Matemática, 15.08.2019 00:58 Após encontrar o resultado da potência (-5)³ e multiplicá-lo por -30,encontra-se a) 125. b) 225. c) -3750. d) 3750. Respostas: 1 Matemática, 15.08.2019 00:53 Em setembro de 2002, a leitura de um hidrômetro registrou 285 m3 . no mês seguinte,a nova leitura registrou 328 m3 . qual o consumo, em litros , nesse período? Respostas: 2 Matemática, 15.08.2019 00:43 Compare as frações abaixo e use > ou < a. 2/6 —- 1/6 b. 8/4 —- 6/4 c. 1/14 —- 2/14 d. 4/10 —- 3/10 e. 5/7 —- 2/7 f. 8/7 —- 6/7 g. 5/17 —- 8/12 h. 4/8 —- 2/8 Respostas: 1
Geografia, 20.10.2020 14:14 Português, 20.10.2020 14:14 Selecione os exercícios por Exercício Contextualizado Os botões acima permitem selecionar que tipos de exercício você deseja ver na lista.
3023 Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{1}^{\ln 8}\!\!\!\int_{0}^{\ln y}e^{x+y}\,dx dy$. $8 \ln(8) - 16 + e.$ 3114 A tendência de uma lâmina de resistir a uma mudança no seu movimento de rotação em torno de um eixo é medida pelo seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se a lâmina ocupar uma região \(R\) do plano \(xy\) e se sua densidade \(\delta(x,y)\) for uma função contínua em \(R\), então os momentos de inércia em torno dos eixos \(x\), \(y\) e \(z\) são denotados por \(I_x\), \(I_y\) e \(I_z\), respectivamente, e são definidos por \begin{align*} I_x & = \iint\limits_R y^2\delta(x,y)\,dA, \\ I_y & = \iint\limits_R x^2\delta(x,y)\,dA, \\ I_z & = \iint\limits_R (x^2+y^2)\delta(x,y)\,dA. \\ \end{align*} Considere a lâmina circular que ocupa a região descrita pelas desigualdades \(0\leq x^2+y^2\leq a^2\). Supondo que a lâmina tenha densidade \(\delta\) constante, mostre que \[ I_x= I_y=\dfrac{\delta\pi a^4}{4}, \quad I_z= \dfrac{\delta\pi a^4}{2}.\] 3019 Esboce a região de integração para a integral iterada $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}\!\!\int_{\sin{y}}^{\ln(y)}f(x,y)\,dx dy$. 2690 Passe para coordenadas polares e calcule.
A região de integração $R$ é descrita na figura seguinte
Notemos que $x^{2}+y^{2}=2x\Leftrightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=1.$ Assim, $$\iint\limits_{ R}x\,dA=\underbrace{\iint\limits_{ \substack{x^{2}+y^{2}\leq 4\\ x\geq 0\\ y\geq 0}}x\,dA}_{(1)} -\,\,\underbrace{\iint\limits_{\substack{(x-1)^{2}+y^{2}\leq 1 \\ y\geq 0}}x\,dA}_{(2)}$$ Para a integral $(1)$ temos em coordenadas polares que $$r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=4\Rightarrow r^{2}=4\Rightarrow r=\pm 2.$$ Logo, $0\leq r\leq 2$ e $0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}.$ Para a integral $(2)$ temos em coordenadas polares que $$(r-\cos \theta-1)^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta=1\Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta-2r\cos \theta+1+r^{2}\sin^{2}\theta=1$$ $$\Rightarrow r^{2}-2r\cos\theta=0\Rightarrow r(r-2\cos \theta)=0\Rightarrow r=0 \mbox{ou} r=2\cos \theta.$$ Logo, $0\leq r\leq 2\cos \theta$ e $0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}.$ Assim, $$\iint\limits_{ R}x\,dA=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r\,\cos \theta \cdot r \,dr\,d\theta- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos \theta}r\cos \theta\cdot r\, dr\,d \theta$$ $$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^{2}\,\cos \theta\,dr\,d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos \theta}r^{2}\,\cos \theta\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\,d\theta \cdot \int_{0}^{2}r^{2}\,dr-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{r^{3}}{3}\cos \theta \bigg|_{0}^{2\cos \theta}\,d\theta$$ $$=\bigg(\sin\theta \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigg)\cdot \bigg(\frac{r^{3}}{3}\bigg|_{0}^{2}\bigg)-\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta$$ $$=\bigg(\sin \frac{\pi}{2}-\sin 0\bigg)\cdot \bigg(\frac{8}{3}-0\bigg)-\frac{8}{3}\bigg(\frac{1}{4}\cos^{3}\theta\,\sin \theta+\frac{3}{8}\theta+\frac{3}{16}\sin 2 \theta\bigg)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ $$=\frac{8}{3}-\frac{8}{3}\bigg[\bigg(\frac{1}{4}\cos^{3}\frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi}{2}+\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{3}{16}\sin2\cdot \frac{\pi}{2}\bigg) -\bigg(\frac{1}{4}\cos^{3}0\sin 0+\frac{3}{8}\cdot 0+\frac{3}{16}\sin 0\bigg)\bigg]$$ $$=\frac{8}{3}-\frac{8}{3}\cdot \bigg(\frac{3\pi}{16}\bigg)=\frac{8}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{16-3\pi}{6}.$$ 2918 Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento 2 e com o canto inferior esquerdo colocado na origem. Se a densidade da pá for $\rho(x,y) = 1 + 0,1\cdot x$, é mais difícil girar a pá em torno do eixo $x$ ou do eixo $y$? Se calcularmos os momentos de inércia sobre $x$ e $y$, poderemos determinar em qual direção será mais difíciel de girar a pá do ventilador. Notemos que a região de integração é o quadrado com lados de comprimento 2 e com o canto inferior esquerdo colocado na origem em ambas as integrais. Então, o momento de inércia sobre o eixo $x$ é dada por: $$I_{x}=\iint\limits_{D}y^{2}\rho(x,y)\,dA=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}y^{2}(1+0,1x)dydx$$ $$=\int_{0}^{2}(1+0,1x)\,dx\cdot \int_{0}^{2}y^{2}\,dy=\bigg(x+0,1\frac{x^{2}}{2}\bigg)\bigg|_{0}^{2}\cdot \bigg(\frac{y^{3}}{3}\bigg)\bigg|_{0}^{2}$$ $$=\bigg[(2+0,2)-0\bigg]\cdot \bigg[\frac{8}{3}\bigg]=\frac{17,6}{3}.$$ Da mesma forma, o momente de inércia sobre o eixo $y$ é dado por: $$I_{y}=\iint\limits{D}x^{2}\rho(x,y)\,dA=\int_{0}^{2}\int_{0}^{2}x^{2}(1+0,1x)dydx$$ $$=\int_{0}^{2}(x^{2}+0,1x^{3})\,dx\cdot \int_{0}^{2}\,dy=\bigg(\frac{x^{3}}{3}+0,1\frac{x^{4}}{4}\bigg)\bigg|_{0}^{2}\cdot \bigg(y\bigg)\bigg|_{0}^{2}$$ $$=\bigg[\bigg(\frac{8}{3}+0,4\bigg)-0\bigg]\cdot \bigg[2-0\bigg]=\frac{18,4}{3}.$$ Como $I_{y}>I_{x}$ é mais difícil girarmos a pá do ventilador em torno do eixo $y.$ 3000 Calcule a integral trocando a ordem de integração. $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{x}^{1}e^{x/y}\,dy dx$. A região de integração é do tipo I, é dada por $$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 1 \mbox{ e } x \leq y \leq 1\}$$ e pode ser vista geometricamente como a região esboçada na figura abaixo. Essa região pode ser descrita como uma região do tipo II da seguinte forma:$$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq y \mbox{ e } 0 \leq y \leq 1\}.$$Assim,\begin{array}{rcl}\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{x}^{1}e^{x/y}\,dy dx & = & \displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{y} \! e^{x/y}\,dx dy \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{1} \! \left. ye^{x/y} \right|_{x=0}^{x=y}\,dx \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{1} \! \left. y(e-1) \right|_{x=0}^{x=y}\,dx \\ & = & \left.(e-1) \frac{y^2}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{e-1}{2}.\end{array} 2894 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{R}\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\,dA$, onde $R=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2| 1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4, 0\leq y\leq x\}.$ $\displaystyle \frac{3\pi^2}{64}.$ 2912 Use a integral dupla em coordenadas polares para deduzir a fórmula $$A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2} r^{2}\,d\theta$$ para a área da região em formato de leque entre a origem e a curva polar $r=f(\theta)$, $\alpha\leq \theta \leq \beta.$ Note que $\displaystyle A = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{0}^{f(\theta)} r dr d\theta. $ 2208 Calcule a integral dupla.
2404 Considere a integral iterada dada por $$\int_{0}^{1} \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{e^{y}}{y}\,dy dx.$$
2019 Uma piscina de 8 por 12 metros está cheia de água. A profundidade é medida em intervalos de 2 metros, começando em um canto da piscina, e os valores foram registrados na tabela. Estime o volume de água na piscina. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \\ \hline 0 & 1 & 1,5 & 2 & 2,4 & 2,8 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 1,5 & 2 & 2,8 & 3 & 3,6 & 3 \\ 4 & 1 & 1,8 & 2,7 & 3 & 3,6 & 4 & 3,2 \\ 6 & 1 & 1,5 & 2 & 2,3 & 2,7 & 3 & 2,5 \\ 8 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1,5 & 2 & 2 \\ \hline\end{array}$$ 2078 Calcule a integral dupla.
2842 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{x-x^{2}}}x\,dy dx$ $\displaystyle \frac{\pi}{16}.$ 2906 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: acima do cone $z=\sqrt{x^2+y^2}$ e abaixo da esfera $x^2+y^2+z^2=1.$ $\displaystyle \frac{\pi}{3}(2 - \sqrt{2}).$ 3022 Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{-2}^{0}(x^{2}y-2xy)\,dy dx$. $0.$ 2261 Calcule $\displaystyle\iint\limits_{B} y\,dx dy$, onde $B$ é o conjunto dado.
3109 Encontre a área da região descrita como sendo a parte do cone \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) dentro do cilindro \(x^2+y^2=2x\). 3101 Seja \(R\) a região triangular de vértices \((0,0)\), \((3,3)\) e \((0,4)\) do plano \(xy\). Expressa como uma integral dupla, qual é área de \(R\)? \(\displaystyle A(R)=\int_0^3\int_x^{-\frac{1}{3}x+4}\,dydx \) 2890 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,dy dx$ 2778 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{4\cos{\theta}} r \, dr d\theta$ $2\pi;$ região de integração: 3021 Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{x}x\sin{y}\,dy dx$. $\dfrac{\pi^{2}}{2} + 2.$ 2169 Calcule as integrais iteradas.
3036 Uma região $R$ é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva $\iint \limits_{R}f(x,y)\,dA$ como uma integral iterada, onde $f$ é uma função qualquer contínua em $R.$ $\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\frac{(x + 1)}{2}} f(x,y) dy dx .$ 2937 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região $\displaystyle D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 2, \ -1 \leq y \leq 1\}$ e tem função densidade $\rho(x,y) = xy^2.$ Massa: $\dfrac{4}{3};$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{4}{3},0 \right).$ 3025 Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{1}^{2}\!\!\int_{y}^{y^{2}} \,dx dy$. $\frac{5}{6}.$ 2408 Inverta a ordem de integração.
3034 Uma região $R$ é mostrada na figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva $\iint \limits_{ R}f(x,y)\,dA$ como uma integral iterada, onde $f$ é uma função qualquer contínua em $R.$ $\displaystyle \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{4} f(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) r d r d \theta.$ 3007 Calcule o centro de massa da região: $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + 4y^2 \leq 1, \ y \geq 0\}$ e a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo $x$. $\displaystyle \left(0, \frac{3\pi}{32} \right).$ 2262 Calcule $\displaystyle\iint\limits_{B} y\,dx dy$, onde $B$ é o conjunto dado.
3106 Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do cilindro \(y^2+z^2=9\) que está acima do retângulo \(\displaystyle R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ 0\leq x\leq 2,\ -3\leq y\leq 3\}\). 2999 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. $\displaystyle\int_{1}^{2}\!\!\int_{0}^{\ln(x)} \! f(x,y)\,dy dx$. Note que a região de integração é do tipo I, é dada por $$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 1 \leq x \leq 2 \mbox{ e } 0 \leq y \leq \ln(x)\}$$ e pode ser vista geometricamente como a região esboçada na figura abaixo. Além disso, ela pode ser descrita como uma região do tipo II da seguinte forma:$$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: e^y \leq x \leq 2 \mbox{ e } 0 \leq y \leq \ln{2}\}.$$Portanto, a integral pode ser reescrita como$\displaystyle\int_{0}^{\ln{2}}\!\!\int_{e^y}^{2} \! f(x,y)\,dx dy$. 2077 Calcule a integral dupla.
3031 No cálculo de uma integral dupla sobre uma região $D$, obtivemos uma soma de integrais iteradas como a que segue: $$\int\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\! D} \! f(x,y)\,dA=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2y} \! f(x,y)\,dx dy+\int_{1}^{3}\!\!\int_{0}^{3-y} \! f(x,y)\,dx dy.$$ Esboce a região $D$ e expresse a integral dupla como uma integral iterada com ordem de integração contrária. $\displaystyle \int_{0}^{2}\!\!\int_{\frac{x}{2}}^{3-x} \! f(x,y)\,dx dy.$ 2211 Ao calcular, por integração dupla, o volume $V$ do sólido situado abaixo do parabolóide $z=x^{2}+y^{2}$ e limitado inferiormente por uma certa região $D$ no plano $xy$, chegou-se à seguinte expressão: $$V=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{y}(x^{2}+y^{2})\,dx dy+\int_{1}^{2}\int_{0}^{2-y}(x^{2}+y^{2})\,dx dy.$$
3095 Cada integral iterada abaixo representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido. (Não é necessário calcular o volume.)
2108 Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos $[a,b]$ e $[c,d].$ Use o seguinte resultado $$\iint\limits_{R}f(x)g(y)\,dx dy=\bigg(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\bigg),$$ onde $R$ é o retângulo $a\leq x\leq b$ e $c\leq y\leq d$, para calcular as integrais
2911 Ao calcular por integração dupla o volume $V$ do sólido situado abaixo do gráfico de $f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}$ e limitado inferiormente por uma certa região $D$ no plano $xy$, chegou-se à seguinte expressão: $$V=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}e^{x^{2}+y^{2}}\,dy dx-\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}e^{x^{2}+y^{2}}\,dy dx.$$
2777 Esboce a região cuja área é dada pela integral $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} \int_{4}^{7} r\, dr d\theta$ e calcule-a: $\displaystyle \frac{33\pi}{2};$ região de integração: 3110 A parte da superfície \[ z= \dfrac{h}{a}\sqrt{x^2+y^2}\quad\left(a,\ h>0\right) \] entre o plano \(xy\) e o plano \(z=h\) é um cone circular reto de altura \(h\) e raio \(a\). Use uma integral dupla para mostrar que a área da superfície lateral desse cone é dada por \(\displaystyle S=\pi a\sqrt{a^2+h^2}\). 3026 Calcule $\int_{0}^{1}\!\int_{x}^{1}3y^{4}\cos(xy^{2})\,dy dx$. Esboce a região de integração. $1 - \cos(1).$ 2023 Calcule a integral dupla, identificando-a antes com o volume de um sólido.
3008 Calcule o centro de massa da região: $D$ o triângulo de vértices $(0,0), (0,1)$ e $(1,1)$ e a densidade é proporcional à distância do ponto à origem. $\displaystyle \left(\frac{3}{4}, \frac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2} + 2\ln(1 + \sqrt{2})} \right).$ 2784 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA$, onde $R$ é limitado pelo triângulo de vértices $(0,0)$, $(3,0)$ e $(3,3).$ $\displaystyle \frac{9}{2} (\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)).$ 2689 Passe para coordenadas polares e calcule.
2780 Calcule a integral dupla utilizando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}(x^{2}+y^{2})\,dx dy$, onde $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}| 1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4\}.$ $\displaystyle \frac{15\pi}{2}.$ 3038 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a, sendo: $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} \int_{4}^{7} r \, dr d\theta.$ $\displaystyle \frac{33\pi}{2};$ região de integração: 2017 Determine o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano $3x+2y+z=6.$ O sólido cujo volume deve ser calculado é $$E = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3; (x,y) \in R \mbox{ e } 0 \leq z \leq 6 - 3x - 2y\},$$ em que $R$ é a projeção de $E$ no plano $xy$. Assim, o volume é dado por $$V = \displaystyle\int\!\!\!\!\int\limits_{R}(6-3x-2y)\,dA.$$ A região $R$ é tanto do tipo I como do tipo II, então é possível escrevê-la de pelo menos duas formas. Escrevendo como uma região do tipo I, obtemos: $$R = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 2 \mbox{ e } 0 \leq y \leq \frac{6-3x}{2}\right\}.$$ Portanto, \begin{eqnarray*} V & = & \displaystyle\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{\frac{6-3x}{2}}(6-3x-2y)\,dy dx \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{2} \left.\left(6y-3xy-y^2 \right|_{y=0}^{y=\frac{6-3x}{2}} \right) \,dx \\ & = & \displaystyle\int_{0}^{2} \left(9-9x+\frac{9x^2}{4}\right) \,dx \\ & = & \left.9x-\frac{9x^2}{2}+\frac{9x^3}{12} \right|_{x=0}^{x=2} = 6. \end{eqnarray*} Observe que podemos escrever $R$ como uma região do tipo II, obtendo: $$R = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq \frac{6-2y}{3} \text{ e } 0 \leq y \leq 3\right\}.$$ Então, uma outra expressão para $V$ é $$V = \displaystyle\int_{0}^{3}\!\int_{0}^{\frac{6-2y}{3}}(6-3x-2y)\,dx dy = 6.$$ 2110 Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos $[a,b]$ e $[c,d].$ Use o seguinte resultado $$\iint\limits_{R}f(x)g(y)\,dx dy=\bigg(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\bigg),$$ onde $R$ é o retângulo $a\leq x\leq b$ e $c\leq y\leq d$, para calcular as integrais
2380 Determine $\int_{0}^{5}f(x,y)\,dx$ e $\int_{0}^{1}f(x,y)\,dy$, sendo $f(x,y)=12x^{2}y^{3}.$ $\int_{0}^{5} 12x^{2}y^{3} \,dx = 500y^{3}$ e $\int_{0}^{1} 12x^{2}y^{3} \,dy = 3x^{2}.$ 3113 A tendência de uma lâmina de resistir a uma mudança no seu movimento de rotação em torno de um eixo é medida pelo seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se a lâmina ocupar uma região \(R\) do plano \(xy\) e se sua densidade \(\delta(x,y)\) for uma função contínua em \(R\), então os momentos de inércia em torno dos eixos \(x\), \(y\) e \(z\) são denotados por \(I_x\), \(I_y\) e \(I_z\), respectivamente, e são definidos por \begin{align*} I_x & = \iint\limits_R y^2\delta(x,y)\,dA, \\ I_y & = \iint\limits_R x^2\delta(x,y)\,dA, \\ I_z & = \iint\limits_R (x^2+y^2)\delta(x,y)\,dA. \\ \end{align*} Considere a lâmina retangular que ocupa a região descrita pelas desigualdades \(0\leq x\leq a\) e \( 0\leq y\leq b\). Supondo que a lâmina tenha densidade \(\delta\) constante, mostre que \[ \begin{array}{lll} I_x= \dfrac{\delta ab^3}{3}, & I_y= \dfrac{\delta a^3b}{3}, & I_z= \dfrac{\delta ab(a^2+b^2)}{3}. \end{array} \] 2785 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA$, onde $R$ é limitado pelo círculo $y=\sqrt{2x-x^{2}}$ e pela reta $y=x.$ $\displaystyle \frac{8}{9}(2 - \frac{5}{4}\sqrt{2}).$ 2783 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dA$, onde $R$ é a região anular limitada por $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ e $x^{2}+y^{2}=b^{2}$, $0< a< b.$ $\displaystyle \frac{\pi}{2}(b^2 - a^2).$ 2071 Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{ R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a 2936 Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo $1 \leq x \leq 3$, $0 \leq y \leq 2$, de modo que a densidade de carga em $(x,y)$ é $\sigma(x,y) = 2xy + y^2$ (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo. $\displaystyle \frac{64}{3}$ Coulombs. 3039 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a, sendo: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{4\cos{\theta}} r \,drd\theta.$ $2\pi;$ região de integração: 2414 Inverta a ordem de integração, integrando primeiro em $y$ e depois em $x$ para calcular a integral:
2904 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: dentro da esfera $x^2+y^2+z^2=16$ e fora do cilindro $x^{2}+y^{2}=4.$ $\displaystyle 32\sqrt{3}\pi.$ 2018
2266 Calcule $\displaystyle\iint\limits_{B}f(x,y)\,dx dy$ sendo dados:
2770 Utilize coordenadas polares para combinar a soma $$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \int_{\sqrt{1-x^{2}}}^{x}xy\,dy dx+\int_{1}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{x}xy\,dy dx+\int_{\sqrt{2}}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}xy\,dy dx$$ em uma única integral dupla. Em seguida, calcule essa integral dupla. Queremos combinar a soma, abaixo, de integrais em uma única: $$\underbrace{\int_\frac{1}{\sqrt{2}}^{1} \int_\sqrt{1-x^{2}}^{x}xy\,dy dx}_{1}+\underbrace{\int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{x}xy\,dy dx}_{2}+ \underbrace{\int_{\sqrt{2}}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}xy\,dy dx}_{3}$$ Na figura abaixo, temos que a região da esquerda corresponde à região de integração da integral $(1)$, a região do meio corresponde à região de integração da integral $(2)$ e a região da esquerda corresponde à região de integração da integral $(3)$.
3003 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região $D$ e tem função densidade $\rho$, sendo: $\displaystyle D = \{(x,y) \in\mathbb{R}^2: 0 \leq y \leq \sin{(\pi x/L)}, \ 0 \leq x \leq L\}; \quad \rho(x,y) = y$. Massa: $\dfrac{L}{4};$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{L}{2},\frac{16}{9\pi} \right).$ 3032 Considere a integral $$\int_{0}^{1}\!\!\int_{x^{2}}^{1}x^{3}\sin{y^{3}}\,dy dx.$$
2357 Calcule o volume do conjunto dado.
2923 Utilize a integral dupla para determinar a área da região: limitada pelo eixo $x$ positivo e pela espiral $r=4\theta/3$, $0\leq \theta \leq 2\pi.$ A região se parece com uma concha de caracol. 2895 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: abaixo do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e acima do disco $x^{2}+y^{2}\leq 4.$ $\displaystyle \frac{16\pi}{3}.$ 2416 Determine o volume do sólido descrito abaixo.
2350 Determine o valor médio de $f(x,y)=e^{y}\sqrt{x+e^{y}}$ sobre o retângulo $R=[0,4]\times [0,1].$ $\dfrac{(4 + e)^{5/2} - e^{5/2} - 5^{5/2} + 1}{15}.$ 3105 Mostre que \[ \int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{(1+x^2+y^2)^2}\,dxdy= \dfrac{\pi}{4}.\] 3029 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. $\displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}}f(x,y)\,dx dy$. 2940 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região $D$ e tem função densidade $\rho$, quando: $D$ é delimitada por $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$ e $x = 1; \quad \rho(x,y) = y$. Massa: $\dfrac{1}{4}(e^{2} - 1);$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{e^2 + 1}{2(e^2 - 1)},\frac{4(e^3 - 1)}{9 (e^2 - 1)} \right).$ 3156 Seja $S$ uma superfície plana paralela ao plano $xy$. Mostre que a fórmula para o cálculo de áreas de superfícies nesse caso reduz à fórmula de integrais duplas para o cálculo de área de regiões planas. 2405 Inverta a ordem de integração.
2907 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: dentro do cilindro $x^2+y^2=4$ e do elipsoide $4x^2+4y^2+z^2=64.$ $\displaystyle \frac{8\pi}{3} (64 - 24\sqrt{3}).$ 2352 Calcule o volume do conjunto dado.
2349 Calcule o volume do conjunto dado.
2413 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico $x^{2}/4+y^{2}/9+z=1$ e acima do retângulo $R=[-1,1]\times [-2,2].$ 2891 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}}\ln(x^{2}+y^{2}+1)\,dx dy$ $\displaystyle \pi (\ln(4) - 1).$ 3037 Uma região $R$ é mostrada na figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva $\iint \limits_{R}f(x,y)\,dA$ como uma integral iterada, onde $f$ é uma função qualquer contínua em $R.$ $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{3}^{6} f(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) r d r d \theta.$ 3099 Mostre (verifique) que as integrais abaixo podem ser calculadas como:
2356 Calcule o volume do conjunto dado.
2419 Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro $z=16-x^{2}$ e pelo plano $y=5.$ 3001 A figura mostra o mapa de contorno de $f$ no quadrado $R = [0,4] \times [0,4]$.
2848 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{ D}xy\,dA$, onde $D$ é o disco com centro na origem e raio 3. 2074 Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ dada por
3096
2207 Calcule as integrais iteradas.
2846 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{D}e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA$, onde $D$ é a região delimitada pelo semicírculo $x=\sqrt{4-y^{2}}$ e o eixo $y.$ $\displaystyle \frac{\pi}{2} (1 - e^{-4}).$ 2111 Utilize simetria para calcular $\iint\limits_{D}(2-3x+4y)\,dA$, onde $D$ é a região limitada pelo quadrado com vértices $(\pm 5,0)$ e $(0,\pm 5).$ 2935 Utilize o resultado $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt{\pi}$ para calcular as integrais:
2841 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy dx$ $\displaystyle \frac{2}{45}(1 + \sqrt{2}) + \frac{\pi}{3\sqrt{2}}.$ 2781 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}e^{x^{2}+y^{2}}\,dx dy$, onde $R$ é o conjunto de todos os $(x,y)$ tais que $1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4$, $-x\leq y\leq x$ e $x\geq 0.$ $\displaystyle \frac{\pi}{4}(e^4 - e).$ 2351 Calcule o volume do conjunto dado.
3103 Use uma integral dupla para calcular a área da região \(R\) entre a parábola \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) e a reta \(y = 2x\). Denotando por \(A(R)\) a área de \(R\), teremos que \begin{align*} A(R) & = \iint_R\,dA = \int_0^4\int_{x^2/2}^{2x}\,dydx = \int_0^4\left[y\right]_{y=x^2/2}^{2x}\,dx \\ & = \int_0^4\left(2x-\dfrac{1}{2}x^2\right)\,dx = \left[x^2-\dfrac{x^3}{6}\right]_0^4= \dfrac{16}{3}. \end{align*} De outra forma, fixando primeiro a variável \(y\), teríamos \begin{align*} A(R) & = \iint_R\,dA = \int_0^8\int_{y/2}^{\sqrt{2y}}\,dxdy = \int_0^8\left[x\right]_{x=y/2}^{\sqrt{2y}}\,dy \\ & = \int_0^8\left(2y-\dfrac{1}{2}y\right)\,dy = \left[\dfrac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}-\dfrac{y^2}{4}\right]_0^8= \dfrac{16}{3}. \end{align*} 3092
2264 Calcule $\displaystyle\iint\limits_{B}f(x,y)\,dx dy$ sendo dados:
3153 Mude a ordem de integração para mostrar que:$$ \int_0^a \left[ \int_0^y e^{m(a-x)} f(x) \, dx \right] dy = \int_0^a (a-x) e^{m(a-x)} f(x) \, dx,$$ onde $a$ e $m$ são constantes e $a>0$. 3004 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região $D$ e tem função densidade $\rho$, sendo: $D$ delimitada pelas parábolas $y = x^2$ e $x = y^2; \quad \rho(x,y) = \sqrt{x}$. Massa: $\dfrac{3}{14};$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{14}{27},\frac{28}{55} \right).$ 2072 Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a
3017 Esboce a região de integração para a integral iterada $\displaystyle\int_{-1}^{2}\!\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{4-x^{2}}f(x,y)\,dy dx$. 2913 Suponha que a área de uma região no plano de coordenadas polares seja $$A=\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_{\mathrm{cosec\,}{\theta}}^{2\sin{\theta}}r\,dr d\theta.$$ Esboce a região e encontre sua área. $A = \dfrac{\pi}{2};$ região: 3011 A fronteira de uma lâmina consiste nos semicírculos $y = \sqrt{1 - x^2}$ e $y = \sqrt{4 - x^2}$, juntamente com as partes do eixo $x$ que os une. Encontre o centro de massa da lâmina se a densidade em qualquer ponto é proporcional à sua distância da origem. $\displaystyle \left(0, \frac{45}{14\pi} \right).$ 3098 Como não há antiderivada elementar da função \(e^{x^2}\), a integral \[ \int_0^2\int_{y/2}^1 e^{x^2}\, dxdy \] não pode ser calculada integrando-se primeiro em relação a \(x\). Calcule essa integral expressando-a como uma integral iterada equivalente com ordem de integração invertida. A região de integração é dada por \(\displaystyle R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ 0\leq y\leq 2,\ y/2\leq x\leq 1\}\). Vamos inverter a ordem de integração sobre a região \(R\):\begin{align*} \int_0^2\int_{y/2}^1 e^{x^2}\, dxdy & = \iint\limits_R e^{x^2}\,dA = \int_0^1\int_0^{2x} e^{x^2}\,dydx= \int_0^1\left[e^{x^2}y\right]_{y=0}^{2x}\,dx \\ & = \int_0^1 2xe^{x^2}\,dx = \left.e^{x^2}\right]_0^1 = e-1 \end{align*} 2920 Utilize a integral dupla para determinar a área da região: um laço da rosácea $r=\cos(3\theta).$ $\displaystyle \frac{\pi}{12}.$ 2412 Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano $3x+2y+z=12$ e acima do retângulo $R=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2|\;0\leq x\leq 1,\;-2\leq y\leq 3\}.$ 3013 A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias $X$ e $Y$ é $$f(x,y) = \begin{cases} Cx(1 + y), & \quad \text{se } 0 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 2,\\ 0, & \quad \text{caso contrário}.\end{cases}$$
2909 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo paraboloide $z=9-x^2-y^2$ e pelo plano $z=5.$ 3112 Encontre a área da parte da superfície \(z=\sqrt{4-x^2}\) que fica acima do retângulo \(R\) do plano \(xy\) cujas coordenadas satisfazem \(0\leq x\leq 1\) e \(0\leq y\leq 4\). A superfície é uma parte do cilindro \(x^2+z^2=4\) localizada no primeiro octante. Neste caso, como \(z=f(x,y)\), podemos tomar \(x=u\) e \(y=v\) como parâmetros. Assim, teremos que \(\displaystyle \mathbf{r}=u\mathbf{i}+v\mathbf{j}+f(u,v)\mathbf{k} \) e \[ \|\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}\| = \sqrt{\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2+1}.\] Segue para a área que \begin{align*} S & = \iint\limits_R\sqrt{\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2+1}\,dA \\ & = \iint\limits_R\sqrt{\left(-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right)^2+ 0 + 1}\,dA = \int_0^4\int_0^1\dfrac{2}{\sqrt{4-x^2}}\,dxdy \\ & = 2\int_0^4\left[\arcsin\left(\dfrac{1}{2}x\right)\right]_{x=0}^1\,dy = 2\int_0^4\dfrac{\pi}{6}\,dy = \dfrac{4}{3}\pi. \end{align*} 2850 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{R}\,dx dy$, onde $R$ é a região, no plano $xy$, limitada pela curva (dada em coordenadas polares) $\rho=\cos(2\theta)$, $\dfrac{\pi}{8}\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{4}.$ $\displaystyle \frac{3\pi + 2}{32}.$ 2893 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{-1}^{0} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{0}\frac{2}{1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dy dx$ 2263 Calcule $\displaystyle\iint\limits_{B}f(x,y)\,dx dy$ sendo dados:
2905 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: uma esfera de raio $a.$ $\displaystyle \frac{4\pi}{3}a^3.$ 2407 Inverta a ordem de integração.
3093 Use um software de apoio computacional para mostrar que o volume \(V\) sob a superfície \(z=xy^3\sin(xy)\) e acima do retângulo \([0,\pi]\times[0,1]\) no plano \(xy\) é dado por \(V=3/\pi\). 2844 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}(x^{2}+y^{2})\,dx dy$ $\displaystyle \frac{\pi}{8}.$ 2415 Calcule a integral trocando a ordem de integração.
2355 Calcule o volume do conjunto dado.
2353 Calcule o volume do conjunto dado.
2938 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região $D$ e tem função densidade $\rho$, sendo:$D$ a região triangular com vértices $(0,0), (2,1), (0,3)$ e $\rho(x,y) = x + y$. Massa: $6;$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{3}{4},\frac{3}{2} \right).$ 2771 Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco $x^2 + y^2 \leq 4$ de modo que a densidade de carga em $(x,y)$ é $\sigma(x,y) = x + y + x^2 + y^2$ (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total do disco. Como a carga elétrica é distribuída sobre o disco $x^2 + y^2 \leq 4$, em coordenadas polares temos que $0\leq r \leq 2$ e $0\leq \theta \leq 2\pi.$ Temos que $$Q=\iint\limits_{D}\sigma(x,y)\,dA=\iint\limits_{D}(x+y+x^{2}+y^{2})\,dA$$ $$=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(r\,\cos \theta+r\,\sin \theta+r^{2})r\,dr\, d \theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(r^{2}\,\cos \theta+r^{2}\,\sin \theta+r^{3})\,dr\, d \theta$$ $$=\int_{0}^{2\pi}\bigg(\frac{r^{3}}{3}\cos \theta+\frac{r^{3}}{3}\sin \theta +\frac{r^{4}}{4}\bigg)\bigg|_{0}^{2}\,d\theta= \int_{0}^{2\pi}\bigg(\frac{8}{3}\cos \theta+\frac{8}{3}\sin \theta+4\bigg)\,d\theta$$ $$=\bigg(\frac{8}{3}\sin\theta-\frac{8}{3}\cos\theta+4\theta\bigg)\bigg|_{0}^{2\pi}=\bigg(-\frac{8}{3}+8\pi\bigg)-\bigg(-\frac{8}{3}\bigg)$$ $$=-\frac{8}{3}+8\pi+\frac{8}{3}=8\pi.$$ 3012 Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tendo comprimento $a$, se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa. $\displaystyle \left(\frac{2a}{5}, \frac{2a}{5} \right).$ 2079 Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos $[a,b]$ e $[c,d].$ Prove que $$\iint\limits_{R}f(x)g(y)\,dx dy=\bigg(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\bigg),$$ onde $R$ é o retângulo $a\leq x\leq b$ e $c\leq y\leq d.$ Note que $$ \int_{c}^{d} \left[\int_{a}^{b}f(x)g(y)\,dx\right] \;dy = \int_{c}^{d} \left[\int_{a}^{b}f(x)\,dx\right]g(y) \;dy = \left(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\right) \int_{c}^{d} g(y) \;dy.$$ 3027 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada $$\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy dx.$$ 2922 Utilize a integral dupla para determinar a área da região: cortada do primeiro quadrante pela curva $r=2(2-\sin(2\theta))^{1/2}.$ 3028 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. $\displaystyle\int_{0}^{4}\!\!\int_{0}^{\sqrt{x}} \! f(x,y)\,dy dx$. 2921 Utilize a integral dupla para determinar a área da região: dentro da cardióide $r=1+\cos{\theta}$ e fora do círculo $r=3\cos{\theta}.$ $\displaystyle \frac{\pi}{4}.$ 2896 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo hiperboloide $-x^2-y^2+z^2=1$ e acima do plano $xy.$ $\displaystyle \frac{4\pi}{3}.$ 3009 Calcule o centro de massa da região $D$ dada.
2210 Considere a integral $$\int_{0}^{2}\int_{\frac{y}{2}}^{1}ye^{x^{3}}\,dx dy.$$
3005 Determine os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região $D$ e tem função densidade $\rho$ quando: $D$ é a região triangular delimitada pelas retas $x = 0, \ y = x$ e $2x + y = 6; \quad \rho(x,y) = x^2$. $\displaystyle I_{x} = \dfrac{1}{16}(e^4 - 1),$ $I_{y} = \dfrac{1}{16}(e^4 - 1)$ e $I_{0} = \dfrac{1}{16}(e^4 + 2e^2 - 3).$ 2934 Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste a oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina. 2382 Calcule a integral iterada.
