Pirâmides são figuras geométricas que aparecem com frequência, principalmente na arquitetura. As pirâmides são sólidos geométricos construídos no espaço com base em um polígono no plano e um ponto fora desse plano. Por tratar-se de uma figura tridimensional, é possível calcular o seu volume, além disso, podemos planificá-la e assim encontrar sua área. Show Leia mais: Ponto, reta, plano, espaço: conceitos básicos da geometria espacial O que é pirâmide?Considere um polígono convexo contido em um plano e um ponto H que não pertence ao plano. Definimos a pirâmide como sendo a união de todos os vértices do polígono convexo no ponto H. Elementos de uma pirâmideConsidere a pirâmide a seguir. • Base da pirâmide: polígono ABCDEF. Vamos estabelecer as notações para alguns elementos: • A área da base será denotada por Ab. Assim, a área total da pirâmide é dada pela soma da área da base (Ab) com a área lateral (AL) e é denotada por AT, ou seja: AT = Ab + AL Saiba mais: Tronco da pirâmide: saiba o que é e como calcular sua área Tipos de pirâmidesDo mesmo modo como nomeamos os prismas de acordo com o polígono da base, nomeamos também as pirâmides seguindo essa ideia. Por exemplo, se uma pirâmide possui na base um triângulo, ela é chamada de pirâmide de base triangular, agora, se uma pirâmide possui como base um quadrilátero, é chamada de pirâmide de base quadrangular, e assim sucessivamente. As pirâmides também se dividem em dois grupos: retas e oblíquas. As pirâmides retas são assim chamadas quando a projeção do vértice coincide com o centro da base, caso contrário elas são ditas oblíquas. Veja os exemplos a seguir: Se em uma pirâmide reta a base for um polígono regular, então a pirâmide será regular. Nesse tipo, a distância do vértice até o centro da base é a altura da pirâmide. O segmento que une o vértice da pirâmide com o ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da pirâmide, nesse caso GI. Já o segmento que une o centro da base ao ponto médio de uma aresta da base é chamado de apótema da base, nesse caso HI. Observe os triângulos GHI e GHF e note que eles são triângulos retângulos, logo, nele o teorema de Pitágoras é valido. Assim: (GI)2 = (GH)2 + (HI)2 (GF)2 = (GH)2 + (HF)2 As pirâmides do Egito são as construções mais conhecidas que possuem o formato piramidal.Área da pirâmideA área da pirâmide é dada pela soma das áreas laterais e a área da base, isto é: AT = Ab + AL A não existência de uma fórmula específica dá-se pelo fato de pirâmides terem bases diferentes. Na expressão anterior, perceba que a área total AT depende do valor da área da base. Veja alguns exemplos. • ExemploCalcule a área total de uma pirâmide reta, cuja base é um quadrado de lado 10 m e a altura de uma face lateral é igual a 13 m. Solução Inicialmente desenharemos a pirâmide de acordo com os dados do exercício. Note que podemos calcular a área da face com os dados fornecidos utilizando a fórmula da área do triângulo. Como temos quatro faces, a área lateral é igual a 65 · 4 = 260 m2. Agora, devemos calcular a área da base que é um quadrado, logo: Portanto, a área da pirâmide é a soma da área lateral com a área da base. AT = Ab + AL AT = 100 + 260 AT = 360 m2 Leia também: Área de figuras planas: saiba como calcular diversos tipos Volume da pirâmideConsidere uma pirâmide de altura h. O volume da pirâmide é dado pela terça parte do produto da área da base (Ab) e altura (h): • Exemplo(Enem) Artur e Bernardo foram acampar e cada um levou uma barraca. Ambas têm a forma de uma pirâmide de base quadrada, com as arestas laterais congruentes. A barraca de Bernardo tem a altura e as arestas laterais 10% maiores em relação à de Artur. Assim, a razão entre os volumes das barracas de Bernardo e Artur, nessa ordem, é: a) 1,1 b) 1,21 c) 1,331 d) 1,4641 e) 1,5 Solução Inicialmente, calcularemos o volume da barraca de Artur, aqui denotada por VA. Como a base da pirâmide é um quadrado, sua área é a medida do lado ao quadrado, vamos representá-la por L2. Agora vamos determinar o volume da barraca de Bernardo, representada por VB. Antes note que a altura e as arestas são 10% maiores em relação à barraca de Artur, logo, temos que: hB = h + 10% de h hB = h + 0,1 · h hB = 1,1 · h Do mesmo modo para a área da base: AB = (1,1)2 · L2 Logo, a área da barraca de Bernardo é: Como o objetivo do exercício é encontrar a razão entre os volumes das barracas de Bernardo e de Artur, temos que: Perceba que podemos “cortar” a fração L2 · h sobre 3, pois representa o mesmo número. Alternativa C Por Robson Luiz
