Teste os seus conhecimentos sobre polinômios por meio desta lista de exercícios, que apresenta gabarito comentado para você tirar suas dúvidas.
Questão 1
Considerando os polinômios p(x) = x³ + 5x² – 10 e q(x) = – x² + 6x + 4, o valor de p(2) : q(1) é:
A) 2
B) 5
C) 9
D) 15
E) 18
Questão 2
Analisando o polinômio 4x5 + 8x³ – x, podemos afirmar que o grau desse polinômio é igual a:
A) 4
B) 5
C) 8
D) 10
E) 12
Questão 3
Considere o polinômio P(x) = x³ + 2x² – 5x – 3. O valor da expressão |2 · P(1)| é:
A) 5
B) – 5
C) 0
D) – 10
E) 10
Questão 4
(Instituto Consulplan) Se R(x) é o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 3x3 + 2x – 3 pelo polinômio D(x) = x + 1, então o valor de R(x) é:
A)
B) 1
C) – 1
D) – 2
Questão 5
Considerando que – 3 é uma das raízes do polinômio p(x) = 2x³ – 4kx + 24, então o valor de k é:
A) 1,0
B) 1,5
C) 2,0
D) 2,5
E) 3,0
Questão 6
(Imparh) Temos uma caixa no formato de um paralelepípedo retorretângulo com profundidade x − 1, comprimento x + 1 e largura x (em que x ≥ 1 é um número real). Qual polinômio expressa o volume, V(x), dessa caixa?
A) V(x) = x² − 1
B) V(x) = x³ − 1
C) V(x) = x³ − x
D) V(x) = x³ + 2x² +x
Questão 7
Qual deve ser o valor de k para que o polinômio P(x) = (k² – 81)x5 + (k – 9)x4 + kx³ + 3x² – 4x tenha grau 3?
A) – 1
B) 3
C) – 3
D) ± 9
E) 9
Questão 8
O polinômio que representa o perímetro do trapézio a seguir é:
A) 8x + 3
B) 11x
C) 4x² + 2
D) x² + 11
E) 11x – 3
Questão 9
Considerando os polinômios a seguir:
-
X = 2x³ + 4x² + 2y² + 4
-
Y = – 7x² + y² + 2
-
Z = x³ – 2x² + y² + 3
O valor da soma X + Y – 2Z é igual a:
A) y² + 2x² + 2
B) 2x³
C) 2x³ + x² + y² – 3
D) x² + 4y² + 3
E) x² + y²
Questão 10
Analise as afirmativas a seguir:
I → O grau de um polinômio é dado pelo maior coeficiente de suas variáveis.
II → O valor numérico de P(x) = 3x² – 4x + 2 quando x = 2 é 6.
III → O polinômio p(x) = 4x³ + 2x² – 1 possui grau 4.
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Questão 11
O perímetro do polígono a seguir pode ser expresso pelo seguinte polinômio:
A) 2x – 1
B) 8x + 4
C) 11x – 3
D) 10x + 4
E) x³ + 3
Questão 12
(Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por
A) 2xy
B) 15 − 3x
C) 15 − 5y
D) −5y − 3x
E) 5y + 3x − xy
Resposta - Questão 1
Alternativa A
Calculando p(2):
p(2) = 2³ + 5 · 2² – 10
p(2) = 8 + 5 · 4 – 10
p(2) = 8 + 20 – 10
p(2) = 28 – 10
p(2) = 18
Calculando q(1):
q(1) = – 1² + 6 ⸳ 1 + 4
q(1) = – 1 + 6 + 4
q(1) = 9
A divisão entre p(2) e q(1) é então = 18 : 9 = 2.
Resposta - Questão 2
Alternativa B
O grau do polinômio é o maior expoente da sua variável, que, nesse caso, é igual a 5.
Resposta - Questão 3
Alternativa E
Calculando P(1):
P(1) = 1³ + 2 ⸳ 1² – 5 · 1 – 3
P(1) = 1 + 2 – 5 – 3
P(1) = – 5
Então, |2 P(1)| = |2 · (– 5)| = |– 10| = 10
Resposta - Questão 4
Alternativa C
Para encontrar o resto da divisão de P(x) por D(x), aplicaremos o teorema do resto de um polinômio, pois temos que:
D(x) = x + 1
x + 1 = 0
x = – 1
Agora, calculando P(– 1):
P(– 1) = (– 1)4 – 3(– 1)3 + 2(– 1) – 3
P(– 1) = 1 + 3 – 2 – 3
P(– 1) = – 1
Resposta - Questão 5
Alternativa D
Sabendo que – 3 é raiz dessa equação, então temos que:
p(– 3) = 2 (– 3)³ – 4 (– 3)k + 24
0 = 2 (– 27) + 12k + 24
0 = – 54 + 12k + 24
– 12k = – 54 + 24
– 12k = – 30
k = (– 30) : (– 12)
k = 2,5
Resposta - Questão 6
Alternativa C
Para encontrar o volume, multiplicamos as três dimensões:
V(x) = (x – 1) ( x + 1)x
V(x) = (x² – x + x – 1²)x
V(x) = (x² – 1)x
V(x) = x³ – x
Resposta - Questão 7
Alternativa E
Para que o polinômio seja de grau 3, temos que:
k – 9 = 0 e k² – 81 = 0.
Resolvendo a primeira equação, temos que:
k – 9 = 0
k = 9
Note que k = 9 também é solução da segunda equação, pois
9² – 81 = 0
81 – 81 = 0
0 = 0
Então, o único valor que faz com que esse polinômio seja de grau 3 é k = 9.
