Misal f adalah fungsi yang memetakan anggota A ke B dan g adalah fungsi yang memetakan anggota B ke C dan h adalah fungsi yang memetakan C ke D. Jika demikian, maka terdapat komposisi dari tiga fungsi yaitu h o g o f, dimana:
- (h o g o f)(x) = h(g(f(x)))
Contoh soal komposisi dari tiga fungsi
Contoh soal 1
Misal f(x) = x + 1 ; g(x) = 3x dan h(x) = x2. Dengan demikian (h o g o f)(x) = …
A. 9x2 + 6x + 1
B. 9x2 + 18x + 3
C. 9x2 + 18x + 9
D. 3x2 + 1
E. 3x2 + 3
Pembahasan
Misalkan P(x) = (g o f)(x):
- P(x) = g(f(x))
- P(x) = 3 (x + 1)
- P(x) = 3x + 3
Maka:
- (h o g o f)(x) = (h o P)(x)
- (h o g o f)(x) = h(P(x))
- (h o g o f)(x) = (3x + 3)2
- (h o g o f)(x) = (3x + 3)(3x + 3)
- (h o g o f)(x) = 9x2 + 9x + 9x + 9 = 9x2 + 18x + 9
Soal ini jawabannya C.
Contoh soal 2
Jika f(x) = 2x ; g(x) = x + 1 dan h(x) = 5x – 2 maka (f o g o h)(3) = …A. 28B. 29C. 30D. 31
E. 33
Pembahasan
Misal P(x) = (g o h)(x):
- P(x) = g(h(x))
- P(x) = h(x) + 1
- P(x) = (5x – 2) + 1
- P(x) = 5x – 1
Maka:
- (f o g o h)(x) = (f o P)(x)
- (f o g o h)(x) = 2(5x – 1)
- (f o g o h)(x) = 10x -2
- (f o g o h)(3) = 10 . 3 – 2 = 30 – 2 = 18
Soal ini jawabannya A.
Contoh soal 3
Jika f(x) = 3x + 2 ; g(x) = x2 dan h(x) =
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Misalkan P(x) = (g o f)(x):
- P(x) = g(f(x))
- P(x) = (3x + 2)2
- P(x) = 9x2 + 6x + 6x + 4
- P(x) = 9x2 + 12x + 4
Maka:
- (h o g o f)(x) = (h o P)(x)
- (h o g o f)(x) =
- (h o g o f)(x) =
Soal ini jawabannya C.
Contoh soal 4
Jika f(x – 1) = x ; g(x) = x2 + 1 dan h(x) = 2x – 1 maka (h o g o f)(1) = …A. 3B. 4C. 5D. 9
E. 11
Pembahasan
Tentukan f(x):
- Misal y = x – 1 maka x = y + 1
- f(x – 1) = x
- f(y) = y + 1
- f(x) = x + 1
Misalkan P(x) = (g o f)(x):
- P(x) = g(f(x))
- P(x) = (x + 1)2 + 1
- P(x) = x2 + 2x + 1 + 1 = x2 + 2x + 2
Maka:
- (h o g o f)(x) = h(P(x))
- (h o g o f)(x) = 2 (x2 + 2x + 2) – 1
- (h o g o f)(x) = 2x2 + 4x + 3
- (h o g o f)(1) = 2 (1)2 + 4 . 1 + 3 = 2 + 4 + 3 = 9
Soal ini jawabannya D.
Contoh soal 5
Misal f(x) = 1 – x2 ; g(x) = 3x dan h(x) = 2 – x. Nilai (f o g o h)(1) = …A. -8B. -6C. -4D. -3
E. -1
Pembahasan
Misalkan P(x) = (g o h)(x):
- P(x) = g(h(x))
- P(x) = 3(2 – x)
- P(x) = 6 – 3x
Maka:
- (f o g o h)(x) = f(P(x))
- (f o g o h)(x) = 1 – (6 – 3x)2
- (f o g o h)(1) = 1 – (6 – 3 . 1)2
- (f o g o h)(1) = 1 – (3)2 = 1 – 9 = -8
Soal ini jawabannya A.
a. (h o f o g)(x) = [tex]\frac{36x^2 - 90x + 52}{-18x^2 + 45x - 32)}[/tex]
b. (h o g o f)(x) = [tex]\frac{12x^2 + 6x - 12}{- 6x^2 - 3x)}[/tex]
c. (g o f o h)(-2) = 104
d. nilai p jika (h o f o g)(p) = 2/3 adalah [tex]p_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{5}}{12}[/tex]
Pembahasan
Fungsi komposisi memiliki rumus
(f o g)(x) = f(g(x))
(g o f)(x) = g(f(x))
Oke, kini, kita akan membahas penyelesaian soal
Penyelesaian
a. (h o f o g)(x) = h(f(g(x)))
(h o f o g)(x) = h(f(3x - 4))
(h o f o g)(x) = h(2(3x - 4)² + (3x - 4))
(h o f o g)(x) = h(2(9x² - 24x + 16) + (3x - 4))
(h o f o g)(x) = h(18x² - 48x + 32 + 3x - 4)
(h o f o g)(x) = h(18x² - 45x + 28)
(h o f o g)(x) = [tex]\frac{2(18x^2 - 45x + 28)-4}{-4-(18x^2 - 45x + 28)}[/tex]
(h o f o g)(x) = [tex]\frac{36x^2 - 90x + 56 - 4}{-4-18x^2 + 45x - 28)}[/tex]
(h o f o g)(x) = [tex]\frac{36x^2 - 90x + 52}{-18x^2 + 45x - 32)}[/tex]
b. (h o g o f)(x) = h(g(f(x)))
(h o g o f)(x) = h(g(2x²+x))
(h o g o f)(x) = h(3(2x² + x) - 4)
(h o g o f)(x) = h(6x² + 3x - 4)
(h o g o f)(x) = [tex]\frac{2(6x^2 + 3x - 4) - 4}{- 4 - (6x^2 + 3x - 4)}[/tex]
(h o g o f)(x) = [tex]\frac{12x^2 + 6x - 8 - 4}{- 4 - 6x^2 - 3x + 4)}[/tex]
(h o g o f)(x) = [tex]\frac{12x^2 + 6x - 12}{- 6x^2 - 3x)}[/tex]
c. (g o f o h)(-2) = g(f(h(-2)))
(g o f o h)(-2) = g(f((2(-2) - 4)/(-4-(-2))))
(g o f o h)(-2) = g(f((-4 - 4)/(-4+2)))
(g o f o h)(-2) = g(f((-8)/(-2)))
(g o f o h)(-2) = g(f(4))
(g o f o h)(-2) = g(2(4)² + 4)
(g o f o h)(-2) = g(2(16) + 4)
(g o f o h)(-2) = g(32 + 4)
(g o f o h)(-2) = g(36)
(g o f o h)(-2) = 3(36) - 4 = 108 - 4 = 104
d. (h o f o g)(p)
Untuk mengerjakannya, kita menggunakan fungsi yang didapat pada soal a
[tex]\frac{36x^2 - 90x + 52}{-18x^2 + 45x - 32)}[/tex] = 2/3
[tex]\frac{36p^2 - 90p + 52}{-18p^2 + 45p - 32)}[/tex] = 2/3
Kita kalikan silang
3(36p² - 90p + 52) = 2(-18p² + 45p - 32)
108p² - 270p + 156 = -36p² + 90p - 64
108p² + 36p² - 270p - 90p + 156 + 64 = 0
144p² - 360p + 220 = 0
Kita bagi 4 kedua ruas untuk menyederhanakan, sehingga menjadi
36p² - 90p + 55 = 0
a = 36
b = -90
c = 55
Untuk mencari nilai p, kita menggunakan rumus abc
[tex]p_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/tex]
[tex]p_{1,2} = \frac{90 \pm\sqrt{(-90)^2 - 4(36)(55)}}{2(36)}[/tex]
[tex]p_{1,2} = \frac{90 \pm\sqrt{8100 - 7920}}{72}[/tex]
[tex]p_{1,2} = \frac{90 \pm\sqrt{180}}{72}[/tex]
[tex]p_{1,2} = \frac{90 \pm 6\sqrt{5}}{72}[/tex]
[tex]p_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{5}}{12}[/tex]
Pelajari lebih lanjut
- Fungsi komposisi (g o f)(x) - //brainly.co.id/tugas/13721517
- Menentukan fungsi komposisi (f o g o h)(x) dan (f o g o h)(-2) - //brainly.co.id/tugas/13535067
-----------------------------
Detil jawaban
Kelas: X SMA
Mapel: Matematika
Bab: 3 - Fungsi
Kode: 10.2.3
Kata Kunci: fungsi komposisi