Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Pirâmides são figuras geométricas que aparecem com frequência, principalmente na arquitetura. As pirâmides são sólidos geométricos  construídos no espaço com base em um polígono no plano e um ponto fora desse plano. Por tratar-se de uma figura tridimensional, é possível calcular o seu volume, além disso, podemos planificá-la e assim encontrar sua área.

Leia mais: Ponto, reta, plano, espaço: conceitos básicos da geometria espacial

O que é pirâmide?

Considere um polígono convexo contido em um plano e um ponto H que não pertence ao plano. Definimos a pirâmide como sendo a união de todos os vértices do polígono convexo no ponto H.

Elementos de uma pirâmide

Considere a pirâmide a seguir.

• Base da pirâmide: polígono ABCDEF.
• Vértice da pirâmide: ponto H.
• Faces laterais: AHB, BHC, CHD, DHE, EHF e FHA, que são os triângulos formados pela união do vértice da pirâmide com os vértices do polígono.
• Arestas da base: AB, BC, CD, DE, EF e FA, que são os lados da base.
• Arestas laterais: AH, BH, CH, DH, EH e FH, que são os segmentos das faces laterais.
• Altura da pirâmide: h, que é a distância entre o vértice da pirâmide e a base.

Vamos estabelecer as notações para alguns elementos:

• A área da base será denotada por Ab.
• A área de uma face lateral será representa por AF.
• O somatório das áreas das faces é chamado de área lateral, e essa é denotada por AL.

Assim, a área total da pirâmide é dada pela soma da área da base (Ab) com a área lateral (AL) e é denotada por AT, ou seja:

AT = Ab + AL

Saiba mais: Tronco da pirâmide: saiba o que é e como calcular sua área

Tipos de pirâmides

Do mesmo modo como nomeamos os prismas de acordo com o polígono da base, nomeamos também as pirâmides seguindo essa ideia. Por exemplo, se uma pirâmide possui na base um triângulo, ela é chamada de pirâmide de base triangular, agora, se uma pirâmide possui como base um quadrilátero, é chamada de pirâmide de base quadrangular, e assim sucessivamente.

As pirâmides também se dividem em dois grupos: retas e oblíquas. As pirâmides retas são assim chamadas quando a projeção do vértice coincide com o centro da base, caso contrário elas são ditas oblíquas. Veja os exemplos a seguir:

Se em uma pirâmide reta a base for um polígono regular, então a pirâmide será regular. Nesse tipo, a distância do vértice até o centro da base é a altura da pirâmide.

O segmento que une o vértice da pirâmide com o ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da pirâmide, nesse caso GI. Já o segmento que une o centro da base ao ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da base, nesse caso HI.

Observe os triângulos GHI e GHF e note que eles são triângulos retângulos, logo, nele o teorema de Pitágoras é valido. Assim:

(GI)2 = (GH)2 + (HI)2

(GF)2 = (GH)2 + (HF)2

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa
As pirâmides do Egito são as construções mais conhecidas que possuem o formato piramidal.

Área da pirâmide

A área da pirâmide é dada pela soma das áreas laterais e a área da base, isto é:

AT = Ab + AL

A não existência de uma fórmula específica dá-se pelo fato de pirâmides terem bases diferentes. Na expressão anterior, perceba que a área total AT depende do valor da área da base. Veja alguns exemplos.

• Exemplo

Calcule a área total de uma pirâmide reta, cuja base é um quadrado de lado 10 m e a altura de uma face lateral é igual a 13 m.

Solução

Inicialmente desenharemos a pirâmide de acordo com os dados do exercício.

Note que podemos calcular a área da face com os dados fornecidos utilizando a fórmula da área do triângulo. 

Como temos quatro faces, a área lateral é igual a 65 · 4 = 260 m2.

Agora, devemos calcular a área da base que é um quadrado, logo:

Portanto, a área da pirâmide é a soma da área lateral com a área da base.

AT = Ab + AL

AT = 100 + 260

AT = 360 m2

Leia também: Área de figuras planas: saiba como calcular diversos tipos

Volume da pirâmide

Considere uma pirâmide de altura h.

O volume da pirâmide é dado pela terça parte do produto da área da base (Ab) e altura (h):

• Exemplo

(Enem) Artur e Bernardo foram acampar e cada um levou uma barraca. Ambas têm a forma de uma pirâmide de base quadrada, com as arestas laterais congruentes. A barraca de Bernardo tem a altura e as arestas laterais 10% maiores em relação à de Artur. Assim, a razão entre os volumes das barracas de Bernardo e Artur, nessa ordem, é:

a) 1,1

b) 1,21

c) 1,331

d) 1,4641

e) 1,5

Solução

Inicialmente, calcularemos o volume da barraca de Artur, aqui denotada por VA. Como a base da pirâmide é um quadrado, sua área é a medida do lado ao quadrado, vamos representá-la por L2.

Agora vamos determinar o volume da barraca de Bernardo, representada por VB. Antes note que a altura e as arestas são 10% maiores em relação à barraca de Artur, logo, temos que:

hB = h + 10% de h

hB = h + 0,1 · h

hB = 1,1 · h

Do mesmo modo para a área da base:

AB = (1,1)2 · L2

Logo, a área da barraca de Bernardo é:

Como o objetivo do exercício é encontrar a razão entre os volumes das barracas de Bernardo e de Artur, temos que:

Perceba que podemos “cortar” a fração L2 · h sobre 3, pois representa o mesmo número.

Alternativa C

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Quem vê a área da pirâmide não imagina quantos sentidos históricos, sociais e claro, matemáticos ela pode ter. Uma forma geométrica tão antiga que até hoje não se sabe, por exemplo, a idade das pirâmides de Gizé no Egito, continua sendo essencial como objeto de estudo.

Foi pensando nisso e no quão primordial esse tema é para a matemática, que resolvemos abordar hoje a área da pirâmide.Em um breve resumo podemos dizer que as pirâmides são sólidos geométricos que aparecem recorrentemente nas provas de vestibulares e no Enem.

Na aula de hoje veremos como fazer o cálculo a respeito da área da pirâmide e seu volume

Definições sobre as pirâmides

Antes de chegarmos nos cálculos de área e volume em si, precisamos estabelecer algumas especificações:

  • Superfície lateral: É a união de todas as faces laterais da pirâmide;
  • Superfície total: A união da superfície lateral com a base da pirâmide (que também é uma superfície).
  • Área lateral: A área lateral da pirâmide (A_l ou S_l)  é a soma das áreas das faces laterais da pirâmide;
  • Área total: A área total da pirâmide (At  ou St )   é a área lateral somada com a área da base da pirâmide.
  • Volume: O volume da pirâmide (Vp) é o espaço ocupado pela pirâmide.

O que é a área de uma pirâmide

Para desenvolvermos a teoria a respeito dos cálculos, consideremos uma pirâmide qualquer de área da base Sb  e altura h.

Como a área lateral da pirâmide é a soma das áreas das suas faces laterais, que são formadas por triângulos, não temos uma expressão “fechada” para a lateral. Então como pode ser feito esse cálculo? Bom não havendo uma lateral isso deixa em aberto a maneira como encontrar a área de um triângulo. Deixando assim que possamos resolver a equação de diferente formas.

Por isso, dependendo das informações que tivermos a respeito, utilizamos alguma das fórmulas de cálculo de área de pirâmide e encontramos assim a área de uma face lateral.

Depois disso, repetimos o cálculo de área para todas as demais faces laterais e, enfim somamos tais valores, encontrando como resultado o valor da área lateral.

Como calcular a área da pirâmide

De forma parecida, não temos uma expressão “fechada” para a área total de uma pirâmide, uma vez que essa área depende da área lateral – que, como vimos acima, o cálculo varia de acordo com as informações do problema. Muitas vezes, depende também da área do polígono que forma a base da pirâmide.

O mais próximo que conseguimos escrever para uma expressão é: St = Sl+Sb

Embora não seja possível encontrarmos uma expressão “fechada” para o cálculo das áreas, existe uma para o cálculo do volume da pirâmide, que é a seguinte:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Veja o exemplo abaixo.

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Uma pirâmide qualquer de área da base Sb  e altura h.

Perceba que a pirâmide acima é oblíqua e de base quadrangular, mas o raciocínio anterior é válido para qualquer pirâmide.

Área de um tetraedro regular

Agora que já estudamos o caso de uma pirâmide qualquer, vamos nos concentrar no tetraedro regular. Diferentemente do exemplo utilizado anteriormente, para tal pirâmide, conseguimos encontrar expressões “fechadas” para fazer o cálculo.

Sendo assim, suponha que estamos tratando de um tetraedro regular com medida de aresta . Considerando que todas as suas faces são triângulos equiláteros e, sabendo que:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Portanto temos:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Observação: você pode encontrar o valor da altura do tetraedro a partir de um teorema de Pitágoras da seguinte forma:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Esse é um tetraedro regular com triângulo retângulo. Aqui ele indica que a hipotenusa mede l, que significa a altura do triângulo; coincidindo com a altura h que seria a altura do tetraedro. Mas o cateto da base do triângulo coincide com 1/3 da altura do triângulo que forma a base do tetraedro regular.

