BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Bidang geometri dewasa ini telah berkembang dengan begitu pesatnya. Hal ini dibuktikan dengan adanya beberapa geometri modern yang berkembang. Euclid (325 – 265 SM), seorang matematikawan bangsa Yunani dapat dianggap sebagai pelopor pembentuk geometri aksiomatis. Euclid telah menulis 13 jilid buku. Jilid I yang berjudul “Elements” memuat 23 definisi, 5 aksioma, dan 5 postulat yang merupakan aksioma yang khusus digunakan pada bidang geometri.
Dari lima aksioma yang diajukan oleh Euclid, banyak ahli yang apabila aksioma kesejajaran dihilangkan maka akan menjadi geometri netral. Aksioma kesejajaran itu berbunyi ”Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal sedemikian hingga membuat jumlah sudut dalam sepihak kurang dari 180°, maka kedua garis itu berpotongan pada pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 180°. Dengan melakukan modifikasi-modifikasi, banyak proposisi dalam geometri netral adalah benar secara geometri Euclid maupun non Euclid
Di dalam matematika, fraktal merupakan sebuah kelas bentuk geometri kompleks yang umumnya mempunyai "dimensi pecahan". Geometri fraktal pertama kali diperkenalkan oleh Benoît Mandelbrot sekitar tahun 1975. Di dalam mempelajari geometri fraktal kita dapat menghasilkan karya matematika yang indah.
Fraktal berbeda dengan gambar-gambar klasik sederhana atau geometri Euclid seperti bujur sangkar, lingkaran, maupun bola. Fraktal dapat digunakan untuk menjelaskan banyak objek yang bentuknya tak beraturan atau fenomena alam yang secara spasial tak seragam, seperti bentuk pantai atau lereng gunung.
Untuk lebih memahami materi mengenai geometri netral dan geometri fraktal maka di dalam makalah ini penulis akan membahas secara menyeluruh mengenai geometri netral dan geometri fraktal.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah dari geometri netral ?
2. Siapa saja tokoh-tokoh yang mencetuskan tentang geometri netral ?
3. Apa saja pengertian pangkal, definisi, dan aksioma-aksioma dalam geometri netral ?
4. Apa saja proposisi-proposisi dalam geometri netral ?
5. Bagaimana pengaplikasian geometri netral ?
6. Bagaimana sejarah dari geometri fraktal ?
7. Siapa saja tokoh - tokoh yang mencetuskan tentang geometri fraktal ?
8. Apa pengertian dari geometri fraktal ?
9. Apa saja dimensi dalam geometri fraktal ?
10. Bagaimana pengelompokan jenis - jenis dalam geometri fraktal ?
11. Apa saja contoh - contoh dari geometri fraktal ?
12. Bagaimana pengaplikasian geometri fraktal ?
C. Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui sejarah dari geometri netral
2. Untuk mengenali tokoh-tokoh yang mencetuskan tentang geometri netral
3. Untuk mengetahui pengertian pangkal, definisi, dan aksioma-aksioma dalam geometri netral
4. Untuk mengetahui proposisi-proposisi dalam geometri netral
5. Dapat menjalaskan pengaplikasian geometri netral
6. Untuk mengetahui sejarah dari geometri fraktal
7. Untuk mengenali tokoh - tokoh yang mencetuskan tentang geometri fraktal
8. Dapat menjalaskan pengertian dari geometri fraktal
9. Untuk memahami dimensi dalam geometri fraktal
10. Dapat membedakan pengelompokan jenis - jenis dalam geometri fraktal
11. Dapat menyebutkan contoh - contoh dari geometri fraktal
12. Untuk memahami pengaplikasian geometri fraktal
BAB II
PEMBAHASAN
A. Geometri Netral
1. Sejarah Geometri Netral
Sejarah mencatat bahwa geometri non-euclides lahir oleh karena para matematikawan berusaha membuktikan kebenaran dari postulat yang kelima dari Euclid dengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya. Postulat kelima itu adalah jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku. Beberapa matematikawan menganggap bahwa postulat kelima bukanlah merupakan postulat, tetapi dapat dibuktikan dengan menggunakan empat postulat sebelumnya.
Beberapa matematikawan tersebut adalah Proclus dari Alexandria, Girilamo Sacceri dari Irlandia, Karl Friedrich Gauss dari Jerman, Wolfgang dan János Bolyai dari Hungaria, Ivanoviteh Lobacvesky dari Rusia. Beberapa dari ahli matematikawan yang telah disebutkan di atas adalah pencetus dari geometri netral, yaitu Wolfgang Bolyai, Yanos Bolyai, Karl Friedrich Gauss dari Jerman.
2. Tokoh- Tokoh Pencetus Geometri Netral
a. Farkas Wolfgang Bolyai (1775-1856)
Farkas Bolyai (lahir 9 Februari 1775 – meninggal 20 November 1856 pada umur 81 tahun, juga disebut Wolfgang Bolyai di Jerman) adalah matematikawan Hongaria, yang terkenal untuk karyanya dalam bidang geometri.
Profesor filsafat di College Kolozsvár berusaha untuk mengubah Bolyai terhadap matematika dan ke arah filosofi agama.
Di sisi lain Bolyai memiliki kepentingan luas tentang ilmu pengetahuan, matematika, dan sastra. Dia tertarik pada semua ilmu itu dan pada tahun 1795 setelah meninggalkan College ia menghabiskan beberapa minggu mempertimbangkan karir sebagai seorang aktor.
Bolyai mengajar matematika, fisika dan kimia di Marosvasarhely untuk sepanjang hidupnya. Gagal membuktikan postulat akhirnya menikmati masa tuanya dengan menulis puisi, musik dan drama, sebelum meninggal di Marosvasarhely, Transylvania, Kerajaan Austria (sekarang Tirgu Mures, Romania).
b. Janos Bolyai (1802 - 1860)
Sampai hari ini, ia adalah matematikawan Hungaria terbesar, pencipta geometri absolut. Para jenius dari orang-orang Hungaria diwujudkan pada tingkat tertinggi dalam diri János Bolyai di bidang ilmu pengetahuan. János Bolyai lahir pada tanggal 15 Desember 1802 di Kolozsvár, Hungaria (sekarang Cluj, Rumania) dan meninggal pada tanggal 27 Januari 1860 di Marosvásárhely, Hungaria (sekarang Târgu Mureş, Rumania.
Penemuan geometri alternatif yang konsisten yang mungkin sesuai dengan struktur alam semesta membantu untuk mempelajari konsep-konsep abstrak terlepas dari hubungan apapun yang mungkin dengan dunia fisik. Ayahnya, Farkas Bolyai juga seorang matematikawan terkenal, yang dididik di Göttingen, dan di sini ia berteman dengan Karl Friederich Gauss. Farkas Bolyai selalu mengarahkan anaknya untuk menjadi ahli matematika.
Pada usia 15, ia menunjuk sebuah tiga bagian sudut yang bagus, dalam solusi yang memanfaatkan salah satu cabang dari hiperbola xy=c. Ia belajar di kampus Royal Engineering di Wina (1818-1822) dan bertugas di korps tentara (1822-1833). Dia menjadi begitu terobsesi dengan postulat kesejajaran Euclid. Awalnya menerima postulat-postulat Euclid sebagai aksioma yang berdiri sendiri dan menemukan bahwa memungkinkan mengkonstruksi geometri, dengan dasar aksioma-aksioma lainnya, satu titik dalam bidang yang terdiri dari garis-garis tidak terhingga yang tidak bersinggungan dengan garis pada bidang tersebut. Gagasan ini, oleh sang ayah, dikirimkan ke Gauss untuk dimintai pendapat tentang gagasan tidak biasa ini. Jawaban Gauss, memuji gagasan itu, namun tidak disarankan untuk dilanjutkan.
