Persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0 0 dan mempunyai diameter 10 adalah

Persiapan Ulangan  Harian Persamaan Lingkaran dan Persamaan Garis Singgung Lingkara  

Soal dan Pembahasan
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, –1) dan menyinggung sumbu y.

Penyelesaian: lingkaran menyinggung sumbu y, artinya bagian samping lingkarannya menempel pada sumbu y, dan jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat ke garis singgungnya.

Jika lingkaran ini kita gambarkan, akan terlihat seperti berikut.

Dan pusat lingkaran P(a, b) = (3, –1), artinya a = 3 dan b = –1

Substitusikan panjang jari-jari lingkaran (r = 3), nilai a = 3 dan b = –1 pada persamaan lingkaran dengan pusat O(a, b), sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 3)2 + (y – (–1))2 = 32
⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9

2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T(3,–4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 20 = 0.

Penyelesaian:
Karena jari-jarinya masih belum diketahui, maka langkah pertama mengerjakannya adalah mencari jari-jarinya dengan menggunakan rumus jarak titik terhadap garis.

Pada soal diketahui titik pusat lingkarannya T(1,–2)
r = jarak titik ke garis

Substitusikan panjang jari-jari lingkaran yang telah kita peroleh (r = 2), dan titik pusat lingkarannya T(1,–2) pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 1)2 + (y – (–2))2 = 22
⇔ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4

 ontoh Soal dan Pembahasan

3.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 6:

x2 + y2 = 62

x2 + y2 = 36

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 6 satuan adalah x2 + y2 = 36.

4. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 9:

x2 + y2 = 92

x2 + y2 = 81

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan berjari-jari 9 satuan adalah x2 + y2 = 81.

5. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.

Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis y = 7. Jarak antara titik (0,0) dengan garia y = 7 adalah 7 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 7 satuan.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 7:

x2 + y2 = 72

x2 + y2 = 49

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis y = 7 adalah x2 + y2 = 49.

6.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2.

Dalam kondisi tersebut, kita dapat menentukan jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak titik pusat (0, 0) dengan garis x = -10. Jarak antara titik (0,0) dengan garia x = -10 adalah 10 satuan. Sehingga jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 satuan.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 10:

x2 + y2 = 102

x2 + y2 = 100

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan menyinggung garis x = -10 adalah x2 + y2 = 100.

7.  Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan berjari-jari 5:

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 52

(x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 25

x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 25 = 0

x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (1, 2) dan berjari-jari 5 satuan adalah x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0.

8. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan.

Jawaban :

Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Persamaan lingkaran yang berpusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8:

(x + 4)2 + (y – 3)2 = 82

(x2 + 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 64

x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9 – 64 = 0

x2 + y2 + 8x – 6y – 39 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (-4, 3) dan berjari-jari 8 satuan adalah x2 + y2 + 8x – 6y – 39 = 0.

9. Tentukan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (0, 0) dan melalui titik (-5, 12).

Jawaban :

Dalam menentukan persamaan lingkaran, unsur-unsur yang harus diketahui adalah titik pusat dan jari-jari. Pada soal di atas, jari-jari lingkaran belum diketahui. Perlu diingat bahwa jari-jari adalah jarak titik pusat ke titik pada sekeliling lingkaran. Dengan demikian kita bisa menghitung jari-jari lingkaran dengan menentukan jarak titik (0, 0) ke titik (-5, 12).

Persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 1) dan berjari-jari 5:

(x - 4)2 + (y – 1)2 = 52

(x2 - 8x + 16) + (y2 – 2y + 1) = 25

x2 - 8x + 16 + y2 – 2y + 1 – 25 = 0

x2 + y2 - 8x – 2y – 8 = 0

Jadi, persamaan lingkaran yang bertitik pusat di (4, 1) dan melalui titik (8, -2) adalah x2 + y2 - 8x – 2y – 8 = 0.

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1, 3).

Jawaban :

Titik (1, 3) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 10.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

x.x1 + y.y1 = 10

x.1 + y.3 = 10

x + 3y = 10

x + 3y – 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 di titik (1, 3) adalah x + 3y – 10 = 0.

10. . Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 29 di titik (-2, 5).

Jawaban :

Titik (-2, 5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 29.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

x.x1 + y.y1 = 29

x.(-2) + y.5 = 29

-2x + 5y = 29

-2x + 5y – 29 = 0

2x – 5y + 29 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 29 di titik (-2, 5) adalah 2x – 5y + 29 = 0.

11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3).

Jawaban :

Titik (2, 3) terletak pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

(x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 17

(x – 3)(2 – 3) + (y + 1)(3 + 1) = 17

(x – 3)(-1) + (y + 1)(4) = 17

-x + 3 + 4y + 4 = 17

-x + 4y + 7 – 17 = 0

-x + 4y – 10 = 0

x – 4y + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3) adalah x – 4y + 10 = 0.

12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 5)2 + (y + 2)2 = 52 di titik (-1, 4).

Jawaban :

Titik (2, 3) terletak pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17.

Maka persamaan garis singgungnya adalah:

(x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 17

(x – 3)(2 – 3) + (y + 1)(3 + 1) = 17

(x – 3)(-1) + (y + 1)(4) = 17

-x + 3 + 4y + 4 = 17

-x + 4y + 7 – 17 = 0

-x + 4y – 10 = 0

x – 4y + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 1)2 = 17 di titik (2, 3) adalah x – 4y + 10 = 0.

Demikianlah sekilas materi tentang Persamaan lingkaran.

Untuk mempelajari materi tantang persamaan garis singgung lingkaran