Cara cepat menghitung panjang diagonal sisi dan diagonal ruang kubus sangat penting kamu kuasai, terutama saat mengerjakan soal-soal ruang tiga dimensi khususnya bangun ruang kubus. Misalnya kita disuruh mencari jarak sebuah titik ke salah satu sisi kubus. Jika menggunakan teorema Pytagoras tentunya akan menyita waktu yang cukup lama untuk mengerjakan soal-soal tersebut, sehingga cara cepat perlu dikuasai. Penguasaan cara cepat ini bisa kamu kuasai jika sudah paham konsep dasarnya. Bagaimana cara cepat itu didapatkan?
Perhatikan Gambar 1 di bawah ini.
Gambar 1 |
Gambar di atas merupakan sebuah bangun ruang kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk r. Perhatikan sisi ABFE, garis AF merupakan diagonal sisi atau diagonal bidang. Selain garis AF, masih ada lagi 11 buah diagonal sisi pada kubus ABCD.EFGH yakni AC, BD, EG, FH, BE, CH, DG, BG, CF, AH, dan DE. Bagaimana cara mencari panjang diagonal sisi pada kubus?
Untuk mencari panjang diagonal sisi kubus dapat mengggunakan teorema Pytagoras. Sekarang perhatikan segitiga siku-siku ABF pada kubus ABCD.EFGH di atas. Panjang AF dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras yakni:
AF2 = AB2 + BF2
AF2 = r2 + r2
AF2 = 2r2
AF = √(2r2)
AF = r√2
Jika diagonal sisi atau diagonal bidang dilambangkan dengan db, maka rumus untuk mencari diagonal sisi yakni:
db = r√2
Sekarang perhatikan Gambar 2 di bawah ini!
Gambar 2 |
Garis CE merupakan salah satu diagonal ruang kubus ABCD.EFGH. Di mana pada bangun kubus ada 4 buah diagonal ruang yang sama panjang yakni AG, CE, BH, dan DF. Bagaimana cara mencari panjang diagonal ruang pada kubus?
Perhatikan segitiga siku-siku ACF pada bangun ruang kubus ABCD.EFGH di atas. Dengan menggunakan Teorema Pytagoras maka panjang CE dapat ditentukan, yakni:
CE2 = AE2 + AC2
Ingat AC diagonal sisi kubus yang dapat dicari dengan rumus:
db = r√2
sehingga menjadi:
CE2 = r2 + (r√2)2
CE2 = r2 + 2r2
CE2 = 3r2
CE = √(3r2)
CE = r√3
Jika panjang diagonal ruang kubus dilambangkan dengan dr, maka rumus mencari panjang diagonal ruang pada kubus yakni:
dr = r√3
Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat ditarik kesimpulan, cara cepat untuk mencari panjang diagonal sisi dan diagonal ruang pada kubus dengan panjang rusuk r yakni:
db = r√2
dan
dr = r√3
Kubus ABCD.EFGH
Untuk memantapkan pemahaman kamu tentang cara cepat menghitung panjang diagonal sisi dan diagonal ruang, silahkan simak contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 12 cm, hitunglah panjang diagonal sisi dan panjang diagonal ruang kubus tersebut!
Penyelesaian:
r = 12 cm
Dengan menggunakan cara cepat, panjang diagonal sisi kubus yakni:
db = r√2
db = (12 cm)√2
db = 12√2 cm
Dengan menggunakan cara cepat, panjang diagonal ruang kubus yakni:
dr = r√3
dr = (12 cm)√3
dr = 12√3 cm
Jadi, panjang diagonal sisi dan diagonal ruang kubus tersebut adalah 12√2 cm dan 12√3 cm.
Demikian artikel tentang cara cepat menghitung panjang diagonal sisi dan diagonal ruang pada bangun ruang kubus lengkap dengan gambar ilustrasi dan cara mendapatkan rumus cara cepat menghitung panjang diagonal sisi dan diagonal ruang kubus.
Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Dimensi Tiga yang meliputi jarak atau sudut antara titik, garis dan bidang. Berikut beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan :
1. UN 2008
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis AC adalah ... A. 8√3 B. 8√2 C. 4√6 D. 4√3 E. 4√2Pembahasan :
Jawaban : C
2. UN 2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG. Jarak titik B ke garis PQ adalah ... A. √22 cm B. √21 cm C. 2√5 cm D. √19 cm E. 3√2 cmPembahasan :
BR = \(\mathrm{\sqrt{\left (2\sqrt{6} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}}\)
BR = \(\mathrm{\sqrt{22}}\)
Jawaban : A
3. UN 2011
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ... A. 4√6 cm B. 4√5 cm C. 4√3 cm D. 4√2 cm E. 4 cmPembahasan :
MO = \(\frac{1}{2}\). a√2
MO = \(\frac{1}{2}\). 8√2
MO = 4√2
Jawaban : D
4. UN 2007
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6√3 cm. Jarak Bidang ACH dan EGB adalah ... A. 4√3 cm B. 2√3 cm C. 4 cm D. 6 cm E. 12 cmPembahasan :
Ingat : luas jajar genjang \(\mathrm{=alas\times tinggi}\)
Luas jajar genjang OHRB = 2 × luas ⊿ OHR OH × PQ = 2 × \(\frac{1}{2}\)×HR×OR OH × PQ = HR × OR 9√2 × PQ = 3√6 × 6√3 ⇒ PQ = 6 atau DP = PQ = QF = \(\frac{1}{3}\) × DF DP = PQ = QF = \(\frac{1}{3}\) × 18 ⇒ PQ = 6Jawaban : D
5. UN 2009
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus adalah 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah ... A. 6√2 cm B. 9√2 cm C. 12√2 cm D. 16√2 cm E. 18√2 cmPembahasan :
Jawaban : B
6. UN 2012
Pembahasan :
HP = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) × a√3
HP = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) × 4√3
HP = \(\mathrm{\frac{8}{3}}\)√3
Jawaban : D
7. UN 2013
Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke CE adalah ... A. \(\frac{1}{2}\)√3 cm B. \(\frac{1}{2}\)√6 cm C. 3√3 cm D. 2√6 cm E. 4√6 cmPembahasan :
BP = \(\mathrm{\frac{6\times 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}}\)
BP = 2√6
Jawaban : D
8. UN 2014
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = ... A. \(\frac{1}{14}\)√14 cm B. \(\frac{2}{3}\)√14 cm C. \(\frac{3}{4}\)√14 cm D. \(\frac{4}{3}\)√14 cm E. \(\frac{3}{2}\)√14 cmPembahasan :
AP = \(\mathrm{\frac{6^{2}+\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-6^{2}}{2\times 6}}\)
AP = \(\mathrm{\frac{8}{3}}\) Perhatikan Δ APC siku-siku di P CP = \(\mathrm{\sqrt{AC^{2}-AP^{2}}}\)
CP = \(\mathrm{\sqrt{\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-\left ( \frac{8}{3} \right )^{2}}}\)
CP = \(\mathrm{\frac{4}{3}\sqrt{14}}\)
Jawaban : D
9. UN 2004
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ... cm. A. 2√3 B. 4 C. 3√2 D. 2√6 E. 6Pembahasan :
HS = \(\frac{1}{2}\). 6√2
HS = 3√2
Jawaban : C
10. UN 2007
Pembahasan :
Jawaban : D
11. UN 2008
Pembahasan :
Jawaban : C
12. UN 2009
Pembahasan :
Jawaban : C
13. UN 2012
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST, dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ... A. \(\frac{1}{3}\)√3 B. √2 C. √3 D. 2√2 E. 2√3Pembahasan :
Jawaban : C
14. UN 2013
Pada kubus ABCD. EFGH sudut θ adalah sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD. Nilai dari sin θ adalah ... A. \(\frac{1}{4}\)√3 B. \(\frac{1}{2}\)√3 C. \(\frac{1}{3}\)√6 D. \(\frac{1}{2}\)√2 E. \(\frac{1}{3}\)√3Pembahasan :
Jawaban : C
15. UN 2014