Usia 21 tahun, melanggar larangan ayahnya karena mengembangkan geometri yang beda dengan postulat kelima yaitu dengan geometri hiperbolik dan ternyata mampu memecahkan kebuntuan yang dialami oleh ayahnya. Penemuan ini mendasari teori-teori fisika modern yang muncul pada abad keduapuluh. Tidak pernah menerbitkan makalah Appendix tidak lebih dari 26 halaman, karena tidak mampu mempublikasikan penemuannya, namun Janos meninggalkan 3.000 halaman artikel matematika dan 11.000 halaman makalah lain ketika dia meninggal. Janos Bolyai meninggal di Marosvasarhely, Transylvania.
Bolyai juga seorang ahli bahasa yang luar biasa dan bisa berbicara dalam sembilan bahasa asing termasuk Cina dan Tibet. Selain karyanya dalam geometri, Bolyai mengembangkan konsep geometris yang ketat dari bilangan kompleks sebagai pasangan terurut bilangan real.
c. Karl Friedrich Gauss (1777-1855)
Ilmuwan besar matematika ini lahir pada bulan April 1777 di Brunswick daerah Duke Brunswick (Jerman). Gauss tumbuh di keluarga yang sederhana, bukan kaya namun terdidik
Umur 12 tahun, Gauss sudah berani mempertanyakan dasar-dasar geometri Euclides. Umur 15 tahun, Gauss sudah belajar di College, semua biaya ditanggung oleh Ferdinand, dengan mengambil jurusan bahasa kuno dan bahasa modern serta matematika – Gerhard menyebut dengan bidang yang tidak membumi. Umur 16 tahun mulai menggagas geometri selain Euclid.
Setahun berikutnya mencari “lubang-lubang” pembuktian teori bilangan yang memuaskan pada pendahulunya, namun dianggap hanya karya setengah jalan, sebelum memasuki bidang favorit, aritmatika. Tiga tahun kemudian, Gauss masuk universitas Gottingen, dan belum dapat memutuskan jurusan matematika atau jurusan bahasa yang akan dipilih. Keputusan memilih bidang matematika terjadi pada tanggal 30 Meret 1796, dimana pada hari itu Gauss menemukan cara membuat poligon 17 sisi dengan menggunakan kompas dan penggaris.
Cara menggunakan kompas dan penggaris dimulai sejak jaman Archimedes ini, namun cara menggambar poligon ini baru ditemukan oleh Gauss. Penemuan ini dianggap sebagai salah satu penemuan terbesar dari Gauss. Keputusan besar dan benar ini kemudian diikuti dengan janjinya untuk membuat catatan harian matematika yang diisi dengan ide-ide atau problem-problem yang melintas di kepala setiap hari. Dalam buku itu pula tertulis bahwa kemungkinan adanya geometri non-Euclidian; membuat perubahan besar dalam aritmatika; merombak teori bilangan; proses menemukan grafik dari bilangan kompleks dan membuktikan theorema dasar aljabar. Gauss remaja, seperti halnya Newton, adalah masa penuh ide dan sangat kreatif.
Di universitas Gottingen, karya Gauss dapat diperbandingkan dengan karya para matematikawan lain dan hasilnya memang mencolok. Semakin dia membandingkan akhirnya dia menyadari bahwa dia adalah seorang matematikawan besar. Gauss selalu menyimpan semua penemuannya dan menyesal bahwa tidak seorangpun dapat berdiskusi tentang teori-teori yang menarik hatinya. Salah seorang teman baiknya di universitas adalah Wolfgang Bolyai, bangsawan Hongaria yang kelak anak lakinya [Janos Bolyai] menemukan geometri non-Euclidian. Bolyai sendiri mengagumi kejeniusan Gauss dan pernah mengunjungi rumah Gauss di Brunswick setelah ditanya oleh ibu Gauss, dengan jawaban bahwa, “Gauss adalah matematikawan terkemuka di Eropa.”
Tidak lama makalah teori bilangan yang sudah pernah dirintisnya di Gottingen diterbitkan dengan judul Disquisitiones Arithmeticae, setelah tertunda selama tiga tahun akhirnya dicetak dan diterbitkan pada tahun 1801.
Nama Gauss mulai terkenal sehingga merencanakan menggunakan bahan-bahan dalam buku itu untuk disertasi doktoral, namun pihak penerbit menolak. Dicari judul lain sebelum akhirnya didapat judul panjang, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus revolvi posse yang terbit lebih awal, tahun 1799. Isi tesis doktoral adalah membuktikan theorema dasar aljabar – membuktikan bahwa polinomial pangkat n (kuadrat adalah pangkat 2 dan kubik adalah pangkat 3, quartik adalah pangkat 4 dan seterusnya) mempunyai (hasil) akar pangkat n juga. Hal tersebut baru valid (sahih) apabila perlakuan terhadap bilangan imajiner sama seperti bilangan riil.
Tidak lama setelah terbitnya Disquisitiones Arithmeticae, Gauss menjadi pengajar dan menulis makalah singkat berjudul The Metaphysics of Mathematics, yang disebut sebagai salah satu uraian singkat dan jelas yang pernah ditulis tentang dasar-dasar matematika. Penyederhanaan ini dimaksudkan pada keyakinan bahwa akan memudahkan mahasiswa belajar matematika. Gauss pensiun dari mengajar pada tahun 1851 dan setelah beberapa kali stroke, ia meninggal lima tahun kemudian. Semasa hidupnya banyak karya matematika baik teori maupun terapan. Aljabar, geometri, analisis, aritmatika atau teori bilangan adalah bidang-bidang yang dikembangkan oleh Gauss. Sebagai tambahan, secara teori, Gauss juga mendalami astronomi, magnetisme, topologi, kristalografi, optik dan elektrik. Pada tahun 1833, Gauss memperagakan mengirim sinyal-sinyal telegrafik sebelum dikembangkan oleh Samuel Morse. tiga tahun kemudian. Laplace menyebut Gauss sebagai matematikawan terbesar di dunia. Sedangkan kalangan raja memberi gelar “Pangeran matematika.”
3. Pengertian Pangkal, Definisi-definisi, dan Aksioma-aksioma dalam Geometri Netral
Kegagalan dalam usaha membuktikan postulat kesejajaran Euclides telah memberikan suatu isyarat adanya perkembangan teori-teori geometri yang kontradiksi dengan postulat kesejajaran. Pada geometri netral tepatnya disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides kecuali postulat kesejajaran. Dalam mempelajari geometri netral ini bertolak dari sebagian teori Saccheri, tetapi tidak menggunakan apa yang ditetapkan Saccheri, yaitu postulat kesejajaran Euclides harus dianggap valid. Geometri netral ini termuat dalam geometri terurut, sehingga pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi pengertian pangkal geometri netral. Dalam geometri ini juga diperkenalkan pengertian pangkal ketiga yaitu kongruensi, suatu relasi untuk pasangan titik, segmen, dan inetrval.
Pengertian pangkal geometri Absolut, menurut Pasch ialah:
a. Titik-titik A, B, C, D, ….
b. Keantaraan
c. Kongruensi
Titik dipandang sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan keantaraan dan kongruensi dipandang sebagai relasi-relasi yang tidak didefinisikan.
Adapun aksioma-aksioma kongruensi adalah sebagai berikut :
Aksioma 6.1
Jika A dan B titik berlainan, maka pada sebarang sinar yang berpangkal di C dan tepat satu titik D sedemikian, hingga AB CD.
Aksioma 6.2
Jika AB CD dan CD EF, maka AB EA.
Aksioma 6.3
AB BA
Aksioma 6.4
Jika [ABC] dan [A’B’C’] dan AB A’B’ dan BC B’C’, maka AC A’C’.
Aksioma 6.5
Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC B’C’, CA C’A’. AB A’B’, sedang D dan D’ adalah dua titik berikutnya sedemikian, hingga [BCD] dan [B’C’D’] dan BD B’D’, maka AD A’D’.
Dari aksioma-aksima di atas menunjukkan kongruensi adalah relasi ekuivalensi yang memenuhi sifat transitif (aksioma 1), sifat simetris (aksioma 3), dan sifat reflektif (aksioma 2).
Perhatikan bahwa aksioma 4 menunjukkan adanya penjumlahan segmen garis yang menjadi dasar untuk teori panjang.
C C’
A B A’ B’
Menurut aksioma 5 kongrueensi segmen dapat diperluas menjadi kongruensi sudut. Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan BC B’C’, CA C’A’, AB A’B’, maka biasa dikatakan kedua segitiga itu sisi-sisinya sama (S, S, S) yang secara diam- diam mengakibatkan sudut ABC sama dengan sudut A’B’C’ atau sudut ABD sama dengan sudut A’B’D’.
Definisi 1
Suatu sudut siku-siku ialah suatu sudut yang kongruen dengan pelurusnya (suplemennya); besarnya suatu sudut siku-siku sama dengan radian.
Definisi 2
Lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r ialah tempat kedudukan titik P sedemikian hingga OP = r. Suatu titik Q yang memenuhi Q > r dikatakan ada di luar lingkaran. Suatu titik yang tidak pada dan tidak di luar lingkaran dikatakan ada di dalam lingkaran.
a. Teori Saccheri Dalam Geometri Netral
Seperti telah dijelaskan bahwa geometri netral disimpulkan dari empat postulat pertama Euclides kecuali postulat kesejajaran dan dalam geometri ini bertitik tolak dari sebagian teori Saccheri tetapi tidak menggunakan apa yang ditetapkan Saccheri. Cara untuk mempelajari geometri netral adalah dengan mengamati teorema-teorema. Karena teorema akibatnya dibuktikan sebelum pengenalan postulat kesejajaran, demikian juga pada proposisi geometri netral.
1. Jumlah sudut-sudut suatu segitiga
Lemma
Misal diberikan dan Maka ada segitiga A1B1C1 sedemikian hingga A1B1C1 mempunyai jumlah besar sudut sama dengan jumlah besar sudut dan A1 .
Bukti:
B F
E
A C C
Misalkan E titik tengah BC, dan F dipilih pada AE sedemikikan hingga AE = EF .
Tarik garis melalui C dan F.
Perhatikan dan .
CE = BE
(bertolak belakang)
AE = FE
Maka , sehingga:
, sehingga:
Ini berarti atau harus kurang atau sama dengan setengah dari , sehingga CAF atau AFC , atau jika CAF atau AFC dimisalkan A1 maka A1
Lemma tersebut menyatakan bahwa kita dapat mengganti sebuah segitiga baru dengan merampingkan segitiga awal tanpa mengubah jumlah sudut-sudutnya. Hal ini dapat dilakukan dengan memotong dan dengan meletakkan di belakang . Dalam geometri netral kita tidak dapat mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga selalu konstan, hal ini didasarkan pada teorema Euclides yang buktinya tergantung pada postulat kesejajaran. Lemma ini juga menunjukkan bahwa jika diberikan segitiga tertentu, maka dapat dibuat segitiga yang non kongruen tetapi mempunyai jumlah sudut yang sama. Dengan demikian ada tak berhingga segitiga yang tidak kongruen, tetapi semuanya mempunyai jumlah sudut yang sama dengan segitiga yang diberikan.
Teorema 1
Jumlah dua sudut segitiga < 180
Bukti: C
A B D
Misalkan diketahui .
Akan dibuktikan .
Perpanjang melalui B ke D. Maka adalah sudut luar .
Menurut preposisi 16 (geometri Euclid) .
, sehingga:
Teorema 2
Jumlah besar sudut sebarang segitiga kurang atau sama dengan 180
Bukti:
Pembuktian yang digunakan adalah pembuktian tidak langsung dan misalkan bahwa terdapat suatu dengan jumlah sudut-sudutnya adalah , dimana adalah sembarang bilangan positif. Dengan menggunakan Lemma di atas, kita dapat menghasilkan suatu yang juga sama dengan jumlah sudut , . Sekarang kita dapat menerapkan Lemma ini juga untuk menghasilkan dengan jumlah sudut yang sama dengan dan sama dengan jumlah sudut dengan . Jika kita ulangi proses ini, kita dapat mengkonstruksikan suatu barisan segitiga-segitiga : , , ..., masing-masing dengan jumlah sudut , sedemikian sehingga untuk sembarang . Sekarang sifat Archimedes untuk bilangan real memungkinkan kita untuk memilih sembarang yang cukup besar sedemikian sehingga sekecil mungkin kita pilih, dan secara khusus sedemikian sehingga. Sekarang, karena , disimpulkan bahwa yang bertentangan dengan lemma pertama (jumlah dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari 180).
Jadi, Jumlah sudut-sudut suatu segitiga adalah kurang dari atau sama dengan .
Akibat teorema 2 (corollary)
Jumlah besar sudut-sudut segiempat kurang atau sama dengan 360
C
B
A
D
Diberikan segiempat ABCD
Tarik salah satu diagonal pada segiempat ABCD, misalkan BD sehingga terdapat dua segitiga, yaitu dan . Berdasarkan teorema 2, maka diperoleh:
360
360
Jadi jumlah besar sudut-sudut segiempat kurang atau sama dengan 360
2. Persegi Panjang
Adanya persegi panjang dalam geometri merupakan suatu yang penting. Jika kita tidak punya atau tidak dapat menggunakan persegi panjang, maka akan sulit sekali membuat suatu persegi panjang tanpa mengasumsikan kebenaran postulat kesejajaran Euclides. Untuk menghindari kesalahpahaman, secara formal akan didefinisikan istilah persegi panjang (dalam hal ini dimisalkan ada persegi panjang)
Definisi 3
Suatu segiempat disebut persegi panjang jika semua sudutnya adalah siku-siku.
Seperti diketahui bahwa dalam mempelajari geometri netral, tidak otomatis menggunakan proposisi Euclid, seperti:
a) sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegi panjang adalah sejajar
b) sisi-sisi tersebut sama panjang, atau
c) diagonal persegi panjang membagi persegi panjang menjadi dua segitiga yang kongruen.
Teorema 3
Jika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada juga sebuah persegi panjang dengan salah satu sisinya lebih panjang daripada ruas garis tertentu.
Bukti:
Misal ada persegipanjang ABCD.
