Di sebuah sanggar tari terdapat 15 orang penari yaitu 9 penari laki-laki dan 6 penari perempuan

Pertanyaan

Sebuah sanggar tari mempunyai 8 penari. Pada suatu acara akan ditampilkan 6 orang penari. Jika dua orang penari sudah dipastikan untuk tampil pada acara tersebut, banyak kemungkinan penari yang ditampilkan adalah ....  

Faktorial bilangan asli n adalah perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan n. Faktorial dilambangkan dengan tanda !. Jadi jika n!, maka dibaca "n faktorial".

n! = 1 x 2 x … x (n-2) x( n-1) x n

Untuk faktorial 0, hasilnya adalah 1. 0! = 1

Berikut ini adalah faktorial 0 sampai faktorial 10.

0! = 1

1! = 1

2! = 1 × 2 = 2

3! = 1 × 2 × 3 = 6

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720

7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40320

9! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 362880

10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3628800

Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpa memperhatikan urutannya.

Contoh Soal No. 1

Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajang berurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempat lukisan tersebut?

Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannya adalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentuk adalah 4!.

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah sebagai berikut.

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.

Contoh Soal No. 2

Carilah nilai x pada persamaan di bawah ini.

Jawab: Berikut adalah cara penyelesaiannya.

Dengan demikian, terdapat dua nilai x yang bisa diperoleh dari penyelesaian persamaan di atas, yaitu x = 3 dan x = 2. Namun demikian nilai x tidak mungkin bernilai negatif pada faktorial, oleh karena itu nilai x yang mungkin adalah 3.

Contoh Soal No. 3 Hitunglah:

Jawab:

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya. Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah perhatian pada pengurutannya, dimana pada permutasi memperhatikan urutan, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. XY dan YX pada permutasi di hitung 2, sedangkan pada kombinasi hanya dihitung 1.

Notasi dari permutasi adalah $P$. Bila $n$ permutasi $k$, notasinya adalah $^nP_k$. Dimana \[^nP_k = \frac {n!}{(n-k)!}\] Notasi ! adalah faktorial. Silahkan baca kembali artikel Faktorial.

Contoh Soal No. 1

Lima orang pemain catur akan memperebutkan juara satu, dua dan tiga pada sebuah turnamen catur. Berapakah banyaknya susunan juara satu, dua dan tiga yang dapat dibentuk dari kelima pemain tersebut?

Jawab: Dari soal di atas, kita akan membuat susunan urutan 3 juara dari 5 pemain catur, sehingga $k = 3$ dan $n = 5$. Dengan menggunakan rumus permutasi, banyaknya susunan juara yang dapat dibentuk adalah \[{^nP_k} = {^5P_3} = \frac {5!}{(5-3)!} = \frac {5!}{2!} = 60\]

Contoh Soal No. 2

Sebuah organisasi mahasiswa memiliki 7 orang yang kompeten untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapakah banyaknya cara untuk memilih susunan posisi tersebut?

Jawab: Tujuh orang yang kompeten akan menenpati 4 posisi, sehingga banyaknya susunan yang akan dibentuk adalah 7 kombinasi 4, yaitu \[{^7P_4} = \frac {7!}{(7-4)!} = \frac {7!}{3!} = 35\]

Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya. Karena tidak memperhatikan urutan maka disinilah letak perbedaan antara kombinasi dan permutasi. Pada kombinasi, susunan $XY$ sama saja dengan susunan $YX$, sedangkan pada permutasi susunan $XY$ dan $YX$ dianggap susunan yang berbeda. Lambang notasi dari kombinasi adalah $C$. Jika disebutkan $n$ kombinasi $r$, maka dapat ditulis menjadi $^nC_k$. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut. \[^nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] Notasi ! adalah faktorial, silahkan baca kembali artikel tentang Faktorial. Untuk pemahaman lebih lanjut, berikut ini diberikan sebuah contoh soal tentang kombinasi.

Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang konstruksi memiliki 4 orang ahli statistik. Salah satu kegiatan dari perusahaan tersebut adalah melakukan survei kualitas bangunan yang pernah dikerjakannya. Jumlah ahli statistik yang dibutuhkan untuk kegiatan survei adalah 2 orang. Berapa cara menentukan 2 dari empat 4 orang ahli statistik yang dibutuhkan?

Jawab:

Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang dapat dihitung menggunakan rumus kombinasi. Pada soal di atas dapat kita ketahui $k=2$ dan $n=4$. \[\begin{align*} ^nC_k&=^4C_2 \\ &=\frac{4!}{2!(4-2)!} \\ &=6 \end{align*}\] Sehingga banyaknya pemilihan yang bisa dilakukan adalah 6 cara.

Contoh Soal No. 1

Di sebuah sanggar tari terdapat 15 orang penari, yaitu 9 penari laki-laki dan 6 penari perempuan. Sanggar tari tersebut membuat sebuah tari kreasi baru yang membutuhkan 5 penari laki-laki dan 3 penari perempuan. Berapakah banyaknya cara yang dapat diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi tersebut?

