Pada postingan sebelumnya sudah memposting tentang luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) =πr2 = ¼ π d2 dan keliling (K) = πd = 2πr. Apabila nilai r atau d kita ubah, maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan. Bagaimana besar perubahan itu?
Perhatikan uraian berikut. Misalkan lingkaran berjari-jari r1, diperbesar sehingga jari-jarinyamenj di r2, dengan r2 > r1. Jika luas lingkaran semula adalah L1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah
L2 - L1 = πr22 – πr12
L2 - L1 = π(r22 – r12)
L2 - L1 = π(r2 – r1) (r2+ r1)
Jika keliling lingkaran semula adalah K1 dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah
K2 - K1 = 2πr2 - 2πr1
K2 - K1 = 2π(r2 - r1)
Kamu juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah. Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut.
L2 : L1 = πr22 : πr12
L2 : L1 = r22 : r12
Adapun perbandingan kelilingnya adalah
K2 : K1 = 2πr2 : 2πr1
K2 : K1 = r2 : r1
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jari r1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 dengan r2 > r1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut.
L2 - L1 = π(r2 – r1) (r2+ r1)
K2 - K1 = 2π(r2 - r1)
L2 : L1 = r22 : r12
K2 : K1 = r2 : r1
Contoh Soal Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah
Contoh Soal 1
Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm.
Penyelesaian:
Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r1 = 2.
Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r2 = 4.
Selisih keliling = K2 - K1
Selisih keliling = 2π(r2 - r1)Selisih keliling = 2π(4 cm- 2 cm)Selisih keliling = 2π x 2 cmSelisih keliling = 4π cmPerbandingan luas = L2 : L1
Perbandingan luas = r22 : r12Perbandingan luas = (4 cm )2 : (2 cm)2Perbandingan luas = 16 cm2 : 4 cm2Perbandingan keliling = K2 : K1
Perbandingan keliling = r2 : r1Perbandingan keliling = 4 cm : 2 cmPerbandingan keliling = 2 : 1
Contoh Soal 2
Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi
a. dua kalinya;
b. (r + 2) cm.
Jawab:
a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:
L1 = πr2 cm2
K1 = 2πr cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 2r adalah:
L2 = π(2r)2= 4πr2 cm2
K2 = 2π(2r) = 4πr cm
Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
L2 - L1 = 4πr2 - πr2
L2 - L1 = 3πr2 cm2
Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
K2 - K1= 4πr - 2πr
K2 - K1= 2πr cm
Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
L2 : L1 = 4πr2 cm2 : πr2 cm
L2 : L1 = 4 : 1
Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
K2 : K1 = 4πr cm : 2πr cm
K2 : K1 = 2 : 1
b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:
L1 = πr2 cm2
K1 = 2πr cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari (r + 2) cm adalah:
L2 = π((r + 2) cm)2
L2 = π (r2 + 4r + 4) cm2
L2 = (πr2 + 4πr + 4 π) cm2
K2 = 2π((r + 2) cm)
K2 = (2πr + 4π)cm
Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:
L2 - L1 = (πr2 + 4πr + 4 π) cm2 - πr2 cm2
L2 - L1 = (4πr + 4 π) cm2
Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:
K2 - K1= (2πr + 4π)cm - 2πr cm
K2 - K1= 4π cm
Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:
L2 : L1 = (πr2 + 4πr + 4 π) cm2 : πr2 cm
L2 : L1 = (r2 + 4r + 4) : r2
L2 : L1 = (1 + 4/r + 4 r2) : 1
Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:
K2 : K1= (2πr + 4π)cm : 2πr cm
K2 : K1= (r + 2) : r
K2 : K1= (1 + 2/r) : 1
Contoh soal 3
Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas dan keliling lingkaran setelah jari-jarinya
a. diperbesar tiga kalinya;
b. diperkecil 1/2 kalinya.