Ambil sebarang ruas garis XY.
B C C1 C2 Cn
A D D1 D2 Dn
ABCD sebagai kotak pembangun, untuk melukis persegipanjang. Lukis segiempat D2C2CD yang kongruen dengan ABCD sedemikian hingga C2D2 dan BA berlainan pihak terhadap CD (perpanjang BC kearah C, sehingga panjang CC2 sama dengan BC dan perpanjang AD kearah D sehingga panjang DD2 sama dengan AD). Maka D2C2CD adalah persegipanjang dan B,C,C2 serta A, D, D2 terletak pada satu garis, karena hanya ada satu garis yang tegak lurus pada CD di C. Jadi ABCC2D2D merupakan segiempat ABC2D2 dan merupakan persegipanjang. Persegi panjang ABC2D2 mempunyai sifat:
AD2= 2AD
Dengan cara yang sama diperoleh ABC3D3 adalah persegipanjang, dan
AD3 = 3AD,
Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif n ada persegipanjang ABCnDn sedemikian hingga
ADn= nAD.
JIka dipilih n cukup besar, maka n AD > XY
Dengan demikian persegipanjang ABCnDn merupakan persegipanjang yang diinginkan.
Akibat teorema 3
Jika ada sebuah persegi panjang dalam geometri netral maka ada persegi panjang yang panjang dua sisi yang bersisihannya masing-masing melebihi panjang dua ruas garis yang diketahui.
Bukti:
Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan ruas garis XY dan PQ. Dengan menggunakan teorema 2 dua kali maka kita peroleh persegi panjang ABEF dengan AF > XY. Kemudian ada persegi panjang AGHF dengan AG > PQ. Maka persegi panjang AGHF adalah persegi panjang yang dicari.
Teorema 4
Jika ada sebuah persegi panjang, maka ada persegi panjang dengan panjang dua sisi yang berdekatan masing-masing sama dengan dan .
Bukti :
Berdasarkan teorema akibat sebelumnya , kita dapat membuat persegi panjang PQRS. Dengan PQ > XY dan PS > ZW. ( lihat gambar dibawah). Jika kita tempatkan Q’ pada sehingga dan buat garis tegak lurus dari Q’ memotong di R’ , terbetuk segiempat PQ’R’S. Kiata akan menunjukkan bahwa PQ’R’S adalah persegi panjang. Sudut pada R’, S, dan P adalah sudut siku-siku, maka kita hanya akan menunjukkan bahwa adalah sudut siku-siku. Karena PQ’R’S adalah segiempat Lambert, dengan . Tetapi jika kita asumsikan , dan , Maka terjadi kontradiksi karena QQ’RR’ juga merupakan Segiempat Lambert dan keempat sudutnya tidak bisa tumpul. Oleh karena itu dan segiempat PQ’R’S adalah persegi panjang. Dengan cara yang sama kita letakkan S’ pada dan R” pada sehingga segiempat PQ’R”S’ adalah persegi panjang yang dimaksud.
Teorema 5
Jika dalam suatu geometri netral ada persegi panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga siku-siku sama dengan 1800.
Bukti :
Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa:
i. Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari segitiga yang dibentuk dengan cara membelah persegi panjang pada diagonalnya.
ii. Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 1800.
Ø Misalkan segitiga ABC siku-siku di B, maka terdapat persegi panjang A’B’C’D’ sedemikian hingga A’B’ = AB dan B’C’ = BC.
Ø Hubungkan A’ dan C’, maka segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’.
Ø Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut yang sama.
Perhatikan gambar berikut:
Misalkan p adalah jumlah sudut segitiga ABC dan q adalah jumlah sudut segitiga A’B’C’, maka menurut definisi segi empat semua sudutnya adalah 900, maka p + q = 4 x 900 ………… (1)
Menurut teorema Jumlah sudut dalam Segitiga, maka p ≤ 1800.
Andaikan p < 1800.
Sedangkan menurut persamaan (1), p + q = 3600, maka diperoleh q > 1800.
Hal ini bertentangan dengan teorema Jumlah sudut dalam Segitiga.
Jadi, p = 1800 (terbukti).
Teorema 6
Jika dalam geometri netral ada persegi panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga 1800.
Bukti :
Perhatikan gambar berikut:
Ø Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800 (A + B + C = 1800).
Tarik garis tinggi CD, sehingga membagi segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yaitu segitiga ACD dan BCD.
Jumlah sudut ACD = BCD = 1800. (menurut teorema 4)
Sehingga
( A + C1 + D1) + ( B + C2 + D2) = 2 x 1800 = 3600
( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600
( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600
A + B +( C1 + C2) = 1800
Jadi, A + B + C = 1800 (terbukti).
3. Jumlah sudut suatu segitiga
Teorema 7
Jika dalam geometri netral ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 1800, maka akan ada sebuah persegi panjang.
Bukti:
Perhatikan gambar berikut.
Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800.
Pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku dengan jumlah sudut 1800.
Potong segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang masing-masing mempunyai jumlah sudut p dan q, dengan menarik garis tinggi tertentu, tulis CD.
Maka p + q = (2 x 900) + 1800 = 3600
Kita tunjukkan p = 1800, menurut teorema Jumlah sudut dalam Segitiga, p 1800
Jika p < 1800, q > 1800 maka ini bertentangan dengan teorema Jumlah sudut dalam Segitiga.
Jadi, ada dua segitiga siku-siku, misalnya segitiga ABD dengan sudut siku-siku di D yang mempunyai jumlah sudut 1800.
Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku, kemudian kedua segi tiga siku-siku tersebut kita tempelkan bersama untuk membentuk sebuah persegi panjang.
Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga BDE dengan E berlainan pihak dengan D dari sisi AB, dengan BE bersesuaian dengan EB. (lihat gambar di atas).
Karena jumlah sudut segitiga BDE adalah 1800, maka
1 + 2 = 900, karena 1 = 1’, 2 = 2’, maka kita peroleh 1 + 2’ = 900 dan 1’ + 2 = 900.
Tetapi 1 + 2’ = ABD dan 1’ + 2 = AED
Jadi, BAE = EDB =ABD= AED= 900, berarti ADBE persegi panjang (definisi persegi panjang).
Akibat 1 Teorema 7: Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800.
Bukti :
§ Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800.
§ Akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800.
§ Misalkan ada sebuah segitiga yang mempunyai jumlah sudut 1800, maka menurut teorema 6 akan ada sebuah persegi panjang.
§ Sedangkan menurut teorema 5, jika ada sebuah persegi panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 1800. (terbukti)
Akibat 2 Teorema 7: Jika sebuah segitiga ABC mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 1800.
Bukti :
§ Misalkan segitiga ABC dengan jumlah sudut < 1800, perhatikan sebarang segitiga PQR.
§ Menurut teorema 1, jumlah sudut p ≤ 1800.
§ Misalkan p = 1800, maka menurut akibat 1 dari teorema 6 di atas, sehingga segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800.
§ Hai ini bertentangan dengan pemisalan di atas.
§ Jadi, yang benar adalah p < 1800.
4. Proposisi-proposisi Geometri Netral
1. Dua garis yang tidak berimpit mempunyai paling banyak satu titik potong.
2. Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik tengah.
Bukti:
Misalkan C dan D adalah titik-titik tengah ruas garis AB.
, berarti:
Jika , maka atau .
