A planificação de sólidos geométricos é muito útil para o cálculo da área e também para a criação de moldes para realizar a montagem desses sólidos. Os principais sólidos são o cubo, o paralelepípedo, o prisma, a pirâmide, o cilindro e o cone. Existem diferentes formas de planificação de um sólido, que é a representação em duas dimensões. Para montar um dado, por exemplo, precisamos construir, o molde desse dado, ou seja, a sua planificação.
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O que é planificação?
Conhecemos como planificação de um sólido geométrico a representação de todas as suas faces em forma bidimensional, permitindo visualizar o todo do sólido. Utilizamos a planificação também como molde para a criação desses sólidos.
O cubo é uma das formas bastante comuns no nosso dia a dia. O dado, por exemplo, possui formato de um cubo, assim como o cubo mágico e caixas. O cubo é composto por 12 arestas, 6 faces quadradas e 8 vértices.
Planificação de paralelepípedos
O paralelepípedo pode ser identificado em caixas de sapato, tijolos, entre outros. Ele possui 6 faces (formadas por quadriláteros no formato de paralelogramos), 12 arestas e 8 vértices.
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Planificação de prismas
De forma geral, o prisma é um poliedro que possui duas bases iguais, ligadas pelas faces laterais. Essas bases podem ter vários formatos, como triângulos, quadrados, pentágonos, hexágonos, entre outros. O número de faces, arestas e vértices depende da base. Ele também é muito comum no nosso dia a dia, já que existem caixas que possuem formatos diferentes em suas bases.
Planificação de pirâmides
As pirâmides também podem possuir bases diferentes, que podem ser triangulares, quadradas, pentagonais, entre outras. A planificação também depende da base da pirâmide, assim como o número de faces, vértices e arestas. As pirâmides do Egito, por exemplo, possuem base quadrada.
Planificação de cilindros
O cilindro é um corpo redondo e é igualmente comum no nosso dia a dia. Essa é a forma geométrica de latas de refrigerante, canos, entre outros objetos. O cilindro possui duas bases no formato de círculo, e sua face lateral tem o formato de um retângulo. Em sólidos arredondados, não faz sentido falarmos de números de faces e arestas, já que elas são arredondadas.
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Planificação do cone
O cone possui uma base circular, e sua área lateral possui formato de um arco. Objetos como casquinha de sorvete, chapéu de aniversário, entre outros, possuem formato de um cone.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - (Enem 2012) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão a planificação dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir da planificação?
A) Cilindro, primas de base pentagonal e pirâmide.
B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
E) Cilindro, prisma e tronco de cone.
Resolução
Alternativa A. Analisando as características de cada uma das planificações, notamos que a primeira possui duas bases circulares e área lateral retangular, logo é um cilindro. Já a segunda planificação possui duas bases pentagonais, e as áreas laterais são retângulos, o que indica que ele é um prisma de base pentagonal.
Por fim, a terceira figura possui uma base triangular ao meio, o que faz com que ela seja uma pirâmide de base triangular.
Questão 2 - (Enem 2015) Uma empresa que embala seus produtos em caixas de papelão, na forma de hexaedro regular, deseja que seu logotip o seja impresso nas faces opostas pintadas de cinza, conforme a figura:
A gráfica que fará as impressões dos logotipos apresentou as seguintes sugestões planificadas:
Que opção sugerida pela gráfica atende ao desejo da empresa?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V
Resolução
Alternativa C. Analisando as planificações, a alternativa que possui duas faces opostas pintadas é a III, que, ao construir o cubo, respeita as características solicitadas pela empresa. Quanto às demais, ao formarem a caixa, as faces pintadas ficariam uma ao lado da outra, contrariando o pedido da empresa.
Os paralelepípedos são uma classe especial de prisma, cujas bases são paralelogramos. Assim, um paralelepípedo é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional da seguinte maneira: Tome dois planos paralelos α e β e uma reta r qualquer que os intercepte. O paralelepípedo é o sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta paralelos à reta r que partem de um paralelogramo contido em α e findam no plano β. Como resultado dessa definição, obtemos figuras parecidas com a imagem a seguir:
Faces de um paralelepípedo
Um dos resultados dessa definição é que a figura projetada no plano β é congruente à figura inicial no plano α. Assim, a face superior e inferior do paralelepípedo acima são congruentes.
Observe que as arestas laterais desse prisma possuem o mesmo comprimento, uma vez que os planos α e β são paralelos e equidistantes em qualquer ponto. Portanto, na figura a seguir, os segmentos GC e HE são congruentes e paralelos.
