Diketahui persamaan kuadrat dari a = 3. b = 7, c = -20, sehingga dapat disubstitusikan ke rumus abc

Faktorisasi persamaan kuadrat adalah dekomposisi persamaan kuadrat dengan menggunakan faktor-faktor penyusunnya. Dekomposisi persamaan merupakan pengubahan susunan dan struktur suatu bentuk persamaan menjadi bentuk baru yang sebanding.

Akar-akar persamaan kuadrat adalah solusi penyelesaian dari suatu bentuk persamaan kuadrat. Sehingga ketika disubstitusikan hasil persamaannya menghasilkan nilai nol. Solusi ini dapat dihitung menggunakan bentuk faktorisasi persamaannya.

Navigasi Cepat

B. Metode Faktorisasi dan Mencari Akar Persamaan Kuadrat

Berikut 4 cara yang dapat digunakan untuk melakukan faktorisasi persamaan kuadrat, yaitu metode faktorisasi bentuk umum (trinomial), kuadrat murni (pure quadratic), selisih kuadrat (difference of squares), dan solusi nol (zero solution).

Baca juga: Materi Dasar Persamaan Kuadrat dan Akar-Akar Penyelesaiannya

# Alternatif Solusi Irasional atau Kompleks

Penggunaan metode faktorisasi dapat menjadi sulit untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, karena solusinya merupakan bilangan irasional dan kompleks. Kasus ini dapat dipermudah dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna atau rumus ABC.

B1. Faktorisasi Bentuk Umum (Trinomial)

Faktorisasi bentuk umum (trinomial) adalah metode untuk mencari akar-akar dan bentuk faktor dari persamaan kuadrat trinomial. Cara ini juga dapat diterapkan untuk persamaan kuadrat trinomial tidak lengkap, misalnya tanpa nilai c atau b dengan menggunakan nilai nol untuk variabel tersebut.

Berikut bentuk umum persamaan kuadrat.

dengan

Faktorisasi trinomial dilakukan dengan melakukan perhitungan berikut.

Terdapat beberapa bentuk kuadrat yang tidak mempunyai nilai b atau c, gunakan nilai nol dalam rumus, berikut contohnya.

Contoh 1. Berapa akar-akar persamaan kuadrat x² + 6x + 8 = 0?

Penyelesaian:

Berdasarkan bentuk umum didefinisikan

a = 1; b = 6; dan c = 8

Sehingga dapat dihitung akar-akar persamaan kuadratnya

∴ Jadi, akar-akar persamaan kuadrat dari x² + 6x + 8 = 0 adalah
x1 = -2 dan x2 = -4.

Contoh 2. Berapa akar-akar persamaan kuadrat 6x² + 11x - 10 = 0?

Penyelesaian:

Berdasarkan bentuk umum didefinisikan

a = 6; b = 11; dan c = -10

Sehingga dapat dihitung akar-akar persamaan kuadratnya

∴ Jadi, akar-akar persamaan kuadrat dari 6x² + 11x - 10 = 0 adalah
x1 = -2/3 dan x2 = -5/2.

B2. Faktorisasi Persamaan Kuadrat Murni

Faktorisasi persamaan kuadrat murni (Pure Quadratic) adalah metode alternatif yang dapat diterapkan untuk faktorisasi persamaan kuadrat murni. Persamaan ini ditandai dengan tidak adanya nilai konstanta c atau konstanta c = 0. Salah satu titik potong persamaan kuadrat murni akan memotong pusat koordinat kartesius di titik (0, 0). Sehingga, dapat dipastikan salah satu nilai akar persamaannya adalah nol.

Metode ini menggunakan nilai koefisien persamaan untuk membentuk persamaan yang sebanding berdasarkan hukum distributif.

Di lain pihak, metode faktorisasi trinomial juga dapat dilakukan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat murni dengan menggunakan nilai c = 0 dalam perhitungannya.

Contoh 1. Berapa akar-akar persamaan kuadrat 6x² + 9x = 0?

Penyelesaian:

∴ Jadi, akar-akar persamaan kuadrat dari 6x² + 9x = 0 adalah
x1 = -9/6 dan x2 = -11/2.

B3. Faktorisasi Selisih Kuadrat

Faktorisasi selisih kuadrat adalah metode faktorisasi khusus untuk bentuk persamaan dengan selisih kuadrat yaitu ax² - by² = 0. Berikut rumus faktorisasi selisih dua kuadrat (difference of squares).

