Como calcular a área de um triângulo equilátero

A área do triângulo é igual à medida da sua superfície. Para calcular área de um triângulo qualquer, o método mais comum é multiplicar o comprimento da base e da altura e dividir por dois.

Conhecemos como triângulo um polígono que possui três lados, e, de acordo com as suas características, surgem alguns casos especiais de triângulo, por exemplo, o triângulo isósceles, o triângulo equilátero e o triângulo retângulo. Cada um deles possui uma particularidade no momento de calcular a sua área.

Outra maneira de calcular a área de um triângulo é utilizando a fórmula de Heron, que nos permite calcular a área da figura conhecendo a medida dos seus três lados.

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Passo a passo de como calcular a área de um triângulo

O triângulo é um polígono que possui três lados, sendo o polígono com menor quantidade de lados. Ele é amplamente estudado devido à grande importância que tem no cotidiano. Existem fórmulas diferentes para o cálculo de área, a depender do triângulo.

Para calcular a área do triângulo utilizando a fórmula mais comum, primeiro identificamos o comprimento da sua base b e o comprimento da sua altura h.

Agora basta calcular o produto entre a base e a altura e dividir por dois, conforme a fórmula a seguir:

• A é a área.

• b é a base.

• h é a altura.

Exemplo:

Dado o triângulo a seguir, calcule a sua área:

A base é b = 12 e a altura é h = 8, então, para calcular a área, temos que:

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Área do triângulo isósceles

Um triângulo é isósceles quando possui exatamente dois lados congruentes. Para calcular a área do triângulo isósceles, valemo-nos da mesma fórmula utilizada para calcular a área de um triângulo qualquer. Contudo, o isósceles tem uma propriedade importante: a sua altura é também a mediana da base, logo, quando conhecemos os lados de um triângulo isósceles e não conhecemos sua altura, podemos encontrar o comprimento da altura aplicando o teorema de Pitágoras.

Exemplo:

Calcule a área do triângulo isósceles a seguir:

Note que o triângulo é isósceles e que não conhecemos o comprimento da altura. No entanto, se traçarmos a altura no triângulo isósceles, ela também será a mediana da base.

Podemos perceber, ao traçarmos a altura, que dividimos a figura em dois triângulos retângulos, e, para calcular a altura pelo teorema de Pitágoras, temos que:

15² = 9² + h²

225 = 81 + x²

225 – 81 = h²

144 = h²

h² = 144

h = √144

h = 12

Então, a altura é de 12 centímetros.

Conhecendo a altura, e sabendo que a base mede 18 centímetros, então, é possível calcular a área:

Leia também: Qual a soma dos ângulos internos de um triângulo?

Triângulo equilátero

O triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Como consequência dos seus lados congruentes, os ângulos são todos de 60º, logo, utilizando trigonometria, é possível desenvolver uma fórmula para a altura e para a área do triângulo equilátero conhecendo apenas a medida dos seus lados.

As fórmulas para calcular a altura e a área de um triângulo equilátero são:

Exemplo:

Calcule a área e a altura de um triângulo equilátero com os lados medindo 4 metros:

Área do triângulo retângulo

O triângulo é classificado como retângulo quando um dos seus ângulos internos é um ângulo reto. Nesse caso, os lados que formam o ângulo de 90º são conhecidos como catetos do triângulo, e o outro lado oposto ao ângulo de 90º é conhecido como hipotenusa. Para diferenciar os catetos, eles são chamados de cateto maior e cateto menor, conforme a imagem a seguir:

Como os catetos são perpendiculares entre si, um deles sempre será a base e o outro sempre será a altura. Sendo assim, podemos achar a área do triângulo retângulo calculando a metade do produto entre os seus catetos.

Exemplo:

Calcule a área do triângulo retângulo que possui lados medindo 3 cm, 4 cm e 5 cm.

A hipotenusa é sempre o maior lado, que, no caso, é 5 cm. Então, os catetos são 3 cm e 4 cm, e, para calcular a área, temos que:

Veja também: Como classificar um triângulo?

Outras fórmulas para calcular a área de um triângulo

Existe outro método para calcular a área de triângulos conhecido como fórmula de Heron. Utilizamos essa fórmula quando conhecemos apenas a medida dos lados do triângulo, mas não conhecemos a altura. Para aplicar a fórmula de Heron do triângulo de lados a, b e c, primeiro calculamos o semiperímetro, ou seja, metade do perímetro do triângulo.

Conhecendo o valor do semiperímetro, basta utilizar a fórmula:

Exemplo:

Calcule a área de um triângulo escaleno de lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm.

