 + 2,5 = 67 Jadi, modus berat berat badan siswa 67 kg. Matematika Kelas XI 15 21. Jawaban: d Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut. xi fi fixi 1 1 2 (49,5 + 54,5) = 52 4 208 1 2 (44,5 + 59,5) = 57 6 342 1 2 (59,5 + 64,5) = 62 8 496 1 2 (64,5 + 69,5) = 67 10 670 1 2 (69,5 + 74,5) = 72 8 576 1 2 (74,5 + 79,5) = 77 4 308 40 2.600 6 ∑ Rata-rata berat badan siswa: ∑ fi = i=1 2.600 40 8 1 22. Jawaban: e Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Titik Tengah 5 8 11 14 17 20 fk fk fi Me ← ← Kelas Me 8 24 30 37 41 44 8 16 6 7 4 3 Banyak data = n = 44 1 Median = nilai data ke- 2 (44 + 1) 1 yang mempunyai titik tengah 8. = 6,5; fkMe = 8; fM = 16; p = 8 – 5 = 3 e Median = L + ·p 1 ⋅ 44 − 8 16 = 6,5 + 2 = 6,5 + 14 16 ·3 ≈ 6,5 + 2,63 = 9,13 Jadi, median data 9,13. Statistika 1 = 30 18 1 Jadi, modus data 30 18 . 24. Jawaban: b Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Nilai fi fk 23–26 27–30 5 11 5 16 31–34 10 26 35–38 39–42 6 8 32 40 ← Kelas Me Banyak data = n = 40 Median = nilai data ke- 2 (40 + 1) Median adalah nilai data ke-22 2 di kelas interval 1 n − fk Me 2 fM e 5 1 1 = nilai data ke-22 2 16 d = 26 2 + 3 9 = 65 kg Jadi, rata-rata berat badan siswa 65 kg. 5+8 2 Mo = L + 1 · p d1 + d2 8 ∑ fx i i i=1 6 1 = 2 (53) = 26,5 d1 = 11 – 3 = 8 d2 = 11 – 10 = 1 p = 28,5 – 24,5 = 4 = 26,5 + 9 · 4 6 –x = L = 2 (24,5 + 28,5) = 26,5 + ·4 8 + 1 i=1 L= 23. Jawaban: a Mo terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 28,5. ·3 = nilai data ke-20,5 Median adalah nilai data ke-20,5 terletak di kelas interval 31–34. L = 31 – 0,5 = 30,5 fk = 5 + 11 = 16 Me fMe = 10 p = 34 – 31 + 1 = 4 1 n − fk Me fMe Me = L + 2 1 ·p ⋅ 40 − 16 = 30,5 + 2 10 · 4 4 = 30,5 + 10 · 4 = 30,5 + 1,6 = 32,1 Jadi, median data 32,1. 25. Jawaban: c Data setelah diurutkan: 5 6 7 7 9 9 10 10 11 12 12 15 18 18 21 21 Q1 = nilai data ke- Jadi, kuartil bawah dari data tinggi badan adalah 157,5 cm. 27. Jawaban: e Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. 16 + 1 4 = nilai data ke-4,25 = x4 + 0,25(x5 – x4) = 7 + 0,25(9 – 7) = 7 + 0,5 = 7,5 Q3 = nilai data ke- Usia (Tahun) fi fk 20–23 24–27 3 4 3 7 28–31 4 11 32–35 10 21 36–39 3 24 40–43 6 30 3(16 + 1) 4 = nilai data ke-12,75 = x12 + 0,75(x13 – x12) = 15 + 0,75(18 – 15) = 15 + 2,25 = 17,25 1 (Q3 – Q1) 2 1 (17,25 – 7,5) 2 Simpangan kuartil = = 1 (9,75) 2 = = 4,875 Jadi, simpangan kuartil data tersebut 4,875. 26. Jawaban: c Jumlah siswa = n = 40 1 4 Kuartil bawah (Q1) = nilai data ke- (40 + 1) = nilai data ke-10 1 4 Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. ← Kelas P30 ← Kelas D7 7 D7 = nilai data ke- 10 (30 + 1) = nilai data ke-21,7 D7 adalah nilai data ke-21,7 terletak pada kelas interval 36–39. L7 = 36 – 0,5 = 35,5 fD = 3 7 fk = 21 D7 p =4 7 ⋅ n − fk D3 D7 = L7 + 10 ·p fD3 21 − 21 = 35,5 + ·4 3 = 35,5 + 4 = 35,5 Jadi, desil ke-7 data tersebut 35,5. 28. Jawaban: a Tinggi Badan (cm) fi fk 150–154 155–159 160–164 165–169 170–174 175–179 4 10 6 8 4 8 4 14 20 28 32 40 fk 30 P30 = nilai data ke- 100 (30 + 1) Q1 ← ← Kelas Q1 1 Kuartil bawah adalah data ke-10 pada kelas 4 interval 155–159. L1 = 155 – 0,5 = 154,5 fQ = 10 1 fk = 4 Q1 p = 159 – 155 + 1 = 5 Kuartil bawah: Q1 = L1 + 1n − f kQ 4 1 f Q 1 1 ·c = nilai data ke-9,3 P30 adalah nilai data ke-9,3 terletak di kelas interval 28–31. L30 = 28 – 0,5 = 27,5 fkP = 7 30 fP30 = 4 30 ⋅ n − fk P30 100 P30 = L30 + ·p f = 27,5 + P30 900 − 7 100 4 ·4 = 27,5 + 2 = 29,5 Jadi, persentil ke-30 data tersebut 29,5. ⋅ 40 − 4 = 154,5 + 4 10 · 5 = 154,5 + 3 = 157,5 Matematika Kelas XI 17 Nilai data terkecil = 1 Nilai data terbesar = 28 Jangkauan = nilai data terbesar – nilai data terkecil = 28 – 1 = 27 Banyak kelas = k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 3,3 × 1,602 = 1 + 5,2866 = 6,2866 ≈6 29. Jawaban: d Tinggi (meter) fi xi fi xi xi – – x 19–21 22–24 25–27 28–30 9 4 5 2 20 23 26 29 180 92 130 58 –3 0 3 6 fi(xi – – x)2 81 0 45 72 4 ∑ 460 20 i=1 198 4 ∑ fi xi i=1 4 x = 460 = 20 = 23 ∑ fi jangkauan Panjang kelas (p) = banyak kelas i=1 4 ∑ fi (xi − x)2 S2 27 = 6 = 4,5 ≈5 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval pertama. Bb1 = nilai data terkecil = 1 Ba1 = Bb1 + p –1 = 1 + 5 – 1 = 5 Diperoleh kelas interval pertama : 1–5 Menentukan batas atas dan batas bawah kelas interval kedua. Bb2 = Ba1 + 1 = 5 + 1 = 6 Ba2 = Bb2 + p – 1 = 6 + 5 – 1 = 10 Diperoleh kelas interval kedua : 6–10 Dengan cara yang sama diperoleh: Kelas interval ketiga : 11–15 Kelas interval keempat : 16–20 Kelas interval kelima : 21–25 Kelas interval keenam : 26–30 Tabel distribusi frekuensi data pemakaian air PAM per keluarga dalam sebulan di Kampung Palapa sebagai berikut. 198 20 i=1 = = 9,9 4 ∑ fi i =1 Jadi, ragam data tersebut 9,9. = 30. Jawaban: c xi fi fixi 1 2 (9,5 + 14,5) = 12 15 180 1 2 (14,5 + 19,5) = 17 6 102 1 2 (19,5 + 24,5) = 22 9 198 1 2 (24,5 + 29,5) = 27 12 324 1 2 (39,5 + 34,5) = 32 18 576 60 1.380 5 ∑ i=1 5 – x= ∑ fx i i i=1 5 ∑ fi = 1.380 60 = 23 i=1 5 ∑ fi i=1 | xi − x | = 15|12 – 23| + 6|17 – 23| + 9|22 – 23| + 12|27 – 23| + 18|32 – 23| = 15 × 11 + 6 × 6 + 9 × 1 + 12 × 4 + 18 × 9 = 165 + 36 + 9 + 48 + 162 = 420 Simpangan rata-rata: 5 SR = ∑ fi | xi − x | i=1 5 ∑ fi = 420 60 =7 i=1 B. Uraian 1. Data setelah diurutkan sebagai berikut. 