Determine os valores de abec de modo que os polinômios sejam idênticos

operar com as expressões algébricas que compõem suas parcelas, que são os monômios. Assim, é necessário realizar as operações indicadas recorrendo à propriedade distributiva quando for o caso, e reunir os termos que correspondem a potências de x de mesmo grau, chamados “termos semelhantes”. ATIVIDADE 1 Considere os polinômios A(x)= x2 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 2. Professor(a), solicitamos que considere o polinômio A(x) conforme a indicação acima. Calcule A(1) e B(1). Calcule x para que A(x) = 0. Se a, b e c forem raízes de B(x), quanto é o produto de a ∙ b ∙ c? É possível termos A(x) = B(x)? É possível termos A(x) ≡ B(x)? Resolução: a) A(1) = 12 – 3 ∙ 1 + 2 ⇒ A(1) = 0 B(1) = 13 – 2 ∙ 12 – 3 ∙ 1 + 2 = B(1) = –2 b) A(x) = 0 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0 x = 3 ± �(–3)2 – 4 ∙ 1 ∙ 2 2 = 3 ± 1 2 ⇒ � x1 = 3 + 1 2 = 2 x2 = 3 – 1 2 = 1 c) O produto das raízes (a, b e c) do polinômio B(x) é –2. d) Sim, é possível. Resolvendo a equação algébrica A(x) = B(x), temos: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 - 3x + 2; logo, x3 – 3x2 = 0. Fatorando, obtemos x ∙ x ∙ (x – 3) = 0, portanto, para o produto ser nulo, um dos fatores deve ser nulo, ou seja, ou x = 0, ou x = 0 (0 é uma raiz dupla), ou então x = 3. Logo, a equação A(x) = B(x) tem como raízes 0 e 3. Para todos os valores de x diferentes de 0 e de 3, os polinômios A(x) e B(x) assumem valores distintos. e) Não. Os polinômios têm graus diferentes. Em consequência, os coeficientes de x3 são diferentes em A(x) e B(x). 87 ATIVIDADE 2 Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10. É possível termos A(x) = B(x)? É possível termos A(x) ≡ B(x)? Resolução: a) Sim. Basta resolver a equação correspondente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10. Efetuando os cálculos, obtemos: 2x2 = 8, e então, x = ±2. b) Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes nos dois polinômios. ATIVIDADE 3 Considere os polinômios: P1(x) = ax5 – 11x4 – 2x3 + 7x2 + bx + d P2(x) = bx5 + bx4 + cx3 – 2x3 + 7x2 – �3x + d Determine os valores de a, b e c, de modo que os polinômios sejam idênticos. Calcule o valor de d, sabendo que –1 é raiz da equação P1(x) = 0. Resolução: a) Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e b = –�3 = a b) Se 1 é raiz da equação P1(x)=0, então devemos ter P1(x) = 0. Logo, substituindo x por –1, e igualando o resultado a zero, obtemos: – �3 ∙ (–1)5 – 11 ∙ (–1)4 – 2 ∙ (–1)3 + 7 ∙ (–1)2 – �3 ∙ (–1) + d = 0 Concluímos, efetuando os cálculos, que d = 2 – 2√3 ATIVIDADE 4 Considere o polinômio P(x)= 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0. Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 1. 88 Resolução: a) Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar que o resultado é zero, ou seja, que temos P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser fatorado e apresenta x – 1 como um fator, ou seja, é divisível por x – 1. Podemos, então, escrever: P(x) ≡ (x – 1) ∙ Q(x) , sendo Q(x) o quociente da divisão de P(x) por x – 1. b) O quociente da divisão será um polinômio de grau 4, podendo ser escrito na forma geral ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Devemos ter a identidade: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ (x – 1) ∙ �ax4 + bx3 + cx2 + dx + e�. Efetuando as operações indicadas no segundo membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e Agrupando os termos semelhantes do segundo membro, obtemos: 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5� + (b – a)x4�� + (c – b)x3�� + (d – c)x2�� + (e – d)x�� – e⏞ Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau nos dois membros da identidade, temos: 3 = a –2 = b – a 5 = c – b –11 = d – c –7 = e – d 12 = –e Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6, d = –5, e = –12 e, em consequência, Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2 – 5x – 12. Assim, para resolver a equação P(x) = 0, sabendo que uma