Como traçar uma reta tangente a circunferência

Para encontrarmos a equação da reta tangente, iremos utilizar a expressão da distância do centro da circunferência até a reta tangente, distância esta que deve ser igual a r. Veremos então alguns exemplos que necessitam dessa análise e dos cálculos que devem ser realizados para encontrarmos a equação da reta tangente.

Como fazer uma tangente?

11) De um ponto dado na circunferência, traçar a tangente a ela. - Basta traçar a perpendicular ao raio que vai ter ao ponto dado. Essa perpendicular será a tangente pedida.

Como fazer uma circunferência tangente a uma reta?

Se OP é um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência, então toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.

Quando uma reta e tangente?

Na geometria, a tangente de uma curva em um ponto P pertencente a ela, é uma reta definida a partir de um outro ponto Q pertencente à curva, muito próximo do ponto P. Ao traçarmos uma reta r que passa pelos dois pontos, é a posição para onde a reta r tende, à medida que Q se aproxima de P, "caminhando" sobre a curva.

Como traçar uma circunferência tangente a duas retas?

Ligue o ponto P ao ponto T. Trace a mediatriz do segmento PT. Levante uma perpendicular à reta (s) pelo ponto T. Coloque a ponta seca do compasso em O e com abertura OT ou OP trace a circunferência tangente à reta (s) no ponto T.

Quais as propriedades das retas tangentes dê exemplos?

PROPRIEDADE DA TANGENTE: Esse ponto em comum é chamado de ponto de tangência. Ao traçarmos uma reta que liga o raio R ao ponto de tangência, podemos ver que a reta tangente e o raio são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90°.

Quais são as tangentes à circunferência?

• Fiz uma divisão deste estudo e nesta primeira parte vamos simplesmente nos abster ao traçado propriamente dito das tangentes à circunferências. Além disso, usaremos os teoremas da Geometria plana para justificar as construções. 1) Traçar uma tangente por um ponto dado sobre a circunferência.

Qual o diâmetro de uma circunferência?

• Justificativa: As retas tangentes a uma circunferência traçadas de um ponto externo possuem a propriedade de serem perpendiculares ao raio pelos pontos de tangência. Por construção OP é o diâmetro da circunferência κ e o triângulo ODP é retângulo em D, pois está inscrito na semicircunferência OAP.

Quais são as duas circunferências dadas?

• Sejam as duas circunferências dadas. Entre no comando Line, digite TAN pressione enter e clique sobre uma das circunferências, próximo ao ponto de tangência (deduzir o local exato). Depois digite TAN pressione enter e clique na outra circunferência, próximo ao ponto de tangência.

Qual a posição de um ponto em relação à circunferência?

• Observando a posição de um ponto em relação a uma circunferência, podemos concluir alguns fatos relacionados às retas tangentes. Sabe-se que existem três posições relativas de um ponto a uma circunferência. Para cada posição desta, podemos concluir algo sobre a reta tangente que passa por esse ponto.

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Existem três possibilidades para a posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência. Partindo da análise desta posição, podemos encontrar a equação da reta que tangencia uma determinada circunferência, que contém este ponto analisado. Este estudo quanto à posição relativa dos pontos em relação à circunferência pode ser visto no artigo Posições Relativas De Duas Retas. Sendo assim, comentaremos sobre cada posição relativa e sua respectiva consequência em relação à reta tangente. Seja P o ponto que iremos analisar:

• P interno à circunferência, implica dizer que não é possível esboçar uma reta tangente. • P sendo um ponto da circunferência. Neste caso o ponto P é o ponto de tangência e com isso será possível esboçar apenas uma reta tangente.

• P externo à circunferência. Podemos esboçar duas retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto P.

Para encontrarmos a equação da reta tangente, iremos utilizar a expressão da distância do centro da circunferência até a reta tangente, distância esta que deve ser igual a r. Veremos então alguns exemplos que necessitam dessa análise e dos cálculos que devem ser realizados para encontrarmos a equação da reta tangente.

Determine as equações das retas tangentes à circunferência λ: x²+y²=1, traçadas pelo ponto P (√3, 0).