1 2 3 4 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 10 11 11 12 13 13 14 15 16 16 17 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Banyak data = n = 40 18 Statistika 2. Volume Air (m 3) fi 1–5 6–10 11–15 16–20 21–25 26–30 4 13 8 7 5 3 xi fi fi xi – |xi – x | 4 5 6 7 8 9 10 2 6 4 1 5 4 8 8 30 24 7 40 36 80 3,5 2,5 1,5 0,5 0,5 1,5 2,5 30 225 12,5 7 7 12 18 28 ∑ i=1 a. Rata-rata berat benda: 4. a. Tinggi Badan (cm) fi xi fi xi 150–156 157–163 164–170 171–177 178–184 16 10 16 x 20 153 160 167 174 181 2.448 1.600 2.672 174x 3.620 7 x = ∑ fi x i i=1 7 ∑ fi 225 = 30 = 7,5 i=1 b. Benda yang mempunyai berat minimal 1 kg di atas rata-rata berat benda adalah benda yang mempunyai berat minimal 7,5 kg. Banyak benda yang mempunyai berat minimal 7,5 kg = 5 + 4 + 8 = 17. Jadi, terdapat 17 benda yang mempunyai berat minimal 1 kg di atas rata-rata berat benda. Simpangan rata-rata berat benda: 5 ∑ 5 ∑ fi x i x = SR = i=1 7 ⇔ ∑ fi 12,5 ≈ 0,42 = 30 i=1 Nilai (xi) fi fk 2 4 7 10 13 5 2 8 3 2 5 7 15 18 20 Banyak data = n = 20 = nilai data ke-5,25 = x5 + 0,25(x6 – x5) = 2 + 0,25(4 – 2) = 2 + 0,5 = 2,5 b. Tinggi Badan Balita (cm) fi fk 50–54 55–59 60–64 4 3 9 3 7 16 65–69 6 22 70–74 75–79 80–84 2 5 5 24 29 34 3 4 Q3 = nilai data ke- (20 + 1) = nilai data ke-15,75 = x15 + 0,75(x16 – x15) = 7 + 0,75(10 – 7) = 7 + 2,25 = 9,25 1 (Q3 2 168,4 = 10.340 + 174x 62 + x 5. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. 1 4 Q1 = nilai data ke- (20 + 1) Simpangan kuartil = ∑ fi ⇔ 10.440,8 + 168,4x = 10.340 + 174x ⇔ 100,8 = 5,6x ⇔ x = 18 Jadi, banyak orang bertinggi badan antara 171 cm dan 177 cm ada 18 orang. Orang yang bertinggi badan lebih dari 163 cm adalah orang yang bertinggi badan 164–170 cm, 171–177 cm, dan 178–184 cm. Banyak orang yang bertinggi badan lebih dari 163 cm = 16 + 18 + 20 = 54 orang. Jadi, ada 54 orang yang bertinggi badan lebih dari 163. Jadi, simpangan rata-rata berat benda 0,42. 3. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. i=1 5 i=1 5 ∑ fi | xi − x | 10.340 + 174x 62 + x i=1 – Q1) = 1 (9,25 2 = 1 (6,75) 2 – 2,5) = 3,375 Jadi, simpangan kuartil data tersebut 3,375. ← Kelas Me 34 + 1 Me = nilai data ke- 2 = nilai data ke-17,5 Median adalah nilai data ke-17,5 terletak di kelas interval 65–69. L = 65 – 0,5 = 64,5 p = 69 – 65 + 1 = 5 fkM = 16 e fMe = 6 Matematika Kelas XI 19 n −f 2 kMe 3 Q3 = nilai data ke- 4 (80 + 1) Me = L + f · p Me = 64,5 + 34 2 − 6 10 ·5 = 64,5 + 0,5 = 65 Jadi, median data di atas adalah 65 cm. 6. Titik tengah yang frekuensinya paling banyak adalah 28. Berarti modus data terletak di kelas interval yang memuat titik tengah 28. = nilai data ke-60,75 Q3 adalah nilai data ke-60,75 terletak di kelas interval 157–160. L3 = 157 – 0,5 = 156,5 fkQ = 53 3 fQ3 = 14 3 n − fk 4 Q3 = L3 + Mo = L + d1 d1 + d2 ·p 9 = 25,5 + 9 + 6 · 5 = 25,5 + 3 = 28,5 Jadi, modus data 28,5. = 156,5 + fi fk 145–148 15 15 149–152 20 35 153–156 