Soal yang Akan Dibahas
Banyak cara menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan adalah ....
A). $ 180 \times 8! \, $ B). $ 240 \times 7! \, $ C). $ 364 \times 6! \, $ D). $ 282 \times 4! \, $ E). $ 144 \times 5! $
$\spadesuit $ Konsep Dasar *). Aturan penyusunan tempat duduk menggunakan PERMUTASI karena memperhatikan URUTAN. *). Permutasi siklis (tempat duduk melingkar) Misalkan ada $ n $ orang duduk melingkar, maka total cara ada $ (n-1)! $
*). Pemilihan $ r $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan yaitu $ P_r^n $ dengan rumus : $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
$\clubsuit $ Pembahasan *). Menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan. Agar kondisi ini terpenuhi, maka berikut susunan yang bisa kita tentukan yaitu :
-). Setiap bola merah kita letakkan di tengah dua bola hitam, sehingga kita blok tiga bola jadi satu susunan yaitu HMH, HMH, dan HMH. Sementara 3 bola hitam lainnya bebas untuk mengisi celah yang ada. Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
Susunan yang bisa kita pilih agar memenuhi permintaan di soal yaitu seperti gambar berikut :
Jadi, total penyusunan sebanyak $ 180 \times 8!. \, \heartsuit $
Page 2
Home Privacy Policy About Us Contact Us Les Privat Channel Youtube ▼
Terdapat 2 bola merah, 1 bola biru, dan 3 bola putih jenis yang sama dan ukurannya. Ada berapa carakah bola-bola itu dapat disusun berdampingan?
Diketahui:
Disediakan 10 buah bola, 3 buah berwarna merah, 5 buah berwarna putih, dan 2 buah berwarna hitam
Ditanya:
Banyak cara untuk menyusun 10 buah bola itu secara berdampingan=?=?=?
Jawab:
Banyaknya permutasi nnn unsur yang memuat r1r_1r1 unsur sama, r2r_2r2 unsur sama, ... , rk−1r_{k-1}rk−1 unsur sama, dan rkr_krk unsur sama dengan r1+r2+…+rk≤nr_1+r_2+\ldots+r_k\le nr1+r2+…+rk≤n ditentukan dengan rumus:
P = n!r1!⋅r2!⋅…⋅rk−1!⋅rk!P\ =\ \frac{n!}{r_1!\cdot r_2!\cdot\ldots\cdot r_{k-1}!\cdot r_k!}P = r1!⋅r2!⋅…⋅rk−1!⋅rk!n!
Notasi n!n!n! dibaca nnn faktorial. Untuk setiap bilangan asli nnn, didefinisikan:
n!=(n)×(n−1)×(n−2)×… ×3×2 ×1n!=\left(n\right)\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)\times\ldots\ \times3\times2\ \times1n!=(n)×(n−1)×(n−2)×… ×3×2 ×1
dengan 1!=11!=11!=1 dan 0! = 10!\ =\ 10! = 1.
Pada soal di atas, banyak unsur n=10n=10n=10, banyak unsur yang sama r1=3r_1=3r1=3 (untuk bola berwarna merah), r2=5r_2=5r2=5 (untuk bola berwarna putih), r3=2r_3=2r3=2 (untuk bola berwarna hitam).
Sehingga banyaknya susunan yang dapat dibentuk adalah:
P = 10!3!⋅5!⋅2!=2.520P\ =\ \frac{10!}{3!\cdot5!\cdot2!}=2.520P = 3!⋅5!⋅2!10!=2.520
Jadi, banyak cara untuk menyusun 10 buah bola itu secara berdampingan adalah 2.520.