Metode ini juga dapat diterapkan untuk persamaan kuadrat dengan variabel x² atau y², yang diperlihatkan pada Contoh 2 di subbab ini.

Contoh 1. Berapa akar-akar persamaan kuadrat 6x² + 16y² = 0?

Penyelesaian:

Dari bentuk persamaan kuadrat di atas dapat menggunakan faktorisasi dua kuadrat, sebagai berikut.

Karena persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua variabel, solusi akar-akar persamaan dapat ditentukan oleh masing-masing variabel x dan y.

∴ Jadi, diperoleh solusi akar-akar berikut.

Contoh 2. Hitung solusi akar-akar dari persamaan kuadrat 4x² - 36 = 0?

Penyelesaian:

Dari bentuk persamaan kuadrat di atas dapat menggunakan faktorisasi dua kuadrat, sebagai berikut.

Kemudian dihitung solusi akar-akar persamaannya.

∴ Jadi, akar-akar persamaan kuadrat dari 4x² - 36 = 0 adalah
x1 = -3 dan x2 = 3.

B4. Solusi Nol Persamaan Kuadrat ax² = 0

Bentuk persamaan kuadrat ax² = 0 mempunyai solusi akar bernilai nol (zero solution). Nilai solusi x1 = 0 dan x2 = 0 merupakan solusi umum persamaan kuadrat dengan bentuk ax² = 0, berikut pemaparannya.

Hal ini juga dapat dibuktikan oleh grafik fungsinya dalam koordinat kartesius, maka akan memotong sumbu koordinat di titik (0, 0). Titik ini juga menjadi titik puncak grafik yang dibentuk.

Contoh 1. Berapa solusi akar-akar persamaan kuadrat dari x² = 0; 2x² = 0; dan -3x² = 0 dan Buatkan grafik fungsinya?

Penyelesaian:

Dapat diketahui titik x = 0 menghasilkan nilai y = 0 di ketiga fungsi kuadrat yang digambarkan dalam grafik, dilihat dari ketiga grafik yang memotong titik pusat (0, 0).

∴ Jadi, akar-akar ketiga persamaan kuadrat tersebut adalah x1,2 = 0.

Tutorial lainnya: Daftar Isi Pelajaran Matematika

Sekian artikel "Faktorisasi Persamaan Kuadrat dan Akar Persamaan Kuadrat". Nantikan artikel menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share dan juga menyukai halaman Advernesia. Terima kasih...

Pengertian persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel-variabel yang memiliki pangkat paling tinggi dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat ialah:

ax2 + bx + c = 0

Dari persamaan di atas, diketahui a dan b adalah koefisien dan c merupakan konstanta, serta a tidak sama dengan 0 atau termasuk pertidaksamaan dari 0.

Proses untuk memecahkan atau menyelesaikan persoalan dari sebuah persamaan sendiri biasanya disebut akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar adalah nilai dari variabel x atau y yang sesuai persamaan tersebut. Dengan kata lain, nilai tersebut bisa disubstitusikan dalam persamaan tersebut dan menghasilkan nilai nol.

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Dalam ilmu matematika, ada tiga metode yang bisa diterapkan untuk mencari akar PK ax2 + bx + c = 0, yakni metode pemfaktoran, kuadrat sempurna, dan rumus abc. Oke langsung saja simak pembahasan dari 3 metode ini, untuk mencari akar persamaan kuadrat dibawah ini.

1. Pemfaktoran

Dibanding dua faktor lain, pemfaktoran adalah metode yang paling mudah digunakan jika bilangannya rasional. Di bawah ini adalah tabel model persamaan kuadrat dan penerapan metode pemfaktoran.

Jika Anda ingin menggunakan metode ini, pertama-tama Anda harus mengetahui model PK yang hendak diselesaikan. Setelah model persamaan kuadratnya diketahui, selanjutnya pemfaktoran bisa diaplikasikan sesuai dengan bentuk yang tertera pada tabel di atas.

Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh penyelesaian PK 5x2+13x+6=0 dengan metode pemfaktoran.