Nesse caso, l representa o valor da aresta do tetraedro regular, h a sua altura e h’ a altura do triângulo equilátero da base do tetraedro.

Calculando a área da pirâmide como um tetraedro

Até aqui estudamos o caso geral e as fórmulas para o tetraedro regular, mas, e se a pirâmide for regular, mas não for um tetraedro? Conseguimos alguma “expressão fechada”?

Considere a pirâmide da imagem abaixo.

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Mais à esquerda uma pirâmide pentagonal regular e mais à direita uma pirâmide pentagonal regular com destaque para sua altura. Isso é a apótema da pirâmide e a apótema da base.

Neste caso, os triângulos que compõem as faces laterais são todos isósceles e congruentes. Além disso, cada uma dessas partes da lateral tem medida de base sendo a medida da aresta do polígono regular que forma a base da pirâmide. Portanto podemos afirmar que cada face lateral tem altura sendo o apótema da pirâmide.

Vamos considerar que a medida da aresta do polígono regular seja l.

Assim, considerando SF1,SF2,SF3,SF4  e SF5 como a área de cada face lateral, temos o seguinte:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Perceba que o perímetro (2p) da base vale 5l: 2p=5l e, com isso:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Portanto,

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

E agora dado que a área de um polígono regular é o produto do seu semiperímetro, com o seu apótema, temos que a área da base da nossa pirâmide é:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

E com isso, sua área total é dada por:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Por fim, seu volume é dado por:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Observação: Pegamos uma pirâmide pentagonal regular para exemplificação, mas o raciocínio desenvolvido é análogo para calcular a área de pirâmides que sejam regulares. As expressões acima para a área lateral, área total e volume são válidas para as demais pirâmides regulares.

Como calcular o volume da pirâmide

Lembre-se que no começo do post encontramos a expressão do volume de uma pirâmide:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Você nota alguma semelhança com outra expressão de volume de outro sólido?

A expressão para o volume de um prisma é dada por:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Em que  é a área de uma das bases do prisma e h é  a altura do prisma.

Considerando tal fato, repare que o volume de uma pirâmide de base b e altura h é um terço do volume de um prisma possui a mesma base b e mesma altura h.

Em outras palavras, se você tiver um prisma que possui como base um certo polígono qualquer e uma certa altura h e, se você tiver uma pirâmide cuja base seja o mesmo polígono e altura que a do prisma, o volume da pirâmide equivale a um terço do volume deste prisma.

Além disso, temos a seguinte informação:

  • Duas pirâmides diferentes que possuem o mesmo valor para a área de base e mesmo valor de altura, têm o mesmo volume.

Videoaula

Agora que aprendemos os cálculos de área e volume de pirâmides, vamos praticar?

Exercícios

01 – (UNICAMP SP/2020)    

Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

02 – (UEG GO/2019)    

Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou que fosse construída uma pirâmide de base quadrada, de lado igual a 3 cm e altura igual a 10 cm. O volume dessa pirâmide é igual a

a) 25 cm3
b) 30 cm3
c) 15 cm3
d) 9 cm3
e) 12 cm3

03 – (Univag MT/2019)    

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa.

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Esse quadrilátero pode ser dividido em 4 triângulos retângulos, conforme a figura, que também mostra a medida, em cm, dos catetos dos triângulos.

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

O volume dessa pirâmide é igual a

a) 40 cm3.
b) 45 cm3.
c) 55 cm3.
d) 50 cm3.
e) 35 cm3.

04 – (Universidade Iguaçu RJ/2019)    

Em uma pirâmide regular de base quadrada, a área dessa base mede a2 u.a. e a sua altura é igual ao dobro da medida da aresta da base.

Nessas condições, a área lateral dessa pirâmide mede, em u.a.,

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

05 – (FAMERP SP/2018)    

A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base quadrada. A altura desses sólidos, em relação ao plano em que ambos estão apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras.

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em centímetros, será igual a:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

06 – (UCB DF/2018)    

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

Essa figura representa a planificação de uma pirâmide cujo volume é

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

07 – (UTF PR/2017)      

Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma pirâmide de altura 3 metros, cuja base é um hexágono regular de lados medindo 2 metros. Assim, a área da base e o volume desta barraca medem, respectivamente:

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

08 – (Mackenzie SP/2017)    

A altura, em cm, de um tetraedro regular cuja área total mede 48 raíz de 3 cm2 é

Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa

GABARITO

1- C 2- B 3- C 4- 05 5- D 6- A 7- A

8- B