de suas raízes é x = 1, obtemos o quociente de P(x) por x –1, chegando ao quociente Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação Q(x) = 0. Reduzindo o grau da equação: divisão por (x – k). Na equação 2x3+ 4x2 – 2x – 4 = 0, podemos descobrir uma possível raiz utilizando os conceitos apresentados. Primeiro dividimos a equação toda pelo coeficiente a, que resulta em: 2 2 x3 + 4 2 x2 – 2 2 x – 4 2 = 0, representada por x3 + 2x2 – x – 2 = 0, o que nos leva a supor que uma de suas raízes seria um de seus divisores (–1, 1, –2, 2) e, por verificação, podemos chegar aos números (–2, –1, 1), pois: x3 + 2 x2 – x – 2 = 0 (–2)3 + 2 ∙ (–2)2 – 2 = 0 10 – 10 = 0 Do mesmo modo, podemos verificar que -1 e 1 também satisfazem a igualdade, sendo, assim, raízes da equação. 89 Podemos escrever, então, que o polinômio P(x) = 2x3 + 4x – 2x – 4 tem uma de suas raízes –2 , pois, P(–2) = 0, ou seja, substituindo o valor – 2 na variável x, verificamos que a igualdade se estabelece. Ampliando essa ideia, podemos dizer que se um polinômio P(x) tem como raiz o número k, então a divisão de P(x) por (x – k) dá resto zero, além de obtermos uma equação (quociente da divisão) com grau menor que P(x). P(x)= 2x3 + 4x2 – 2x – 4; [x – (–2)] P(x) = 2x3 + 4x2 - 2x - 4; (x+2) ATIVIDADE 5 Agora descubra as raízes das seguintes equações polinomiais: x3 + x – 10 = 0 x3 – 5x2 + 6x = 0 8 + x3 = 0 Resolução: a) O número 10 tem como divisores (±1; ±2; ±5; ±10), sendo qualquer um desses divisores uma de suas possíveis raízes. Teste de raízes do polinômio: 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 − 10 Para x=1 13+1 – 10 = 0 1 + 1 – 10 = 0 –8 ≠ 0 ∴não é raiz Para x=2 23 + 2 – 10 = 0 8 + 2 – 10 = 0 10 –10 = 0 ∴2 é raiz Para x=5 53+ 5 – 10 = 0 125 + 5 – 10 = 0 120 ≠ 0 ∴não é raiz Dividindo o polinômio por (x-raiz)=(x – 2); teremos: 90 Encontrando as raízes da equação quociente, temos: x2 – 2x + 5 = 0 a = 1; b =–2 ;c = 5 x = 2 ± �(–2)2– 4 ∙ 1 ∙ 5 2 ∙ 1 x = 2 ± √4 – 20 2 x= 2 ± √–16 2 Como não existem raízes reais para a equação quociente, concluímos que a única raiz do Polinômio é 2. b) Como o polinômio não possui termo independente, conclui-se que uma de suas raízes é zero. Dividindo o polinômio por ( x – raiz) = (x – 0), teremos: Encontrando as raízes da equação quociente, temos: x2– 5x + 6 = 0 a = 1; b = − 5; c = 6 x = 5 ± �(–5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6 2 ∙ 1 x = 5 ± √25 − 24 2 x'= 5 + 1 2 = 6 2 = 3 x''= 5 – 1 2 = 4 2 = 2 As raízes do polinômio x3 – 5x2 + 6x = 0 são (0, 2, 3). c) Neste caso, a única raiz do polinômio é –2, pois x3 = – 8 ⇒ x = √–83 = –2 Algoritmo de Briot–Ruffini Uma das maneiras de se obter o quociente de um polinômio por um binômio seria a aplicação do algoritmo de Briot–Rufini, cujas características principais são destacadas a seguir: Tomando-se como exemplo, calcularemos o quociente de P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 –7x – 46 pelo binômio x – 2. 91 Sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx +c:  O coeficiente a é igual ao coeficiente de x5 em P(x): a = 3;  O coeficiente b é obtido somando-se ao coeficiente de x4 em P(x) o produto de 2 por a: b = –2 + 2a;  O coeficiente c é obtido somando-se ao coeficiente de x3 em P(x) o produto de 2 por b: c = 5 + 2b;  O coeficiente d é obtido somando-se ao coeficiente de x2 em P(x) o produto de 2 por e: d = –11 + 2c;  O coeficiente e é obtido somando-se ao coeficiente de x em P(x) o produto de 2 por d: e = –7 + 2d. Esses cálculos podem ser organizados no algoritmo seguinte, conhecido como algoritmo de Briot-Rufini, para a divisão de um polinômio por um binômio da forma x – k: Fonte: Elaborada pelo autor. ATIVIDADE 6 Para verificar o entendimento do conteúdo apresentado, construa o algoritmo Briot–Rufini para determinar o quociente de P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3 Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5+ x4 + 3x3 – 7x + π pelo binômio x + 3. Resolução: a) Fonte: Elaborada pelo autor. 92 b) Fonte: Elaborada

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Sabendo que 12 é raiz de p(x) = x² – mx + 6, determine o valor de m.

Dados os polinômios p(x) = (a – 1)x² – (a – b)x + (2a – b + c) e q(x) = 4x² – 5x + 1, determine a, b e c para que tenhamos p(x) = q(x).

Fornecido o polinômio p(x) = 2x³ – 6x² + mx + n, se p(2) = 0 e p(–1) = –6, determine os valores de m e n.

(MACK–SP)

Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m – 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x + 4 seja do 2º grau.

(FEI–SP)

Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.

(PUC–SP)

Determine os valores de m, n e p de modo que se tenha
(m + n + p)x4 – (p + 1)x³ + mx² + (n –p)x + n = 2mx³ + (2p + 7)x² + 5mx + 2m.

Temos que p(x) = x² – mx + 6, dessa forma vamos determinar p(12) = 0 no intuito de calcular o valor de m.

p(12) = 12² – m * 12 + 6 p(12) = 144 – 12m + 6 144 – 12m + 6 = 0 –12m = – 150 m = 150/12

m = 25/2

O valor de m no polinômio quando p(12) = 0 é 25/2.

p(x) = q(x)
(a – 1)x² – (a – b)x + (2a – b + c) = 4x² – 5x + 1

a – 1 = 4
a = 4 + 1
a = 5

– (a – b) = –5 – (5 – b) = – 5 – 5 + b = –5 b = 5 – 5

b = 0

2a – b + c = 1 10 – 0 + c = 1 c = 1 – 10

c = – 9

Portanto, para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes devem valer: a = 5, b = 0 e c = –9.

As condições para que o polinômio dado seja do 2º grau são as seguintes:

m – 4 = 0
m = 4

m² – 16 ≠ 0 m² ≠ 16

m ≠ 4 e m ≠ – 4

Para m = 4, temos: p(x) = (m – 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x + 4 p(x) = (4 – 4)x³ + (4² – 16)x² + (4 + 4)x + 4 p(x) = 0x³ + 0x² + 8x + 4 p(x) = 8x + 4

Grau 1

Para m = –4, temos: p(x) = (–4 – 4)x³ + ((–4)² – 16)x² + (–4 + 4)x + 4 p(x) = –8x³ + 0x² + 0x + 4 p(x) = –8x³ + 4

Grau 3

Não existe valor para m de forma que p(x) tenha grau 2.

(m + n + p)x4 – (p + 1)x³ + mx² + (n –p)x + n = 2mx³ + (2p + 7)x² + 5mx + 2m.

m + n + p = 0

–(p + 1) = 2m

m = 2p + 7

n – p = 5

n = 2m

–(p + 1) = 2m –p –1 = 2 * (2p + 7) –p –1 = 4p + 14 –p –4p = 14 + 1 –5p = 15 5p = –15

p = –3