Jawab:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

(5x + 3)(x + 2) = 0

5x = -3

x = -3/5, atau x = -2

Sehingga, himpunan penyelesaian HP = (-3/5, -2)

2. Kuadrat Sempurna

Meski mudah, sayangnya tidak semua PK bisa dicari dengan metode pemfaktoran atau faktorisasi. Jika demikian, Anda bisa menggantinya dengan metode kuadrat sempurna. Caranya yakni dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Bentuk PK sempurna ialah bentuk persamaan yang mana hasilnya adalah bilangan rasional.

Penyelesaikan PK dengan metode kuadrat sempurna bisa Anda lakukan dengan menerapkan rumus:

(x+p)2 = x2 + 2px + p2

Selanjutnya, ubah dalam bentuk persamaan (x+p)2 = q

Agar lebih jelas, silahkan simak contoh penyelesaian PK dengan metode kuadrat sempurna dari persamaan x2 + 6x + 5 = 0 berikut ini.

Jawab:

x2 + 6x +5 = 0

Ubah dalam bentuk x2 + 6x = -5

Kemudian tambahkan satu angka pada ruas kiri dan kanan sehingga berubah jadi kuadrat sempurna. Angka yang ditambahkan diambil dari separuh angka koefisien yang asalnya dari nilai x atau separuh 6, kemudian dikuadratkan jadi 32 = 9.

Kemudian tambahkan angka 9 pada ruas kiri dan kanan sehingga persamaannya menjadi:

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x+3)2 = 4

(x+3) = √4

x = 3 ± 2

x = 2-3

x = -1

x = -2-3

x = -5

Jadi, nilai akhirnya adalah, x= -1 atau x = -5

3. Rumus Kuadrat atau Rumus ABC

Metode lain yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah rumus abc. Rumus yang digunakan untuk metode ini adalah

Berikut ini contoh penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 4x – 12 = 0 dengan rumus abc.

Jawab:

x2 + 4x – 12 = 0

a=1, b=4, c=-12

Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Untuk mengetahui jenis akar-akar PR ax2 + bx + c = 0, Anda bisa mencari tahu nilai “Diskriminan” (D) yang terdapat pada rumus abc, yakni:

D = b2 – 4ac

Jadi rumus yang didapatkan adalah: x1,2 = -b + sqrtD/2a

Tanda akar D ini menentukan jenis akar-akar PD, apakah termasuk bilangan real atau bukan. Jadi akar-akar PK dari ax2 + bx + c = 0 ialah:

• Jika D > 0, berarti akar-akarnya real.
• Jika D < 0, berarti akar-akarnya tidak real.
• Jika D = 0, berarti akar-akarnya real dan kembar atau sama.

Penyusunan Persamaan Kuadrat Baru

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, Anda perlu mengetahui nilai akarnya terlebih dahulu. Hal ini bisa diketahui dengan mensubstitusikan nilai dari akar-akar yang sudah di ketahui pada persamaan:

(x – x1)(x – x2)

Meski begitu, PK baru juga bisa dibentuk meski nilai akar-akarnya tidak diketahui. Namun dengan syarat, jika akar-akarnya mempunyai relasi dengan akar-akar dari persamaan kuadrat lain.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Penyelesaiannya

Adapun beberapa contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya dapat kamu pelajari seperti yang ada dibawah ini.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat #1

Diketahui bentuk persamaan  x2 – 4 = 3(x – 2) adalah ax2 + bx + c = 0. Tentukan nilai a, b, dan c secara berurutan.

A. 1, -2, 3

B. 1, -3, 2

C. 1, -3, -10

D. 1, 3, -2

Jawab:

Pertama, ubah persamaan di atas dalam bentuk umum terlebih dahulu:

⇒ x2 – 4 = 3(x – 2)
⇒ x2 – 4 = 3x – 6
⇒ x2 – 4 – 3x + 6 = 0
⇒ x2 – 3x + 2 = 0
⇒ a = 1, b = -3, dan c = 2

Maka jawaban yang benar adalah B.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat #2

Diketahui salah satu akar pada persamaan kuadrat  x2 + 2x + c = 0 adalah 3. Tentukan akar lainnya.

A. X = 3

B. X = 5

C. X = -5

D. X = -15

Jawab:

Pertama, substitusikan terlebih dahulu nilai x = 3 untuk mencari tahu nilai c.

⇒ x2 + 2x + c = 0
⇒ 32 + 2(3) + c = 0 ⇒ 9 + 6 + c = 0 ⇒ 15 + c = 0

⇒ c = -15