Sendo P um ponto externo, sabemos que por este ponto podemos traçar duas retas tangentes à circunferência. Neste momento vamos determinar a equação geral da reta tangente.

Para isso, precisamos partir das informações que temos a respeito desta reta, que é somente o ponto que ela passa P (3,0):

Note que precisamos determinar o valor do coeficiente angular (m) para obtermos a equação da reta tangente. Para isso, utilizaremos a expressão da distância do centro até a reta tangente:

Basta substituirmos na equação da reta tangente o valor de m, que iremos obter as duas retas tangentes:

Como vimos, encontramos duas equações de reta, que representam duas retas tangentes que passam pelo ponto P(√3,0) e tangenciam a circunferência λ: x2+y2=1.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

No estudo sobre as circunferências, um conceito importante a ser estudo é o das retas tangentes a uma circunferência. Para realizarmos esse estudo, é necessário compreender as posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência. Caso você não tenha estudado algo relacionado a esse tema, confira o artigo Posições relativas entre um ponto e uma circunferência.

Observando a posição de um ponto em relação a uma circunferência, podemos concluir alguns fatos relacionados às retas tangentes. Sabe-se que existem três posições relativas de um ponto a uma circunferência. Para cada posição desta, podemos concluir algo sobre a reta tangente que passa por esse ponto. • Ponto interno à circunferência: não é possível traçar uma reta tangente por esse ponto. • Ponto pertencente à circunferência: por esse ponto podemos ter apenas uma reta tangente, pois ele é o ponto de tangência. • Ponto externo à circunferência: por esse ponto podemos traçar duas retas tangentes à circunferência. Portanto, para determinar a equação da reta tangente a uma circunferência por um determinado ponto, precisamos necessariamente determinar a posição relativa desse ponto. Posição esta que depende da distância do ponto ao centro da circunferência. Devemos relembrar alguns fatos importantes acerca da geometria analítica: • A menor distância de um ponto a uma reta é um segmento perpendicular a esta reta; • A reta tangente sempre será perpendicular ao raio no seu ponto de tangência. Relacionando os dois fatos anteriores, pode-se afirmar que a distância da reta tangente ao centro deverá ser igual ao raio. Portanto, para determinar a equação da reta tangente, devemos analisar a posição do ponto que traçaremos à reta e com isso calcular a distância da reta que contém esse ponto em relação ao centro da circunferência.

Para a melhor compreensão de todos esses conceitos, trabalharemos com exemplos que necessitam dessas reflexões.
 

1) Determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) à circunferência dada, traçada pelo ponto P.
     a) eq. circunferência: x2+ y2 - 6x - 8y = 0    P (0,0)

Com isso, podemos extrair as informações necessárias para o nosso problema:
C(3,4), r=5.

Devemos agora encontrar a posição relativa do ponto P (0,0):

Portanto, o ponto P é o ponto de tangência.

Vamos determinar a equação da reta que passa pelo ponto P.

Para determinarmos de fato a equação da reta, nos falta descobrir qual é o coeficiente angular dessa reta. Um dos fatos que vimos no início desse artigo foi quanto à perpendicularidade da reta tangente ao raio da circunferência. O ponto P é um ponto de tangência, então o coeficiente angular da reta que passa pelo ponto P e o centro deverá ser perpendicular à reta tangente. Para isso, temos uma relação entre coeficientes angulares perpendiculares.

Em outras palavras, o produto dos coeficientes angulares de retas perpendiculares é igual a -1.

Para determinar o coeficiente angular do segmento PC, devemos utilizar a seguinte expressão:

Com isso, obtemos a equação da reta tangente:

Uma outra forma para determinar o valor de m seria calculando a distância do centro à reta. Essa distância é igual ao raio. Vejamos:

Quando o ponto for externo à circunferência, deveremos encontrar o ponto de tangência utilizando a distância do centro da circunferência até a reta tangente, pois, assim, iremos determinar o valor do coeficiente angular da reta tangente, que, por sua vez, determinará a equação da reta tangente.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola