Em diversas situações do cotidiano, observamos figuras cilíndricas como uma lata de refrigerante, uma cesta de lixo, uma vela, um reservatório, etc. estudaremos então quais são as características e propriedades dessas formas geométricas.
(Disponível em: //shifter.pt/2015/05/a-coca-cola-pos-o-centro-historico-do-porto-numa-lata/. Acesso em: janeiro de 2017)
CILINDROS CIRCULARES
Considere dois planos paralelos a e β, uma reta s secante a esses planos e um circulo C de centro O contido em a. Consideremos agora, todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao circulo C e o outro extremo pertencente a β. A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular.
ELEMENTOS DE UM CILINDRO
Observando o cilindro circular abaixo, nomeamos alguns elementos:
Bases: Círculos de raio r e centro O e O’.
Eixo: reta que contém os centros O e O’;
Raio da base (r): raio do círculo de centro O;
Altura (h): distância entre as bases do cilindro;
Geratriz: todo segmento de reta paralelo ao eixo OO’ que tem extremidades pertencentes às circunferências das bases. Ex: AA’.
CILINDRO CIRCULAR RETO OU CILINDRO DE REVOLUÇÃO
Se o cilindro circular possui o eixo perpendicular à base, o chamamos de cilindro circular reto. Observe que nesse caso, a medida da geratriz é igual à altura. Caso contrário, o chamamos de cilindro circular oblíquo.
O cilindro circular reto também é conhecido como cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução, ou rotação, de 360° de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.
Planificação do cilindro circular reto
Para um melhor entendimento, corte as bases do cilindro, e em seguida, imagine a superfície lateral envolvida por um rótulo. Corte esse rótulo por uma geratriz e o desenrole, como sugere a figura abaixo.
Assim, temos que a superfície lateral de um cilindro circular reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de um retângulo de base 2pr e altura h, com dois círculos de raio r.
ÁREAS LATERAL E TOTAL
A área lateral de um cilindro qualquer é a área da superfície formada pela reunião de todas as geratrizes do cilindro. Portanto, no cilindro circular reto de altura h e raio da base r, a área lateral é a área do retângulo obtido na planificação. Assim,
Já a área total, obtemos somando a área lateral com a área das duas bases, ou seja,
Exercício Resolvido
A área lateral de um cilindro circular reto cuja altura é igual ao diâmetro é 100p cm2. Calcule a área total desse cilindro.
Solução:
SEÇÕES NUM CILINDRO
Temos duas seções muito importantes, chamadas de seção transversal e seção meridiana.
Chamamos seção transversal do cilindro qualquer intersecção não vazia do cilindro com um plano paralelo às suas bases.
Cabe ressaltar que a essa seção formada é um círculo congruente às bases.
Outra seção muito importante é a chamada seção meridiana, que é a intersecção do cilindro com um plano que passa pelos centros de suas bases.
Podemos ainda, calcular a área da seção meridiana, pois num cilindro reto será um retângulo de base 2R e altura h, logo:
Aseção meridiana = 2R . h
CILINDRO EQUILÁTERO
Um caso particular de cilindros é o chamado cilindro equilátero, que é todo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas, em outras palavras, a altura é igual ao diâmetro (h = 2r).
VOLUME DO CILINDRO
Considere um cilindro de altura h e base de área A contida em um plano horizontal. Imaginemos um paralelepípedo retângulo de altura h, com base de área A contida no mesmo plano. Se um outro plano horizontal os secciona formando áreas A1 e A2, então temos que A1 = A = A2 e pelo princípio de Cavalieri, os dois têm mesmo volume. Logo, o volume do cilindro é também o produto da área da base pela altura.
Portanto o volume do cilindro é:
Exercício resolvido
1) Calcule o volume de um cilindro equilátero cuja área da secção meridiana vale 36 cm2.
Solução:
Determinando a seção meridiana, obtemos:
Assim, a altura do cilindro é
2) Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o volume do objeto é:
Solução:
O volume do objeto submerso é igual ao volume do líquido deslocado. Dessa forma, o volume do objeto é igual ao volume do cilindro com raio da base 10 cm e altura 10 cm.