Jika , maka
, A titik tengan C dan D, tidak mungkin C-A-D.
3. Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi.
4. Komplemen dari sudut-sudut yang sama adalah sama.
.
5. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.
Bukti:
Terdapat dua garis yaitu m dan n, berpotongan seperti gambar di bawah ini .
Dari (1) dan (2) diperoleh :
6. Kongruensi dua segitiga adalah SS-SD-SS, SD-SS-SD, SS-SS-SS.
Bukti :
SD-SS-SD
Diberikan dua segitiga yaitu ABC dan DEF dengan , dan
Jika antara Kita akan menyelesaikannya dengan menggunakan postulat (SAS). Misalkan AC tidak kongruen dengan DF diperoleh fakta bahwa AC > DF. Karena AC > DF maka terdapat titik C’ pada sehingga dan berdasarkan Postulat SAS maka ABC’ DEF. Sehingga . Akibatnya , hal ini menunjukkan kontradiksi dengan postulat sudut. Oleh karena itu dan ABC DEF ( SS-SD-SS).
7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, sudut-sudut di hadapannya sama.
Bukti:
Terdapat titik D pada sisi BC.
Misalkan ruas garis AD bisektor dari .
(diketahui)
(AD garis bagi)
(berhimpit)
Jadi, menurut postulat S-Sd-S diperoleh .
Akibatnya, .
8. Jika dua sudut segitiga sama, dua sisi di hadapannya sama.
Bukti:
Terdapat titik D pada sisi BC.
Misalkan ruas garis AD bisektor dari .
(diketahui)
(90O)
(dibuat)
Jadi, .
Karena salah satu sisinya sama (AD = AD), maka
Akibatnya, .
9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik pada garis tertentu tersebut.
10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu melalui satu titik di luar garis tertentu.
11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan hanya jika TA=TB.
Bukti :
Jika TA = TB maka titik T terletak pada sumbu segmen garis AB.
Karena T adalah titik yang berjarak sama dari A dan B maka TA = TB. Kita buat PT adalah garis bagi . Akibatnya
Lihat :
)
Jadi, .
Karena
Jika titik T terletak pada sumbu segmen garis AB maka TA = TB
Jelas karena T terletak pada sumbu segmen garis AB maka TA = TB ( ingat definisi garis sumbu ).
12. Jika ada dua sisi suatu segitiga tidak sama, maka sudut-sudut di hadapannya juga tidak sama, dan sudut yang lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih besar.
Bukti :
Terdapat , dengan AC > BC. Karena AC > BC maka terdapat titik D pada sehingga C-B-D dan . Berdasarkan teorema segitiga sama kaki. . berdasarkan definisi adalah sudut luar . Oleh karena itu . Karena titik B adalah titik dalam pada , kita punya . Akibatnya .
13. Jika ada dua sudut suatu segitiga tidak sama, maka sisi-sisi di hadapannya juga tidak sama, dan sisi yang lebih panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar.
14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah titik dan sebuah garis adalah segmen tegak lurus.
15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi yang ketiga.
Terdapat Akan ditunjukkan bahwa PQ + QR > PR.
Terdapat titik S pada sehingga P-Q-S dan . Maka adalah segitiga sama kaki. Akibatnya . Karena P-Q-S kita lihat bahwa PQ + QS = PS. Karena , maka PQ + QR= PS. Karena Q berada di dalam , kita dapatkan Karena maka . Berdasarkan proposisi (m) pada maka PS > PR . Sehingga PQ + QR > PR.
16. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi dengan dua sisi yang kedua, dan sudut apit segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua, maka sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua.
a. Bukti :
b. Diberikan dua segitiga yaitu dengan , , . Akan kita tunjukkan bahwa BC > EF.
Karena maka terdapat titik P di dalam sehingga . Buat garis bagi dan memotong di S. maka dan . Dengan menggunakan proposisi no O, kita dapatkan BS + SP > BP. Karena , maka BS + SC > BP. Diketahui bahwa BS + SC = BC, oleh sebab itu BC > BP. Karena , akibatnya BC > EF.
17. Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua, maka sudut apit dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit dari segitiga kedua.
18. Besar sudut luar suatu segitiga adalah lebih besar dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.
Bukti:
Perhatikan dengan titik D pada sedemikian sehingga
B-C-D. Kita akan menunjukkan bahwa .
Misalkan E adalah titik tengah dan F adalah titik pada sedemikian
B-E-F dan . Kemudian gambarkan ruas garis .
Dengan Aksioma SAS, . Akibatnya, . Karena F interior dari maka atau .
19. Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah kurang dari 1800.
Bukti :
Misalkan adalah segitiga sebarang . akan ditunjukkan bahwa .
Perpanjang CB melalui B hingga D. maka ABD merupakan sudut eksterior dari . Berdasarkan teorema sudut eksterior maka ABD > CAB . karena ABD = - ABC maka diperoleh - ABC > CABABC = .
20. Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan membentuk sepasang sudut dalam bersebrangan yang sama dua garis tersebut sejajar.
21. Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama adalah sejajar.
22. Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar dengan suatu garis tertentu yang melalui titik diluar garis tertentu tersebut.
23. Misalkan l melalui titik C yang jaraknya ke pusat lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya, maka garis l memotong lingkaran di dua titik.
24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut tegaklurus pada ujung-ujung jari-jari lingkaran.
25. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis PQ sedemikian hingga PQ = AB, maka ada titik R di luar PQ sedemikian hingga segitiga PQRS kongruen dengan segitiga ABC.
26. Sebuah lingkaran dapat digambar melalui sebarang segitiga.
5. Aplikasi Geometri Netral
Kita ketahui bahwa geometri netral hanya memuat empat postulat dari apa yang telah dikemukakan oleh Euclid. Adapun beberapa aplikasi dari geometri netral adalah sebagai berikut:
v Kesebangunan
Pada suatu saat di perariran P. Jawa ada kapal asing melintas. Para petugas pantai dapat memantau posisi kapal seperti pada gambar. Jika jarak sebenarnya antara Semarang dan Rembang 100 km. Berapa jarak kapal tersebut dari Semarang ?
Penyelesaian
Perhatikan posisi kapal (K), Semarang (S), dan kota Rembang (R) pada peta. Ukurlah jarak K ke S dan jarak S ke R pada peta tersebut dengan menggunakan penggaris, misalkan diperoleh jarak S ke R adalah 15 cm dan jarak K ke S adalah 25cm
Perhatikan gambar dua segitiga di bawah ini:
K
Semarang 100 km Rembang R S
Berdasarkan peta besar sudut KSR adalah 650 yang berlaku baik pada peta maupun pada kondisi sebenarnya. Sedangkan sudut SRK adalah sudut siku-siku yang juga berlaku baik pada peta maupun pada kondisi sebenarnya. Selanjutnya dengan menggunakan preposisi kesebangunan maka segitiga pada peta kongruen/sebangun dengan segitiga sebenarnya, sehingga :
v Puzzle geometri
Mainan yang digunakan untuk melatih kemampuan berpikir logis dalam meletakkan benda yang tepat sesuai dengan bentuk yang ada
B. Geometri Fraktal
1. Sejarah Geometri Fraktal
Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah fraktal, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju koch) adalah kurva monster. Selanjutnya ide-ide konsepsual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euclid dan kalkulus gagal melakukan berbagai pengukuran pada benda-benda monster tersebut.