Resposta - Questão 8
Alternativa A
Calculando o perímetro:
P = 2x + 2 + 3x – 2 + 2x + x + 3
P = 8x + 3
Resposta - Questão 9
Alternativa E
Realizando a soma, temos que:
(2x³ + 4x² + 2y² + 4) + (– 7x² + y² + 2) – 2(x³ – 2x² + y² + 3)
2x³ + 4x² + 2y² + 4 – 7x² + y² + 2 – 2x³ + 4x² – 2y² – 6
Juntando os termos semelhantes, encontraremos:
x² + y²
Resposta - Questão 10
Alternativa B
-
I → Falsa. O que define o grau de um polinômio é seu expoente, e não seu coeficiente.
-
II → Verdadeira. Calculando:
P(2) = 3 · 2² – 4 ⸳ 2 + 2
P(2) = 3 · 4 – 8 + 2
P(2) = 12 – 8 + 2
P(2) = 6
-
III → Falsa. O grau do polinômio é 3.
Resposta - Questão 11
Alternativa C
Calculando o perímetro, temos que:
P = 2x – 3 + x + 1 + 3x – 1 + 3x + 2 + 2x – 2
P = 11x – 3
Resposta - Questão 12
Alternativa E
A área perdida pode ser separada em três retângulos.
O primeiro retângulo, destacado em verde, tem área 5y, e o segundo retângulo, destacado em azul, tem área 3x. Note, porém, que existe uma região em comum tanto para o retângulo verde quanto para o retângulo azul, de área xy, que está sendo contada tanto na área do primeiro retângulo quanto na do segundo retângulo.
Por isso, a área perdida vai ser a soma da área do retângulo em verde com o retângulo em azul menos a área em comum.
5y + 3x – xy
ADIÇÃO DE POLINÔMIOS
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
–3x³ – 2x² + 7x – 3
EXERCÍCIOS
1) Efetue as seguintes adições de polinômios:
a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)
e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)
f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)
g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)
h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)
i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)
j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13)
SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
EXEMPLO
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
3x³ – 2x² + 3x – 1
EXERCÍCIOS
1) Efetue as seguintes subtrações:
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)
b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)
c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)
d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)
e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: 2a² +2a)
f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)
g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)
h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)
i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10)
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
EXEMPLOS
a)Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo:
(3x2) * (5x3 + 8x2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x5 + 24x4 – 3x3
b)
Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:
(x – 1) * (x2 + 2x - 6)
x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.
EXERCÍCIOS
1) Calcule os produtos
a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y)
b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)
c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)
d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)
e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)
f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)
g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)
h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)
i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)
j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)
k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)
l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)
m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)
n) (6x²-4).(6x²+4) __ (R:
o) (3x²-4x-3).(x+1) __ (R: 3x³ - 1x² - 7x -3)
p) (x²-x-1).(x-3) _____ (R: x³ - 4x² + 2x + 3)
q) (x-1).(x-2).(x-3) ____ (R: x³ - 6x² - 3x - 9)
r) (x+2).(x-1).(x+3) ____ (R: x³ + 4x² + 3x + 1)
s) (x³-2).(x³+8) _______ (R:
t) (x²+2).(x²+6) _______ (R:
DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR UM MONÔMIO
Vamos efetuar as divisões:
a) (8x⁵ - 6x⁴) : (+2x) = 4x⁴ - 3x³
b) (15x³ - 4x²) : (-5x) = -3x² + 4x/5
Conclusão:Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.
EXERCÍCIOS
1) Efetue as divisões:
a) ( 12x² - 8x) : (+2x) =
b) (3y³ + 6y²) : (3y) =
c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =
d) (4x³ - 9x) : (+3x) =
e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²)
f) (30x² - 20xy) : (-10x)
g) (-18x² + 8x) : (+2x)
h) (6x²y – 4xy²) : (-2x)
2) Efetue as Divisões:
a) ( x³ + 2x² + x ) : (+x) =
b) (x² + x³ + x⁴) : (+x²) =
c) (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) =
d) (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) =
e) (3x²y – 18xy²) : (+3xy) =
f) (7x³y – 8x²y²) : (-2xy) =
g) (4x²y + 2xy – 6xy²) : (-2xy) =
h) (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : ( +4x⁴) =
i) (3xy⁴ + 9x²y – 12xy²) : (+3xy) =
DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO
explicaremos como se efetua a divisão de polinômios pelo método de chaves, por meio de exemplos.
Exemplo 1 Vamos efetuar a divisão:
(2x² - 5x - 12) : ( x -4)
Observe que os polinômios estão ordenados segundo as potências decrescentes de x.
a)Coloque o polinômio assim:
b) Divida o primeiro termo do dividendo (2x²) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quosciente (2x)
c) Multiplique o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor , colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. A seguir , reduza só termos semelhantes:
Exemplo 2
Vamos calcular a divisão
Terminamos a divisão, pois o grau de x - 1 (resto) é inferior ao de 2x² - 3x + 1 (divisor)
logo: quociente : 3x² - x - 6
resto: x -1
EXERCÍCIOS
1) Calcule os quocientes:
a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)
b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)
c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)
d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)
e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4)
f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3)
g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1)
h) (3x³ - 13x² + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5)
i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1)
j) ( 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 ) : (x² - 3x + 1)
(Material de referência http/jmpmat2.blogspot.com)