Primeiro calculamos o semiperímetro:

Calculando o semiperímetro, podemos calcular a área:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - A demarcação de terras indígenas refere-se à garantia dos direitos territoriais dos indígenas, estabelecendo os limites de suas terras a fim de garantir a sua identidade. Essa demarcação é prevista por lei, assegurada pela Constituição Federal de 1988 e também pelo Estatuto do Índio (legislação específica). A demarcação de terras indígenas é competência da Fundação Nacional do Índio (Funai).

https://mundoeducacao.uol.com.br/geografia/demarcacao-terras-indigenas.htm

Para realizar a demarcação de terras indígenas, a Funai marcou três pontos essenciais para a manutenção desses povos e os ligou, formando um triângulo, conforme a imagem a seguir:

Sabendo que o retângulo possui lados medindo 2250 km e 1250 km, a área triangular demarcada para a terra indígena é de:

A) 2.812.500 km²

B) 2.238.400 km²

C) 1.980.350 km²

D) 1.620.800 km²

E) 1.406.250 km²

Resolução

Alternativa E

A base do triângulo é igual ao maior lado do retângulo, e a altura é igual ao menor lado do retângulo.

b = 2250

h = 1250

Agora calcularemos a área:

Questão 2 - Uma região é delimitada por um triângulo equilátero que possui lados medindo 12 cm. Qual é a área dessa região: (Use √3 = 1,7)

A) 30,7 cm²

B) 35,4 cm²

C) 40,5 cm²

D) 61,2 cm²

E) 122 cm²

Resolução

Alternativa D

Calculando a área do triângulo equilátero com lado l = 12 cm:

A fórmula para calcular a área de um triângulo equilátero é dada por:

onde, a representa o comprimento de um dos lados do triângulo equilátero.

Derivação desta fórmula

Podemos tomar um triângulo equilátero com lados de comprimento a. Em seguida, desenhamos uma bissetriz perpendicular à base com altura h:

Agora, temos a seguinte fórmula para calcular a área de qualquer triângulo:

$latex  \text{Área}= \frac{1}{2} \times  \text{base} \times \text{altura}$

Aqui, a base é igual a “a” e a altura é igual a “h“.

Se aplicarmos o teorema de Pitágoras ao triângulo, temos:

$latex {{a}^2}={{h}^2}+{{( \frac{a}{2})}^2}$

⇒     $latex {{h}^2}={{a}^2}- \frac{{{a}^2}}{4}$

⇒     $latex {{h}^2}=\frac{3{{a}^2}}{4}$

⇒     $latex h=\frac{\sqrt{3}~a}{2}$

Encontramos o valor da altura, h. Usando esta expressão na fórmula da área, temos:

$latex  \text{Área}= \frac{1}{2} \times  \text{base} \times \text{altura}$

$latex A=\frac{1}{2}\times a \times \frac{\sqrt{3}~a}{2}$

⇒     $latex A=\frac{\sqrt{3}~{{a}^2}}{4}$

Exercícios de área de triângulos equiláteros resolvidos

Aplique a fórmula para a área de um triângulo equilátero acima para resolver os seguintes exercícios. Cada exercício tem sua respectiva solução, mas é recomendável que você tente resolver os exercícios antes de olhar para a solução.

Encontre a área de um triângulo equilátero com lados de 10 m de comprimento.

Podemos usar a fórmula para a área com comprimento de 10 m:

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{10}^2})$

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(100)$

$latex A=43,3$

A área do triângulo equilátero é de 43,3 m².

Qual é a área de um triângulo equilátero com lados de 14 m de comprimento?

Temos um comprimento de 14 m. Então, usando a fórmula com este valor, temos:

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{14}^2})$

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(196)$

$latex A=84,87$

A área do triângulo equilátero é de 84,87 m².

Um triângulo equilátero tem lados de 15 m de comprimento. Qual é a sua área?

Substituímos $latex a=15$ na fórmula da área:

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}({{15}^2})$

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}(225)$

$latex A=97,43$

A área do triângulo equilátero é de 97,43 m².

Um triângulo equilátero tem uma área de 35,07 m². Qual é o comprimento de seus lados?

Nesse caso, partimos da área e queremos encontrar o comprimento dos lados. Então, resolvemos para a:

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$

$latex 35,07= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$

$latex 35,07=0,433{{a}^2}$

$latex {{a}^2}=81$

$latex a=9$

O comprimento dos lados do triângulo é de 9 m.

Qual é o comprimento dos lados de um triângulo equilátero com uma área de 73,18 m²?

Usamos a fórmula da área e resolvemos o comprimento:

$latex A= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$

$latex 73,18= \frac{ \sqrt{3}}{4}{{a}^2}$

$latex 73,18=0,433{{a}^2}$

$latex {{a}^2}=169$

$latex a=13$

O comprimento dos lados do triângulo é de 13 m.

Exercícios de área de um triângulo equilátero para resolver

Ponha em prática o uso da fórmula aprendida para resolver os exercícios seguintes. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.

Veja também

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