Jawab:
a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cmadalah:
L1 = πr2
L1 = π x (7 cm) 2
L1 = 22/7 x 49 cm 2
L1 = 154 cm 2
K1 = 2πr
K1 = 2π x 7 cm
K1 = 2x22/7x 7 cm
K1 = 44 cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali (jari-jarinya menjadi 3 x 7 cm = 21 cm) adalah:
L2 = π(21 cm)2
L2 = 22/7 x 441 cm2
L2 = 1.386 cm2
K2 = 2π(21 cm)
K2 = 2x 22/7 x 21 cm
K2 = 132 cm
Selisih luas untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
L2 - L1 = 1.386 cm2 - 154 cm 2
L2 - L1 = 1.232 cm2
Selisih keliling untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
K2 - K1= 132 cm - 44 cm
K2 - K1= 88 cm
Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
L2 : L1 = 1.386 cm2: 154 cm
L2 : L1 = 9 : 1
Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
K2 : K1 = 132 cm: 44 cm
K2 : K1 = 3 : 1
b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cmadalah:
L1 = πr2
L1 = π x (7 cm) 2
L1 = 22/7 x 49 cm 2
L1 = 154 cm 2
K1 = 2πr
K1 = 2π x 7 cm
K1 = 2x22/7x 7 cm
K1 = 44 cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil 1/2 kali (jari-jarinya menjadi 7 cm/2 = 7/2 cm) adalah:
L2 = π(7/2 cm)2
L2 = 22/7 x 12,25 cm2
L2 = 38,5 cm2
K2 = 2π (7/2 cm)
K2 = 2 x 22/7 x 7/2 cm
K2 = 22 cm
Selisih luas untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
L1 – L2 = 154 cm2 – 38,5 cm 2
L1 – L2 = 115,5 cm2
Selisih keliling untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
K1 – K2= 44 cm - 22 cm
K1 – K2= 22 cm
Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
L2 : L1 = 38½ cm2 : 154 cm
L2 : L1 = 77: 308
L2 : L1 = 1: 4
Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
K2 : K1 = 22 cm: 44 cm
K2 : K1 = 1 : 2
Contoh Soal 4
Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 616 cm2: 2.464 cm2. Hitunglah
a. perbandingan keliling kedua lingkaran
b. selisih keliling kedua lingkaran;
c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;
d. selisih jari-jari kedua lingkaran.
Jawab:
Terlebih dahulu cari jari-jari untuk kedua lingkaran terebut. Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 616 cm2 adalah:
L1 = πr2
616 cm2 = π x r1 2
616 cm2 = 22/7 x r1 2
r1 2 = 196 cm 2
r1 = √196 cm 2
r1 = 14 cm
Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 2.464 cm2adalah:
L2 = πr2
2.464 cm2 = π x r2 2
2.464 cm2 = 22/7 x r2 2
r2 2 = 784 cm 2
r2 = √784 cm 2
r2 = 28 cm
a. untuk mencari perbandingan keliling kedua lingkaran, terelebih dahulu cari kedua keliling lingkaran tersebut. Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 14 cm adalah
K1 = 2πr
K1 = 2π x 14 cm
K1 = 2x22/7x 14 cm
K1 = 88 cm
Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 28 cm adalah:
K2 = 2πr
K2 = 2π x 28 cm
K2 = 2 x 22/7 x 28 cm
K2 = 176 cm
Maka perbandingan keliling kedua lingkaran adalah:
K1 : K2 = 88 cm : 176 cm
K1 : K2 = 1 : 2
b) Selisih keliling kedua lingkaran adalah:
K2 – K1 = 176 cm - 88 cm
K2 – K1 = 90 cm
c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran adalah:
r1 : r2 = 14 cm : 28 cm
r1 : r2 = 1 : 2 cm
d. selisih jari-jari kedua lingkaran.
r2 - r1 : = 28 cm - 14 cm
r2 - r1 : = 14 cm
Contoh Soal 5
Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah a cm dan 3a cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 28 cm, tentukan
a. nilai a;
b. perbandingan luas dan kelilingnya;
c. selisih luas dan kelilingnya.
Jawab:
Diketahui:
r1 = a cm
r2 = 3a cm
r1 + r2 = 28 cm
ditanyakan:
a) nilai a = ?
b) L2 : L1 = ? dan K2 : K1 = ?
c) L2 – L1 = ? dan K2 – K1 = ?
Penyelesaiannya:
a) a cm + 3a cm = 28 cm
4a cm = 28 cm
a = 28 cm/4 cm
a = 7
b) untuk mencari perbandingan luas dan kelilingnya terlebih dahulu mencari jari-jari untuk kedua lingkaran tersebut, kemudian mencari luas dan keliling masing-masing lingkaran tersebut.
r1 = a cm = 7 cm
L1 = πr2
L1 = π(7 cm)2
L1 = 22/7 x 49 cm2
L1 = 154 cm2
K1 = 2πr
K1 = 2π (7 cm)
K1 = 2 x 22/7 x 7 cm
K1 = 44 cm
r2 = 3a cm = 3 x 7 cm = 21 cm
L2 = πr2
L2 = π(21 cm)2
L2 = 22/7 x 441 cm2
L2 = 1.386 cm2
K2 = 2πr
K2 = 2π (21 cm)
K2 = 2 x 22/7 x 21 cm
K2 = 132 cm
Perbandingan luas lingkaran
L2 : L1 = 1.386 cm2 : 154 cm2
L2 : L1 = 9 : 1
Perbandingan keliling lingkaran
K2 : K1 = 132 cm : 44 cm
K2 : K1 = 3 : 1
c ) Selisih luas lingkaran adalah
L2 – L1 = 1.386 cm2 - 154 cm2
L2 – L1 = 1.232 cm2
Selisih keliling lingkaran adalah
K2 – K1 = 132 cm - 44 cm
K2 – K1 = 88 cm
Soal Latihan Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah