Matriks adalah kumpulan beberapa bilangan yang disusun dalam baris dan kolom di dalam tanda kurung ( ) atau kurung siku [ ]. Ukuran matriks (ordo) dinyatakan dalam baris × kolom, sehingga matriks dengan ukuran 3×1 memiliki bentuk yang berbeda dengan matriks ukuran 1×3. Matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom disebut dengan matriks persegi. Misalnya pada matriks dengan jumlah baris dan kolom sama dengan dua merupakan matriks persegi ordo 2. Matriks persegi dengan jumlah baris dan kolom sama dengan 3 disebut matriks berordo 3, begitu seterusnya. Selislih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan diagonal sekunder pada matriks persegi disebut determinan matriks. Simbol determinan matriks adalah tanda | nama matriks | atau det(nama matriks), misalnya determinan matriks A dituliskan dalam simbol |A| atau det(A). Perhitungan nilai determinan matriks dengan orde besar lebih rumit dari matriks dengan orde kecil, begitupula cara menentukan determinan matriks 3×3 lebih rumit dari pada determinan matriks 2×2.
Cara Menentukan determinan pada matriks persegi dengan ukuran 2 x 2 cukup mudah dilakukan yaitu dengan menghitung selisih perkalian bilangan antara diagonal utama dengan diagonal sekunder. Diagonal utama adalah bilangan-bilangan pada garis diagonal yang ditarik dari sisi kiri atas ke kanan bawah matriks. Sedangkan diagonal sekunder adalah bilangan-bilangan pada garis diagonal yang ditarik dari sisi kanan atas ke kiri bawah matriks. Matriks persegi dengan ordo 2 terdiri dari satu diagonal utama dan satu diagonal sekunder. Sehingga perhitungan determinan matriks persegi ordo 2 cukup mudah untuk dilakukan. Pada matriks dengan ukuran 3 x 3 atau lebih perlu perhitungan yang tidak sesederhana perhitungan determinan matriks persegi ordo 2.
Bagaimana cara menentukan determinan matriks 3 x 3? Bagaimana cara menentukan determinan matriks 4 x 4 atau lebih? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.
Baca Juga: Perkalian Matriks 2×2, 3×3, dan mxn dengan nxm
Determinan Matriks 3×3 dengan Metode Kofaktor
Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai determinan dari suatu matriks persegi dengan ordo 3 x 3 yaitu metode minor-kofaktor. Rumus umum yang berlaku pada metode kofaktor terdapat dalam sebuah teorema yang telah terbukti kebenarannya.
Bunyi dari teorema untuk nilai determinan matriks persegi berordo n terdapat seperti pernyataan berikut.
Teorema: Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n, maka
- det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)
Atau
- det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)
Dari teorema di atas disinggung kofaktor yang definisinya diberikan seperti berikut.
Definisi: Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Kofaktor entri aij dinyatakan dalam persamaan Cij = (–1)i+jMij
Untuk mempermudan pemahaman sobat idschool, perhatikan bagaiaman menentukan minor entri aij dan kofaktor entri aij pada matriks A berikut.
Selanjutnya, nilai determinan matriks A dapat ditentukan melalui persamaan: det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13. Perhatikan cara menentukan determinan matriks 3 x 3 berikut.
Baca Juga: Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear
Aturan Sarrus untuk Menentukan det(A)
Aturan Sarrus merupakan kasus khusus dari metode kofaktor yang terdapat pada matriks berukuran 3 x 3. Perhatikan kembali komponen susunan bilangan pada matriks A.
Minor entri a11, a12, dan a13 yaitu M11, M12, dan M13 memenuhi persamaan-persamaan berikut.
Sehingga kofaktor untuk a11, a12, dan a13 diberikan seperti persamaan C11, C12, dan C13 berikut.
- C11 = (–1)1+1 ⋅ M11 = ei – fh
- C12 = (–1)1+2 ⋅ M12 = fg – di
- C13 = (–1)1+3 ⋅ M13 = dh – eg
Sehingga diperoleh determinan matriks A seperti yang ditunjukkan pada langkah berikut.
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
det(A) = a(ei – fh) + b(fg – di) + c(dh – ge)
= aei – afh + bfg – bdi + cdh – ceg
= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
Untuk memudah mengingat persamaan umum pada Aturan Sarrus perhatikan cara berikut.
Penggunaan Aturan Sarrus untuk menentukan nilai determinan matriks persegi dengan ordo 3 dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.
Penyelesaian:
|A| = det(A)= 4×4×4 + 3×2×3 + 5×1×2 – 5×4×3 – 4×2×2 – 3×1×4= 64+18+10–60–16–12
|A| = 64+18+10–60–16–12 = 4
Halo Sobat Zenius! Dalam artikel ini gue mau ngajakin elo buat membahas rumus determinan matriks lengkap dengan cara menghitung dan contoh soalnya.
Oh iya, materi determinan matriks ini adalah salah satu materi yang akan elo pelajari dalam mata pelajaran Matematika kelas 11 lho.
Nah, kalo di artikel sebelumnya, (re: Matriks Itu Apa Sih?), gue udah bahas tentang basic dari materi matriks: konsep, jenis, dan operasinya, artikel ini adalah artikel lanjutannya, yaitu bagaimana cara mencari determinan matriks dengan berbagai cara, mulai dari determinan matriks 2×2, 3×3 Metode Sarrus, hingga 3×3 Minor-Kofaktor.
Makin penasaran, kan? Yuk, disimak baik-baik, ya!
Apa Itu Determinan Matriks?
Di materi rumus determinan matriks ini, elo bakal ketemu sama yang namanya invers matriks. Tapi, sebelum ke situ, elo harus tau dulu apa pengertian determinan matriks.
Kenapa sih kok perlu membahas ini dulu? Karena, determinan ini yang akan elo gunakan dalam menentukan invers matriks.
Jadi, yang dimaksud determinan matriks adalah nilai yang diperoleh dari matriks persegi. Si determinan ini adalah fungsi yang akan memetakan matriks persegi ke bilangan real.
Nilai determinan disimbolkan dengan “|…|”, misalnya matriks A, nilai determinannya menjadi det A=|A|.
Nah, tadi udah gue sebutkan kalau determinan ini diartikan sebagai nilai yang mewakili matriks persegi ーartinya selain matriks persegi, nggak bisa dicari determinannya.Kita tau kalau matriks persegi itu ada yang berordo 2×2 dan 3×3. Sedangkan, cara menghitung determinan matriks dari kedua ordo ini berbeda lho. Kita bahas satu per satu, ya.
Tapi sebelumnya, download aplikasi Zenius dulu yuk biar elo bisa dapetin materi belajar yang lebih lengkap dan nikmatin semua fitur-fiturnya. Klik gambar di bawah ini, ya!
Download Aplikasi Zenius
Tingkatin hasil belajar lewat kumpulan video materi dan ribuan contoh soal di Zenius. Maksimalin persiapanmu sekarang juga!
Rumus Determinan Matriks 2×2
Untuk matriks berordo 2×2 (terdiri dari dua baris dan dua kolom), nilai determinannya bisa dicari seperti berikut ini.
Cara menghitung determinan matriks ordo 2×2 adalah dengan mengalikan elemen-elemen yang ada di diagonal utama, lalu kurangkan dengan elemen-elemen di diagonal sekunder.
Supaya lebih mudah, langsung kita lihat contoh soal determinan matriks di bawah ini. Coba elo perhatikan baik-baik ya.
Udah makin kebayang kan kalau angkanya dicemplungin? Coba deh elo kerjain soal di bawah ini buat latihan.
Rumus Determinan Matriks 3×3 Metode Sarrus
Kalau caranya beda sama yang matriks 2×2, lalu gimana dengan cara menghitung determinan matriks berordo 3×3? Oke, kita langsung bahas caranya ya.
Jadi, untuk mencari yang determinan matriks 3×3, elo bisa menggunakan beberapa metode, seperti Metode Sarrus dan Minor-Kofaktor.
Pertama, kita bakal bahas Metode Sarrus. Metode ini hanya bisa digunakan pada determinan matriks 3×3, jadi selain itu gak bisa pakai metode yang satu ini ya.
Misalnya, ada matriks A berordo 3×3 sebagai berikut:
Berapakah determinan matriks A? Berikut uraian caranya:
- Langkah pertama, tulis lagi elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A.
- Lalu, kalikan elemen-elemen matriks tersebut sesuai pola (perhatikan pola warna dan tandanya).
det(A) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
Supaya makin kebayang, kita langsung cemplungin angka-angkanya, yuk!
det(A) = 1.1.2 + 2.4.3 + 3.2.1 – 3.1.3 – 1.4.1 – 2.2.2 = 2 + 24 + 6 – 9 – 4 – 8 = 11
Jadi, determinan matriks A adalah 11.
Udah paham ya? Supaya makin paham, coba elo kerjain latihan soal di bawah ini:
Rumus Determinan Matriks 3×3 Minor Kofaktor
Ternyata masih ada metode lain untuk menentukan rumus determinan matriks 3×3 lho, yaitu Metode Minor-Kofaktor.
Coba elo perhatikan konsep dari determinan yang satu ini.