Quem vê a área da pirâmide não imagina quantos sentidos históricos, sociais e claro, matemáticos ela pode ter. Uma forma geométrica tão antiga que até hoje não se sabe, por exemplo, a idade das pirâmides de Gizé no Egito, continua sendo essencial como objeto de estudo. Foi pensando nisso e no quão primordial esse tema é para a matemática, que resolvemos abordar hoje a área da pirâmide.Em um breve resumo podemos dizer que as pirâmides são sólidos geométricos que aparecem recorrentemente nas provas de vestibulares e no Enem. Na aula de hoje veremos como fazer o cálculo a respeito da área da pirâmide e seu volume Definições sobre as pirâmidesAntes de chegarmos nos cálculos de área e volume em si, precisamos estabelecer algumas especificações:
O que é a área de uma pirâmidePara desenvolvermos a teoria a respeito dos cálculos, consideremos uma pirâmide qualquer de área da base Sb e altura h. Como a área lateral da pirâmide é a soma das áreas das suas faces laterais, que são formadas por triângulos, não temos uma expressão “fechada” para a lateral. Então como pode ser feito esse cálculo? Bom não havendo uma lateral isso deixa em aberto a maneira como encontrar a área de um triângulo. Deixando assim que possamos resolver a equação de diferente formas. Por isso, dependendo das informações que tivermos a respeito, utilizamos alguma das fórmulas de cálculo de área de pirâmide e encontramos assim a área de uma face lateral. Depois disso, repetimos o cálculo de área para todas as demais faces laterais e, enfim somamos tais valores, encontrando como resultado o valor da área lateral. Como calcular a área da pirâmideDe forma parecida, não temos uma expressão “fechada” para a área total de uma pirâmide, uma vez que essa área depende da área lateral – que, como vimos acima, o cálculo varia de acordo com as informações do problema. Muitas vezes, depende também da área do polígono que forma a base da pirâmide. O mais próximo que conseguimos escrever para uma expressão é: St = Sl+Sb Embora não seja possível encontrarmos uma expressão “fechada” para o cálculo das áreas, existe uma para o cálculo do volume da pirâmide, que é a seguinte: Veja o exemplo abaixo. Uma pirâmide qualquer de área da base Sb e altura h. Perceba que a pirâmide acima é oblíqua e de base quadrangular, mas o raciocínio anterior é válido para qualquer pirâmide. Área de um tetraedro regularAgora que já estudamos o caso de uma pirâmide qualquer, vamos nos concentrar no tetraedro regular. Diferentemente do exemplo utilizado anteriormente, para tal pirâmide, conseguimos encontrar expressões “fechadas” para fazer o cálculo. Sendo assim, suponha que estamos tratando de um tetraedro regular com medida de aresta . Considerando que todas as suas faces são triângulos equiláteros e, sabendo que: Portanto temos: Observação: você pode encontrar o valor da altura do tetraedro a partir de um teorema de Pitágoras da seguinte forma: Esse é um tetraedro regular com triângulo retângulo. Aqui ele indica que a hipotenusa mede l, que significa a altura do triângulo; coincidindo com a altura h que seria a altura do tetraedro. Mas o cateto da base do triângulo coincide com 1/3 da altura do triângulo que forma a base do tetraedro regular. Nesse caso, l representa o valor da aresta do tetraedro regular, h a sua altura e h’ a altura do triângulo equilátero da base do tetraedro. Calculando a área da pirâmide