Observe também, na figura acima, que os segmentos CE e GH são congruentes e paralelos, pois são correspondentes e pertencem a figuras congruentes.
Como todo quadrilátero formado por segmentos opostos paralelos e congruentes é um paralelogramo, então, a face lateral do paralelepípedo é um paralelogramo. Podemos generalizar esse resultado para todas as faces do paralelepípedo, pois podemos tomar qualquer uma de suas faces para “exemplificar” esse resultado.
Arestas do paralelepípedo
As arestas do paralelepípedo possuem a seguinte propriedade:
Se duas arestas estão contidas no mesmo plano, elas são paralelas.
Esse plano não necessariamente é α ou β. Pode ser qualquer plano definido a partir de uma das arestas. Observe:
Plano que contém os segmentos CE e DI. Pela propriedade acima, esses segmentos são paralelos
Classificação de paralelepípedos
Os paralelepípedos podem ser classificados de acordo com sua forma, dependendo dos ângulos em suas bases e em suas faces laterais.
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Um paralelepípedo que também é um prisma reto é chamado de paralelepípedo reto;
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Oblíquo é o nome dado àquele que também é um prisma oblíquo;
Paralelepípedo reto à esquerda e oblíquo à direita
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Se as bases de um paralelepípedo forem retângulos, então, ele será chamado de paralelepípedo retângulo;
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Quando esse paralelepípedo é reto, recebe o nome de paralelepípedo reto-retângulo. Se, além de reto-retângulo, ele também possuir todas as faces quadradas, receberá o nome de cubo.
Paralelepípedo retângulo à esquerda e reto-retângulo à direita
O paralelepípedo é um sólido geométrico com faces paralelas. O paralelepípedo é uma figura tridimensional e é uma das figuras geométricas estudas pela geometria espacial.
Definição
Podemos definir o paralelepípedo como uma figura tridimensional em que suas faces são paralelogramos. Dessa forma, existem três maneiras de defini-lo:
- É um prisma em que sua base é um paralelogramo;
- É um hexaedro em que cada face seja um paralelogramo;
- É um hexaedro com três pares de faces paralelas.
Elementos
Um paralelepípedo é formado pelos seguintes elementos:
- Faces: Possui 6 faces. As faces são os lados formados pela união das arestas.
- Vértices: Possui 8 vértices. Os vértices são pontos onde as arestas se encontram;
- Arestas: Possui 12 arestas. As arestas são segmentos de retas ligadas nos vértices que formam as faces.
Tipos de Paralelepípedo
Podemos classificar os paralelepípedos conforme sua disposição no espaço:
Retos: é quando as faces laterais são perpendiculares, ou seja, as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases. Dessa forma, é chamado também de paralelepípedo retângulo.
Oblíquos: é oblíquo quando não são retos, ou seja, quando as faces laterais não formam ângulos retos e assim elas não são perpendiculares.
Isósceles: é quando todas as faces são quadradas, quando isso acontece chamamos o paralelepípedo de cubo.
Planificação
Se “abrirmos” o paralelepípedo veremos que suas faces são formadas por outas figuras geométricas. Isso é o que se chama de planificação. É importante para entendermos como calcular a área desse hexaedro.
Pela figura percebemos que as bases e as faces são formadas por retângulos, mas dependendo do tipo podem ser formadas por quadrados também.
Como Calcular a Área?
Para calcular a área do paralelepípedo devemos entender que ele é uma figura geométrica espacial. Assim, a área será de uma figura tridimensional.
Área da Base
A base é formada por uma figura geométrica plana. Então, para calcular devemos multiplicar a base pela altura dessa figura. Temos a seguinte fórmula:
Ab = b . h
Onde:
- Ab: é a área;
- b: é a medida da base;
- h: é a medida da altura.
Área Lateral
Para calcular a área lateral, temos que entender que o sólido possui quatro faces laterais formando pares. Então, para calcular a área lateral, usamos a seguinte fórmula:
- Al = ac + bc + ac + bc ⇒
- Al = 2ac + 2bc ⇒
- Al = 2(ac + bc)
Onde:
- Al: é a área;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Área Total
Para calcular a área total, temos que olhar para a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Temos a seguinte fórmula:
At = 2(ab + ac + bc)
Onde:
- At: é a área;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Volume do Paralelepípedo
Para calcular o volume devemos proceder da mesma forma que calculamos o volume do cubo. O volume do cubo é o produto do comprimento, da largura e altura. Então, temos a seguinte fórmula para o volume do paralelepípedo:
V = a . b . c
Onde:
- V: é o volume;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Que é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura.
Exercícios
Acesse os exercícios no link a seguir:
- Exercícios sobre o paralelepípedo