Jawab: Dari soal tersebut dapat kita ketahui bahwa $n=15$, $n_1=9$, $n_2=6$, $k_1=5$, $k_2=3$. Dengan menggunakan rumus kombinasi, maka kita dapat menyelesaikan permasalahan tersebut. \[\begin{align*} {^{n_1}C_{k_1}} \times {^{n_2}C_{k_2}} &= \frac{n_1!}{k_1!(n_1-k_1)!} \times \frac{n_2!}{k_2!(n_2-k_2)!} \\ &= \frac{9!}{5!(9-5)!} \times \frac{6!}{3!(6-3)!} \\ &= \frac{9!}{5!4!} \times \frac{6!}{3!3!} \\ &= \frac{6 \times 7 \times 8 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \times \frac{4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3} \\ &= 126 \times 20\\ &= 2520 \end{align*}\] Cara yang dapat diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi 2520 cara.

Contoh Soal No. 2

Sebuah kotak berisi 3 bola putih, 4 bola merah, dan 5 bola biru. Tiga bola diambil secara acak dari dalam kotak tersebut. Hitunglah peluang bahwa

1. Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih,
2. Masing-masing warna terwakili (1 bola putih, 1 bola merah, dan 1 bola biru),
3. Jika bola diambil satu per satu tanpa pengembalian, tentukan peluang dimana bola terambil pertama adalah putih, kedua adalah merah, dan ketiga adalah biru!

Jawab: Diketahui $n=12$, $n_1=3$, $n_2=4$ dan $n_3=5$. Misalkan jumlah bola putih terpilih dinotasikan dengan $x$, jumlah bola merah terpilih dinotasikan dengan $y$ dan jumlah bola biru terpilih dinotasikan dengan $z$.

Jawaban 2.1

Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih artinya bola putih bisa terpilih 1 atau tidak terpilih sama sekali (0). Dengan demikian peluangnya adalah \begin{align*} P(x\leq 1) &= P(x=0)+P(x=1) \\ &= \frac{ \left({^{n_1}C_0}\right) \left({^{n_2+n_3}C_3}\right)}{\left({^{n}C_3}\right)} + \frac {\left({^{n_1}C_1}\right) \left({^{n_2+n_3}C_2}\right)}{\left({^{n}C_3}\right)} \\ &= \frac{\left(^3C_0\right) \left(^9C_3\right)}{\left(^{12}C_3\right)} + \frac{\left(^3C_1\right) \left(^9C_2\right)}{\left(^{12}C_3\right)} \\ &= \frac{84}{220}+ \frac{108}{220} \\ &= 0,8727 \end{align*} Jawaban 2.2
Jika masing-masing warna terwakili, maka peluangnya adalah \begin{align*} P(x=1,y=1,z=1) &= \frac{{^{n_1}C_1} {^{n_2}C_1} {^{n_3}C_1}}{^nC_3} \\ &= \frac{{^3C_1} {^4C_1} {^5C_1}}{^{12}C_3} \\ &= \frac{3 \times 4 \times 5}{220} \\ &= 0,2727 \end{align*} Jawaban 2.3 Jumlah bola sebelum pengambilan adalah 12. Pada pengambilan pertama, peluang terambilnya bola putih adalah \[P(x) = \frac{n_1}{n} = \frac {3}{12}\] Bola yang tersisa dari hasil pengambilan pertama adalah 11, yaitu 2 bola putih, 4 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola merah pada pengambilan kedua adalah \[P(y|x) = \frac{n_2}{n-1} = \frac {4}{11}\] Selanjutnya bola yang tersisa adalah 10, yaitu 2 bola putih, 3 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola biru pada pengambilan ketiga adalah \[P(z|y|x) = \frac{n_3}{n-2} = \frac {5}{10}\] Dengan demikian peluang terambil bola pertama adalah putih, kedua adalah merah, dan yang ketiga adalah biru adalah \begin{align*} P(x=1,y=1,z=1) &= P(x) + P(y|x) + P(z|y|x) \\ &= \frac {4}{12} + \frac{3}{11}+\frac{5}{10} \\ &= 0,0455 \end{align*}

Contoh Soal No. 3

Huruf A, I, U , E dan O akan disusun menjadi kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Berapakah banyaknya kelompok yang mungkin terbentuk?

Jawab: Dari 5 huruf, akan disusun kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Banyaknya kelompok susunan yang mungkin terbentuk adalah 5 kombinasi 3. \[^5C_3 = \frac {5!}{{3!}{(5-3)!}} = \frac {5!}{2!} = 10\]

Contoh Soal No. 4

Sebanyak 20 klub sepak bola akan bertanding pada sebuah turnamen. Setiap klub akan bertemu satu sama lain dalam bertanding sebanyak 1 kali. Berapakah banyak pertandingan yang akan terjadi?

Jawab:

Pada soal disebutkan bahwa masing-masing klub akan bertemu satu sama lain sebanyak satu kali. Pada sebuah pertandingan sepak bola hanya ada 2 klub yang bertanding, artinya ada sebanyak $^{20}C_2$ pertandingan yang akan terjadi.\[^{20}C_2 = \frac {20!}{{2!}{(20-2)!}} = \frac {19 \times 20}{2} = 190\]