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah ... A. \(\frac{1}{2}\)√2 B. \(\frac{1}{2}\)√3 C. \(\frac{1}{3}\)√3 D. \(\frac{2}{3}\)√2 E. \(\frac{3}{4}\)√3Pembahasan :
Jawaban : C
16. UN 2007
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\) C. \(\frac{1}{3}\)√3 D. \(\frac{2}{3}\) E. \(\frac{1}{2}\)√3
Pembahasan :
Jawaban : A
17. UN 2015
Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah... A. \(\frac{1}{3}\) B. \(\frac{1}{2}\)√2 C. \(\frac{2}{3}\)√2 D. √2 E. 2√2Pembahasan :
Jawaban : E
18. UN 2015 Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan... A. \(\frac{4}{5}\)√30 cm B. \(\frac{2}{3}\)√30 cm C. 2√5 cm D. 2√3 cm E. 2√2 cm
Pembahasan :
Jawaban : A
RALAT : 10/8/2017
Yang ditanyakan adalah jarak titik E ke CM, bukan jarak titik E ke perpanjangan CM. CM adalah ruas garis, dengan titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2√5 (C)19. UN 2016 Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah... A. \(\frac{8}{3}\)√2 cm B. \(\frac{8}{3}\)√3 cm C. \(\frac{8}{3}\)√6 cm D. \(\frac{10}{3}\)√6 cm E. 4√6 cm
Pembahasan :
Jarak titik E ke garis FD adalah EP.
Perhatikan segitiga DEF siku-siku di E EF = 8 DE = 8√2 DF = 8√3
Jawaban : C
20. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah... A. \(\frac{1}{2}\) B. \(\frac{1}{3}\)√3 C. \(\frac{1}{2}\)√2 D. \(\frac{1}{2}\)√3 E. \(\frac{1}{3}\)√6Pembahasan :
sin θ = \(\mathrm{\frac{AP}{AH}}\) = \(\mathrm{\frac{8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
Jawaban : A Untuk Ujian Nasional matematika IPA tahun 2017, materi dimensi tiga dikeluarkan sebanyak 4 soal dalam satu paket.
21. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin α = ...
A. 1/2
B. 1/3 √3
C. 1/2 √2
D. 1/2 √3
E. 2/3 √2
Pembahasan :
Jawaban : B
22. UN 2017
Pembahasan :
Jarak M ke LNQ = jarak M ke QS, yaitu MT.
Perhatikan segitiga SMQ siku-siku di M. Pada segitiga siku-siku, jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miringnya adalah hasil kali dari kedua sisi siku-siku dibagi sisi miring.
Jadi, MT = \(\mathrm{\frac{SM \,\cdot \,MQ}{SQ}}\) = \(\mathrm{\frac{6\, \cdot \,3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}}\) = 2√3 atau MT = \(\frac{1}{3}\). MO = \(\frac{1}{3}\). 6√3 = 2√3Jawaban : B
23. UN 2017
Pembahasan :
Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP.
Perhatikan segitiga sama sisi ABT dengan panjang sisinya 4 cm. Pada segitiga sama sisi yang panjang sisinya a, jarak dari titik sudut ke sisi di depannya adalah \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√3. Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP = \(\mathrm{\frac{4}{2}}\)√3 = 2√3
Jawaban : B
24. UN 2017
Pembahasan :
Jarak titik A ke TC adalah AP.
Jawaban : E
25. UN 2017
Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah ... A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° E. 90°
Pembahasan :
Jawaban : C
26. UN 2017
Pembahasan :
Misalkan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas adalah α.
CT = \(\mathrm{\sqrt{\left (6 \right )^{2}+\left (6\sqrt{3} \right )^{2}}}\)
CT = 12 sin α = \(\mathrm{\frac{OT}{CT}}\) = \(\frac{6\sqrt{3}}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)√3 atau tan α = \(\mathrm{\frac{OT}{CO}}\) = \(\frac{6\sqrt{3}}{6}\) = √3 Karena tan α = √3, maka α = 60° Jadi, sin α = sin 60° = \(\frac{1}{2}\)√3
Jawaban : E
27. UN 2017
Pembahasan :
Jawaban : D