Dari matriks A di atas, kita buang elemen Aij, maksudnya adalah matriks A elemen ke ij. Misal, kita mau pilih A12, berarti kita harus buang baris ke-1 dan kolom ke-2.
Elo bisa perhatikan gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas, ada yang namanya minor dan kofaktor. Minor (M) adalah determinan dari matriks yang beberapa elemennya udah dibuang. Sedangkan, kofaktor (C atau K) memiliki rumus min 1 pangkat elemen i + j dikalikan dengan minornya >> (-1)i+jMij.
Oh iya, nyambung lagi ke materi di atas, supaya makin paham, kita langsung cemplung angka-angkanya ya.
det(A) = 1(-2) – 2(-8) + 3(-1) = -2 + 16 -3 = 11
Jadi, determinan dari matriks A adalah 11.
Sifat-sifat Determinan Matriks
Jangan salah, determinan juga punya karakter atau sifat-sifat lho.
Nih, misalkan A dan B adalah matriks berordo nxn. Kita bisa rangkum sifatnya sebagai berikut.
- |AB| = |A| |B|
- |AT| = |A|, T: transpose matriks
- |kA| = kn|A|, k: bilangan skalar/riil dan n: ordo matriks A
- |A-1| = 1/|A| (invers matriks)
- Baris atau kolom yang semua elemennya bernilai nol, maka determinan matriksnya = 0
- Dua baris atau kolom yang elemennya sama/kelipatannya, maka determinan matriksnya = 0
Contoh Soal Determinan Matriks
Nah, setelah tadi elo udah tau mengenai rumus determinan matriks.
Kurang afdol rasanya kalo kita belajar materi Matematika tapi gak langsung praktik. Di bagian ini, gue udah nyiapin beberapa contoh soal determinan matriks yang bisa elo pahami terlebih dahulu.
Contoh Soal Determinan Matriks 1:
Pembahasan:
Dengan menggunakan metode Sarrus maka cara perhitungannya seperti elo menganyam (nama lain metode ini), yakni dengan menambahkan dua ruas di sisi kanan, seperti berikut:
Arah panah ke kiri (panah orange) = -10, 0, 0
Arah panah ke kanan (panah ungu) = 0, 6, 0
Determinan adalah ruas kanan – ruas kiri = (0+6+0) – (-10+0+0) = 16
Contoh Soal Determinan Matriks 2:
Contoh soal determinan matriks yang kedua ini punya angka yang sama dengan yang pertama, tapi cara yang diminta berbeda, yaitu dengan menggunakan metode minor-kofaktor.
Pembahasan:
Oke, seperti yang udah gue jelasin tentang metode minor kofaktor di bagian rumus determinan matriks.
Cara pertama adalah elo lihat angka pada baris paling atas, kemudian ambil determinannya, jadinya akan seperti ini:
Oke, sampai sini udah jelas ya bahasan tentang determinan matriks? Sekarang gue mau survei kecil-kecilan, elo jawab ya!
Kalau belum paham, kira-kira bagian mana sih yang elo masih bingung? Share jawaban elo di kolom komentar ya supaya gue dan teman-teman yang lain bisa bantu elo memahami materi yang satu ini.
Oh iya, jika elo ingin mendalami lagi mengenai materi Matematika yang lain, gak cuman tentang rumus determinan matriks, elo bisa banget langganan paket belajar Aktiva Sekolah Plus dari Zenius.
Gak hanya Matematika, di Zenius elo juga bisa menemukan mata pelajaran lainnya, lho, seperti Bahasa Inggris, Sejarah, Biologi, dan lain-lainnya. Elo juga bakal dapet akses ke ribuan video pembelajaran, latihan soal, live class, sampai tryout. Cek info selengkapnya dengan klik gambar di bawah ini, ya!
Itu dia pembahasan singkat dari gue mengenai rumus determinan matriks beserta beberapa contoh soal yang bisa elo pelajari.
Nah, kalau elo pengen dapetin penjelasan materi ini lebih jauh, elo tinggal klik banner di bawah ini, terus ketikkan materi yang mau elo pelajari di kolom pencarian ya!
Jangan lupa daftar akun Zenius biar elo bisa nonton video materi determinan matriks 2×2, 3×3 Metode Sarrus, dan 3×3 Metode Minor-Kofaktor yang lebih lengkap. Elo bisa langsung daftar di sini, nih!
Baca Juga Artikel Lainnya
Induksi Matematika untuk Membuktikan Rumus
Rumus Fungsi Linear (Contoh dan Pembahasan)
Barisan dan Deret Aritmetika: Rumus, Contoh Soal, dan Penerapannya dalam Kehidupan Sehari-Hari
Originally published: September 10, 2021
Updated by: Maulana Adieb & Sabrina Mulia Rhamadanty