Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
O volume do prisma é calculado pela multiplicação entre a área da base e a altura.
O volume determina a capacidade que possui uma figura geométrica espacial. Vale lembrar que, geralmente, ele é dado em cm3 (centímetros cúbicos) ou m3 (metros cúbicos).
Fórmula: Como Calcular?
Para calcular o volume do prisma utiliza-se a seguinte expressão:
V = Ab.h
Onde,
Ab: área da base
h: altura
Obs: Não se esqueça que para calcular a área da base é importante saber o formato que a figura apresenta. Por exemplo, num prisma quadrangular a área da base será um quadrado. Já num prisma triangular, a base é formada por um triângulo.
Você Sabia?
O paralelepípedo é um prisma de base quadrangular que tem como base os paralelogramos.
Leia também:
Princípio de Cavalieri
O Princípio de Cavalieri foi criado pelo matemático italiano (1598-1647) Bonaventura Cavalieri no século XVII. É utilizado até hoje para calcular áreas e volumes dos sólidos geométricos.
O enunciado do Princípio de Cavalieri é o seguinte:
“Dois sólidos nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais são sólidos de volume iguais.”
Segundo esse princípio, o volume de um prisma é calculado pelo produto da altura pela área da base.
Exemplo: Exercício Resolvido
Calcule o volume de um prisma hexagonal cujo lado da base mede x e sua altura 3x. Note que x é um número dado.
Inicialmente, vamos calcular a área da base para, em seguida, multiplicá-la pela sua altura.
Para isso, precisamos saber do apótema do hexágono, que corresponde à altura do triângulo equilátero:
a = x√3/2
Lembre-se que o apótema é o segmento de reta que parte do centro geométrico da figura e é perpendicular a um dos seus lados.
Logo,
Ab= 3x . x√3/2
Ab = 3√3/2 x2
Por conseguinte, calcula-se o volume do prisma pela fórmula:
V = 3/2 x2 √3 . 3x
V = 9√3/2 x3
Exercícios de Vestibular com Gabarito
1. (UE-CE) Com 42 cubos de 1 cm de aresta formamos um paralelepípedo cujo perímetro da base é 18 cm. A altura deste paralelepípedo, em cm, é:
a) 4 b) 3 c) 2
d)1
2. (UF-BA) Em relação a um prisma pentagonal regular, é correto afirmar:
(01) O prisma tem 15 arestas e 10 vértices. (02) Dado um plano que contém uma face lateral, existe uma reta que não intercepta esse plano e contém uma aresta da base. (04) Dadas duas retas, uma contendo uma aresta lateral e outra contendo uma aresta da base, elas são concorrentes ou reversas. (08) A imagem de uma aresta lateral por uma rotação de 72° em torno da reta que passa pelo centro de cada uma das bases é outra aresta lateral.
(16) Se o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 4,7 cm e 5,0 cm, então a área lateral do prisma é igual a 115 cm2.
(32) Se o volume, o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 235,0 cm3, 4,7 cm e 5,0 cm, então o raio da circunferência inscrita na base desse prisma mede 4,0 cm.
Resposta: V, F, V, V, F, V
3. (Cefet-MG) De uma piscina retangular com 12 metros de comprimento por 6 metros de largura, foram retirados 10 800 litros de água. É correto afirmar que o nível de água baixou:
a) 15 cm b) 16 cm c) 16,5 cm d) 17 cm
e) 18,5 cm
4. (UF-MA) Conta uma lenda que a cidade de Delos, na Grécia Antiga, estava sendo assolada por uma peste que ameaçava matar toda a população. Para erradicar a doença, os sacerdotes consultaram o Oráculo e este ordenou que o altar do Deus Apolo tivesse seu volume duplicado. Sabendo-se que o altar tinha forma cúbica com aresta medindo 1 m, então o valor em que a mesmo deveria ser aumentado era:
a) 3√2 b) 1
c) 3√2 - 1
d) √2 -1e) 1 - 3√2
5. (UE-GO) Uma indústria deseja fabricar um galão no formato de um paralelepípedo retângulo, de forma que duas de suas arestas difiram em 2 cm e a outra meça 30 cm. Para que a capacidade desses galão não seja inferior a 3,6 litros, a menor de suas arestas deve medir no mínimo:
a) 11 cm b) 10,4 cm c) 10 cm
d) 9,6 cm
Considerando que o triângulo da base possui arestas de 10 cm, temos assim um triângulo equilátero. Então, para calcular a área da base devemos utilizar a fórmula do triângulo em questão: A = (l²√3)/4
Logo: Ab = 10²√3 / 4 = 173,20 / 4 = 43,3
Temos, então, a área da base aproximada de 43,3 cm²
Com a área da base podemos calcular o volume do prisma, assim: V = Ab . h
Portanto, V = 43,3 x 40 = 1732 cm³
Determinar a área lateral do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm .
A área lateral de um prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das suas três faces laterais.
Resolução:Resposta:
Determinar a área total e o volume do prisma triangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e a altura 10 cm.
Resolução:
Área total =
Volume =
Resposta:
O apótema da base de um prisma triangular regular mede e a área lateral mede . Calcular a altura do sólido.
Resolução:
1. a base é um triângulo equilátero, então: altura do triângulo da base
apótema
e
2. Área lateral =
Sendo temos que
Resposta:
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².
Considerações:
Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).aresta da base = altura do prismaárea da base, o triângulo equilátero
Resolução:1. Sabemos que a área lateral é igual a A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura) .
então
2. Área da base: (área do triângulo equilátero de lado em função da medida do lado do triângulo vale )
Então
3. Área total:
(ITA - 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triangulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triangulo ABC é semelhante ao triangulo de lados 3 cm , 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm³ é:
a) b)
c) d)
e) n.d.a
(C)
Um prisma triangular regular tem as arestas da base medindo 5 cm e 7 cm . Calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume.
O volume de um prisma triangular pode ser encontrado multiplicando a área da base pelo comprimento da altura do prisma. A base desses prismas é um triângulo, então temos que encontrar a área do triângulo.
Lembre-se de que a área de qualquer triângulo é calculada multiplicando o comprimento da base pelo comprimento da altura pela metade. Portanto, podemos usar a seguinte fórmula para calcular o volume de um prisma triangular.
$latex V=\frac{1}{2}b\times a\times h$ |
onde,
- b é o comprimento da base do triângulo
- a é o comprimento da altura do triângulo
- h é o comprimento da altura do prisma
Exercícios de volume do prisma triangular resolvidos
A fórmula para o volume de prismas triangulares é usada para resolver os seguintes exercícios. Cada exercício tem sua respectiva solução, onde são detalhados o processo e o raciocínio utilizado.
Um prisma tem uma altura de 5 m e sua base triangular tem uma altura de 3 m e uma base de 4 m. Qual é o seu volume?
Temos os seguintes comprimentos:
- Altura do prisma, $latex h=5$
- Altura do triângulo, $latex a=3$
- Base do triângulo, $latex b=4$
Usando esses valores na fórmula de volume, temos:
$latex V=\frac{1}{2}bah$
$latex V=\frac{1}{2}(4)(3)(5)$
$latex V=30$
O volume é 30 m³.
Qual é o volume de um prisma que tem uma altura de 6 m e sua base triangular tem uma altura de 5 m e uma base de 6 m?
Temos os seguintes valores:
- Altura do prisma, $latex h=6$
- Altura do triângulo, $latex a=5$
- Base do triângulo, $latex b=6$
Usando a fórmula do volume, temos:
$latex V=\frac{1}{2}bah$
$latex V=\frac{1}{2}(6)(5)(6)$
$latex V=90$
O volume é 90 m³.
Um prisma tem uma altura de 8 m e sua base triangular tem uma altura de 6 m e uma base de 7 m. Qual é o seu volume?
Temos os seguintes comprimentos:
- Altura do prisma, $latex h=8$
- Altura do triângulo, $latex a=6$
- Base do triângulo, $latex b=7$
Substituímos esses valores na fórmula do volume:
$latex V=\frac{1}{2}bah$
$latex V=\frac{1}{2}(7)(6)(8)$
$latex V=168$
O volume é 168 m³.
Um prisma tem uma altura de 11 m e sua base triangular tem uma altura de 5 m e uma base de 4 m. Qual é o seu volume?
A partir da pergunta, obtemos os valores:
- Altura do prisma, $latex h=11$
- Altura do triângulo, $latex a=5$
- Base do triângulo, $latex b=4$
Usando esses valores na fórmula de volume, temos:
$latex V=\frac{1}{2}bah$
$latex V=\frac{1}{2}(4)(5)(11)$
$latex V=110$
O volume é 110 m³.
Qual é o volume de um prisma que tem uma altura de 9 m e sua base triangular tem uma altura de 6 m e uma base de 8 m?
Temos os seguintes valores:
- Altura do prisma, $latex h=9$
- Altura do triângulo, $latex a=6$
- Base do triângulo, $latex b=8$
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
$latex V=\frac{1}{2}bah$
$latex V=\frac{1}{2}(8)(6)(9)$
$latex V=216$
O volume é de 216 m³.
Exercícios de volume do prisma triangular para resolver
Pratique o uso da fórmula para o volume de prismas triangulares para resolver os exercícios a seguir. Se precisar de ajuda com isso, você pode consultar os exercícios resolvidos acima.
Veja também
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