Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang aplikasi (soal cerita) materi Turunan (Diferensial). Soal-soal berikut dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum pada pos ini. Soal juga dapat diunduh dalam berkas PDF melalui tautan berikut: Download (PDF). Show
Quote by Bruce LeeSaya tidak takut pada orang yang telah berlatih 10.000 jenis tendangan sebanyak sekali. Saya takut pada orang yang telah berlatih 1 saja jenis tendangan, tetapi sebanyak 10.000 kali. Baca: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Bagian Dasar) Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1Suatu perusahaan memproduksi $x$ unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$ C. Rp48.000,00 D. Rp52.000,00 E. Rp64.000,00
Misalkan $f(x)$ menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g(x)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h(x)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka Soal Nomor 2Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $\left(2x-600+\dfrac{30}{x} \right)$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari.
Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah sehingga Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Soal Nomor 3Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left(3x -180 + \dfrac{5.000}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah.
Misalkan $f(x)$ menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah sehingga Soal Nomor 4Biaya untuk memproduksi $x$ bungkus keripik tempe adalah $\left(\dfrac14x^2+25x+25\right)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $\left(55-\dfrac12x\right)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$
Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah $f(x) = \dfrac14x^2+25x+25$, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g(x) = x \cdot \left(55-\dfrac12x\right) = 55x-\dfrac12x^2.$ Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan $$\begin{aligned} h(x) & = g(x)-f(x) \\ & = \left(55x-\dfrac12x^2\right)-\left(\dfrac14x^2+25x+25\right) \\ & = -\dfrac34x^2 + 30x-25 \end{aligned}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h'(x) = 0$. Soal Nomor 5Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$ meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h(t) = 120t -5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter.
Diketahui: $h(t) = 120t -5t^2$. Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Soal Nomor 6Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter.
Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. Soal Nomor 7Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.
Nyatakan $t$ dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. Soal Nomor 8Sebuah tabung tanpa tutup akan dibuat dari selembar aluminium seluas $300~\text{cm}^2$. Agar volume tabung maksimum, luas alas tabung adalah $\cdots~\text{cm}^2$.
Nyatakan $t$ (tinggi tabung) dalam $r$ (jari-jari tabung) dengan menggunakan luas permukaan tabung ($L$) tersebut. Soal Nomor 9Zhazha akan meniup karet berbentuk bola dengan menggunakan pompa untuk memasukkan udara. Bila laju pertambahan volume udara $40~\text{cm}^3/\text{detik}$ dan laju pertambahan jari-jari $20~\text{cm}/\text{detik}$, maka panjang jari-jari bola adalah $\cdots~\text{cm}$.
Diketahui: Soal Nomor 10Dari kawat yang panjangnya $500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$ meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter.
Misalkan $p = 25~\text{meter}.$ Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Soal Nomor 11Volume balok terbesar yang semua bidang sisinya mempunyai luas $96~\text{cm}^2$ dan alasnya persegi adalah $\cdots \cdot$
Diketahui bahwa panjang dan lebar balok sama, yaitu $p = l = x.$ Nyatakan $t$ (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. Soal Nomor 12Selembar kertas HVS memiliki luas $54~\text{cm}^2$. Sukardi akan menggunakan kertas tersebut untuk mengetik surat undangan. Apabila margin (batas pengetikan) bagian atas dan bawah $1$ cm, sedangkan margin sampingnya $1,5$ cm, maka panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikannya maksimum adalah $\cdots \cdot$
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 13Untuk memproduksi $x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x+10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$ C. Rp1.800.000,00 D. Rp2.000.000,00 E. Rp2.200.000,00
Misalkan keuntungan ($U$) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi) sehingga Soal Nomor 14Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya $30$ cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.
Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$ cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0 < x < 15$. Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Kuadrat Soal Nomor 15Pak Eko ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang seluas $324~\text{m}^2$ untuk ayam peliharaannya. Kandang tersebut akan dipagari dengan kawat duri seharga Rp12.000,00 per meter. Pernyataan berikut yang benar adalah $\cdots \cdot$
Gunakan luas persegi panjang untuk menentukan hubungan panjang $(p)$ dan lebar $(l).$ Soal Nomor 16Sebuah wadah berbentuk kerucut terbalik tanpa tutup seperti gambar berikut.