18 53 157–160 14 67 161–164 165–168 8 5 75 80 ← Kelas Q1 ← Kelas Q3 + 1) Q1 fQ1 = 20 1 n − fk Q1 4 fQ 1 = 148,5 + 5 20 ·4 = 148,5 + 1 = 149,5 20 Statistika fi fk 12–16 17–21 22–26 27–31 32–36 10 5 8 6 18 10 15 23 29 47 37–41 10 57 42–46 13 70 ← Kelas D7 Banyak data = n = 70 7 (70 10 + 1) = nilai data ke-49,7 D7 adalah nilai data ke-49,7 terletak di kelas interval 37–41. L7 = 37 – 0,5 = 36,5 fD = 10 7 fk = 47 p = 41 – 37 + 1 = 5 D7 ⋅ 80 − 15 ·4 = 148,5 + 4 20 Nilai 14 7 ·4 14 7 ⋅ n − fkD 7 D7 = L7 + 10 ·p ·p 1 D7 = nilai data ke- = nilai data ke-20,25 Q1 adalah nilai data ke-20,25 terletak di kelas interval 149–152. L1 = 149 – 0,5 = 148,5 fk = 15 Q1 = L1 + 3 8. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. Tinggi Badan (cm) Q1 = nilai data ·p = 156,5 + 2 = 158,5 Jangkauan antarkuartil: H = Q3 – Q1 = 158,5 – 149,5 =9 Jadi, jangkauan antarkuartil tinggi siswa putri 9 cm. 7. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai berikut. 1 ke- 4 (80 fQ3 ⋅ 80 − 53 ·4 = 156,5 + 4 1 Tepi bawah kelas modus L = 2 (23 + 28) = 25,5 p = 28 – 23 = 5 d1 = 13 – 4 = 9 d2 = 13 – 7 = 6 Q3 = 36,5 + = 36,5 + fD7 ⋅ 70 − 47 10 2 ·5 10 7 10 ·5 = 36,5 + 1 = 37,5 Jadi, nilai desil ke-7 data tersebut 37,5. 9. Banyak data = n = 35 + p P30 terletak di kelas interval 105–109. L30 = 105 – 0,5 = 104,5 fk = 8 Me fM = p e p = 109 – 105 + 1 = 5 30 ⋅ n − fkP 100 30 P30 = L30 + ·p fP30 ⇔ 108,5 = 104,5 + ⇔ ⇔ 0,3 ( 35 + p ) − 8 p 10,5 + 0,3p − 8 p 4= ·5 i=1 − x)2 = 6(12 – 28)2 + 10(17 – 28)2 + 5(22 – 28)2 + 15(27 – 28)2 + 20(32 – 28)2 + 5(37 – 28)2 + 9(42 – 28)2 = 6(–16)2 + 10(–11)2 + 5(–6)2 + 15(–1)2 + 20(4)2 + 5(9)2 + 9(14)2 = 1.536 + 1.210 + 180 + 15 + 320 + 405 + 1.764 = 5.430 Variansi: S2 = 2 ∑ fi (xi − x) i=1 7 ∑ fi = 5.430 70 4 = 77 7 i=1 ⇔ 0,8p = 2,5 + 0,3p ⇔ 0,5p = 2,5 ⇔ p=5 Banyak potongan logam yang beratnya kurang dari 110 gram = 8 + p = 8 + 5 = 13. 10. a. 7 ∑ f(x i i 7 ·5 2,5 + 0,3p p 0,8 = b. Panjang (cm) fi xi fi x i 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 6 10 5 15 20 5 9 12 17 22 27 32 37 42 72 170 110 405 640 185 378 Jadi, variansi panjang potongan bambu 4 77 7 cm. 7 ∑ 1.960 70 i=1 7 x = ∑ fi x i i=1 7 ∑ fi = 1.960 70 = 28 i=1 Jadi, rata-rata panjang potongan bambu 28 cm. Matematika Kelas XI 21 Setelah mempelajari bab ini peserta didik mampu: 1. mendeskripsikan dan menerapkan konsep aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah; 2. menentukan ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan; 3. menghitung peluang suatu kejadian dan peluang kejadian majemuk. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik jeli dalam menganalisis setiap permasalahan dan memilih cara yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Aturan Pencacahan dan Peluang Aturan Pencacahan • • • • Mendeskripsikan konsep aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. Menerapkan konsep aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata. Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasannya. Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah tersebut. Peluang Suatu Kejadian • • • • • • • • • • • • • • • • • 22 Mendefinisikan pengertian ruang sampel suatu percobaan. Menentukan ruang sampel suatu percobaan. Mendefinisikan pengertian peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian. Menentukan peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian. Menjelaskan kisaran nilai peluang. Mendefinisikan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian. Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian. Peluang Kejadian Majemuk • • • • • • Mendefinisikan pengertian kejadian saling lepas dan tidak saling lepas. Mendefinisikan pengertian peluang gabungan kejadian saling lepas dan tidak saling lepas. Menentukan peluang gabungan kejadian saling lepas dan tidak saling lepas. Mendefinisikan pengertian kejadian saling bebas dan tidak saling bebas. Mendefinisikan pengertian peluang irisan kejadian saling bebas dan tidak saling bebas. Menentukan peluang irisan kejadian saling bebas dan tidak saling bebas. Bersikap jeli dalam menganalisis setiap permasalahan dan memilih cara yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Mampu menjelaskan konsep aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. Mampu mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah tersebut. Mampu menjelaskan pengertian ruang sampel suatu percobaan dan mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan. Mampu menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian serta mampu menentukan peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian. Mampu menjelaskan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dan mampu menentukan frekuensi harapan suatu kejadian. Mampu menjelaskan pengertian kejadian saling lepas dan tidak saling lepas. Mampu menentukan peluang gabungan kejadian saling lepas dan tidak saling lepas. Mampu menjelaskan pengertian kejadian saling bebas dan tidak saling bebas. Mampu menentukan peluang irisan kejadian saling bebas dan tidak saling bebas. Aturan Pencacahan dan Peluang A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d 10! 7!4! 10 × 9 × 8 × 7! 6! 6 × 5 × 4 × 3! + 3!3! = 7! × 4 × 3 × 2 × 1 + 3! × 3 × 2 × 1 = 10 × 3 + 5 × 4 = 30 + 20 = 50 2. Jawaban: b n + 1P3 (n + 1)! (n + 1− 3)! ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (n + 1)! (n − 2)! × (n + 1)! (n − 2)! (n − 2)! n! (n + 1)n! n! = 9 × nP2 dibentuk genap, maka angka yang menempati te |