Suatu deret aritmatika 2+4+6... tentukan suku ke-25!

Table of Contents Show

Definisi barisan aritmetika dan deret arimetika
Contoh soal barisan aritmetika
Contoh soal deret aritmetika
Video yang berhubungan

Postingan ini membahas contoh soal barisan aritmetika dan deret aritmetika yang disertai pembahasannya atau penyelesaiannya. Biasanya soal tentang barisan aritmetika atau deret aritmetika menanyakan tentang suku ke-n dan jumlah suku ke-n dari barisan atau deret tersebut. Barisan aritmetika dan deret aritmetika adalah hal yang berbeda. Pada barisan aritmetika antara angka dengan angka dipisah oleh tanda koma, contohnya adalah 1, 3, 5, 7, dan seterusnya. Sedangkan pada deret aritmetika antara angka dengan angka terdapat notasi penjumlahan. Contoh deret aritmetika adalah 1 + 3 + 5 + 7 + dan seterusnya.

Definisi barisan aritmetika dan deret arimetika

Definisi barisan aritmetika sebagai berikut “Suatu barisan u1, u2, u3, …, un merupakan barisan aritmetika jika dipenuhi u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = … = un – un-1. Selisih yang tetap ini disebut beda barisan aritmetika (b) = un – un-1.”

Definisi deret aritmetika sebagai berikut “Jika u1, u2, u3, …, un disebut barisan aritmetika maka bentuk u1 + u2 + u3 + … + un disebut deret aritmetika. Jika jumlah suku ke-n dari deret tersebut dinotasikan dengan Sn maka Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.”

Rumus yang berlaku pada barisan aritmetika dan deret aritmetika sebagai berikut:

Rumus barisan dan deret aritmetika

Contoh soal barisan aritmetika

Contoh soal 1

Tentukan suku ke-10 barisan aritmetika dibawah ini:

1, 4, 7, 10, …
7, 15, 23, 31, …

Pembahasan / penyelesaian soal

Jawaban soal 1:

Diketahui a = 1 dan b = 4 – 1 = 3. Maka suku ke 10 barisan aritmetika dihitung dengan rumus:

Un = a + (n – 1) b
U10 = 1 + (10 – 1) 3
U10 = 1 + 9 x 3
U10 = 1 + 27 = 28

Jawaban soal 2:

diketahui a = 7 dan b = 15 – 7 = 8. Suku ke 10 barisan aritmetika tersebut sebagai berikut:

Un = a + (n – 1) b
U10 = 7 + (10 – 1) 8
U10 = 7 + 72 = 79

Contoh soal 2

Tentukan suku ke 8 dari barisan aritmetika dibawah ini:

101, 96, 91, 86, …
440, 437, 434, 431, …

Pembahasan / penyelesaian soal

Jawaban soal 1:

Diketahui a = 101 dan b = 96 – 101 = – 5. Suku ke 8 barisan aritmetika tersebut adalah:

Un = a + (n – 1) b
U8 = 101 + (8 – 1) – 5
U8 = 101 – 7 x 5 = 101 – 35 = 66

Jawaban soal 2:

Diketahui a = 440 dan b = 437 – 440 = -3. Suku ke 8 barisan aritmetika sebagai berikut:

Un = a + (n – 1) b
U8 = 440 + (8 – 1) -3
U8 = 440 – 7 x 3 = 419

Contoh soal 3 (UN SMP 2016)

Perhatikan gambar

Contoh soal barisan aritmetika nomor 2

Banyak persegi satuan pada pola yang ke 10 adalah….A. 40 B. 30 C. 20

D. 10

Pembahasan / penyelesaian soal

Gambar persegi diatas diubah kedalam bentuk barisan aritmetika yaitu 2, 4, 6, … Jadi pada soal ini diketahui a = 2 dan b = 4 – 2 = 2. Yang ditanya pada soal ini adalah pola ke-10 atau suku ke-10. Untuk mencari suku ke-n barisan aritmetika dengan menggunakan rumus dibawah ini:

U
n
= a + (n – 1) b
U
10
= 2 + (10 – 1) 2
U
10
= 2 + 9 x 2 = 2 + 18
U
10

= 20

Jadi banyak persegi pada pola ke-10 adalah 20. Jadi soal ini jawabannya C.

Contoh soal 4 (UN 2019 IPS)

Diketahui barisan aritmetika mempunyai suku ke-2 bernilai 4 dan suku ke-8 bernilai 22. Suku ke-15 barisan tersebut adalah…A. 43 B. 40 C. 37 D. 34

E. 31

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita harus menentukan terlebih dahulu suku ke-1 atau a dan beda (b) dengan cara sebagai berikut:

U
n
= a + (n – 1)b
U
2
= a + (2 – 1)b
4 = a + b … (persamaan 1)
U
8
= a + (8 – 1) b
22 = a + 7b …. (persamaan 2)

Eliminasi persamaan 2 dan persamaan 1 sehingga didapat:

Eliminasi persamaan 1 dan 2 barisan aritmetika

Subtitusi b = 3 ke persamaan 1 sehingga didapat:

4 = a + b
4 = a + 3
a = 4 – 3 = 1

Jadi a = 5 dan b = 3 maka suku ke-15 sebagai berikut:

U
15
= a + (n – 1)b
U
15
= 1 + (15 -1) 3
U
15
= 1 + 42 = 43

Jadi suku ke-15 = 43. Soal nomor 2 jawabannya adalah A.

Cara cepat menentukan suku ke-n barisan aritmetika:

Tentukan beda barisan aritmetika dengan rumus dibawah ini:

Menghitung beda barisan aritmetika

Selanjutnya kita tentukan U15 dengan rumus:

Un = b (n – nkecil) + Ukecil
U15 = 3 (15 – 2) + 4
U15 = 3 x 13 + 4 = 39 + 4 = 43

Contoh soal 5 (UN SMK 2015)

Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-2 = 4 dan suku ke-8 = -20. Suku ke-5 dari barisan tersebut adalah…A. 8 B. 4 C. 0 D. -4

E. -8

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita tentukan terlebih dahulu suku pertama dan beda barisan dengan menggunakan rumus barisan aritmetika (karena menurun sehingga b negatif) :

U
n
= a + (n – 1) -b
U
2
= a – (2 – 1) b
4 = a – (2 – 1) b
4 = a – b (persamaan 1)
U
8
= a – (8 – 1)b
-20 = a – 7b (persamaan 2)

Eliminasi persamaan 2 dan 1 dan diperoleh:

eliminasi barisan aritmetika

Selanjutnya subtitusi b = 4 ke persamaan 1 sehingga didapat:

4 = a – b
4 = a – 4
a = 4 + 4 = 8

Maka suku ke 5 barisan aritmetika diatas adalah:

U
5

= a – (n – 1) b
U
5
= 8 – (5 – 1) 4
U
5
= 8 – 4 x 4 = 8 – 16 = -8

Jadi soal ini jawabannya E.

Kalau dihitung dengan cara cepat hasilnya sebagai berikut:

Cara cepat menghitung suku ke n barisan aritmetika

Contoh soal deret aritmetika

Contoh soal 1

Hitunglah jumlah deret aritmetika 2 + 6 + 10 + 14 + … sampai 20 suku.

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan soal diatas, kita ketahui a = 2, b = 6 – 2 = 4. Maka jumlah 20 suku barisan aritmetika diatas dihitung dengan rumus dibawah ini:

S
n
= 1/2 n (2a + (n – 1) b)
S
20
= 1/2 . 20 (2 . 2 + (20 – 1) 4)
S
20
= 10 (4 + 76) = 10 + 80 = 90

Jadi jumlah 20 suku deret aritmetika adalah 90.

Contoh soal 2 (UN 2019 IPA)

Seorang pemain bola mengalami cedera lutut. Salah satu terapinya adalah jogging setiap hari dengan pola seperti tabel berikut ini:

Contoh soal deret aritmetika

Jika lama jogging setiap minggunya mengalami peningkatan dengan jumlah tetap, total lama jogging yang dilakukan selama 8 minggu adalah…A. 210 menitB. 220 menit C.255 menit D. 315 menit

E. 440 menit

Pembahasan / penyelesaian soal

Data pada tabel diatas diubah dalam bentuk deret aritmetika yaitu 10 + 15 + 20, … Jadi kita peroleh a = 10, b = 15 – 10 = 5 dan yang ditanya adalah jumlah hingga suku ke-8 atau S8. Cara menentukan S8 menggunakan rumus jumlah suku ke-n deret aritmetika dibawah ini:

S
n
= 1/2 n (2a + (n – 1)b)
S
8
= 1/2 . 8 (2 . 10 + (8 – 1) 5)
S
8
= 4 . (20 + 35) = 4 . 55 = 220

Jadi total waktu jogging selama 8 minggu adalah 220 menit. Jawaban soal ini adalah B.

Contoh soal 3 (UN 2019 IPS)

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-15 deret aritmetika berturut-turut adalah 4 dan 40. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah…A. 530 B. 550 C. 560 D. 580

E. 610

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui U3 = 4 dan U15 = 40 dan yang ditanya adalah jumlah 20 suku pertama atau S20. Untuk mencari S20 caranya sebagai berikut:

U
n
= a + (n – 1) b
U
3
= a + (3 – 1) b
4 = a + 2b (persamaan 1)
U
15
= a + (15 – 1)b
40 = a + 14b (persamaan 2)

Eliminasi persamaan 2 dan 1:

Eliminasi deret aritmetika

Subtitusi b = 3 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:

4 = a + 2b
4 = a + 2 . 3
4 = a + 6
a = 4 – 6 = -2

Jadi jumlah 20 suku pertama sebagai berikut:

S
n
= 1/2 n (2a + (n – 1) b
S
20
= 1/2 . 20 (2 . -2 + (20 – 1) 3
S
20
= 10 (-4 + 57) = 10 . 53 = 530

Jadi jumlahnya adalah 530. Jawaban soal ini adalah A.

Cara cepat menghitung jumlah suku ke-n deret aritmetika

Hitung terlebih dahulu b:

Menghitung beda deret aritmetika

Selanjutnya hitung U1 = a dengan rumus:

a = b (1 – n
kecil
) + U
kecil
a = 3 (1 – 3) + 4 = -6 + 4 = -2

Hitung jumlah 20 suku pertama dengan rumus seperti diatas:

S
20
= 1/2 n (2a + (n – 1) b)
S
20
= 1/2 20 (2 . -2 + (20 – 1) 3 = 530

Contoh soal 4 (UN 2018 IPA)

Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku ke-2 = 46 dan suku ke-5 = 64. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah…A. 1.910 B. 1.920 C. 1.130 D. 1.940

E. 1.950

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita hitung dengan cara cepat seperti nomor 3 atas:

Menghitung beda deret aritmetika

Selanjutnya kita hitung a dengan rumus:

a = b (1 – n
kecil
) + U
kecil
a = 6 (1 – 2) + 46 = 40

Jadi jumlah 20 suku pertama:

S
20
= 1/2 n (2a + (n – 1)b)
S
20
= 1/2 . 20 (2 . 40 + 19 . 6)
S
20
= 10 . 194 = 1.940

Jadi soal ini jawabannya D.

Contoh soal 4 (UN 2018 IPA)

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-7 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 28 dan 44. Jumlah 25 suku pertama deret tersebut adalah….A. 1.600 B. 1.650 C. 1.700 D. 1.800

E. 1.850

Pembahasan / penyelesaian soal

Dengan cara cepat kita peroleh hasil sebagai berikut:

Cara cepat menghitung jumlah suku ke 25 deret aritmetika

Jawaban soal ini adalah C.

Contoh soal 5 (UN IPS 2018)

Seorang ayah menabung uangnya dirumah.Setiap bulan tabungan bertambah secara tetap dimulai dari bulan pertama Rp 50.000,00. bulan kedua Rp 55.000,00, bulan ketiga Rp 60.000,00 dan seterusnya. Jumlah tabungan selama 10 bulan adalah….A. Rp 500.000,00 B. Rp 550.000,00 C. Rp 600.000,00 D. Rp 700.000,00

E. Rp 725.000,00

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui a = 50.000 dan b = 55.000 – 50.000 = 5.000. Jadi jumlah tabungan selama 10 bulan adalah:

S
n
= 1/2 n (2a + (n – 1)b)
S
10
= 1/2 . 10 (2 . 50.000 + (10 – 1) 5.000)
S
10
= 5 (100.000 + 45.000)
S
10
= 725.000

Soal ini jawabannya adalah E.

Contoh soal 6 (UN 2018 IPS)

Fatir menabung dirumah dengan teratur setiap bulan. Uang yang ditabung selalu lebih besar dari yang ditabung pada bulan sebelumnya dengan selisih tetap. Jumlah seluruh tabungan dalam 10 bulan pertama adalah Rp 725.000,00 sedangkan dalam 15 bulan pertama Rp. 1.275.000,00. Besar uang yang ditabung sampai bulan ke-20 adalah…A. Rp 1.300.000,00 B. Rp 1.350.000,00 C. Rp 1.600.000,00 D. 1.950.000,00

E. 2.650.000,00

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui S10 = 725.000 dan S15 = 1.275.000. Dengan cara cepat kita hitung besar uang sampai bulan ke 20 yaitu:

S
n
= 1/2 n (2a + (n – 1) b)
S
10
= 1/2 . 10 (2a + (10 – 1)b
725.000 = 5 (2a + 9b)
725.000 = 10a + 45b (x 3)
2.175.000 = 30 a + 135b (persamaan 1)
S
15
= 1/2 . 15 (2a + (15 – 1) b
1.275.000 = 15a + 105b (x 2)
2.550.000 = 30a + 210b (persamaan 2)

Eliminasi persamaan 2 dan persamaan 1:

30a + 135b = 2.175.000 (-)

b = 5000

Subtitusi b = 5000 ke persamaan 1 diperoleh:

30a + 210b = 2.550.000
30a + 210 . 5000 = 2.550.000
30a = 2.550.000 – 1.050.000 = 1.500.000
a = 50.000

Dengan demikian besar uang yang ditabung sampai bulan ke-20 adalah:

S
20
= 1/2 . 20 (2 . 50.000 + (20 – 1) 5000
S
20
= 10 (100.000 + 95.000) = 1.950.000

Jawaban soal ini adalah D.

Contoh soal 7 (UN 2017 IPA)

Adit menabung setiap bulan disebuah bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp 80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp 5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun adalah…A. Rp 1.015.000,00 B. Rp 1.150.000,00 C. Rp 1.290.000,00 D. Rp 1.320.000,00

E. Rp 1.340.000,00

Pembahasan / penyelesaian soal

Pada soal ini diketahui a = 80.000 dan b = 5.000. Jadi jumlah uang Adit selama satu tahun: