MAKALAH KAPITA SELEKTA MATEMATIKA SMA
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Oleh :
Kelompok III Matkom III-A
NING MASITAH(09320039)
UMMI LAILA NURJANNAH(09320044)
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG
2010
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Dalam materi persamaan dan fungsi kuadrat terdapat 3 indikator, yaitu :
1. Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat sifat akarnya.
2. Menentukan fungsi kuadrat yang diketahui satu titik dan titik puncaknya.
3. Mencari titik ekstrim dan sumbu simetri fungsi kuadrat.
A. Persamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat.
Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variable atau peubah x adalah sebagai berikut :
ax2 + bx +c = 0
dengan a, b, c bilangan real, dan a ( 0.
a disebut koefisien x2, b koefisien x, dan c disebut konstanta.
2. Membentuk persamaan kuadrat yang diketahui sifat - sifat akarnya.
a. Sifat Sifat Akar Persamaan Kuadrat.
Misalkan persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya. Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:
Maka x1 = maka x2 =
Sehingga didapat hubungan :
x1 + x2 =
x1 . x2 =
Bentuk diatas dikenal sebagai sifat akar pada persamaan kuadrat.
b. Cara Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat yang akar akarnya x1 dan x2 adalah :
( x x1 ) . ( x x2 ) = 0 atau x2 ( x1 + x2 )x + ( x1 . x2 ) = 0.
Contoh soal :
1) Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya -3 dan 1/3.
Jawab :
( x x1 ) . ( x x2 ) = 0
( x (-3)) . ( x 1/3 ) = 0
( x + 3 ) . ( x 1/3 ) = 0
x2 1/3 x + 3x 1 = 0
x2 2 2/3 x 1 = 0
x2 8/3 x 1 = 0
2) Jika akar akar persamaan kuadrat 2x2 x -5 = 0 adalah p dan q, maka persamaan juadrat yang akar akarnya ( p -1) dan (q -1) adalah
Jawab :
2x2 x - 5 = 0; a = 2, b = -1, c = -5
Maka :
p + q = -b / a = - (-1) /2 = 1/2 dan p . q = c / a = -5 / 2
Sehingga :
( p 1 ) + ( q 1 ) = ( p + q ) 2
= 1/2 2
= -3 / 2
( p 1) ( q 1 ) = pq p q + 1
= pq ( p + q ) + 1
= -5/2 (1/2) + 1
= -2
Jadi persamaan kuadratnya adalah :
x2 ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 ) = 0.
x2 (( p 1 ) + ( q 1)) x + (( p 1) ( q 1 )) = 0.
x2 ( -3/2 ) x + ( -2 ) = 0.
x2 + 3/2 x -2 = 0.
2x2 + 3x 4 = 0.
B. Fungsi Kuadrat
1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi yang mempunyai variable dengan pangkat tertinggi dua disebut fungsi kuadrat. Bentuk umumnya :
F(x) = ax2 + bx + c ; a, b, c, bilangan real dan a 0.
Contoh : a) f(x) = x2 4
b) f(x) = 2x2 + 5x + 6
2. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Diketahui 1 Titik dan Titik Puncaknya.
Jika fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c mempunyai titik puncak P (xp , yp), maka fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
Y = a(x - xp)2 + yp
Selanjutnya untuk menentukan nilai a, kita subtitusikan nilai x dan y dari suatu titik lain yang dilalui grafik fungsi kuadrat ke persamaan diatas.
Contoh soal :
1) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak P (2, -1) serta melalui titik A ( 0,3).
Jawab :
Dengan menggunakan rumus di atas untuk xp = 2 dan yp = -1, maka diperoleh:
Y = a(x - xp)2 + yp
Y = a(x 2)2 1
Karena grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik A( 0, 3), maka:
3 = a (0 - 2)2 1
3 = 4a 1
3 + 1 = 4a
4 = 4a
A = 1
Sehingga diperoleh:
Y = 1 (x 2)2 1
Y = (x - 2) (x - 2) 1
Y = x2 - 4x + 4 - 1
Y = x2 4x + 3
3. Sumbu Simetri dan Titik Ekstrim
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabol (seperti gambar di atas) dapat menghadap ke bawah atau ke atas. Grafik itu mempunyai sumbu simetri yaitu l, dan titik puncak P. Titik puncak disebut juga titik balik .
Jika grafik fungsi y = ax2 + bx +c dipotongkan dengan sumbu x, yang berarti y = 0, maka diperoleh ax2 + bx +c = 0. Jika grafik fungsi berpotongan di A (x1, 0) dan B (x2, 0), maka x adalah akar akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Dikatakan pula bahwa x1 dan x2 adalah pembuat nol fungsi f(x) = ax2 + bx +c.