V = πr2h
V = π.102.10 = 1000π cm3
TRONCO DE CILINDRO
Considere um cilindro circular e um plano que o intersecta obliquamente em todas as geratrizes. Este plano o separa em dois sólidos chamados de troncos de cilindro circular.
Consideremos um tronco de cilindro circular reto cujo raio da base é r, a geratriz maior é G e a menor é g.
Prolongando as geratrizes de modo a obter um cilindro reto de altura g + G, temos:
Observemos que este cilindro é composto por dois troncos congruentes, logo o volume do tronco de cilindro é a metade do volume do cilindro.
Exercício resolvido
Um cilindro reto com diâmetro da base igual a 6 cm é secionado por um plano oblíquo a ela, que determina, no cilindro, alturas entre 2 cm e 8 cm, como indicado na figura. Determine o volume resultante.
Solução:
Dobrando o tronco de cilindro, obtemos:
Logo,
Teste seus conhecimentos com 13 exercícios resolvidos sobre cilindros. Se prepare para o ENEM e vestibulares com as questões comentadas e tire suas dúvidas.
Exercício 1
Calcule o volume do cilindro e marque a alternativa que mais se aproxima do resultado. Dado: considere π = 3,14.
a) Volume = 6000 cm³. b) Volume = 5000 cm³. c) Volume = 4000 cm³. d) Volume = 3000 cm³.
e) Volume = 2000 cm³.
Resposta: b) Volume = 5000 cm³.
Resolução
Para determinar o volume do cilindro, multiplicamos a área da base (quadriculada) pela altura.
Da imagem temos o diâmetro = 16 cm e a altura = 25 cm.
Dados: π = 3,14 Raio da base: r = d/2 = 16/2 = 8 cm
Altura: h = 25 cm
Passo 1: cálculo da área da base.
Como a base é uma circunferência, sua área é obtida pela equação:
Passo 2: cálculo do volume.
O volume do cilindro é dado pela multiplicação entre a área da base (Ab) e sua altura (h).
Portanto, o volume é de cerca de 5000 cm³. Essa é a melhor aproximação.
No lava jato Limpeza Total, houve um grande movimento hoje, tendo recebido 23 clientes para lavagem completa. No entanto, ao começar a lavar o próximo carro, a água acabou. Só então os funcionários se deram conta que a empresa fornecedora de água emitiu um alerta dizendo que devido a reparos e obras de manutenção, neste dia, não haveria abastecimento.
O dono do estabelecimento pediu um abastecimento de urgência com um caminhão pipa e a empresa fornecedora de água perguntou a capacidade do reservatório. Como era bem antigo, as indicações de capacidade havia apagado, sendo necessário fazer o cálculo a partir de suas medidas.
O reservatório é um cilindro de 4 m de altura e diâmetro de 1,80 m.
A empresa fornecedora de água possui cinco opções de entrega em caminhões pipa. Marque a opção que poderá ser solicitada pelo proprietário do lava jato, enchendo o máximo possível seu reservatório.
Dados: 1 m³ = 1 000 l
a) 12 000 l. b) 11 000 l. c) 10 000 l. d) 9 000 l.
e) 8 000 l.
Resposta correta: c) 10 000 l.
Resolução
Devemos calcular o volume em metros cúbicos e depois transformar em litros.
O volume de um cilindro pode ser calculado pela multiplicação da área da base, pela altura.
Ideia 1: calcular a área da base.
Área da base: A = π.r²
Sendo o diâmetro igual a 1,80 m, o raio é 0,90 m.
A = 3,14 * 0,90² A = 3,14 * 0,81
A = 2,5434 cm²
Ideia 2: calcular o volume do cilindro
V = área da base * altura V = π.r².h
V = 2,5434 x 4 = 10,1736 m³
Ideia 3: transformar o resultado de m³ para litros.
Como 1 m³ = 1000 l, basta multiplicar o resultado por 1000.
V = 10,1736 m³ x 1000 = 10 173,6 l
Dessa forma, o proprietário do lava jato poderá pedir o caminhão pipa com 10 000 l.
Exercício 3
Qual a área lateral de um cilindro reto que possui 502,4 cm³ de volume e diâmetro 8 cm.
Dado: π = 3,14.
a) 355,10 cm² b) 251,20 cm² c) 125,51 cm² d) 375,30 cm²
e) 91,45 cm²
Resposta correta: b) 251,20 cm²
Resolução
Ideia 1: determinar a altura h e o raio r
Se o diâmetro são 8 cm, logo o raio são 4 cm.
Da fórmula do volume podemos determinar a altura.
Ideia 2: fórmula da área lateral
A área lateral de um cilindro reto de altura h é igual a de um retângulo de comprimento igual ao comprimento da circunferência do cilindro, multiplicado pela altura.
O comprimento de uma circunferência é obtida pela fórmula: 2.π.r
A área de um retângulo pode ser obtida pela multiplicação entre os valores da base e da altura.
Ideia 3: realizar o cálculo da área lateral
Área lateral do cilindro = 2.π.r.h Área lateral = 2 . 3,14 . 4 . 10
Área lateral = 251,20 cm²
Portanto, a área lateral do cilindro é 251,20 cm².
Exercício 4
Um silo que armazena grãos de soja em uma fazenda, apresentou um problema em sua estrutura e precisa ser reparado com uma solda na parede. O silo é uma torre na forma de um cilindro de 10 m de altura e diâmetro de 6 m. Para realizar o serviço, o gerente decidiu esvaziar o silo, armazenando a produção temporariamente em caçambas de carretas na forma de paralelepípedos, com as medidas iguais a 12 m de comprimento, 2 m largura e 1,5 m de altura. Quantas caçambas são necessárias para armazenar todo o conteúdo?
Utilize π = 3,14.
a) 15 caçambas b) 7 caçambas c) 16 caçambas d) 9 caçambas
e) 8 caçambas
Resposta correta: e) 8 caçambas
Resolução
Ideia 1: número de caçambas
O número de caçambas é o volume do silo, dividido pelo volume de uma carreta.
Ideia 2: volume do silo
Como o silo é um cilindro, seu volume é obtido pelo produto entre a área da base e sua altura.
Área da base
Sendo r o raio, igual a metade do diâmetro.
A = π.r² A = 3,14 . 3²
A = 28,26 m²
Volume do silo
V = A . h V = π.r².h V = 28,26 . 10
V = 282,60 m³
Ideia 3: volume da caçamba
O volume da caçamba é o volume do paralelepípedo.
V = comprimento x largura x altura
V = 12 x 2 x 1,5 = 36 m³
Ideia 4: calculo da quantidade de caçambas
Quantidade de caçambas = volume do silo / volume da caçamba Quantidade de caçambas = 282,60 / 36
Quantidade de caçambas = 7,85
Conclusão
Serão necessárias 8 caçambas para armazenar os grãos.
(Enem 2010). Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
Resposta correta: a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
Resolução
Ideia 1: volume do copo
Como é um cilindro, o volume é dado por:
V = π.r².h
V = π.2².4 = 16π cm²
Ideia 2: volume da leiteira
V = π.r².H V = π.4².20
V = π. 16 . 20 cm³ ou 16π x 20 cm³
Aqui percebemos que a leiteira tem 20 vezes o volume de 1 copo.
Volume da leiteira = volume de 20 copos
Conclusão:
Como cada copo será enchido até a metade, a leiteira deverá ser enchida até a metade.
Exercício 6
(Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?
a) πd b) 2 πd c) 4 πd d) 5 πd
e) 10 πd
Resposta correta: d) 5 πd
Resolução
Como o papel foi enrolado 5 vezes, o comprimento da folha é igual a 5 vezes o comprimento da circunferência do cilindro.
Comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula:
2 . π. r
O raio é a metade do diâmetro
r = d / 2
Substituindo na fórmula
Comprimento da folha = 5 . 2 . π . d/2
Comprimento da folha = 5πd
Exercício 7
(Enem 2015) O índice pluviométrico é utilizado para mensurar a precipitação da água da chuva, em milímetros, em determinado período de tempo. Seu cálculo é feito de acordo com o nível de água da chuva acumulada em 1 m², ou seja, se o índice for de 10 mm, significa que a altura do nível de água acumulada em um tanque aberto em formato de um cubo com 1 m² de área de base, é de 10 mm. Em uma região, após um forte temporal, verificou-se que a quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico, com raio 300 mm e altura 1200 mm, era de um terço da sua capacidade.
Utilize 3,0 como aproximação para π.
O índice pluviométrico da região, durante o período do temporal, em milímetros, é de
a) 10,8. b) 12,0. c) 32,4. d) 108,0.
e) 324,0.
Resposta correta: d) 108,0.
Ideia 1: volume de líquido na lata
Usando:
π = 3,0 r = 300 mm
h = 1200 mm
Ideia 2: despejando esse conteúdo em um cubo
O cubo deve possuir 1 m³ ou seja,
volume do cubo = altura x largura x comprimento
1 m³ = altura x 1 m x 1 m
Passando para milímetros e igualando ao volume de líquido calculado:
108 000 000 mm³ = altura x 1000 m x 1000 m
altura = 108 mm
Conclusão:
Assim, o índice pluviométrico medido foi de 108 mm.
(Enem 2015). Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.
A medida da altura desconhecida vale
a) 8 cm. b) 10 cm. c) 16 cm. d) 20 cm.
e) 40 cm.
Resposta correta: b) 10 cm.
Resolução
V1 = 1,6 V2
Substituindo as fórmulas de volume do cilindro em V1 e V2:
Como o π aparece dos dois lados multiplicando, pode ser cancelado. Isolando x, temos:
Portanto, a altura x da lata mais alta é 10 cm.
Exercício 9
(Enem 2021) Uma loja de materiais de construção vende dois tipos de caixas-d’água: tipo A e tipo B. Ambas têm formato cilíndrico e possuem o mesmo volume, e a altura da caixa d’água do tipo B é igual a 25% da altura da caixa d’agua do tipo A.
Se R denota o raio da caixa d’água do tipo A, então o raio da caixa d'água do tipo B é
a) R/2 b) 2 R c) 4 R d) 5 R
e) 16 R
Resposta correta: b) 2 R
Resolução
O enunciado diz que a altura de B é 25% da altura de A. Ou, seja, A é quatro vezes mais alta que B.
Sendo a, a altura da caixa A e, b, a altura da caixa B:
a = 4b
Sendo R o raio da caixa tipo A e, r a medida do raio da caixa B.
Como os volumes são iguais:
VA = VB
Substituindo pelas fórmulas do volume dos cilindros, que é π.r².h, temos:
Eliminando os termos iguais, que multiplicam dos dois lados da equação:
Aplicando uma raiz quadrada aos dois lados da equação. (“jogando o expoente 2 de r para o lado esquerdo em forma de raiz quadrada”)
Isso significa que, o raio da caixa d’água do tipo B tem o dobro do comprimento do raio da caixa d’água A.
Exercício 10
(Fuvest). A uma caixa d'água de forma cúbica com 1 metro de lado, está acoplado um cano cilíndrico com 4 cm de diâmetro e 50 m de comprimento. Num certo instante, a caixa está cheia de água e o cano vazio.
Solta-se a água pelo cano até que fique cheio. Qual o valor aproximado da altura da água na caixa no instante em que o cano ficou cheio?
a) 90 cm. b) 92 cm. c) 94 cm. d) 96 cm.
e) 98 cm.
Resposta correta: c) 94 cm
Resolução
Ideia 1: volume do cano
Sendo um cilindro, o volume é dado pelo produto entre a área de sua base e sua altura.
Volume = π.r².h
Nesse caso, sua altura será o comprimento de 50 m e a área da base igual a uma seção do cano.
O raio é a metade do diâmetro, e em metros, r = 0,02 m.
Volume do cano = π.0,02² . 50 = 0,02π
Ideia 2: volume da caixa
Sendo um cubo, altura = largura = comprimento
O enunciado diz que a medida dos lados do cubo é igual a 1 m.
Volume da caixa = 1 m³
Altura x largura x comprimento = 1 x 1 x 1 = 1 m³
Ideia 3: Nova altura
Como a quantidade de água do cano saiu da caixa, vamos fazer a subtração:
Novo volume de água na caixa = Volume da caixa - Volume do cano
Conforme a água sai da caixa, a única dimensão que pode mudar é a altura. A largura e comprimento continuam iguais a 1 m.
Altura x 1 x 1 = 1 - 0,02π
Fazendo π = 3
Altura = 1 - 0,06
Altura = 0,94
Conclusão
A nova altura (nível de água na caixa) é de 0,94 m.
Obs.: Mesmo considerando π = 3,1415 o resultado mais próximo ainda é a letra c. Veja:
Altura = 1 - 0,02 x 3,1415
Altura = 1 - 0,06283
Altura = 0,93717 (aproximadamente 0,94)
(Cesgranrio) Um recipiente com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 40 cm e altura 100/π cm, armazena um certo líquido, que ocupa 40% de sua capacidade. O volume do líquido contido nesse recipiente é, em litros, aproximadamente, igual a:
a) 16 b) 18 c) 20 d) 30
e) 40
Resposta correta: a) 16
Resolução
Ideia 1: volume do cilindro
V = π.r².h
Substituindo os valores
Ideia 2: volume do líquido
40 % de 40 000
Ideia 3: Transformando de cm³ para litros
Para a água, 1 000 cm³ = 1 litro
Então, 16 000 cm³ = 16 l
Conclusão
Portanto, 40% do volume do cilindro equivale a 16 litros.
Exercício 12
(FGV-SP) Um cilindro circular reto de altura igual ao diâmetro da base está inscrito em um cone circular reto. O cone tem diâmetro 10, altura 12 e seu eixo de revolução coincide com o do cilindro.
O diâmetro da base do cilindro é igual a
a) 16/3 b) 60/11 c) 6. d) 25/4.
e) 7.
Resposta correta: b) 60 / 11
Resolução
Ideia 1: ilustrando e identificando triângulos semelhantes
Fazendo uma seção meridional, ou, observando uma vista lateral:
Tomando uma metade da figura, temos:
O triângulo maior formado pela metade cone, é semelhante ao menor verde pois, seus ângulos são iguais. (caso A,A,A).
Ideia 2: usando proporções
Do lado esquerdo dividimos a altura do cone pela metade de sua base, no caso, 5.
Do lado direito dividimos a altura do triângulo verde, que é D, pela sua base, que é 5, menos a metade do diâmetro do cilindro, que é D/2.
Ajustanto do lado direito, temos:
Podemos agora multiplicar cruzado
5 . 2D = 12 . (20 - D) 10D = 120 - 12D 22D = 120
D = 120 / 22
D = 60 / 11
Conclusão
Dessa forma, o diâmetro da base do cilindro é igual a 60/11.
Exercício 13
(PUC-PR). Um medicamento que dilata os vasos e artérias do corpo humano é ministrado e aumenta o diâmetro em 20% de determinada artéria.
Considerando que a artéria se assemelha a um cilindro circular reto, o fluxo sanguíneo nessa artéria aumenta em
a) 10% b) 20% c) 21% d) 40%
e) 44%
Resposta correta: e) 44%
Resolução
Fluxo é a quantidade de massa que passa por uma área. Neste caso a quantidade de sangue que passa pela seção da artéria.
Ideia 1: A área da seção da artéria antes do medicamento
Como o raio é a metade do diâmetro, podemos escrever:
Ideia 2: A área depois do medicamento
Para aumentar em 20%, multiplicamos D por 1,2.
Ideia 3: comparando as áreas de antes e depois
Para isso vamos dividir a área 2 pela 1
Eliminando os termos semelhantes
Conclusão
Desso modo, D2 foi multiplicado por 1,44, ou seja, um aumento de 44%.
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