Blog Koma - Artikel kali ini akan membahas materi Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak. Untuk menentukan akar-akar persamaan suku banyak, kita akan menggunakan skema horner yang bisa kita pelajari pada materi "Menentukan Nilai Suku Banyak" dan "Operasi Pembagian Suku Banyak". Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak tentu ada kaitannya dengan teorema faktor yang ada pada materi "Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak".
Pengertian Akar-akar Persamaan Suku Banyak
Jika diketahui suatu suku banyak $ f(x) \, $ dan ($x - a$) adalah faktor dari $ f(x) $, maka $ a \, $ adalah akar dari persamaan $ f(x) \, $ yang memenuhi $ f(a) = 0 $.
Contoh soal akar-akar persamaan suku banyak : 1). Apakah 1 dan $ \, -1 \, $ merupakan akar dari persamaan suku banyak $ 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 $ ? Penyelesaian : *). Misalkan suku banyaknya $ f(x) = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \, $ *). Kita substitusi $ x = 1 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke $ f(x) $. $ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \\ f(1) & = 2.1^5 - 3.1^2 + 2.1 - 1 \\ & = 2 - 3 + 2 - 1 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \\ f(-1) & = 2.(-1)^5 - 3.(-1)^2 + 2.(-1) - 1 \\ & = 2.(-1) - 3.(1) - 2 - 1 \\ & = -2 - 3 - 2 - 1 \\ & = -8 \end{align} $ *). Kita peroleh : $ f(1) = 0 \, $ artinya $ x = 1 \, $ adalah akar dari suku banyaknya. Karena $ x = 1 \, $ adalah akarnya, maka $ x = 1 \rightarrow x - 1 = 0 \, $ atau ($x - 1$) adalah faktor dari $ f(x) $. $ f(-1) = -8 \, $ artinya $ x = -1 \, $ bukan akar dari suku banyaknya karena $ f(-1) \neq 0 $ .
Cara Menentukan Akar-akar dan faktor Persamaan Suku Banyak
Misalkan ada persamaan suku banyak $ ax^n + cx^{n-1} + c_1x^{n-2} + ... +c_{n-1}x + b = 0 \, $ Langkah-langkah menentukan akar-akarnya :
(i). Menentukan akar-akar Rasional yang mungkin diperoleh dari pembagian faktor $ b \, $ dan faktor $ a \, $ atau $ \, \frac{ \text{faktor } b }{\text{faktor } a} $. Jika nilai $ a = 1 \, $ maka akar-akar yang mungkin hanya ditentukan oleh faktor dari $ b \, $ saja.
(ii). Dari akar-akar yang mungkin tersebut, kita substitusi ke bentuk suku banyaknya, jika hasilnya adalah nol maka bilangan tersebut adalah akar pertamanya.(iii). Dari akar pertamanya tersebut, kita gunakan skema Horner untuk menentukan hasil pembagiannya.
Contoh Soal menentukan akar-akarnya : 2). Tentukan akar-akar dan faktor dari persamaan suku banyak $ \, x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 $. Penyelesaian : *). Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \, $. *). Akar-akar yang mungkin adalah dari faktor dari $ - 6 \, $ yaitu $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $. Faktor disini maksudnya adalah pembaginya. *). Kita akan substitusi akar-akar yang mungkin $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $ ke suku banyaknya. $ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 5.1 - 6 \\ f(1) & = 1 + 2 - 5 - 6 = - 8 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \\ f(-1) & = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5.(-1) - 6 \\ f(-1) & = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \end{align} $ Karena $ f(-1) = 0 \, $ maka $ x = -1 \, $ adalah akar pertamanya. *). Kita gunakan skema Horner : Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \, $ koefisiennya $ 1, \, 2, \, -5, \, -6 $ Akarnya : $ x = -1 \, $ atau faktornya ($x + 1$).
*). Untuk pemfaktoran bentuk persamaan kuadrat, silahkan baca pada artikel "Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat".
3). Jika ($ x + 1$) adalah salah satu faktor dari $ 2x^3 - 3x^2+ px + 2 = 0 \, $, maka tentukan faktor-faktor lainnya. Penyelesaian : *). Misal suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2+ px + 2 \, $. *). Menentukan nilai $ p $, Karena ($ x + 1$) adalah faktor dari $ f(x) \, $ maka $ f(-1) = 0 $. $ \begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2+ px + 2 \\ f(-1) & = 0 \\ 2(-1)^3 - 3(-1)^2+ p(-1) + 2 & = 0 \\ -2 - 3 -p + 2 & = 0 \\ - 3 -p & = 0 \\ p & = -3 \end{align} $ Sehingga suku banyaknya menjadi : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 $ *). Memfaktorkan suku banyak dengan skema horner : Suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 \, $ koefisiennya $ 2, \, -3, \, -3, \, 2 $ Faktornya ($x + 1$), sehingga akarnya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.Hasilnya adalah $ 2x^2 - 5x + 2 \, $ . Artinya bentuk suku banyak $ 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ \begin{align} 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 & = 0 \\ (2x^2 - 5x + 2)(x+1) & = 0 \\ (2x-1)(x-2)(x+1) & = 0 \end{align} $ Sehingga faktor-faktor dari $ 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0 \, $ adalah $ \, (2x - 1), \, (x - 2) , \, $ dan $ \, (x + 1) $. Jadi, faktor-faktor lainnya adalah $ \, (2x - 1), \, $ dan $ \, (x - 2) $ .
Operasi Akar-akar Persamaan Suku Banyak
Berikut akan kita bahas operasi akar-akar persamaan suku banyak, maksudnya kita akan bahas rumus-rumusnya tanpa menentukan akar-akarnya terlebih dahulu. Rumus-rumus operasi akar-akar : *). Suku banyak berderajat 2 : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2 $ penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} $ penjumlahan dua-dua : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $ *). Suku banyak berderajat 3 : $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2, \, x_3 $ penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a} $ penjumlahan dua-dua : $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} $ penjumlahan tiga-tiga : $ x_1. x_2.x_3 = - \frac{d}{a} $ *). Suku banyak berderajat 4 : $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, x_2, x_3, x_4 $ penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} $ penjumlahan dua-dua : $ x_1. x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 + x_3.x_4 = \frac{c}{a} $ penjumlahan tiga-tiga : $ x_1. x_2.x_3 + x_2. x_3.x_4 + x_3. x_4.x_1 + x_4. x_1.x_2 = - \frac{d}{a} $ penjumlahan empat-empat : $ x_1. x_2.x_3 .x_4 = \frac{e}{a} $
Berlaku juga untuk suku banyak berderajat lebih dari 4, dengan pola rumus yang hampir mirip.
Jadi, ada dua jenis nilai akar-akar yang kita peroleh.