como um tetraedroAté aqui estudamos o caso geral e as fórmulas para o tetraedro regular, mas, e se a pirâmide for regular, mas não for um tetraedro? Conseguimos alguma “expressão fechada”? Considere a pirâmide da imagem abaixo. Mais à esquerda uma pirâmide pentagonal regular e mais à direita uma pirâmide pentagonal regular com destaque para sua altura. Isso é a apótema da pirâmide e a apótema da base. Neste caso, os triângulos que compõem as faces laterais são todos isósceles e congruentes. Além disso, cada uma dessas partes da lateral tem medida de base sendo a medida da aresta do polígono regular que forma a base da pirâmide. Portanto podemos afirmar que cada face lateral tem altura sendo o apótema da pirâmide. Vamos considerar que a medida da aresta do polígono regular seja l. Assim, considerando SF1,SF2,SF3,SF4 e SF5 como a área de cada face lateral, temos o seguinte: Perceba que o perímetro (2p) da base vale 5l: 2p=5l e, com isso: Portanto, E agora dado que a área de um polígono regular é o produto do seu semiperímetro, com o seu apótema, temos que a área da base da nossa pirâmide é: E com isso, sua área total é dada por: Por fim, seu volume é dado por: Observação: Pegamos uma pirâmide pentagonal regular para exemplificação, mas o raciocínio desenvolvido é análogo para calcular a área de pirâmides que sejam regulares. As expressões acima para a área lateral, área total e volume são válidas para as demais pirâmides regulares. Como calcular o volume da pirâmideLembre-se que no começo do post encontramos a expressão do volume de uma pirâmide: Você nota alguma semelhança com outra expressão de volume de outro sólido? A expressão para o volume de um prisma é dada por: Em que é a área de uma das bases do prisma e h é a altura do prisma. Considerando tal fato, repare que o volume de uma pirâmide de base b e altura h é um terço do volume de um prisma possui a mesma base b e mesma altura h. Em outras palavras, se você tiver um prisma que possui como base um certo polígono qualquer e uma certa altura h e, se você tiver uma pirâmide cuja base seja o mesmo polígono e altura que a do prisma, o volume da pirâmide equivale a um terço do volume deste prisma. Além disso, temos a seguinte informação:
VideoaulaAgora que aprendemos os cálculos de área e volume de pirâmides, vamos praticar? Exercícios01 – (UNICAMP SP/2020) Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a: 02 – (UEG GO/2019) Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou que fosse construída uma pirâmide de base quadrada, de lado igual a 3 cm e altura igual a 10 cm. O volume dessa pirâmide é igual a a) 25 cm3 03 – (Univag MT/2019) Uma pirâmide reta de altura igual a 5 cm tem como base um quadrilátero conhecido como pipa. Esse quadrilátero pode ser dividido em 4 triângulos retângulos, conforme a figura, que também mostra a medida, em cm, dos catetos dos triângulos. O volume dessa pirâmide é igual a a) 40 cm3. 04 – (Universidade Iguaçu RJ/2019) Em uma pirâmide regular de base quadrada, a área dessa base mede a2 u.a. e a sua altura é igual ao dobro da medida da aresta da base. Nessas condições, a área lateral dessa pirâmide mede, em u.a., 05 – (FAMERP SP/2018) A figura indica um prisma reto triangular e uma pirâmide regular de base quadrada. A altura desses sólidos, em relação ao plano em que ambos estão apoiados, é igual a 4 cm, como indicam as figuras. Se os sólidos possuírem o mesmo volume, a aresta da base da pirâmide, em centímetros, será igual a: 06 – (UCB DF/2018) Essa figura representa a planificação de uma pirâmide cujo volume é 07 – (UTF PR/2017) Uma barraca de camping foi projetada com a forma de uma pirâmide de altura 3 metros, cuja base é um hexágono regular de lados medindo 2 metros. Assim, a área da base e o volume desta barraca medem, respectivamente:
08 – (Mackenzie SP/2017) A altura, em cm, de um tetraedro regular cuja área total mede 48 raíz de 3 cm2 é GABARITO 1- C 2- B 3- C 4- 05 5- D 6- A 7- A 8- B |