Sadar atau tidak, selama ini telah tertanam pengertian geometri dari suatu bentuk berdasarkan gagasan yang dicetuskan oleh Euclid dari Alexandria (300 SM) dan Descartes dari Perancis (permulaan abad 16). Euclid membuat aksioma bahwa garis adalah ”panjang yang tak bertebal”. Dari aksioma ini kemudian dapat dibuat aturan -aturan logika konsisten yang dapat menerangkan tentang titik, garis lurus, dan bentuk-bentuk sederhana. Descartes memajukan gagasan bahwa alam raya ini seharusnya dapat diukur melalui tiga buah garis yang tegak lurus satu sama lain. Dengan tiga garis lurus ini lokasi benda apa saja dapat diketahui dengan tepat. Sebagai konsekuensinya, semua benda dapat dilihat sebagai suatu susunan raksasa dari kubus-kubus yang sangat kecil. Gagasan ini telah membentuk suatu pandangan ilmiah modern mengenai dunia.
2. Tokoh - Tokoh Pencetus Geometri Fraktal
a. Benoit Mandelbrot (Tahun 1975)
Benoit Mandelbrot (Tahun 1975) adalah seorang matematikawan Perancis kelahiran Polandia, yang mengembangkan geometri fraktal sebagai salah satu cabang baru matematika. Mandelbrot dilahirkan di Warsawa dan mengenyam pendidikan sekolah di Perancis dan USA, meraih gelar doktor dalam bidang matematika dari Universitas Paris pada tahun 1952. Ia mengajar ekonomi di Universitas Harvard, teknik di Universitas Yale, psikologi di Albert Einstein College of Medicine, matematika di Paris dan Genewa. Sejak 1958 ia berkerja sebagai anggota IBM di Pusat Riset Thomas B. Watson di New York.
Geometri fraktal dibedakan dengan geometri konvensional dalam pen-dekatan yang lebih abstrak tentang konsep dimensi daripada pengertian dimensi yang lebih nyata pada geometri konvensional (Euclid). Di dalam geometri knvensional, dimensi sebuah obyek dinyatakan dengan bilangan bulat, misalnya sebuah garis berdimensi satu dan bidang berdimensi dua. Di dalam geometri fraktal, obyek geometri dapat memiliki dimensi pecah-an. Sebagai contoh, sebuah citra fraktal boleh jadi mempunyai batas yang dapat diperinci secara terus-menerus, sehingga dimensinya antara satu dan dua. Fraktal sedang menemukan berbagai aplikasinya dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.
Mulai tahun 1950-an Mandelbrot dan para ilmuwan lain telah mengkaji secara intensif kurva-kurva patologis yang serupa dirinya, dan mereka telah menerapkan teori fraktal dalam memodelkan fenomena-fenomena alam. Gejala fluktuasi acak mengandung keserupaan terhadap diri sendiri pada pola-pola alam. Analisis terhadap pola-pola ini dengan menggunakan teknik Mandelbrot telah membantu peng-kajian berbagai bidang seperti mekanika fluida, geo-morfologi, psikologi manusia, ekonomi, dan linguistik. Sebagai contoh khusus, karakteristik permukaan tanah yang diperlihatkan secara mikroskopik dalam kaitannya dengan gerak Brown, jaringan veskular, dan bentuk-bentuk molekul polimer semuanya berkaitan dengan fraktal.
b. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Tahun 1872)
Seorang jenius jerman menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun-grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. Perdebatan dimulai ketika pada tahun 1875 ketika Karl Weirstrass, menjelaskan bahwa kurva kontinyu tidak dapat dideferensiasi, dengan demikian jelas tidak ada garis-garis tangen.
Memasuki abad berikutnya sejumlah kurva-kurva aneh tiba-tiba muncul ke permukaan. Waclaw Sierpinski, matematikawan polandia membuat sebuah segitiga sama sisi yang kemudian dibaginya menjadi empat belahan berukuran sama. Dengan cara yang sama Sierpinski meneruskan pembagian tersebut untuk segitiga-segitiga lain yang lebih kecil. Bentuk yang sangat terkenal ini dinamakan orang segitiga Sierspinski. Jika pembagian dilanjutkan hingga jumlah yang tak hingga, maka sulit untuk membayangkan bentuk detilnya walau tidak ada satupun hukum-hukum matmatika yang dilanggar. Yang jelas jika salah satu bagian yang gelap diambil dan kemudian diperbesar mendekati tak berhingga, maka akan didapatkan bentuk segitiga seperti bentuk keseluruhanya. Segitiga Sierspinski mungkin adalah bentuk dari ”pra-fraktal” pertama yang paling terkenal.
Cara lain untuk membuat segitiga Sierspinski adalah dengan mula-mula membuat segitiga yang berisi, kemudian segitiga ini dilubangi di tengah-tengahnya dan di ketiga bagian sudut-sudutnya dengan segitiga yang berukuran lebih kecil. Selanjutnya proses pelubangan yang sama untuk setiap sisa segitiga yang masih berisi diulangi terus hingga jumlah yang tak berhingga. Sehingga akan diperoleh segitiga yang sama yang dikenal dengan nama Gasket Sierspinski.
Sierspinski mempertanyakan apakah luas yang ditutupi oleh bentuk tersebut nol atau tidak. Inilah teka-teki yang membingungkan yang mirip dengan ketidakpastian Leibnitz akan gagasannya sendiri tentang kurva yang menjadi garis lurus pada perbesaran mendekati tak berhingga.
Dalam setiap langkah hanya ¼ dari luas daerah berisi saja yang diambil, dan ¾ bagian sisanya atau sebagian besar masih tetap berisi. Berapapun banyaknya proses pelubangan yang dilakukan akan tetap didapatkan luas daerah berisi yang lebih besar dari luas yang diambil setiap kalinya. Jadi luas bentuk ini tidak akan pernah mencapai nol.
c. Helge von Koch (Tahun 1904)
Helge von Koch (Tahun 1904) tidak puas dengan definisi Weierstrass yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip. Ia menemukan bentuk yang terkenal dengan Garis Pantai Koch. Koch memulai pembentukan garis pantai matematisnya dengan sebuah garis kemudian di atas garis tersebut dibangun sebuh segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1/3 dari garis yang pertama. Kemudian pada setiap segmen garis dibangun lagi segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1/3 dari segment garis. Proses ini dilakukan terus hingga kepengulangan yang tidak berhingga.
Masih terdapat lagi bentuk-bentuk geometri aneh misalnya Debu Cantor, Fourniers’s Multinuiverse, dan Devil Staircase, dan lain-lain. Semua bentuk-bentuk tersebut pada dasarnya mempertanyakan gagasan Euclid dan Descartes. Bentuk-bentuk tersebut adalah bentuk yang sekarang dikenal dengan nama geometri fraktal.
Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.
Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar-himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan. Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis. Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian Lewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Di tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas.
3. Pengertian Geometri Fraktal
Kata fraktal pertama kali dicetuskan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975, ketika makalahnya yang berjudul “ A Theory of Fractal Set “ dipublikasikan. Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagibagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detil yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.
Bahasa Inggris dari fraktal adalah fractal. Istilah fractal dibuat oleh Benoît Mandelbrot pada tahun 1975 dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju Koch) adalah kurva monster. Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer. Dulu ide-ide konsepsual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euclid dan kalkulus gagal melakukan berbagai pengukuran pada benda-benda monster tersebut.
Fraktal adalah bentuk apa saja yang jikalau bagian-bagian dari bentuk itu diperbesar akan terkuak rincian yang sebanyak-banyaknya seperti bagian fraktal keseluruhannya. Berbeda dengan garis lurus yang biasa kita gambar, fraktal tidaklah mudah dibuat dengan goresan tangan.
Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Ada banyak bentuk matematis yang merupakan fraktal, antara lain Sierpinski triangle, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set, dan Lorenz attractor. Fraktal juga banyak menggambarkan objek-objek di dunia nyata, seperti awan, pegunungan, turbulensi, dan garis pantai, yang mempunyai bentuk geometri yang rumit.
Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), merupakan bentuk yang tidak berdasarkan linearitas, jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Fraktal memiliki detil yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.
Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer. Karena keindahannya, fraktal banyak dipakai dalam computer graphics untuk menciptakan bentuk-bentuk yang alami bahkan menakjubkan.
Keberadaan geometri fraktal menunjukkan bahwa matematika bukanlah subjek yang kering dan datar, tetapi merupakan suatu subjek yang indah dan dapat menghasilkan karya-karya yang memiliki citra seni dan nilai intelektual yang tinggi. Sebagaimana yang dikatakan oleh Barnsley (1993:1) seorang pakar fraktal yang terkenal saat ini bahwa geometri fraktal merupakan bahasa baru. Begitu terucapkan, kita dapat menggambarkan awan sama persisnya seperti seorang arsitek dapat menggambarkan rumah.
Karakteristik fraktal, walaupun mudah dimengerti secara intuitif, ternyata sangat susah untuk dibuat definisi matematisnya. Terdapat beberapa definisi fraktal, beberapa definisi diantaranya memakai ketentuan matematik dan statistik yang sukar dimengerti pembaca awam.
Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai “himpunan yang dimensi Hausdorff Besicovitchnya lebih besar dari dimensi topologisnya“. Untuk fraktal yang serupa diri secara persis, dimensi Hausdorffnya sama dengan dimensi Minkowsi Bouligandnya.
Bransley, seorang pakar fraktal ternama saat ini, enggan mendefinisikan apa itu fraktal. Dia hanya mengatakan bahwa fraktal adalah subset (sub himpunan) dari sebuah set (himpunan). Set biasanya dari geometri euclidean yang sederhana seperti bentuk segibanyak, lingkaran, kubus, bola, sedangkan subset berbentuk yang sangat ”rumit”.
Selanjutnya Bransley mendefinisikan bahwa suatu ruang X adalah set (himpunan). Titik-titik pada ruang adalah anggota himpunan tersebut. Dalam bukunya yang berjudul ”Fractal Everywhere”, Bransley membahas secara detil mengenai ruang metrik yang terkait dengan geometri fraktal. Hal-hal yang dibahas pada ruang metrik meliputi ekivalen pada ruang metrik, topologi pada ruang metrik, serta transformasi pada ruang metrik. Selain itu, Bransley juga mengkaji mengenai dinamical chaostik, dimensi fraktal, interpolasi fraktal, himpunan Julia, Parameter ruang dan himpunan mandelbrot, pengukuran pada fraktal, aplikasi untuk komputer grafis, dan sistem fungsi iterasi yang dapat digunakan untuk membangun suatu fraktal.
4. Dimensi Geometri Fraktal
Persoalan membandingkan panjang yang tidak berhingga dan luas yang kecil tidak berhingga sebenarnya adalah seperti persoalan membandingkan dua sisi dari sebuah uang logam yang sama. Abad ke 20 telah membawa pemikiran manusia kepada kebutuhan yang sangat mendesak terhadap suatu cara baru dalam mengukur ruang dan dimensi. Dua orang matematikawan yaitu Felix Hausdroff dan Abram S. Besicovith telah menjawab persoalan pelik ini. Mereka bukan saja secara harfiah menguak dimensi yang baru tetapi juga telah mendefinisikan ulang dimensi itu sendiri. Setiap bentuk, oleh karena tradisi yang dilandasi oleh gagasan Descartes, memiliki dimensi misalnya 0 (titik), 1 (garis lurus dan kurva), 2 (bidang), atau 3 (ruang).
Secara teoritis, dimensi ini telah diperluas termasuk dimensi keempat dan dimensi-dimensi yang lebih tinggi yang sulit untuk dibayangkan. Dengan memperluas karya dari Hausdroff, Besicovitch memajukan gagasan bahwa sebuah bentuk sebenarnya dapat memiliki ”dimensi pecahan”, seperti misalnya 1.5 atau 2.3. Dimensi kurva-kurva seperti segitiga Sierspinski dan garis pantai Koch harus dinyatakan dengan dimensi pecahan. Dengan demikian, tingkah laku yang ganjil dari kurva-kurva tersebut dapat dijelaskan. Dimensi pecahan ini dapat dihitung dengan tepat berdasarkan pengukuran dari sebuah kurva.
Dimensi Hausdroff/Besicovith didefinisikan sebagai nisbah dari logaritma jumlah salinan ukuran dari bentuk benih relatif terhadap setiap salinan. Karena ada 4 salinan (4 segmen garis ) dan setiap salinan memiliki ukuran 1/3 ukuran benih, maka menurut definisi ini dimensi garis pantai Koch adalah log(4)/log (3) = 0.6021/0.4771 = 1.262.
Jika ada dua bentuk yang memilki dimensi pecahan yang berbeda misalnya 1.26 dan 1.46, maka tidak dapat dikatakan bahwa bentuk yang pertama ”memiliki panjang yang tak berhingga lebih panjang” atau ”mengisi luasan yang kecil tak berhingga lebih banyak” dari yang kedua. Untuk lebih mudah dipahami, hal itu hanya dapat dinyatakan bahwa dimensi bentuk itu ”lebih dekat dengan dua dimensi”. Lebih lanjut lagi dapat dikatakan sampai seberapa jauh bentuk itu ”mengisi bidang”.
Dalam kenyataannya, penggunaan gagasan dimensi pecahan telah melangkah lebih jauh dari apa yang dibayangkan oleh pencetusnya. Karena alam berlimpah dengan bentuk-bentuk swa-reflektif (self-reflecif) seperti garis pantai. Maka kebanyakan dari alam sekitar dapat dicirikan dengan indeks yang baru ini. Pegunungan, awan, pohon-pohon, dan bunga-bunga semuanya memiliki dimensi antara dua dan tiga, dan ciri dari suatu bentuk dapat dibaca dari dimensinya. Garis pantai pulau Sulawesi yang kasar memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pada garis pantai Bali yang halus. Gumpalan awan”mengisi ruang” lebih banyak dari kabut tipis, dan bangunan indah seperti Borobudur memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pencakar lagit di Jakarta.
Istilah dimensi pecahan kemudian oleh Benoit Mandelbrot diganti menjadi”dimensi fraktal”. Dimensi ini jauh lebih penting artinya bagi matematikawan karena mereka mendadak saja mampu mengukur keseluruhan bentuk-bentuk dalam jagad raya yang sebelumnya tidak bisa diukur. Untuk pertama kalinya sejak Descartes, sebuah meter pengukur ruang yang baru telah tercipta, meskipun apa yang telah diukur tetap belum diketahui secara pasti. Yang pasti Sierspinski, Koch, dan Hausdroff, tidak mengira bahwa perjalanan mereka ke tempat tak berhingga dari bentuk-bentuk abstrak dan ”tidak alamiah” akan kembali kepada ”geometri alam” sejati yang pertama.
5. Pengelompokan Geometri Fraktal
Fraktal bisa dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.
1. Sistem fungsi teriterasi-Contohnya adalah himpunan Cantor, karpet Sierpinski, kurva Peano, garis pantai Koch, kurva naga Harter-Heighway, kotak T, dan spons Menger.
2. Fraktal waktu lolos-Contohnya adalah himpunan Mandelbrot dan fraktal Lyapuanov.
3. Fraktal acak, dihasilkan melalui proses stokastik, misalnya landskap fraktal dan penerbangan Levy.
Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga tingkat keperupa dirian pada fraktal:
1. Serupa diri secara persis-Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat. Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
2. Serupa diri secara lemah-Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.
3. Serupa diri secara statistik-Ini adalah keserupadirian yang paling lemah. Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.
Perlu dicatat bahwa tidak semua benda yang serupa diri adalah fraktal-misalnya garis riil (garis Euclid lurus) bersifat serupa diri, tapi argumen bahwa benda-benda Euclid adalah fraktal merupakan minoritas. Mandelbrot berargumen bahwa definisi “fraktal” sepatutnya menyertakan tidak hanya fraktal “sebenarnya”, namun juga benda-benda Euclid tradisional, karena bilangan irasional di garis bilangan memiliki sifat-sifat kompleks dan tidak berulang.
7. Contoh-Contoh Geometri Fraktal
Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandlebrot, fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
Benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam. Benda-benda tersebut menunjukkan struktur fraktal yang kompleks pada skala tertentu. Contohnya adalah awan, gunung, jaringan sungai, dan sistem pembuluh darah. Pohon dan pakis, juga merupakan contoh fraktal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritma rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah-ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tapi mirip).
1. Himpunan Mandelbrot
Fraktal ini banyak ditemukan di alam, seperti pada pola yang terdapat di daun dan ranting pohon, pada sayur brokoli, di gugusan awan putih, dalam riak ombak, pada detail yang bisa kita lihat di kepingan salju, dan banyak lagi bila kita mencoba memperhatikan secara teliti di sekitar kita. Berikut adalah contoh fraktal yang ditemukan di alam.
2. Bentuk Fraktal Alamiah
Fraktal yang mirip bunga Fraktal yang terlihat pada bekas salju Brokoli yang merupakan fraktal alami.
Fraktal yang mirip bunga
Fraktal yang terlihat pada bekas salju
Brokoli yang merupakan fraktal alami
3. Himpunan Bilangan Cantor
Himpunan bilangan Cantor (ditulis F ) adalah irisan dari himpunan Fn, dimana n adalah bilangan asli, yang dihasilkan dari menghilangkan secara berturut-turut tiga serangkai himpunan buka yang berada ditengah,dimulai dari himpunan tutup 0 sampai 1 atau ditulis [0,1]. Untuk lebih jelas perhatikan gambar dibawah.
Ilustrasi Himpunan Bilangan Cantor Berdasarkan gambar diatas, bilangan yang mulai dari 0 sampai 1 dibagi menjadi 3 bagian sama besar, kemudian bagian yang tengah dihilangkan. Begitu seterusnya.
4. fraktal adalah Bunga Salju Koch dan Segitiga Sierpinski
Bunga Salju Koch merupakan gabungan dari daerah-daerah berbentuk segitiga yang jumlahnya tak hingga. Setiap kali segitiga baru ditambahkan saat membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch adalah tak hingga. Dalam suatu Segitiga Sierpinski, suatu fraktal bisa dipecah menjadi tiga segitiga Sierpinski (masing-masing diberi warna berbeda).
Bunga Salju Koch Segitiga Sierspinski
Berikut adalah contoh-ontoh karya seni yang sangat menarik, yang menggunakan pendekatan bentuk geometri fraktal.
“Field of Depth” , Zueuk “jOrb”, Christopher Payne
“Rise”, Thomas Ludwig “The Return of the Sunset Castle”,Aexion“
“Ivory Tower”, Stefan Vitanov Sphereflake, Anonymous
bangunan berikut ini adalah karya arsitektur dengan pendekatan geometri fraktal tertua yang pernah ada.
Interior Katedral Anagni Ca’ d’Oro (Venesia) (1421-1440)
Castel del Monte Stupa Suci Pha That Luang
Castel dal Monte Palmer House
Tennis Center Hangzhou
Pengulangan Pola Pada Struktur Dinding & Atap Tennis Center Hangzhou
G. Aplikasi Geometri Fraktal
Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual yang ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Salah satu contoh adalah menggambar metode Newton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai.
Fraktal banyak diaplikasikan pada bidang:
1. Klasifikasi slide histopatologi di ilmu kedokteran
2. Pembuatan musik jenis baru
3. Pembuatan berbagai bentuk karya seni baru
4. Kompresi data dan sinyal
5. Seismologi
6. Kosmologi
7. Program Penghasil Fraktal
Fraktal biasanya digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. Berikut ini adalah beberapa software yang dapat digunakan untuk menghasilkan program fraktal.
1. Multi-platform
a. Xaos-Generator realtime — Windows, Mac, Linux, dll
b. Fractint-Tersedia untuk sebagian besar platform
c. FLAM3-Untuk mendesain dan merender iterated function system (IFS), tersedia untuk semua platform
d. Fract-Program berbasis web untuk mengeksplorasi fraktal
e. Online Fractal Generator–Membutuhkan plugin Java
2. Linux yaitgu gnfract4d–Penyunting interaktif yang bisa menggunakan banyak rumus Fractint.
3. Windows
a. Fractovias’s listing of fractal generators-Berisi daftar yang cukup lengkap tentang program penghasil fraktal gratis
b. Ultra Fractal- Perangkat lunak populer untuk Microsoft Windows
c. ChaosPro
d. MSPlotter-Program Windows gratis yang menggunakan fraktal untuk membuat gambar bitmap dan klip video AVI
e. FractalExplorer
f. Sterling Fractal- Program penghasil fraktal tingkat lanjut oleh Stephen Ferguson.
g. Ktaza: freeware by S. Ferguson.
4. Mac
a. Altivec Fractal Carbon-Program benchmark untuk Mac, menggunakan fraktal untuk mengukur kemampuan.
b. Zone Explorer-dapat membuat rumus dan pewarnaan sendiri.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Sejarah mencatat bahwa geometri non-euclides lahir oleh karena para matematikawan berusaha membuktikan kebenaran dari postulat yang kelima dari Euclid dengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya. Dalam hal tersebut, muncullah geometri netral yang dicetuskan beberapa tokoh. Geometri netral memiliki pengertian pangkal, beberapa definisi, dan aksioma - aksioma. Geometri netral diaplikasikan seperti pada kesebangunan dan pazel mainan.
Kata fraktal pertama kali dicetuskan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975, ketika makalahnya yang berjudul “ A Theory of Fractal Set “ dipublikasikan. Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagibagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detil yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.
B. Saran
Kepada para pembaca untuk mencari referensi lain agar lebih memahami secara rinci tentang materi geometri terutama geometri netral dan fraktal, dan dapat mengaplikasikan bidang geometri dalam kehidupan seperti geometri fraktal.
Ariawan, I Putu Wisna. 2006. Geometri Datar. Singaraja.