Em uma circunferência de centro C e raio r, a equação reduzida pode ser obtida calculando a distância entre o centro C e um ponto P da circunferência.
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, pode-se verificar que a equação reduzida da circunferência é dada por:
Desenvolvendo os quadrados da equação reduzida, encontramos a equação geral da circunferência:
Para saber mais sobre esse assunto, confira uma lista de exercícios sobre a circunferência!
Lista de exercícios sobre a circunferência
Questão 1. Determine a equação reduzida e a equação geral de uma circunferência de centro (5, 3) e raio 2.
Questão 2. Os pontos (2, 3) e (-4, 1) pertencem à circunferência de centro (-2, 3) e raio 4?
Questão 3. Determine o centro e o raio de uma circunferência que possui a seguinte equação geral:
Questão 4. Determine o centro e o raio da circunferência que possui a seguinte equação geral:
Questão 5. Encontre a equação da circunferência de centro (3,1) e que passa pelo ponto (-3,4)
Questão 6. Encontre a equação da circunferência cujo centro é o ponto de interseção entre as retas x + 4y = 7 e 3x + y = -1 e o raio é igual a 3.
Resolução da questão 1
Temos centro (5, 3) e raio 2, ou seja, a = 5, b = 3 e r = 2.
Vamos substituir os valores de a, b e r para determinar a equação reduzida:
Para obter a equação geral, vamos desenvolver os quadrados:
Resolução da questão 2
Para saber se os pontos pertencem ou não à circunferência, precisamos da sua equação.
Então, vamos verificar qual é a equação de uma circunferência de centro (-2, 3) e raio 4.
Temos a = -2, b = 3 e r = 4, assim, a equação reduzida é:
Se um ponto (x, y) pertence a essa circunferência, ele deve satisfazer a sua equação, isto é, quando substituímos os valores de x e y no lado esquerdo da equação, o resultado deve ser igual a 16.
Vamos substituir cada um dos pontos dados em .
Ponto (2,3) ⇒ x = 2 e y = 3
Como o resultado é igual a 16, então, o ponto (2,3) pertence à circunferência.
Ponto (-4,1) ⇒ x = -4 e y = 1
Como o resultado é diferente de 16, então, o ponto (-4,1) não pertence à circunferência.
Resolução da questão 3
Com a equação reduzida, o centro e raio são facilmente determinados.
Então, vamos encontrar a equação reduzida dessa circunferência partindo de sua equação geral.
A equação geral é:
Vamos completar os trinômios quadrados perfeitos para obter os termos e da equação reduzida:
Portanto, o centro é o ponto (1, -2) e o raio é 3.
Resolução da questão 4
Vamos determinar a equação reduzida, partindo da equação geral:
Portanto, o centro é o ponto (2, -1) e o raio é √5.
Resolução da questão 5
Temos o centro da circunferência e falta o raio para determinarmos a equação da circunferência.
Devemos lembrar que o raio de uma circunferência é a distância entre o centro e qualquer ponto da circunferência.
Assim, sabendo que o centro é (3,1) e o ponto (-3,4) pertence à circunferência, o raio corresponde a distância entre os pontos (3,1) e (-3, 4).
Pela fórmula da distância entre dois pontos, temos que:
Assim, a equação reduzida da circunferência é:
Resolução da questão 6
O ponto de intersecção entre as retas x + 4y = 7 e 3x + y = -1 corresponde a solução do sistema de equações:
x + 4y = 7 ⇒ x = 7 – 4y
Substituindo x por (7 – 4y) na segunda equação:
3x + y = -1 ⇒ 3. (7 – 4y) + y = -1 ⇒ 21 – 12y + y = -1
⇒ -11y = -1 – 21 ⇒ -11y = -22 ⇒ y = 22/11
⇒ y = 2
Então:
x = 7 – 4y ⇒ x = 7 – 4.2 ⇒ x = -1
Portanto, o ponto de intersecção é o ponto (-1, 2).
Sabendo que esse é o centro da circunferência e que o raio é 3, a equação da circunferência é:
Você também pode se interessar:
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Equação Normal da Circunferência e veja a resolução comentada.
Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.
O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento PQ, sendo P(4, 6) e Q(2, 10). Considerando que o raio dessa circunferência é 7, determine sua equação.
(PUC-SP)
O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule valor da coordenada b.
(FEI-SP)
Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).
A equação da circunferência de centro C(a, b) e raio r, com r > 0, é (x – a)² + (y – b)² = r².
Portanto:
A equação da circunferência com coordenados do centro (3, 6) e raio medindo 4 é dada por:
(x – 3)² + (x – 6)² = 16
Temos por (x – a)² + (y – b)² = r², que a circunferência de centro C(0 ,3) e raio 5, possui como representação a equação (x – 0)² + (y – 3)² = 5² ou x² + (y – 3)² = 25.
Considerando que o ponto P(3, b) pertença à circunferência, então:
x² + (y – 3)² = 25 3² + (b – 3)² = 25 9 + (b – 3)² = 25 (b – 3)² = 25 – 9
(b – 3)² = 16
b – 3 = 4 ou b – 3 = – 4 b = 4 + 3 ou b = –4 + 3
A coordenada b pode assumir os valores 7 ou –1.
A equação reduzida da circunferência é utilizada para representar de forma algébrica o comportamento da circunferência no plano cartesiano. A circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do seu centro. A equação reduzida da circunferência é estudada na geometria analítica, que busca representar, de forma algébrica, os objetos geométricos.
Para encontrar a equação reduzida de uma circunferência qualquer, é necessário que a medida do raio e as coordenadas do centro da circunferência sejam conhecidas, pois a fórmula da equação reduzida da circunferência é (x – a)² + (y – b)² = r², em que (a, b) é a coordenada do centro da circunferência e r é o comprimento do seu raio.
Leia também: Equação reduzida da reta — a maneira de representar a reta de forma algébrica
Qual é a fórmula da equação reduzida da circunferência?
Sabemos que a circunferência é formada pelo conjunto de pontos que estão a uma mesma distância de determinado ponto. Essa distância fixa é conhecida como raio, e o ponto é conhecido como centro da circunferência. Quando representamos a circunferência no plano cartesiano, determinamos as coordenadas do seu centro C(a, b) e também o comprimento do seu raio.
Por definição, sabemos que os pontos da circunferência estão a uma mesa distância do centro C, e que essa distância é igual ao raio r. Então temos que:
dPC = r
Entretanto, as coordenadas do ponto C são (a, b) e o ponto P é um ponto da circunferência qualquer com coordenadas (x, y). Utilizando a fórmula de distância entre dois pontos, temos que:
\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=dPC²\)
A distância entre os dois pontos é igual ao raio, então é possível deduzir a equação reduzida da circunferência, que é:
\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r²\)
Para determinar a equação reduzida da circunferência, basta substituir na fórmula da equação reduzida da circunferência os valores encontrados para as coordenadas do centro e o valor do raio. Então precisamos dos valores de C(a, b) e r.
Exemplo:
Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(1, 2) e raio r = 8.
Resolução:
Temos que a = 1, b = 2 e r = 8. Substituindo na equação, temos que:
\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2\)
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=8^2\)
Resolvendo a potência de 8², encontraremos a equação reduzida da circunferência:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=64\)
Exemplo 2:
Determine a equação reduzida da circunferência representada no plano cartesiano:
Resolução:
Sabemos que a coordenada do ponto C é (-1, 1), e, analisando a distância do ponto C ao ponto P, temos duas unidades, ou seja, r = 2. Então a equação reduzida dessa circunferência é:
\(\left(x-\left(-1\right)\right)^2+\left(y-1\right)^2=2^2\)
\(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\)
Importante: Podemos também encontrar o centro e o raio da circunferência por meio da sua equação, como nos exemplos a seguir:
(x – 2)² + (y – 1)² = 9
Essa é a equação reduzida da circunferência de centro C(2, 1).
Sabemos também que r² = 9, então \(r=\sqrt9\), logo, o raio da circunferência é r = 3.
(x + 1)² + (y – 4)² = 144
Essa é a equação reduzida da circunferência de centro C(-1, 4).
Temos que r² = 144, então o raio é \(r=\sqrt{144}\), logo, r = 12.
x² + y² = 16
Essa é a equação reduzida da circunferência de centro C(0, 0).
Temos r² = 16, então \(r=\sqrt{16}\), logo, r = 4.
Saiba mais: Posição relativa entre ponto e circunferência — as possíveis posições de um ponto em relação a uma circunferência
Exercícios resolvidos sobre equação reduzida da circunferência
Questão 1
Uma circunferência tem raio medindo 10 e centro C(0, 2). Nessas condições, podemos afirmar que a equação reduzida dessa circunferência é:
A) (x – 2)² + (y – 2)² = 10
B) x² + y² = 10
C) x² + (y – 2)² = 100
D) (x – 2)² + y² = 100
E) x² + 2y² = 100
Resolução:
Alternativa C
Substituindo o valor do raio e do centro na equação da circunferência, temos que:
\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2\)
a = 0, b = 2 e r = 10
\(\left(x-0\right)^2+\left(y-2\right)^2={10}^2\)
Então a equação reduzida dessa circunferência é:
\(x^2+\left(y-2\right)^2=100\)
Questão 2
(Enem) A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.
A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função:
A) \( f\left(x\right)=-\sqrt{2-x}\)
B) \( f\left(x\right)=\sqrt{2-x^2}\)
C) \( f\left(x\right)=x^2-2\)
D) \( f\left(x\right)=-\sqrt{4-x^2}\)
E) \( f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}\)
Resolução:
Alternativa D
Sabemos que o centro dessa circunferência é o ponto C(0, 0), que é o centro do suporte, além disso, que o seu raio é igual a 2, então sua equação seria:
\(\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2=2^2\)
\(x^2+y^2=4\)
Seja y = f(x), vamos isolar essa variável:
\(f\left(x\right)^2=4-x^2\)
\(f\left(x\right)=\pm\sqrt{4-x^2}\)
Note que a curva descreve só a parte de baixo da circunferência, que é a parte negativa, então temos que:
\(f\left(x\right)=-\sqrt{4-x^2}\)