Misalkan $h$ dan $r$ masing-masing menyatakan tinggi dan jari-jari kerucut. Soal Nomor 17Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku adalah $\sqrt5$. Panjang sisi lainnya adalah $x$ dan $y$. Nilai maksimum untuk $2x+y$ adalah $\cdots \cdot$
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku $x^2 + y^2 = (\sqrt5)^2 = 5.$ Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 18Total penjualan suatu barang $(k)$ merupakan perkalian antara harga $(p)$ dan permintaan $(x)$ yang dinyatakan dengan $k = px$. Untuk $p = 90 -3x$ dalam jutaan rupiah dan $1 \leq x \leq 30$, maka total penjualan maksimum adalah $\cdots \cdot$
Diberikan $k = px$. Untuk $p = 90 -3x,$ diperoleh Soal Nomor 19Dennis membeli minyak goreng dalam kemasan plastik di suatu minimarket. Ia ingin memasukkan minyak goreng tersebut pada sebuah tabung tanpa tutup yang permukaannya terbuat dari lempengan seng tipis. Ternyata tabung tanpa tutup dengan luas permukaan $k\pi~\text{cm}^2$ adalah tabung tanpa tutup dengan volume terkecil yang dapat memuat minyak goreng sebanyak $8\pi~\text{cm}^3$. Nilai $k$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui luas permukaan tabung tanpa tutup adalah $k\pi~\text{cm}^2$ sehingga ditulis Soal Nomor 20Sebuah talang air yang berbentuk kerucut terbalik memiliki panjang jari-jari $12~\text{cm}$ dan tinggi $18~\text{cm}$. Perubahan kecepatan tinggi air sebesar $\dfrac{27}{100\pi}~\text{cm/detik}$. Debit air saat mencapai tinggi $5~\text{cm}$ adalah $\cdots \cdot$
Diketahui: Soal Nomor 21Luas minimum segitiga di kuadran I yang dapat dibentuk oleh garis yang melalui titik $(4, 3)$ dan sumbu-sumbu koordinat adalah $\cdots \cdot$
Misalkan garis tersebut memotong sumbu-$X$ di $(a, 0)$ dan sumbu-$Y$ di $(0, b)$ sehingga persamaan garisnya adalah $bx + ay = ab$, seperti tampak pada sketsa grafik berikut. Soal Nomor 22Nilai minimum fungsi $f(x, y) = 4x+y$ pada daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan $xy \geq 4, x \geq 0$, dan $y \ge 0$ adalah $\cdots \cdot$
Nilai minimum fungsi $f(x, y) = 4x+y$ tercapai ketika kedua variabel $x$ dan $y$ dipilih sekecil mungkin. Soal Nomor 23Perhatikan gambar berikut.
Perhatikan kembali sketsa gambar berikut. Soal Nomor 24Balon berbentuk bola yang berisi udara dikempiskan perlahan-lahan. Volume balon berkurang dengan laju $-7,2\pi~\text{mm}^3/\text{detik}.$ Panjang jari-jari balon pada saat laju perubahan pengurangan jari-jari balon $-0,05~\text{mm}/\text{detik}$ adalah $\cdots~\text{mm}$.
Diketahui: Soal Nomor 25Laju pertambahan volume kubus adalah $36~\text{cm}^3/\text{menit}$. Jika luas permukaan kubus adalah $24~\text{cm}^2$, maka laju pertambahan panjang rusuk kubus tersebut adalah $\cdots \cdot$
Diketahui: Bagian Uraian Soal Nomor 1Sepotong kawat yang panjangnya $52~\text{cm}$ dibuat trapesium sama kaki seperti gambar berikut.
Nyatakan $y$ dalam $x$ dengan menggunakan keliling trapesium ($k$). Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan Soal Nomor 2Sebuah kawat yang panjangnya $100~\text{cm}$ akan dibuat kerangka seperti gambar di bawah, yaitu gabungan persegi panjang dan seperempat lingkaran. Tentukan luas daerah maksimum dari kerangka yang terbentuk.
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 3Tentukan luas maksimum persegi panjang yang diarsir pada gambar berikut.
Persamaan garis pada gambar adalah Soal Nomor 4Suatu persegi panjang dengan salah satu sisinya menempel pada sumbu-$X$ ditempatkan dalam daerah yang dibatasi oleh garis $y = 0$, $y = 3x$, dan $y = 30-2x.$ Tentukan luas terbesar yang mungkin untuk persegi panjang tersebut.
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 5Sebuah bola menggelinding sepanjang bidang miring. Jarak yang ditempuh $s$ dari titik asal $t$ detik dinyatakan oleh rumus $s = 1,5t^2 + 0,6t$ ($s$ dalam meter dan $t$ dalam detik).
Jawaban a) Soal Nomor 6Gambar berikut menunjukkan sebuah kaleng (silinder) dan penutupnya (arsiran) menutup kaleng sedalam $2$ cm.
Jawaban a) Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 7Sebuah wadah berbentuk setengah bola dengan diameter $24$ cm. Wadah tersebut berisi alkohol setinggi $h$ cm. Oleh karena alkohol tersebut menguap, tinggi alkohol berkurang dengan laju $0,001$ cm/detik.
Perhatikan sketsa gambar berikut. Soal Nomor 8Perhatikan gambar berikut.
Diketahui: Baca Juga : Soal dan Pembahasan – Integral Dengan Substitusi Aljabar dan Trigonometri Soal Nomor 9Pada gambar di bawah, garis $AB$ melalui titik $P(4,1)$ dan besar $\angle BAO = \theta$ dengan $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$.
Jawaban a) Soal Nomor 10Sepotong kawat yang panjangnya $90$ cm dipotong menjadi dua bagian, satunya digunakan untuk membentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi $x$ cm dan satunya lagi digunakan untuk membuat persegi. Agar jumlah luasnya maksimum, tentukan nilai $x.$
Karena segitiga sama sisinya memiliki panjang sisi $x$, maka kawat yang dibutuhkan sebanyak $x+x+x=3x$ cm. Sisa kawat dipakai semua untuk membuat persegi, yaitu $(90-3x)$ cm. |