3035 Uma região $R$ é mostrada na figura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva $\iint\limits_{R}f(x,y)\,dA$ como uma integral iterada, onde $f$ é uma função qualquer contínua em $R.$ $\displaystyle \int_{-1}^{1} \int_{0}^{1 - x^2} f(x,y) dy dx .$ 2914 Considere a integral dada em coordenadas polares por $$\int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{2\cos{\theta}}r\,dr d\theta,$$ a qual representa a área de uma região $R$ do plano $xy.$
3010 Uma lâmina ocupa parte do disco $x^2 + y^2 \leq 1$ no primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo $x$. $\displaystyle \left(\frac{3}{8}, \frac{3\pi}{16} \right).$ 2919 Utilize a integral dupla para determinar a área da região: no interior do círculo $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ e fora do círculo $x^{2}+y^{2}=1.$ $\displaystyle \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}.$ 3108 Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do cone \(z^2=4x^2+4y^2\) que está acima da região do primeiro quadrante limitada pela reta \(y=x\) e a parábola \(y=x^2\). 2260 Escreva a integral dupla $$\iint\limits_{R}x\cos{y}\;dA,$$ onde $R$ é limitada pelas retas $y=0$, $x=\pi/4$ e $y=x$, das duas formas possíveis (mudando a ordem de integração). Escolha uma dessas formas e calcule o valor dessa integral. $\displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{x} x \cos(y)\;dy\;dx = \int_{0}^{\pi/4} \int_{y}^{\pi / 4} x \cos(y)\;dx\;dy = -\frac{\pi - 4}{4\sqrt{2}}.$ 3018 Esboce a região de integração para a integral iterada $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{\sqrt{y}}^{3\sqrt{y}}f(x,y)\,dx dy$. 2837 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dA$, onde $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}| x^{2}+y^{2}\leq 4, x\geq 1\}.$ 2418 Calcule a área limitada pelas curvas $x=y^{2}-1$ e $x=2y^{2}-2.$ 3102 A reta \(y=2-x\) intersecta a parábola \(y=x^2\) nos pontos \((-2,4)\) e \((1,1)\). Mostre que, se \(R\) denotar a região englobada por \(y=2-x\) e \(y=x^2\), então \[ \iint_R\left(1+2y\right)\,dA = \int_{-2}^1\int_{x^2}^{2-x}\left(1+2y\right)\,dydx = 18,9 \] 2843 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\,dy dx$ $\displaystyle \frac{\pi}{2}.$ 2209 Calcule a integral dupla.
2782 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}(x^{2}+y^{2})^{3/2}\,dA$, onde $R$ é limitado pelo círculo $x^{2}+y^{2}=4.$ $\displaystyle \frac{64\pi}{5}.$ 2417 Determine o volume do sólido.
2265 Calcule $\displaystyle\iint\limits_{B}f(x,y)\,dx dy$ sendo dados:
2847 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{R}\cos(x^{2}+y^{2})\,dA$, onde $R$ é a região acima do eixo do $x$ e dentro da circunferência $x^{2}+y^{2}=9.$ $\displaystyle \frac{\pi}{2} \sin(9).$ 2383 Calcule a integral iterada.
3097 Suponha que a temperatura, em graus Celsius, num ponto \((x,y)\) de uma chapa metálica plana seja \( T(x,y)=10-8x^2-2y^2 \), onde \(x\) e \(y\) são medidos em metros. Calcule a temperatura média da porção retangular da chapa dada por \(0\leq x\leq 1\) e \(0\leq y\leq 2\). \(\dfrac{14}{3}\) \({}^\circ\)C 2840 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\,dA$, onde $R$ é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo $x^{2}+y^{2}=25.$ $\displaystyle \frac{25 \pi^2}{16}.$ 3016 Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada $$\int_{0}^{1} \!\! \int_{0}^{1}(4-x-2y)\, dx dy.$$ 2838 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}y\,dA$, onde $R$ é a região no primeiro quadrante limitada pelo semi-círculo $x^{2}+y^{2}=2x.$ $\displaystyle \frac{2}{3}.$ 2073 Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{ R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a 3020 Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{2}(4-y^{2})\,dy dx$. $16.$ 3094 Cada integral iterada abaixo representa o volume de um sólido. Faça um esboço do sólido. (Não é necessário calcular o volume.)
3024 Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}(\sin{x}+\cos{y})\,dx dy$. $2\pi.$ 3111 As equações paramétricas \[\begin{array}{lll} x=u, & y=u\cos v, & z=u\sin v \end{array}\] representam o cone que resulta quando a reta \(y=x\) do plano \(xy\) é girada em torno do eixo \(x\). Determine a área de superfície da parte do cone para a qual \(0\leq u\leq 2\) e \(0\leq v\leq 2\pi\). Sendo \(\displaystyle\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}\) a base canônica do espaço, a superfície pode ser representada vetorialmente como \[ \mathbf{r}=u\mathbf{i}+u\cos v\mathbf{j}+u\sin v\mathbf{k} \ \ \left(0\leq u\leq 2,\ 0\leq v\leq 2\pi\right). \] Assim, teremos \begin{align*} \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} & = \mathbf{i} + \cos v\mathbf{j} + \sin v\mathbf{k} \\ \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} & = - u\sin v\mathbf{j} + u\cos v\mathbf{k} \\ \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial\mathbf{r}} {\partial v} & = \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & \cos v & \sin v \\ 0 & -u\sin v & u\cos v \end{array} \right| = u\mathbf{i} -u\cos v\mathbf{j} - u\sin v\mathbf{k} \\ \|\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\| & = \sqrt{u^2+(-u\cos v)^2+(-u\sin v)^2} = |u|\sqrt{2} = u\sqrt{2}. \end{align*} Segue, portanto, que \[ S = \iint\limits_R\|\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\|\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^2\sqrt{2}u\,dudv = 2\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\,dv = 4\pi\sqrt{2}. \] 3006 Calcule o centro de massa do quadrado $D$ dado por $0 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 1$ e com densidade $\quad \rho(x,y) = y$. $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, \frac{2}{3} \right).$ 2839 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits{R}\sin(x^{2}+y^{2})\,dA$, onde $R$ é a região acima do eixo $x$ e dentro da circunferência $x^{2}+y^{2}=9.$ $\displaystyle \frac{\pi}{2}(1 - \cos(9).$ 3107 Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do plano \(2x+2y+z=8\) no primeiro octante. 2259 Considere a integral $$\int_{0}^{1}\int_{3y}^{3}e^{x^{2}}\,dx dy.$$
2939 Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região $D$ e tem função densidade $\rho$ quando: $D$ é a região triangular delimitada pelas retas $x = 0, \ y = x$ e $2x + y = 6; \quad \rho(x,y) = x^2$. Massa: $4;$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{6}{5},\frac{12}{5} \right).$ 2384 Calcule a integral iterada.
3030 Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{\arctan{x}}^{\pi/4}\!f(x,y)\,dy dx$. 3040
2845 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{6} \int_{0}^{y}x\,dx dy$ 2075 Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a
2410 Inverta a ordem de integração.
3100 Mostre (verifique) que as integrais abaixo podem ser calculadas como:
3104 Use coordenadas polares para calcular a integral dupla \[ \iint_R e^{-(x^2+y^2)}\,dA, \] onde \(R\) é a região contida no círculo \(x^2+y^2=1\). \(\displaystyle (1-e^{-1})\pi \) 2354 Calcule o volume do conjunto dado.
2381 Calcule a integral iterada.
2779 Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}(x^{2}+2y)\,dx dy$, onde $R$ é o círculo $x^{2}+y^{2}\leq 4.$ 3015
2385 Expresse a integral dupla, sobre a região $R$ indicada, como uma integral iterada e ache seu valor.
3014
2851 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{R}x\,dx dy$, onde $R$ é a região, no plano $xy$, limitada pela curva (dada em coordenadas polares) $\rho=\cos(3\theta)$, $-\dfrac{\pi}{6}\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{6}.$ $\displaystyle \frac{81\sqrt{3}}{320}.$ 2076 Seja $R$ o retângulo $1\leq x\leq 2$, $0\leq y\leq 1$. Calcule $\iint\limits_{R} f(x,y)\,dxdy$, sendo $f(x,y)$ igual a
2908 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo cone $z^2=x^2+y^2$ e pelo cilindro $x^2+y^2=2x.$ 2109 Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções contínuas, respectivamente, nos intervalos $[a,b]$ e $[c,d].$ Use o seguinte resultado $$\iint\limits_{R}f(x)g(y)\,dx dy=\bigg(\int_{a}^{b}f(x)\,dx\bigg)\bigg(\int_{c}^{d}g(y)\,dy\bigg),$$ onde $R$ é o retângulo $a\leq x\leq b$ e $c\leq y\leq d$, para calcular as integrais
2406 Inverta a ordem de integração.
2016 Encontre o volume do sólido delimitado pelo parabolóide $z=2+x^{2}+(y-2)^{2}$ e pelos planos $z=1$, $x=1$, $x=-1$, $y=0$ e $y=4.$ Observe que o sólido $E$ está abaixo da superfície $z = 2+x^2+(y-2)^2$ e acima do retângulo $[-1,1]\times [0,4]$ em $z=1$ (ver figura abaixo). Algebricamente, $$E = \{(x,y,z) \in\mathbb{R}^3: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 4 \mbox{ e } 1 \leq z \leq 2 + x^2 + (y-2)^2\}.$$ Logo, o volume é dado por $$V = \iint\limits_{R}(2+x^2+(y-2)^2)\,dA - \iint\limits_{ R}\,dA,$$ em que $R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2; -1 \leq x \leq 1 \mbox{ e } 0 \leq y \leq 4 \}$. Assim, \begin{eqnarray*} V & = & \displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{0}^{4}(x^2+y^2-4y+5)\,dy dx \\ & = & \displaystyle\int_{-1}^{1} \left.\left(x^2y+\frac{y^3}{3}-2y^2+5y \right|_{y=0}^{y=4} \right) \,dx \\ & = & \displaystyle\int_{-1}^{1} \left(4x^2+\frac{28}{3}\right) \,dx \\ & = & \left.\frac{4x^3}{3}+\frac{28x}{3} \right|_{x=-1}^{x=1} = \frac{64}{3}. \end{eqnarray*} Observe que, pelo Teorema de Fubini, podemos optar por calcular a integral $$\int_{0}^{4}\!\int_{-1}^{1}(x^2+y^2-4y+5)\,dy dx,$$ obtendo o mesmo resultado. 3002 A integral $\int \!\!\! \int\limits_{\!\!\!\!\!R} \! \sqrt{9 - y^2} \, dA$, em que $R = [0,4] \times [0,2]$, representa o volume de um sólido. Esboce o sólido. 2411 Inverta a ordem de integração.
2889 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}\,dy dx$, em que $a>0.$ $\displaystyle \frac{\pi a^3}{6}.$ 2910 Calcule a integral iterada $\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^2}}\sin(x^{2}+y^{2})\,dy dx$, convertendo-a antes para coordenadas polares. $\displaystyle \frac{\pi}{2}(1 - \cos(9)).$ 2892 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \int_{0}^{\sqrt{(\ln 2)^{2}-y^{2}}}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx dy$ $\displaystyle \frac{\pi(2\ln(2) - 1)}{2}.$ 2024 Se $f$ é uma função constante, $f(x,y) = k$, e $R = [a,b] \times [c,d],$ mostre que $\iint \limits_{R} k \, dA = k(b-a)(d-c).$ Note que se $R$ for dividida em $mn$ subretângulos, vale $$ \sum^{m}_{i = 1} \sum^{n}_{j = 1} f(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) \Delta A = k \sum^{m}_{i = 1} \sum^{n}_{j = 1} \Delta A = k (b - a) (d - c), $$ independentemente dos pontos amostrais $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$ escolhidos. 2849 Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{R}xy\,dx dy$, onde $R$ é o círculo $x^{2}+y^{2}-2y\leq 0$, $x\geq 0.$ $\displaystyle \frac{2}{3}.$ |