Diketahui barisan aritmatika 100, 95, 90, 85, …, -320. beda suku barisan tersebut adalah ….

Soal No. 1 Perhatikan pola berikut 100, 95, 90, 85,.... -5, -5, -5, -5, dst Jadi 2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85, 16, 80 Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke 6! Pembahasan Jika diterjemahkan dalam bilangan, pola di atas sebagai berikut: 3, 6, 10, 15,.... Soal No. 3 Perhatikan gambar pola berikut Kelihatan polanya: Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50! Sehingga berturut-turut hingga pola ke-6: 3, 6, 10, 15, 21, 28 Pembahasan Pola bilangan persegipanjang. Perhatikan pola bilangannya: Jadi pola ke-6 ada 28 lingkaran. Soal No. 2 Perhatikan pola bilangan berikut! 2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85,....., ....., Tentukan bilangan ke-9 dan ke-10 dari pola di atas! Pembahasan Jika diperhatikan, sebenarnya terdapat dua buah pola bilangan yang diselang-seling. 2, 4, 7, 11, .... +2, +3, + 4, +5 dst Sehingga untuk pola ke-50: arah ke kanan : 50 + 3 = 53 arah ke atas : 50 + 1 = 51 Jadi banyaknya lingkaran pada pola ke-50 adalah = 53 × 51 = 2703 lingkaran. Soal No. 4 Perhatikan gambar pola berikut! Banyak lingkaran pada pola ke-10 adalah…. A. 90 buah B. 110 buah C. 120 buah D. 132 buah (Un mtk smp 08) Pembahasan Senada dengan soal nomor 3, diperoleh untuk pola ke-10: ke atas = 10 + 0 ke kanan = 10 + 1 Sehingga banyak lingkaran = 10 × 11 = 110 lingkaran Soal No. 5 Sekelompok burung terbang di udara dengan formasi membentuk deret aritmetika sebagai berikut. Barisan pertama terdiri satu ekor burung. Barisan kedua terdiri tiga ekor burung Barisan ketiga terdiri lima ekor burung Barisan keempat terdiri tujuh ekor burung. Jika jumlah barisan dalam formasi tersebut ada 10 tentukan: a) Jumlah burung pada barisan terakhir b) Jumlah semua burung yang ada dalam kelompok tersebut Pembahasan Barisan yang terbentuk adalah: 1, 3, 5, 7, ... Suku pertama a = 1 Beda b = 3 − 1 = 2 a) Jumlah burung pada barisan terakhir Barisan terakhir berarti n = 10 menentukan suku ke -10 atau U10: Un = a + (n − 1)b U10 = 1 + (10 − 1)2 U10 = 1 + 9 × 2 = 1 + 18 = 19 burung b) Jumlah semua burung yang ikut ada dalam kelompok tersebut Jumlah 10 suku pertama, n = 10, mencari S10 Sn = n/2 [2a + (n − 1)b] S10 = 10/2 [2×1 + (10 − 1)2] S10 = 5 [2 + 18] = 5× 20 = 100 burung Soal No. 6 Diberikan sebuah barisan: 4, 12, 20, 28,... Tentukan suku ke-40 dari barisan di atas! Pembahasan a=1 b = 12 − 4 = 8 n = 40 Un = a + (n − 1)b U40 = 4 + (40 − 1)8 U40 = 4 + 312 = 316 Soal No. 7 Diberikan sebuah deret: −10 + (−6) + (−2) + 2 + 6 + .... B. 70 C. 60 D. 50 (UN Matematika SMP 2009) Tentukan suku ke-17 Pembahasan a = − 10 b = −6 −(−10) = 4 n = 17 Un = a + (n−1)b U17 = −10 + (17 − 1)4 = −10 + 64 = 54 Soal No. 8 Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah.... A. –27 B. –21 C. –15 D. –9 (UN Matematika SMP 2008) Pembahasan U9 = 2n (n − 1) = 2(9) (9 − 1) = 18 (8) = 144 U7 = 2n (n − 1) = 2(7) (7 − 1) = 14 (6) = = 64 U9 − U7 = 144 − 64 = 80 Soal No. 10 Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah.... A. 24, 15 B. 24, 16 C. 25, 17 D. 25, 18 (UN Matematika SMP 2010) Pembahasan Perhatikan polanya adalah sebagai berikut: 50, 45, 39, 32, ....., ...... _____ Pembahasan 99, 93, 87, 81,... a = 99 b = 93 − 99 = −6 Un = a + (n −1)b Un = 99 + (22 − 1)(−6) Un = 99 + (21)( −6) = 99 − 126 = − 27 Soal No. 9 Rumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n (n − 1) . Hasil dari U9 – U7 adalah.... A. 80 _____ _____ ______ ______ −5 −6 −7 −8 −9 Sehingga suku berikutnya adalah 32 − 8 = 24 dan 24 − 9 = 15 Soal No. 11 Diketahui suku ke 4 dari suatu deret aritmetika adalah 24 dan suku ke-9 adalah 44. Tentukan suku ke-21 dari deret tersebut! Pembahasan Un = a + (n − )b Untuk suku ke-4 U4 = a + (4 − 1)b 24 = a + 3b ....persamaan (1) Untuk suku ke-9 U9 = a + (9 − 1)b 44 = a + 8b ....persamaan (2) Gabungkan persamaan (2) dan (1) U8 =...... Un = a + (n − 1)b U8 = 3 + (8 − 1)3 = 3 + 7(3) = 3 + 21 = 24 batu-bata Soal No. 13 Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81. Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut! Soal No. 12 Seorang pekerja menyusun batu-bata hingga membentuk barisan aritmetika seperti terlihat pada gambar berikut. Tentukan jumlah batu-bata pada susunan ke-8! Pembahasan Dari: 3, 6, 9,... a=3 b=3 Pembahasan Data: U4 + U7 = 81 U4 = a + 3b dan U7 = a + 6b sehingga U4 + U7 = (a + 3b) + (a + 6b) U4 + U7 = 2a + 9b 81 = 2a + 9b 81 = 2a + 9(5) 81 = 2a + 45 2a = 81 − 45 2a = 36 a = 18 U1 = a = 18 Soal No. 14 Suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke-6 dan suku ke-4 adalah 14, tentukan suku ke-8! Pembahasan Data : U1 = a = 2 U6 = a + 5b U4 = a + 3b U6 − U4 = 14 a + 5b −(a + 3b) = 14 2b = 14 b = 14/2 = 7 Sehingga suku ke-8 U8 = a + 7b U8 = 2 + 7(7) = 2 + 59 = 51 1 + 2 + 3 (Pola 2, ada 3 suku, terakhirnya angka 3) 1 + 2 + 3 + 4 (Pola 3, ada 4 suku, terakhirnya angka 4) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (Pola 4, ada 5 suku, terakhirnya angka 5) dan seterusnya, sehingga untuk banyak lingkaran yang ada pada pola ke-50 dengan mengikuti pola di atas: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +.........+ 51 (Pola 50, ada 51 suku, terakhirnya angka 51) Soal No. 15 Perhatikan pola berikut Pada pola ke-50 ini terbentuk deret aritmetika, ada 51 suku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ........,51 Jadi datanya: a=1 b=1 n = 51 Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50! diperoleh rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika diperoleh: Pembahasan Seperti soal nomor 1, namun untuk pola yang ke 50, tentunya tidak dengan dijumlahkan satu-satu sampai 50 kali, tapi dengan cara lain. Cara Pertama Perhatikan ilustrasi berikut, Jumlah lingkaran pada pola ke 50 ada 1326 lingkaran. Cara Kedua Pisahkan tiap pola jadi dua bagian, atas dan bawah, gambar seperti berikut: Kelihatan: 1 + 2 (Pola 1, ada 2 suku, terakhirnya angka 2) Sehingga: Pada bagian atas, diperoleh angka 1, 3, 6, 10,.....dst. Angka-angka ini memenuhi pola bilangan segitiga yang memiliki rumus pola ke-n: Sehingga untuk pola atau suku ke-50 pada bagian atasnya saja, terdapat lingkaran sebanyak Pada bagian bawah terlihat pola rumusnya tinggal ditambah 1 atau n + 1, jadi untuk pola ke 50 bagian bawahnya ada 50 + 1 = 51 lingkaran. Jumlahkan bagian atas dengan bagian bawah tadi untuk memperoleh banyak lingkaran pada pola ke 50: = 1275 + 51 = 1326 lingkaran. Cara Ketiga Jika dilihat deret : 3, 6, 10,... seperti deret 1, 3, 6, 10,... juga namun tanpa angka 1 (dihilangkan suku pertamanya) sehingga saat ditanya pola ke 50 untuk 3, 6, 10,... akan sama hasilnya dengan saat mencari suku ke 51 untuk untuk 1, 3, 6, 10,... Soal No. 1 Perhatikan pola berikut Soal No. 5 Sekelompok burung terbang di udara dengan formasi membentuk deret aritmetika sebagai berikut. Barisan pertama terdiri satu ekor burung. Barisan kedua terdiri tiga ekor burung Barisan ketiga terdiri lima ekor burung Barisan keempat terdiri tujuh ekor burung. Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke 6! Soal No. 2 Perhatikan pola bilangan berikut! 2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85,....., ....., Tentukan bilangan ke-9 dan ke-10 dari pola di atas! Soal No. 3 Perhatikan gambar pola berikut Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50! Soal No. 4 Perhatikan gambar pola berikut! Banyak lingkaran pada pola ke-10 adalah…. A. 90 buah B. 110 buah C. 120 buah D. 132 buah (Un mtk smp 08) Jika jumlah barisan dalam formasi tersebut ada 10 tentukan: a) Jumlah burung pada barisan terakhir b) Jumlah semua burung yang ada dalam kelompok tersebut Soal No. 6 Diberikan sebuah barisan: 4, 12, 20, 28,... Tentukan suku ke-40 dari barisan di atas! Soal No. 7 Diberikan sebuah deret: −10 + (−6) + (−2) + 2 + 6 + .... Tentukan suku ke-17 Soal No. 8 Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah.... A. –27 B. –21 C. –15 D. –9 (UN Matematika SMP 2008) Soal No. 9 Rumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n (n − 1) . Hasil dari U9 – U7 adalah.... A. 80 B. 70 C. 60 D. 50 (UN Matematika SMP 2009) Soal No. 10 Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah.... A. 24, 15 B. 24, 16 C. 25, 17 D. 25, 18 (UN Matematika SMP 2010) Soal No. 11 Diketahui suku ke 4 dari suatu deret aritmetika adalah 24 dan suku ke-9 adalah 44. Tentukan suku ke-21 dari deret tersebut! Soal No. 12 Seorang pekerja menyusun batu-bata hingga membentuk barisan aritmetika seperti terlihat pada gambar berikut. Tentukan jumlah batu-bata pada susunan ke-8! Soal No. 13 Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81. Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut! Soal No. 14 Suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke-6 dan suku ke-4 adalah 14, tentukan suku ke-8! Soal No. 15 Perhatikan pola berikut Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50! 10 Jenis Pola Bilangan Beserta Rumus dan Contohnya Pola Bilangan Ganjil Gambar Pola dalam Bilangan Ganjil Jenis pola bilangan yang pertama ialah pola dalam bilangan ganjil. Bilangan ini akan membentuk susunan pola seperti gambar diatas. Gambar tersebut dapat dijabarkan menjadi beberapa keterangan didalamnya seperti di bawah ini:  Bilangan ganjil akan membentuk pola 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .  Barisan bilangan ganjilnya ialah 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .  Deret bilangan ganjilnya ialah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .  Rumus pola bilangan suku ke n ialah Un = 2n - 1.  Rumus jumlah n pada suku pertamanya ialah Sn = n². Contoh Soal : Diketahui susunan pola dalam bilangan yaitu 1, 3, 5, 7, . . . . Berapakah pola bilangan ganjil ke 20 nya? Jawab. Un = 2n - 1 U20 = 2 (20) - 1 = 40 -1 = 39 Jadi pola bilangan ganjil yang ke 20 ialah 39. Pola Bilangan Genap Gambar Pola dalam Bilangan Genap Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan genap. Bilangan ini akan membentuk susunan pola seperti gambar diatas. Gambar tersebut dapat dijabarkan menjadi beberapa keterangan didalamnya seperti di bawah ini:  Bilangan genap akan membentuk pola 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .  Barisan bilangan genapnya ialah 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .  Deret bilangan genapnya ialah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + . . .  Rumus pola bilangan suku ke n ialah Un = 2n.  Rumus jumlah n pada suku pertamanya ialah Sn = n² + n. Contoh Soal : Diketahui susunan pola dalam bilangan yaitu 2, 4, 6, 8, . . . . Berapakah pola bilangan genap ke 20 nya? Jawab. Un = 2n U20 = 2 (20) = 40 Jadi pola bilangan genap yang ke 20 ialah 40. Pola Bilangan Segitiga Gambar Pola dalam Bilangan Segitiga Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan segitiga. Bilangan ini akan membentuk susunan pola seperti gambar diatas. Gambar tersebut dapat dijabarkan menjadi beberapa keterangan didalamnya seperti di bawah ini:  Bilangan segitiga akan membentuk pola 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .  Barisan bilangan segitiganya ialah 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .  Deret bilangan segitiganya ialah 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + . . .  Rumus pola bilangan suku ke n ialah Un = ½ n (n + 1).  Rumus jumlah n pada suku pertamanya ialah Sn = 1/6 n (n + 1)(n + 2). Rumus pola bilangan segitiga ini dapat dibuktikan dengan beberapa susunan barisan bilangannya. Adapun pembuktian rumus pola bilangan segitiganya yaitu: n ke 1 → 1 = ½ x 1 (1 + 1) n ke 2 → 3 = ½ x 2 (2 + 1) n ke 3 → 6 = ½ x 3 (3 + 1) n ke 4 → 10 = ½ x 4 (4 + 1) n ke 5 → 15 = ½ x 5 (5 + 1) n ke 6 → 21 = ½ x 6 (6 + 1) ⋮ n = ½ n (n + 1) Berdasarkan pembuktian rumus pola bilangan segitiga di atas, maka diperoleh rumus pola dalam bilangan segitiga yaitu: Un = ½ n (n + 1) Untuk pola bilangan segitiga ini hampir sama dengan pola dalam bilangan segilima dan segienam. Adapun rumus pola dalam bilangan segilima yaitu ½ n (3n + 1 ) dan rumus pola dalam bilangan segienam yaitu n (2n - 1). Jika kita buktikan dalam bentuk nilai, maka bilangan segitiga akan bernilai sama dengan nilai bilangan segilima maupun segienam. Nilai tersebut ialah 40755. 40577 terletak pada suku ke 285 bilangan segitiga, suku ke 165 bilangan segilima dan suku ke 143 bilangan segienam. Catatan:Nilai 40755 ialah nilai pola bilangan segitiga sekaligus bilangan segilima dan bilangan segienam. Contoh Soal : Diketahui susunan pola dalam bilangan yaitu 1, 3, 6, 10, 15, . . . . Berapakah pola bilangan segitiga ke 20 nya? Jawab. Un = ½ n (n + 1) U20 = ½(20) (20 + 1) = 10 x 19 = 190 Jadi pola bilangan segitiga yang ke 20 ialah 190. Pola Bilangan Persegi Gambar Pola dalam Bilangan Persegi Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan persegi. Bilangan ini akan membentuk susunan pola seperti gambar diatas. Gambar tersebut dapat dijabarkan menjadi beberapa keterangan didalamnya seperti di bawah ini:  Bilangan persegi akan membentuk pola 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .  Barisan bilangan perseginya ialah 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .  Deret bilangan perseginya ialah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + . . .  Rumus pola bilangan suku ke n ialah Un = n².  Rumus jumlah n pada suku pertamanya ialah Sn = 1/6 n (n + 1)(2n + 2). Contoh Soal : Diketahui susunan pola dalam bilangan yaitu 1, 4, 9, 16, 25, . . . . Berapakah pola bilangan persegi ke 20 nya? Jawab. Un = n² U20 = 20² = 400 Jadi pola bilangan persegi yang ke 20 ialah 400. Pola Bilangan Persegi Panjang Gambar Pola dalam Bilangan Persegi Panjang Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan persegi panjang. Bilangan ini akan membentuk susunan pola seperti gambar diatas. Gambar tersebut dapat dijabarkan menjadi beberapa keterangan didalamnya seperti di bawah ini:  Bilangan persegi panjang akan membentuk pola 2, 6, 12, 20, 30, 42, . . .  Barisan bilangan persegi panjangnya ialah 2, 6, 12, 20, 30, 42, . . .  Deret bilangan persegi panjangnya ialah 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + . . .  Rumus pola bilangan suku ke n ialah Un = n (n + 1).  Rumus jumlah n pada suku pertamanya ialah Sn = 1/3 n (n + 1)(n + 2). Contoh Soal : Diketahui susunan pola dalam bilangan yaitu 2, 6, 12, 20, 30, . . . . Berapakah pola bilangan persegi panjang ke 20 nya? Jawab. Un = n (n + 1) U20 = 20 (20 + 1) = 420 Jadi pola bilangan persegi panjang yang ke 20 ialah 420. Pola Bilangan Segitiga Pascal Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan segitiga pascal. Jenis pola ini memang berbeda dengan pola dalam bilangan lainnya. Hal ini dikarenakan susunan polanya berasal dari bilangan bilangan yang terdapat dalam segitiga pascal. Maka dari itu akan membentuk gambar pola seperti di bawah ini: Pola Bilangan Pangkat Tiga Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan pangkat tiga. Pola ini terbentuk dari bilangan setelahnya yang merupakan hasil dari bilangan sebelumnya yang dipangkatkan tiga. Adapun contohnya yaitu: 2, 8, 512, 134.217.728, . . . Gambar Pola dalam Bilangan Segitiga Pascal Berdasarkan gambar diatas, dapat kita peroleh rumus pola bilangan segitiga pascal yaitu Un = 2ⁿ⁻¹. Keterangan: Nilai 8 berasal dari 2³, 512 berasal dari 8³, 134.217.728 berasal dari 512³, dan seterusnya. Baca juga : Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar Beserta Contoh Pola Bilangan Aritmatika Pola Bilangan Fibonacci Gambar Pola dalam Bilangan Fibonacci Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan fibonacci. Bilangan ini akan membentuk susunan pola seperti gambar diatas. Gambar tersebut dapat dijabarkan menjadi beberapa keterangan didalamnya seperti di bawah ini:  Bilangan fibonacci akan membentuk pola 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .(Nilai 2 berasal dari hasil 1 + 1, nilai 3 berasal dari hasil 2 + 1, dan seterusnya).  Rumus pola bilangan suku ke n ialah Un = Un - 1 + Un - 2. Pola bilangan fibonacci ini merupakan bilangan yang membentuk pola yang asalnya dari jumlah bilangan setelahnya yaitu hasil dua bilangan sebelumnya yang dijumlahkan. Gambar Pola dalam Contoh Bilangan Aritmatika Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan aritmatika. Pola dalam bilangan aritmatika ialah pola yang dibentuk dari bilangan sesudah dan sebelumnya dengan selisih yang sama. Bilangan ini akan membentuk susunan pola seperti gambar diatas. Gambar tersebut dapat dijabarkan menjadi beberapa keterangan didalamnya seperti di bawah ini:  Contoh bilangan aritmatika akan membentuk pola 2, 4, 6, 8, 10, 12 (genap) atau 1, 3, 5, 7, 9, 11 (ganjil)  Bilangan aritmatika termasuk dalam pola bilangan bertingkat.  Bilangan aritmatika memiliki suku pertama yaitu U1 atau a, kemudian U2, U3, dan seterusnya.  Bilangan aritmatika memiliki selisih atau beda yang dilambangkan dengan b. Maka nilai b = U2-U1 dan seterusnya.  Rumus pola bilangan aritmatika suku ke n ialah Un = a + (n - 1)b.  Rumus jumlah n pada suku pertamanya ialah Sn = n/2 (a + Un) atau Sn = n/2 (2a + (n-1) b). Pola Bilangan Geometri Gambar Pola dalam Contoh Bilangan Geometri Jenis pola bilangan selanjutnya ialah pola dalam bilangan geometri. Pola dalam bilangan geometri ialah pola yang dibentuk dari perkalian bilangan sebelum dengan bilangan tertentu yang nilainya tetap. Bilangan ini akan membentuk susunan pola seperti gambar diatas. Gambar tersebut dapat dijabarkan menjadi beberapa keterangan didalamnya seperti di bawah ini:  Contoh bilangan aritmatika akan membentuk pola 40, 20, 10, 5, 5/2, . . .  Bilangan geometri termasuk dalam pola bilangan bertingkat.  Bilangan geometri memiliki suku pertama yaitu U1 atau a, kemudian U2, U3, dan seterusnya.  Bilangan geometri memiliki rasio yang dilambangkan dengan r. Maka nilai r = U2/U1 dan seterusnya.  Rumus pola bilangan geometri suku ke n ialah 

Rumus jumlah n pada suku pertamanya ialah