Garis l adalah sumbu simetri, yang berarti melalui tengah tengah AB, sehingga persamaannya adalah = . Titik P diperoleh dengan memotongkan garis x = -b/2a dengan kurva y = ax2 + bx +c.
y = -b/2a dan y = ax2 + bx +c , maka :
y = a (-b/2a)2 + b(-b/2a) + c
= b2 2b2 + 4ac / 4a = - b2 4ac / 4a = -D/4a.
Jadi koordinat titik puncak adalah P ( -b/2a , -D/4a ).
Karena terdapat dua akar yaitu x1 dan x2, maka pasti D > 0. Ini berarti jika a > 0, maka (-D/4a) < 0, dan jika a < 0, maka (-D/4a) > 0. Dengan kata lain, jka a > 0 maka grafik menghadap keatas, dan jika a < 0, maka grafik menghadap ke bawah.
Jika grafik menghadap ke atas maka titik puncaknya adalah titik puncak minimum, dan jika grafiknya menghadap ke bawah, maka titik puncaknya adalah titik puncak maksimum. Dengan demikian, berlaku sifat berikut :
Pada fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx +c dengan a 0
a. Grafiknya berbentuk parabola
b. Bila a > 0 grafik menghadap keatas.
c. Bila a < 0 grafik menghadap ke bawah.
d. Persamaan sumbu simetri x =
e. Koordinat titik puncak P , .
Titik ekstrim disebut juga titik puncak, yaitu: P , .
Contoh soal:
1) Tentukan sumbu simetri dan titik puncak maksimum dari persamaan f(x) = - x2 + 8x 12!
Jawab:
a = -1 < 0 membuka ke bawah, punya titik puncak maksimum.
D = b2 4ac
= 82 4(-1) (-12)
= 64 48 = 16
Titik potong dengan sumbu x, berarti f(x) = 0
f(x) = 0 - x2 + 8x 12 = 0
x2 8x + 12 = 0
(x 6) (x 2) = 0
x = 6; x = 2
Jadi titik potong dengan sumbu x adalah M (6, 0) dan N (2, 0)
Titik potong dengan sumbu Y berarti x = 0
X = 0 f(x) = - 02 + 8 . 0 12 = - 12
Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah P = (0, 12)
Persamaan sumbu simetri: x = = = 4
Titik puncak: = 4
= = 4
Jadi, titik puncak maksimumnya adalah G (4, 4)
C. LATIHAN SOAL
1. Hitunglah persamaan kuadrat yang akar akarnya mempunyai jumlah 2/3 dan hasil kalinya 5!
2. Akar akar persamaan kuadrat x2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2. Hitunglah persamaan kuadrat yang akar akarnya x1 + x2 dan x1 . x2!
3. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di titik (3, 2) dan melalui titik (2, 4) adalah.
4. Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut ini!
F(x) = x2 2x - 8
5. Jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan 3x2 6x + 3 = 0 adalah ?
DAFTAR PUSTAKA
Abdurahman, Maman. 2006. Intisari Matematika SMA IPA : Ringkasan Materi Lengkap Disertai Contoh Soal Jawab dan Soal Soal Latihan UNAS. Kurikulum Berbasis Kompetensi, Penerbit CV PUSTAKA SETIA.
Kuncoro Priyo dan Ihsanudin. 2008. Panduan Praktis Siap Uji Menghadapi UN SPMB IPA SMA. Penerbit ERLANGGA.
Foster, Bob. 2006. 1001 Plus Soal dan Pembahasan Matematika Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru. Penerbit ERLANGGA.
Alders, C.J. dan Ir. Bahar. 1987. Ilmu Aljabar 2. Penerbit PT. Pradnya Paramita.
Johanes. Kastolan. Sulasim. 2003. Kompetensi Matematika untuk Kelas 1 SMA Semester Pertama. Penerbit Yudhistira.
www.belajar-matematika.com
httpcom.umy.ac.idelschoolmuallimin_muhammadiyahfile.php1materiMatematikaPERSAMAAN%20DAN%20FUNGSI%20KUADRAT%20-%202%5B1%5D.pdf
y
x
0
P (xp , yp)
A (x, y)
B (x2, 0)
P
0
x
y
A (x1, 0)
l
l
A (x1, 0)
B (x2, 0)
P
0
x
y
Hmm … lagi kebingungan belajar buat PTS Matematika? Eits, jangan lama-lama bingungnya, ya, Sobat Zenius! Pasalnya, gue mau berbagi kumpulan contoh soal PTS Matematika kelas 10 semester 1 kurikulum 2013 dan semester 2 buat elo pelajari, nih!
Seperti yang kita ketahui, mengerjakan soal Matematika, tuh, harus diimbangi dengan memperbanyak latihan-latihan soalnya. Semakin banyak elo latihan, semakin besar peluang untuk bisa menjawab soal UTS Matematika dengan baik.
Sebelum lanjut ke contoh soal PTS matematika kelas 10, kita lihat dulu deh daftar materi apa yang akan elo pelajari di matematika kelas 10 berikut ini.
Matematika Wajib
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Review Persamaan dan Pertidaksamaan | Perkenalan Nilai Mutlak | Grafik Nilai Mutlak | Sifat-Sifat Nilai Mutlak| Persamaan Nilai Mutlak | Pertidaksamaan Mutlak |
Pertidaksamaan Rasional dan Irasional Satu Variabel
Review Pertidaksamaan | Pertidaksamaan Rasional | Pertidaksamaan Irasional |
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel | Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pengantar Sistem Pertidaksamaan
| Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Fungsi
Pengenalan Fungsi | Jenis-Jenis Fungsi | Aljabar Fungsi |
Fungsi Kuadrat
Kemampuan Dasar Fungsi Kuadrat | Pengantar Fungsi Kuadrat | Grafik Fungsi Kuadrat | Menentukan Fungsi Kuadrat dari Grafik |
Trigonometri
Pengenalan Trigonometri | Identitas Trigonometri dan Relasi Sudut | Aturan Sinus dan Cosinus | Penyelesaian Masalah dengan Trigonometri |
Matematika Peminatan
Eksponen
Fungsi Eksponen | Persamaan Eksponen | Pertidaksamaan Eksponen |
Logaritma
Pengenalan Logaritma | Sifat-Sifat Logaritma | Persamaan Logaritma | Pertidaksamaan Logaritma |
Vektor
Dasar-Dasar Vektor | Operasi Vektor |
Untuk mempertajam kemampuan elo tentang Matematika, dalam artikel ini gue akan berbagi contoh soal UTS Matematika kelas 10 dan pembahasannya. Dengan mempelajari contoh-contoh soal ini, harapannya elo sudah punya amunisi yang banyak buat menghadapi Ujian Tengah Semester nanti.
- Contoh Soal UTS Matematika Kelas 10 Semester 1 Kurikulum 2013
- Contoh Soal PTS Matematika Kelas 10 Semester 2
- Tips Belajar UTS
Udah siap, nih, buat belajar? Elo bisa nyiapin cemilan dulu, kok, sebelum memahami contoh-contoh soal PTS Matematika kelas 10 di bawah ini. Kalau udah siap, yuk, kita mulai dari contoh soal UTS Matematika kelas 10 semester 1 kurikulum 2013 dan pembahasannya.
Soal 1
Topik: Logaritma
Hasil dari
4
log 8 +
4
log 32 adalah ….
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
E. 32
Pembahasan:
Bagaimana, ya, cara menyelesaikan contoh soal di atas? Mudah, Sobat Zenius! Masih ingat, kan, pelajaran mengenai sifat algoritma? Yap, jadi kalau misalkan
c
log A +
c
log B=
c
log (A.B).
Nah, untuk kasus contoh soal UTS Matematika kelas 10 di atas, kita bisa lihat kalau angka basisnya itu sama, yaitu 4. Jadi,
4
log 8 +
4
log 32 =
4 log (8.32) =
4
log 256.
Baca juga: Bagaimana Pemajangan Karya Seni Rupa Dalam Pameran
4
log 256 hasilnya jadi 4. Yap,
jawaban C
yang benar.
Baca juga: Logaritma – Sejarah, Pengertian, Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan.
Soal 2
Topik: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Diketahui f (x) = 3 – x. Nilai mutlak dari f (x) adalah ….
A. |3 – x|
B. |3| – |x|
C. (3) – (x)
D. (3 -x)
Pembahasan:
Jawaban dari contoh soal UTS Matematika kelas 10 di atas sebenarnya cukup gampang. Nilai mutlak dari f (x) = 3 -x adalah |3 – x|.
Jadi, jawaban yang tepat adalah
A.
Baca Juga: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak – Materi Matematika Kelas 10
Soal 3
Topik: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Diberikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) berikut:
x + 2y = 5
3x + 6y = 15.
Banyak solusi dari SPLDV tersebut adalah ….
A. 1
B. 2
C. 3
D. tak hingga banyak solusi
E. tidak punya solusi
Pembahasan:
Contoh soal PTS kelas 10 semester 1 yang berkaitan dengan SPLDV memang terlihat agak sulit. Akan tetapi, kita bisa mengerjakannya dengan melakukan
break down
satu per satu:
x + 2y = 5
3x + 6y = 15
Perhatikan persamaan kedua 3x + 6y = 15. Jika persamaan tersebut dibagi 3 pada kedua ruas, maka akan diperoleh hasil berikut:
13(3x + 6y) = 13.15
x + 2y = 5 (sama dengan persamaan yang pertama)
Dikarenakan pada SPLDV tersebut hanya memiliki 1 persamaan, yaitu x + 2y = 15, maka SPLDV tersebut memiliki tak hingga banyak solusi.
Jadi,
jawaban D
yang tepat untuk contoh soal di atas.
Baca Juga: Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel – Matematika Wajib Kelas 10
Sudah paham, ya, Sobat Zenius? Kalau sudah, lanjut ke contoh soal UTS Matematika kelas 10 berikutnya ya. Kali ini kita masuk ke contoh soal PTS Matematika Peminatan kelas 10 Semester 1.
Sudah paham, ya, Sobat Zenius? Kalau sudah, lanjut ke contoh soal UTS Matematika kelas 10 berikutnya!
Soal 4
Topik: Eksponen
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.
(1) 53
= 5 x 5 x 5
(2) 36
= 6 x 6 x 6
(3) (12)4
= 12 x 12 x 12 x 12
(4) 25
= 5 x 5
Pernyataan yang benar adalah ….
A. (1) dan (2)
B. (1) dan (3)
C. (2) dan (3)
D. (3) dan (4)
Pembahasan:
Sobat Zenius masih agak bingung mengenai contoh soal di atas? Oke, gue akan coba ingatkan kembali mengenai topik eksponen.
Ingatlah bahwa an = a x a x a x a … (sebanyak n kali). Dengan demikian, maka pernyataan di atas yang benar adalah (1) dan (3) alias
jawaban B.
Kalau dilihat dari pernyataan yang salah, yaitu (2) dan (4), seharusnya begini:
Baca juga: Passing Atas Dalam Permainan Bola Voli Umumnya Digunakan Untuk
36
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
25
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Baca Juga: Pengertian Eksponen Beserta Sifat dan Contoh Soal
Soal 5
Topik: Persamaan Logaritma
Syarat yang harus dipenuhi pada persamaan logaritma
a log f (x) =
a
log b, kecuali ….
A. a > 0
B. a = 1
C. b > 0
D. f(x) > 0
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan contoh soal UTS Matematika kelas 10 yang berkaitan dengan persamaan logaritma, disarankan elo juga wajib menghafalkan syarat-syarat yang harus dipenuhi pada logaritma
a log f(x) =
a
log b.
Jadi, jawaban yang tepat adalah
B, a = 1 karena nggak termasuk dalam syarat-syarat pada logaritma.
Baca Juga: Cara Menggambar Fungsi Logaritma dan Contoh Soalnya
Buat elo yang ingin belajar lewat video pembelajaran dari Zenius mengenai soal UTS Matematika kelas 10 semester 1 dan kunci jawabannya, elo bisa langsung meluncur ke Panduan PTS SMA, ya, Sobat Zenius!
Contoh Soal PTS Matematika Kelas 10 Semester 2
Soal 1
Topik: Aljabar Fungsi
Diketahui fungsi a(x) = x2
– 3x + 6 dan b(x) = 5x – 8. Jika c(x) = a(x) + b(x), maka c(x) = ….
A. x2
+ 2x – 2
B. x2
+ 8x – 14
C. x2
+ 2x – 8
D. x2
+ 5x – 2
Pembahasan:
Dari contoh soal UTS Matematika kelas 10 di atas, diketahui a(x) = x2
– 3x + 6 dan b(x) = 5x – 8.
c(x) = a(x) + b(x)
c(x) = x2
– 3x + 6 +5x – 8
c(x) = x2
+ 2x – 2
Jadi, jawaban yang tepat adalah
A.
Baca Juga: Rumus Pangkat dan Bilangan Kuadrat
Soal 2
Topik: Kemampuan Dasar Fungsi Kuadrat
Hasil penjabaran dari x(2x + 11) adalah ….
A. x2
+ 11x
B. 2x2
+ 11
C. 2x2
+ 11x
D. 2x2
+ x
Pembahasan:
Jangan terburu-buru dalam menjawab contoh soal UTS Matematika kelas 10 yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.
Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah jabarkan x(2x + 11) terlebih dahulu
x(2x +11) = x.2x + x.11
X.2x + x.11= 2x2
+ 11x.
Jadi,
jawaban C
yang benar.
Baca Juga: Konsep, Grafik dan Rumus Fungsi Kuadrat
Soal 3
Topik: Trigonometri
Nomor 1
Nilai dari sin 45o, tan 120, cos 100, dan sin 10
berturut-turut akan bernilai ….
A. positif, positif, positif, dan positif
B. positif, negatif, positif, dan positif
C. positif, negatif, negatif, dan positif
D. negatif, negatif, positif, dan positif
Pembahasan:
sin 45o
(kuadran 2) bernilai positif
tan 120
(kuadran 2) bernilai negatif
cos 100
(kuadran 2) bernilai negatif
sin 10
(kuadran 1) bernilai positif
Jawaban yang tepat adalah
C.
Baca Juga: Materi Trigonometri Kelas 10 – Rumus Sin, Cos, Tan
Nomor 2
Topik: Aturan Sinus
Pada segitiga siku-siku PQR, diketahui panjang PQ = 83 cm dan QR = 8 cm. Jika ∠QPR = 30, maka besar ∠QRP = ….
A. 30o
Baca juga: Apakah Yang Dilakukan Warga Melanggar Hak Hak Hewan Jelaskan
B. 45o
C. 60o
D. 90o
E. 120o
Pembahasan:
Salah satu materi yang perlu diperhatikan dalam bab Trigonometri adalah aturan sinus dan cosinus. Contoh soal UTS Matematika kelas 10 di atas bisa jadi acuan elo dalam mempelajari materi tersebut.
Supaya nggak bingung, mari kita kerjakan bersama-sama. Elo bisa perhatikan penjelasannya di bawah ini.
Jadi, jawaban yang tepat adalah
C, 60o.
Soal 4
Topik: Vektor
Besar sudut yang dibentuk oleh vektor:
A. 0
B.
C.
D.
E.
Oke, jadi untuk menjawab pertanyaan ini pertama-tama elo harus nalar dulu nih… untuk mengimajinasikan gambar vektor p dan vektor q dalam sebuah bidang koordinat kartesius. Kaya gini nih:
Terus vektor p di soal kan -a, dan garis y adalah tempat b, nah kita bisa gambarkan nih vektor p nya, kayak gini:
Vektor p udah ketemu nih, selanjutnya kita buat vektor q, nah vektor q ini kebalikan dari vektor p, maka jadinya akan seperti ini:
Oke, kita udah tau nih letak vektor p dan q, sekarang kita lihat besar sudut di antara kedua vektor ini:
Kalo kita liat, besar sudut yang dibentuk adalah setengah lingkaran alias 180 derajat, atau bisa dinyatakan dalam bentuk:
180 derajat =
Jadi jawabannya adalah
E.
Baca Juga: Kumpulan Rumus Vektor Matematika dan Contoh Soal
Tips Belajar UTS
Sobat Zenius mungkin seringkali kurang optimal saat belajar UTS. Contoh-contoh soal UTS Matematika kelas 10 semester 1 kurikulum 2013 dan 2 sudah ada di atas, tetapi elo juga butuh tips belajar UTS yang tepat supaya semakin maksimal.
Berikut ada beberapa tips yang bisa elo terapkan.
Baca Juga: Konsep Pertidaksamaan Rasional dan Irasional | Matematika Kelas 10
Itu dia kumpulan contoh soal PTS Matematika kelas 10 semester 1 kurikulum 2013 dan semester 2 beserta pembahasannya. Elo bisa mempelajari lebih detail supaya bisa mengerjakan soal-soal UTS dengan mudah, ya.
Jangan lupa juga untuk ikuti terus update mengenai informasi PTS dari Zenius! Elo bisa dapatkan informasi mengenai PTS di dari Zenius.
Nggak hanya itu saja, elo juga bisa mengikuti Live Class dan Panduan Lengkap yang disediakan dari Zenius sebagai penunjang wawasan elo untuk mengerjakan soal-soal PTS nanti. Untuk dapetin itu semua elo cukup berlangganan paket belajar Zenius. Daripada penasaran yuk simak info lengkapnya di bawah ini!
Semangat belajar, Sobat Zenius. Babat habis soal PTS!
Originally published:
December 15, 2021
Updated by:
Maulana Adieb
,
Silvia Dwi, & Sabrina Mulia Ramadhanty