Bayangan titik 1 15 hasil pencerminan terhadap garis y x adalah

Blog Koma - Sebelumnya telah kita bahas tentang "refleksi atau pencerminan pada transformasi" dimana dilakukan pencerminan terhadap garis horizontal (sumbu X dan garis $ y = k $) dan garis vertikal (sumbu Y dan garis $ x = h$) serta pencerminan terhadap garis $ y = x $ dan $ y = - x$. Nah, pada artikel ini akan kita lanjutkan dengan Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ yang bentuk garis nya lebih bervariasi.

Bagaimana cara mengerjakan soal Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $? Ternyata pengerjaan pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ menggunakan konsep "rotasi pada transformasi geometri". Ini artinya, pengerjaannya sama saja dengan Rotasi. Sehingga dalam Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ kita membutuhkan matriksnya dan titik pusat serta besar sudutnya ($\theta$). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini, pencerminan titik A($x,y$) terhadap garis $ y = mx + c $ dengan sudut $ \theta $ dan pusat rotasi $ (0,c) $ menghasilkan bayangan titik $A^\prime (x^\prime , y^\prime )$ :

Untuk memudahkan mempelajari materi Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ ini, sebaiknya teman-teman menguasai beberapa teori tentang trigonometri seperti "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku", "nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa", dan "sudut rangkap pada trigonometri". Selain itu teman-teman juga harus menguasai materi "operasi hitung pada matriks" dan "determinan dan sifat invers".

Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $

Perhatikan gambar pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ di atas. Titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $ y = mx + c $ pengerjaannya sama dengan rotasi yaitu : pusatnya : $(a,b) = (0,c) $ Sudut putaran : $ 2\theta $ dengan $ \tan \theta = m \, $ dan $ m $ adalah gradien garis $ y = mx + c $ Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) $ .

*). Cara pengerjaannya menggunakan rumus umum transformasi geometri :

$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) $ atau

$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right)$

Catatan : *). Jika nilai $ c = 0 $ atau pencerminan terhadap garis $ y = m x $, maka cara mencari bayangannya yaitu : $ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

*). Untuk pembuktian matriks transformasinya, silahkan baca pada artikel : "Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$"

Contoh soal pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ : 1). Tentukan bayangan titik A(1,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = x + 2 $? Penyelesaian : *). Menentukan besarnya $ \theta $ : $ y = x + 2 $ , kita peroleh $ m = 1 $ dan $ c = 2 $. $ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 1 \rightarrow \theta = 45^\circ $. *). Menentukan bayangan titik A(1,5) : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2 .45^\circ & \sin 2. 45^\circ \\ \sin 2. 45^\circ & - \cos 2. 45^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & - \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 + 0 \\ 1 + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (3,3). \, \heartsuit $. 2). Tentukan bayangan titik P(-1,2) jika dicerminkan terhadap garis $ y = \sqrt{3}x - 3 $? Penyelesaian : *). Menentukan besarnya $ \theta $ : $ y = \sqrt{3}x - 3 $ , kita peroleh $ m = \sqrt{3} $ dan $ c = -3 $. $ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = \sqrt{3} \rightarrow \theta = 60^\circ $. *). Menentukan bayangan titik P(-1,2) : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2 .60^\circ & \sin 2. 60^\circ \\ \sin 2. 60^\circ & - \cos 2. 60^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 - (-3) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 120^\circ & \sin 120^\circ \\ \sin 120^\circ & - \cos 120^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{5}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{5}{2} - 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} (1 + 5\sqrt{3}) \\ \frac{1}{2}(-\sqrt{3} + 5) - 3 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi, bayangan titik P adalah $ P^\prime \left( \frac{1}{2} (1 + 5\sqrt{3}),\frac{1}{2}(-\sqrt{3} + 5) - 3 \right). \, \heartsuit $. 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $? Penyelesaian : *). Menentukan besarnya $ \theta $ : $ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $. $ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 2 \rightarrow \frac{depan}{samping} = \frac{2}{1} $. Karena $ \tan \theta = 2 $ tidak menghasilkan sudut istimewa, kita buatkan segitiga siku-sikunya : gambar 2. Sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $. *). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ dengan sudut rangkap : $ \begin{align} \cos 2\theta & = 2\cos ^2 \theta - 1 \\ & = 2 ( \frac{1}{\sqrt{5}})^2 - 1 \\ & = 2 ( \frac{1}{5}) - 1 \\ & = \frac{2}{5} - 1 \\ & = - \frac{3}{5} \\ \sin 2 \theta & = 2\sin \theta \cos \theta \\ & = 2 . \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{4}{5} \end{align} $ *). Menentukan bayangan titik B(5,5) : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 5-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 + 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $. 4). Tentukan bayangan persamaan $ 2x + 3y = 1 $ jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x - 1 $? Penyelesaian : *). bentuk $ y = 2x - 1 \rightarrow m = 2 \, $ dan $ c = -1 $. *). Adapun nilai $ \sin 2\theta $ dan $ \cos 2\theta $ sama dengan contoh soal nomor (3) di atas, yaitu : $ \cos 2\theta = - \frac{3}{5} \, $ dan $ \sin \frac{4}{5} $. *). Menentukan invers matriksnya : Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) $. Determinan matriks M : $ det(M) = |M| = -\frac{3}{5} . \frac{3}{5} - \frac{4}{5} . \frac{4}{5} = -\frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - 1 $ Invers matriksnya : $ \begin{align} M^{-1} & = \frac{1}{|M|} . adj(M) \\ & = \frac{1}{-1} . \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{matrix} \right) \\ & = -1 . \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $ Sifat Invers : $ AX = C \rightarrow X = A^{-1}.C $. *). Menentukan Hubungan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) & = M. \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) & = M^{-1}. \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - c \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y - (-1) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime - (-1) \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} (y^\prime + 1) \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}(y^\prime + 1) \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y + 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime + \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $ kita peroleh : $ x = -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} $ $ y + 1 = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime + \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime - \frac{2}{5} $ *). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya : $ \begin{align} 2x + 3y & = 1 \\ 2\left( -\frac{3}{5}x^\prime + \frac{4}{5} y^\prime + \frac{4}{5} \right) + 3\left(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime - \frac{2}{5} \right) & = 1 \\ -\frac{6}{5}x^\prime + \frac{8}{5} y^\prime + \frac{8}{5} + \frac{12}{5}x^\prime + \frac{9}{5}y^\prime - \frac{6}{5} & = 1 \\ \frac{6}{5}x^\prime + \frac{17}{5} y^\prime + \frac{2}{5} & = 1 \\ 6x^\prime + 17 y^\prime + 2 & = 5 \\ 6x^\prime + 17 y^\prime & = 3 \end{align} $ sehingga bayangannya : $ 6x^\prime + 17 y^\prime = 3 \, $ atau $ 6x + 17 y = 3 $ Jadi, persamaan bay;angannya adalah $ 6x + 17 y = 3 . \, \heartsuit $ Catatan Pertama : *). Jika teman-teman sulit menggunakan bentuk trigonometrinya, maka untuk menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ kita bisa langsung menggunakan bentuk berikut : jika diketahui gradiennya $ m $ , maka $ \cos 2\theta = \frac{1-m^2}{1+m^2} $ dan $ \sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2} $. *). Silahkan teman-teman coba kembali mengerjakan soal-soal di atas dengan langsung menggunakan bentuk pada catatan ini. Misalkan kita kerjakan kembali contoh soal nomor 3 di atas : Pengerjaan ulang contoh (3). Contoh 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $? Penyelesaian : *). Pada soal diketahui : $ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $. *). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ dengan sudut rangkap : $ \begin{align} \cos 2\theta & = \frac{1-m^2}{1+m^2} = \frac{1-2^2}{1+2^2} = \frac{-3}{5} \\ \sin 2 \theta & = \frac{2m}{1 + m^2} = \frac{2.2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} \end{align} $ *). Langkah berikutnya sama dengan pengerjaan di atas. *). Menentukan bayangan titik B(5,5) : $ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y - c \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 5-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 + 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $ Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $. Catatan Kedua : *). Dari rumus umum transformasi geometri dan bentuk catatan pertama (substitusikan bentuk $ \cos 2\theta = \frac{1-m^2}{1+m^2} $ dan $ \sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2} $ ke rumus umum transformasi geometrinya), maka dapat kita peroleh hasil akhir bayangannya yaitu : $ \begin{align} x^\prime & = \frac{1-m^2}{1+m^2} \times x + \frac{2m}{1 + m^2}\times (y-c) \\ y^\prime & = \frac{2m}{1+m^2} \times x - \frac{1-m^2}{1 + m^2}\times (y-c) + c \end{align} $ *). Coba kita aplikasikan lagi ke contoh nomor (3) di atas : Contoh 3). Tentukan bayangan titik B(5,5) jika dicerminkan terhadap garis $ y = 2x + 5 $? Penyelesaian : *). Pada soal diketahui : $ y = 2x + 5 $ , kita peroleh $ m = 2 $ dan $ c = 5 $. dan titik awal B yaitu $ (x,y)= (5,5) $. *). Menentukan bayangan titik B(5,5) : $ \begin{align} x^\prime & = \frac{1-m^2}{1+m^2} \times x + \frac{2m}{1 + m^2}\times (y-c) \\ & = \frac{1-2^2}{1+2^2} \times 5 + \frac{2.2}{1 + 2^2}\times (5-5) \\ & = \frac{-3}{5} \times 5 + \frac{4}{5}\times 0 \\ & = -3 + 0 = -3 \\ y^\prime & = \frac{2m}{1+m^2} \times x - \frac{1-m^2}{1 + m^2}\times (y-c) + c \\ & = \frac{2.2}{1+2^2} \times 5 - \frac{1-2^2}{1 + 2^2}\times (5-5) + 5 \\ & = 4 + 0 + 5 = 9 \end{align} $ Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (-3,9). \, \heartsuit $.

Demikian pembahasan materi Pencerminan terhadap Garis $ y = mx+c $ dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan transformasi geometri.

Kiat Bagus Yang

Bayangan titik 1 15 hasil pencerminan terhadap garis y x adalah

Pos Terkait

Periklanan

BERITA TERKINI

Toplist Popular

Periklanan

Terpopuler

Token Data

Periklanan

Tentang Kami

Legal

Dukungan

Social